Tutti i gatti sono mortali. Anche Socrate è un mortale. Quindi, Socrate è un gatto!
(Eugène Ionesco, Il Rinoceronte. I Atto)
Questo ragionamento intuitivamente sembra sbagliato: se ti chiedessero perché non va, però, sapresti spiegarlo? Non è così semplice: ti serve qualche nozione di logica.
La logica è la disciplina che studia come funziona un ragionamento corretto. Nella logica si studia sia la sintassi, cioè la correttezza nella forma del ragionamento, che la semantica, cioè il rapporto tra i segni del linguaggio usato nel ragionamento e il loro significato. La logica ha molti punti in comune con la matematica, la filosofia, l'informatica e la linguistica!
La logica matematica è quella parte della logica che si occupa degli oggetti matematici. In matematica, il ragionamento logico ha un'importanza fondamentale: dato che si lavora con oggetti astratti, non si possono fare esperimenti per controllare se qualcosa è vero o falso. Costruire dimostrazioni valide, quindi, è l'unico mezzo a disposizione per trovare le verità matematiche!
Ogni dimostrazione deve però partire da alcune affermazioni e regole di base che vengono considerate vere: questi si chiamano assiomi o postulati. La logica matematica si occupa anche dello studio di questi assiomi, ovvero dello studio dei fondamenti della matematica.
Logica formale
In logica è importante fare una distinzione tra la verità e la correttezza del ragionamento: sono due concetti diversi. L'idea è che la verità riguardi il significato di una singola affermazione, indipendentemente dal contesto. Un ragionamento, invece, non è vero o falso: quello che ci interessa è come le affermazioni sono collegate tra loro.
Un ragionamento deve permetterti di passare da una, o più, ipotesi a una conclusione. In logica un ragionamento si considera corretto se, ogni volta che è vera l'ipotesi, è vera anche la conclusione. In questo caso si dice che il ragionamento è valido.
In termini più formali, si dice che la verità è un concetto semantico, mentre la validità è un concetto sintattico.
In logica non si parla di frasi, ma di proposizioni: sono affermazioni a cui bisogna poter assegnare un valore di verità: vero o falso.
La parola "vita" ha quattro lettere è una proposizione logica vera.
La parola "anno" ha sei lettere è una proposizione logica falsa.
Oggi piove? non è una proposizione logica, perché una domanda non può essere vera o falsa.
In generale, la matematica si presta molto meglio del linguaggio quotidiano a creare proposizioni logiche. Nel linguaggio naturale è difficile trovare frasi che siano sempre vere o false: ad esempio, anche un'affermazione semplice come Oggi piove potrebbe essere vera in Nord Italia e falsa al Sud, o vera un giorno e falsa un altro. Invece Il numero 8 è pari mantiene lo stesso valore di verità per tutti in ogni tempo!
Le proposizioni si indicano con una lettera minuscola dell'alfabeto latino come p, q, s. Come sempre, però, non tutti usano la stessa notazione matematica: potresti trovarle indicate anche con lettere maiuscole come \(A, B, ...\) oppure con le lettere dell'alfabeto greco \(\alpha, \beta, \phi, \psi\).
Date due proposizioni puoi combinarle con dei connettivi logici che permettono di crearne una nuova. Non pensare a qualcosa di strano: i connettivi imitano elementi del nostro linguaggio, solo, hanno un significato più preciso! Il connettivo forse più semplice è \(\neg\) che esprime la negazione di una proposizione. Data \(p\), la negazione \(\neg p\) è un'altra proposizione che è vera se \(p\) è falsa, ed è falsa se \(p\) è vera. Un altro esempio è la congiunzione, che corrisponde alla "e" del linguaggio comune e si indica con il simbolo \( \wedge \). La congiunzione \(p \wedge q\) di due proposizioni logiche \(p, q\) è vera se sono vere sia \(p\) che \(q\).
