Esponenziali e logaritmi sono concetti matematici con un legame molto stretto tra loro: a ogni esponenziale corrisponde un logaritmo! Prima di affrontare questi argomenti è fondamentale conoscere bene le potenze e le loro proprietà.
Sia esponenziali che logaritmi hanno molte applicazioni nei settori più disparati. Ad esempio, il pH in chimica segue una scala logaritmica; il decadimento radioattivo di una sostanza segue invece una legge esponenziale.
Esponenziale: definizione
Un elevamento a potenza è una scrittura del tipo \(m^n \) in cui \(m\) ed \(n\) sono numeri fissati: \(m\) si chiama base e \(n\) esponente. Se stai studiando monomi e polinomi, troverai numeri naturali al posto dell'esponente e incognite al posto della base: e così otterrai \( x^2, x^3\) ed altri. L’idea è far variare \(x\) tra i numeri reali e studiare come cambiano i valori che ottieni. Questo significa che al posto della base puoi avere anche numeri razionali, irrazionali, negativi: anche in questi casi, però, si può calcolare la potenza.
Succede una cosa diversa se fissi la base e studi come si comporta il valore di
$$a^x$$
al variare dell’esponente \(x\) tra i numeri reali. La prima domanda da farsi è: questo calcolo si può fare? Ti ricordo che l'idea è di mettere al posto dell'esponente qualunque numero reale \(x\)! Con un po' di esperimenti, puoi notare che scegliendo come base un numero negativo sorgono dei problemi: ad esempio se \(a=-1\) diventa problematico calcolare \(a^x\) per parecchi valori dell'esponente. Ad esempio,\( (-1)^{\frac{1}{2}} \) sarebbe la radice quadrata di \(-1\), che non è un numero reale. Questo non è l'unico esponente problematico: è difficile trovare un senso, e un valore, anche a \( (-1)^{-\frac{1}{2}} \) o \( (-1)^{\frac{1}{4}} \)!
Per evitare problemi di questo tipo, si richiede che la base sia positiva e diversa da 1. Diversa da \(1\) non per problemi di calcolo, al contrario: \(1^x\) vale sempre 1, quindi non c’è molto da studiare!
La funzione esponenziale \(a^x\) è definita per \(0< a < 1\) e \(a > 1\). Una maniera alternativa di scrivere l'insieme di definizione è \(a>0, a \neq 1\).
Grafico dell’esponenziale
Si può fare un grafico della funzione esponenziale sul piano cartesiano così come si fanno i grafici dei polinomi: ad ogni valore di \(x\) sull’asse delle ascisse si associa il valore \(a^x\) sull’asse delle ordinate.
Il grafico di \(y=a^x\) è l’insieme dei punti con coordinate \((x, y=a^x)\).
Scelta una base, ad esempio 2, bisogna calcolare \(2^x\) al variare di x. È utile fare il grafico anche con un'altra base: siccome \(2\) è maggiore di \(1\), conviene confrontarla con un'altra base compresa tra \(0\) e \(1\), in modo da vedere cosa c'è di simile e cosa è diverso. Nella tabella seguente troverai sia i valori di \( 2^x \) che quelli di \((\frac{1}{2})^x\): l'idea è studiare e confrontare queste due funzioni esponenziali.
x | \(2^x\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) |
0 | 1 | 1 |
1 | 2 | \(\frac{1}{2}\) |
2 | 4 | \(\frac{1}{4}\) |
4 | 16 | \(\frac{1}{16}\) |
8 | 256 | \(\frac{1}{256}\) |
-1 | \(\frac{1}{2}\) | 2 |
-2 | \(\frac{1}{4}\) | 4 |
-4 | \(\frac{1}{16}\) | 16 |
-8 | \(\frac{1}{256}\) | 256 |
Puoi continuare aggiungendo altri punti: già con questi però hai un’idea. Nota come, nel caso di \(2^x\), i valori diventino sempre più grandi man mano che \(x\) diventa più grande. Sui numeri negativi, invece, ottieni valori sempre più piccoli, che si avvicinano a zero senza mai raggiungerlo. In altre parole, \(2^x\) è crescente: il valore della funzione aumenta con quello di \(x\). Succede il contrario nel caso di \((\frac{1}{2})^x\), che invece è decrescente: in questo caso, sostituendo a \(x\) un numero negativo ottieni valori molto grandi, mentre con un numero positivo i risultati sono molto piccoli.
Rappresenta questi valori sul piano cartesiano e uniscili con una linea, scegliendo un colore diverso per ognuna delle due basi. Nel grafico successivo vedi come, collegando i punti più scuri, si ottenga il grafico di \(2^x\), mentre con i punti in verde chiaro si trova quello di \((\frac{1}{2})^x\). Nota come sono speculari rispetto all’asse y!
Figura 1. Grafico di \(2^x\) (blu scuro) e \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) (verde chiaro).
Più in generale, i grafici delle funzioni esponenziali seguono due andamenti:
Se \(0<a<1\), allora l’esponenziale \(a^x\) è decrescente. Ogni scelta della base genera un grafico diverso, più o meno ripido, ma l’andamento è simile.
Grafico di varie funzioni esponenziali con base compresa tra 0 e 1.
Se invece \(a>1\), l’esponenziale è crescente. Come prima, basi diverse generano grafici diversi, ma l’andamento non cambia.
Figura 2. Grafici di esponenziali con base maggiore di 1.
In entrambi i casi, puoi notare come il grafico resti al di sopra dell’asse x: l’esponenziale non prende mai valori negativi.
Logaritmo: definizione
Considera nuovamente l’equazione \(b=a^x\). Supponi di conoscere la base \(a\) e il risultato \(b\): come si fa a trovare l’esponente \(x\)? Per rispondere a questa domanda nasce la nozione di logaritmo:
Il logaritmo in base \(a\) di \(b\) è l’esponente \(x\) a cui va elevato \(a\) per ottenere \(b\), in formule:
$$ \log_a (b) =x \text{ se e solo se } a^x=b $$
I numeri \(a\) e \(b\) hanno un nome specifico: \(a\) è la base e \(b\) è l’argomento del logaritmo.
Il logaritmo è definito se \( a >0, a \neq 1 \) e \( b >0 \).
Le restrizioni su base e argomento hanno dei motivi: la base \(a\) deve rispettare gli stessi criteri che hai visto prima per l’esponenziale. L’argomento \(b\) deve essere positivo: altrimenti non può essere il risultato di un’esponenziale e non è possibile trovarne il logaritmo.
\(\log_2 8 =3\) perché \(2^3=8\)
\(\log_5 625 = 4\) perché \(5^4=625\)
\(\log_9 81 =2\) perché \(9^2=81\)
Il logaritmo inverte quello che fa l’esponenziale esattamente come le radici invertono l’elevamento a potenza. Ad esempio,
$$ 2^3 = 8 \text{ e } \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$$
Più in generale,
$$ x^n =y \text{ e } \sqrt[n]{y}= \sqrt[n]{x^n}=x$$
Allo stesso modo,
$$ 2^3=8 \text{ e } \log_2 8 = 3 $$
Il logaritmo in base 10, o logaritmo decimale, è tra quelli più usati: per indicarlo, non serve scrivere la base. In altre parole, \(\log x\) significa \(\log_{10} x\).
L’importanza di questo logaritmo è legata al fatto che permette di ottenere subito il numero di cifre di un numero: ti basta trovare il logaritmo, prenderne la parte intera e sommare 1.
\( \log 10 = 1\) il numero di cifre per scrivere 10 è 1+1=2.
\( \log 100 =2\): il numero di cifre di 100 è 2+1 = 3.
\(\log 5347 =3,72811…\); la parte intera è 3, quindi il numero di cifre è 3+1=4.
Grafico del logaritmo
Come per l’esponenziale, puoi fare un grafico della funzione \(y=\log_a x\) al variare della base \(a\). Puoi immaginare che anche per \(\log_a x\) i grafici abbiano andamenti diversi a seconda che la base \(a\) sia maggiore o minore di \(1\): è esattamente così!
Costruisci una tabella di valori come per l’esponenziale. Puoi confrontare, ad esempio, \(\log_2 x\) e \(\log_{\frac{1}{2}} x\). Per fare i calcoli puoi aiutarti con la definizione e i valori dell’esponenziale: ad esempio, \( \log_{2} \frac{1}{8} = -3\) perché \( 2^{-3} =\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).
x | \(\log_2 x\) | \(\log_{\frac{1}{2}} x\) |
1/8 | -3 | 3 |
1/4 | -2 | 2 |
1/2 | -1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
2 | 1 | -1 |
4 | 2 | -2 |
8 | 3 | -3 |
Segna i punti sul piano cartesiano e collegali con una linea: nel grafico sotto vedi in verde chiaro il logaritmo in base \(\frac{1}{2}\) e in blu scuro quello in base \(2\).
Figura 3. Grafico dei logaritmi in base \(\frac{1}{2}\), con colore più chiaro, e in base \(2\), con colore più scuro.
Nota come, ruotando di 90° verso destra il grafico dell’esponenziale, si ottiene quello del logaritmo! Questo succede perché le due funzioni sono inverse.
Come nel caso dell’esponenziale, gli andamenti generali sono due.
Quando la base è maggiore di 1, l’andamento è crescente: la curva è più o meno ripida a seconda delle scelte di \(a > 1\):
Figura 4. Grafico di logaritmi con base \(a > 1\).
Quando la base è minore di 1, invece, c’è un andamento decrescente. Anche in questo caso, i grafici sono diversi per scelte diverse delle basi, ma l’andamento è comune.
Figura 5. Grafico di vari logaritmi con base compresa tra 0 e 1.
Numero di Nepero
Sia per le esponenziali che per i logaritmi si usa spesso come base un numero particolare: si chiama numero di Nepero, dal nome del matematico scozzese John Napier. A livello internazionale è più noto come numero di Eulero.