Indica la proposizione Stasera andrò al cinema con la lettera \(p\) e la proposizione Giulia verrà con me con la lettera \(q\). Allora \( \neg p\) sta per stasera non andrò al cinema e \(\neg q\) per Giulia non verrà con me. La congiunzione \(p \wedge q\) indica la proposizione Stasera andrò al cinema e Giulia verrà con me: è vera solo se entrambe le proposizioni lo sono.
Quindi \(p \wedge q\) è falsa negli altri tre casi:
- stasera non vado al cinema, ma Giulia viene con me,
- stasera vado al cinema, ma Giulia non viene con me,
- stasera non vado al cinema e Giulia non viene con me.
Un altro esempio è la disgiunzione, che si indica col simbolo \(\vee\) e ha un significato simile alla "o" nel linguaggio, come in Vado in vacanza al mare o in montagna. A volte quando parliamo non è chiaro se la "o" indica una sola tra le opzioni, o se sono possibili tutte e due assieme: sto dicendo che se vado in vacanza al mare non andrò anche in montagna? O che forse vado in vacanza in un luogo in cui c'è montagna vicino al mare? In logica la disgiunzione è inclusiva: ovvero, \(p \vee q\) è vera nei tre casi seguenti:
- se \(p\) è vera e \(q\) è falsa;
- se \( p \) è falsa e \(q\) è vera;
- se \(p\) è vera e \(q\) è vera.
\(p \vee q\) è falsa solo nel caso in cui \(p\) e \(q\) sono entrambe false.
Deduzione logica
Torniamo al problema di partenza: capire quando un ragionamento è valido e quando no. Come hai già visto nel paragrafo qui sopra, un ragionamento è fatto di premesse e conclusioni. Una premessa è una proposizione che si dà per vera e fa da punto di partenza del ragionamento. L'idea è che un ragionamento, a partire da una o più premesse, arrivi a dimostrare un'altra proposizione finale che viene chiamata conclusione.
Considera un esercizio di geometria come questo:
Dato un quadrilatero con quattro lati uguali (un rombo), dimostra che le due diagonali sono perpendicolari.
In questo esercizio per ipotesi hai un quadrilatero con quattro lati uguali. Questa è la premessa del ragionamento.
La tesi da dimostrare è le diagonali del rombo sono perpendicolari. Questa è la conclusione.
Le regole di deduzione logica consentono precisamente di fare un passaggio corretto dalle premesse alla conclusione. Un esempio di regola valida è la seguente (regola di eliminazione della disgiunzione o dimostrazione per casi):
- Premessa: \(p \vee q\)
- Premessa \(\neg p\)
- Conclusione: \(q\)
Al posto di \(p\) e \(q\) puoi mettere qualunque proposizione: la regola resta valida!
Ad esempio, supponi di dover indovinare per gioco il seme di una carta e che sai che la carta è di cuori o di picche: se indichi con \(p\) il fatto che la carta sia di cuori, e con \(q\) che la carta sia di picche, il seme della carta è espresso da \(p \vee q\). Se, per un qualche motivo, riesci a vedere che la carta è di colore nero, hai la certezza che non è di cuori: hai provato (\neg p\) e puoi dedurre \(q\): la carta è di picche.
Contraddizioni e tautologie
La contraddizione è il peggior nemico della logica! Recuperando i simboli che hai visto finora, puoi esprimere una contraddizione come
\[p \wedge \neg p\]
Una tra \(p\) e \(\neg p\) è per forza falsa, quindi la congiunzione delle due non può essere vera. Una contraddizione logica è sempre falsa! Non è importante qual è il significato di una proposizione \(p\): che sia il sole splende e il sole non splende, ho vinto 100 euro e non ho vinto 100 euro, 0 è pari e 0 è dispari. Al contrario, un'affermazione sempre vera è chiamata tautologia: un esempio è \(p \vee \neg p\) (principio del terzo escluso).
In qualunque caso, una contraddizione mostra che un sistema di premesse è incoerente: le premesse non possono essere tutte vere contemporaneamente.
Insiemi
Le proposizioni logiche si usano spesso in matematica per affermare che un oggetto ha una proprietà, o che non la ha. La collezione di elementi che hanno una certa proprietà definisce un insieme, un concetto fondamentale per la matematica moderna. Attenzione, però: non tutte le collezioni di oggetti formano un insieme! Per definire un insieme si deve sempre poter dire se un elemento appartiene o no alla collezione, esattamente come le proposizioni logiche devono poter essere vere o false.
La collezione delle persone alte non indica un insieme: non c'è un criterio per stabilire in modo preciso quando una persona è alta e quando no. I giorni della settimana invece definiscono un insieme: contiene lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, sabato, domenica e nient'altro.
Un oggetto che appartiene a un insieme si chiama elemento. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino: \(A, B, C, X, \dots\), mentre gli elementi con le minuscole \(a, b, c, x, \dots \). La relazione di appartenenza si indica con il simbolo \(\in\): per dire che l'elemento \(x\) appartiene all'insieme \(A\) si può scrivere \(x \in A\). Se gli elementi di un insieme \(A\) appartengono tutti a un insieme \(B\), si dice che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\) (o che \(A\) è contenuto in \(B\)): questo si indica col simbolo \(A \subset B\). Per indicare che \(x\) non appartiene a un insieme \(A\), o che \(A\) non è un sottoinsieme di \(B\), si mette una barra sul simbolo corrispondente: \(x \not\in A\), \(A \not\subset B\).
Alcuni insiemi numerici hanno dei simboli speciali \(\mathbb{N}\) per i numeri naturali, \(\mathbb{Z}\) per i numeri interi, \(\mathbb{Q}\) per i razionali, \(\mathbb{R}\) per i numeri reali.
Considera l'insieme \(\mathbb{N}\) dei numeri naturali, l'insieme \(P\) dei numeri pari positivi, e l'elemento \(3\). Allora: \(P \subset \mathbb{N}\) perché tutti i numeri pari positivi sono numeri naturali.
\(3 \not\in P\) perché \(3\) è dispari.
\(3 \in \mathbb{N}\): è un numero naturale.
Un insieme si può rappresentare per elencazione mettendo tra parentesi graffe i suoi elementi, così: \(A = \{1, 3, 5, 7\}\). Un'altra rappresentazione possibile è quella per caratteristica, in cui si mette tra le graffe la proprietà che lo definisce, così: \(S =\{ x : x \text{ è un giorno della settimana }\}\)I
In generale, dire che un elemento appartiene a un insieme, o che un elemento ha una certa proprietà, è una proposizione logica. Questa proposizione è vera se un elemento appartiene all'insieme e falsa se non gli appartiene.
Considera di nuovo l'insieme dei giorni della settimana \(S\).
Sabato è un giorno della settimana è vera: quindi "sabato" appartiene all'insieme \(S\).
Dicembre è un giorno della settimana è falsa: quindi "dicembre" non appartiene ad \(S\).
Dati due insiemi, puoi definire la loro unione e la loro intersezione. L'unione di due insiemi \(A\) e \(B\) si indica con \(A \cup B\) ed è l'insieme che contiene tutti gli elementi di \(A\) e tutti gli elementi di \(B\). L'intersezione di due insiemi \(A\) e \(B\) si indica con il simbolo \(A \cap B\) : è l'insieme che contiene tutti gli elementi comuni ad \(A\) e \(B\).
Considera gli insiemi \(A = \{1, 3, 5, 7\}\) e \(B = \{2, 3, 4\}\).
L'unione è l'insieme \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\).
L'intersezione è l'insieme \(A \cap B = \{3 \} \).
In molte aree della matematica capita di fare esercizi fissando un insieme che fa da ambiente in cui si svolge tutta la "storia". Succede ad esempio quando risolvi equazioni: ti interessa risolverle nei numeri reali \(\mathbb{R}\). Oppure in probabilità: tutti gli eventi sono sottoinsiemi dello spazio campionario \(\Omega\). Questo insieme allora viene chiamato insieme universo: tutti gli insiemi che consideri nell'esercizio sono contenuti in esso. Dato un insieme universo \(U\) e un suo sottoinsieme \(A \subset U\), il complementare di \(A\) si indica con \(A^c\) o \(\bar{A}\) ed è formato da tutti gli elementi di \(U\) che non sono in \(A\).