Si tratta di un numero irrazionale, compreso tra 2 e 3: come \(\pi\), ha infinite cifre nell’espansione decimale, e queste non si ripetono in modo regolare. Per rappresentarlo si usa la lettera \(e\): ecco le prime cifre decimali.
$$e =2,71828182845904523536…$$
Il logaritmo che ha come base il numero di Nepero si chiama logaritmo naturale e si indica scrivendo \(\ln x\).
Esponenziale e logaritmo: proprietà e formule
Per lavorare con esponenziali e logaritmi è fondamentale ripassare le proprietà delle potenze. Per ogni \(a, b, c \in \mathbb{R}\), con \(0 < a < 1\) o \( a > 1 \) e \(b, c > 0 \) valgono:
$$ a^b \cdot a^c = a^{b+c}$$
$$ a^{b} : a^c = \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c} $$
$$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$$
$$ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $$
$$\left(a\cdot b \right)^c=a^c \cdot b^c$$
$$(\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}, \text{ per } b \neq 0$$
$$a^0=1$$
$$a^1=a $$
Da queste derivano anche le proprietà dei logaritmi. Per ogni \(a, b, c \in \mathbb{R}\), con \(0 < a < 1\) o \( a > 1 \) e \( b, c > 0 \) si ha:
$$ \log_a (b\cdot c) =\log_a b + \log_a c $$
$$ \log_a (\frac{b}{c}) =\log_a b - \log_a c$$
$$ \log_a b^c = c \log_a b$$
$$ \log_a 1 = 0$$
Esponenziali e logaritmi: esercizi
Passando alla pratica, potresti chiederti quali tipi di esercizi richiedono di maneggiare esponenziali e logaritmi. Gli esercizi più semplici chiedono di calcolare un logaritmo sfruttando la definizione e le loro proprietà.
Calcola \(\log_4 \sqrt[3]16\).
Come primo passaggio, dato che 4 è la base del logaritmo, scrivi 16 come potenza di 4.
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2}$$
Ora esprimi la radice con notazione esponenziale: la radice cubica del quadrato di 4 è uguale a 4 elevato a \(\frac{2}{3}\).
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2} = \log_4 4^{\frac{2}{3}}$$
A questo punto, puoi portare l’esponente davanti al logaritmo:
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2} = \log_4 4^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \log_4 4 $$
Quando l’argomento del logaritmo è uguale alla base, il risultato è 1: con questo concludi l’esercizio.
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2} = \log_4 4^{\frac{2}{3}}= \frac{2}{3} \log_4 4 =\frac{2}{3}\cdot 1 =\frac{2}{3}$$
Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi
Un tipo di esercizi più complicato sono le equazioni con esponenziali e logaritmi.
Un’equazione si dice esponenziale se l’incognita \(x\) compare nell’esponente di una o più potenze.
\( 5^{x+2}\cdot 5^{x+3}=125\) è un’equazione esponenziale: l’incognita compare come esponente in due potenze.
\( (x-1)^3-x+1=0\) non è un’equazione esponenziale: l’incognita, infatti, è presente solo nella base della potenza, non nell’esponente.
Qui su StudySmarter puoi trovare vari metodi per risolvere le equazioni esponenziali: la cosa fondamentale è fare esercizi per individuare di volta in volta il metodo più adatto.
Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita \(x\) compare nella base o nell’argomento di un logaritmo.
\(\log_x 27 =3\) è un’equazione logaritmica: l’incognita infatti compare nella base.
\(\log (x+1) + \log (x-1) - \log (x-2) = \log 8\) è un’equazione logaritmica perché l’incognita compare nell’argomento di due logaritmi.
\(x=\log_2 4\) non è un’equazione logaritmica: l’incognita è fuori dal logaritmo!
Per risolvere le equazioni logaritmiche si sfrutta molto l’esponenziale e viceversa: è fondamentale capire entrambi gli argomenti!
Le disequazioni esponenziali e logaritmiche si risolvono con metodi simili a quelli delle equazioni: per manipolare queste diseguaglianze, però, è fondamentale controllare se la base è maggiore o minore di \(1\) e ricordare l’andamento delle funzioni nei due casi.
Esponenziali e logaritmi - Key takeaways
La funzione esponenziale \(a^x\) è definita per \(0 < a < 1\) o \( a > 1 \) e \( x > 0 \) : indica il valore che si ottiene fissando la base e facendo variare l’esponente.
Il logaritmo \(\log_a (x)\) è definito per \( 0 < a < 1 \) o \( a > 1 \) e per \( x>0 \): indica il valore che si deve mettere come esponente di \(a\) per ottenere \(x\).
Esponenziali e logaritmi nella stessa base sono l’uno l’inverso dell’altra.
I grafici di esponenziali e logaritmi hanno andamenti diversi a seconda del valore della base \(a\): per entrambe le funzioni, con \(0 < a < 1\) il grafico è decrescente, mentre con \( a > 1 \) è crescente.
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