Considera come insieme universo i numeri naturali \(\mathbb{N}\).
Allora i numeri pari sono l'insieme \(P: \{ x: x \text{ è divisibile per } 2\}. Il complementare è formato da tutti i numeri che non sono divisibili per 2: è l'insieme dei numeri dispari.
Dal punto di vista logico, se \(A\) è l'insieme degli elementi con la proprietà \(p\), allora \(A^c\) contiene tutti gli elementi di \(U\) con la proprietà \(\neg p\).
Diagrammi di Venn
Un altro modo di descrivere un insieme è tramite i diagrammi di Venn, o di Eulero-Venn. L'idea è molto semplice: rappresentare un insieme con una linea circolare chiusa. Gli elementi si possono indicare come punti: all'esterno dell'insieme se non gli appartengono, all'interno se gli appartengono. Nel disegno, l'elemento \(x\) appartiene ad \(A\) mentre \(y\) no.
Fig 1. Insiemi ed elementi.
Con i diagrammi di Venn si possono indicare facilmente unione e intersezione di insiemi: l'intersezione è la parte in cui i due insiemi si sovrappongono, mentre l'unione corrisponde alla parte coperta da almeno uno dei due insiemi.
Fig. 2. Intersezione e unione.
Oppure si può rappresentare il complementare di un insieme all'interno di un insieme universo: in questi casi, l'insieme universo si rappresenta con un rettangolo in modo da identificarlo meglio.
Fig. 3. Complementare di un insieme
I diagrammi di Venn si possono usare anche per rappresentare gli eventi in probabilità, e in generale per rappresentare le relazioni tra proposizioni in un ragionamento logico. Un insieme è l'elenco di elementi per cui è vera una certa proposizione \(p\): i connettivi logici \(\wedge\) e \(\vee\) si possono rappresentare con le operazioni insiemistiche \(\cap\) e \(\cup\). Allo stesso modo, fissato un insieme universo in cui puoi fare l'operazione di complementare, \(\neg p\) corrisponde all'operazione di complementare.
Considera
- \(A\) l'insieme delle persone che hanno la proprietà \(p\) di avere i capelli rossi.
- \(B\) l'insieme delle persone che hanno la proprietà \(q\) di avere gli occhi scuri.
Allora l'unione \(A \cup B\) è l'insieme delle persone per cui è vera \(p \vee q\): persone con occhi scuri o capelli rossi. L'intersezione \(A \cap B\) è l'insieme delle persone per cui è vera \(p \wedge q\): persone con occhi scuri e capelli rossi.
Può sembrare strana l'idea di rappresentare un ragionamento con un diagramma: si può fare un esempio con il ragionamento iniziale di questo articolo.
Tutti i gatti sono mortali.
Socrate è mortale.
Socrate è un gatto.
Le prime due frasi sono le premesse: supponiamo siano vere. Allora vuol dire che l'insieme dei gatti è un sottoinsieme di quello dei mortali. La seconda frase dice che Socrate è un elemento dell'insieme dei mortali. Ma dobbiamo metterlo dentro l'insieme dei gatti oppure no? Entrambe le rappresentazioni sono coerenti con le premesse: non è corretto, quindi, dedurre che vada bene solo quella in cui Socrate è un gatto. Il ragionamento quindi non è valido.
Fig. 4. Socrate è un mortale. Non sappiamo se è un gatto o no.
Logica matematica - Key takeaways
- La logica studia la correttezza dei ragionamenti, sia dal punto di vista della sintassi (la struttura del ragionamento) che della semantica (la verità delle affermazioni).
- Un ragionamento è fatto di varie proposizioni: si tratta di affermazioni a cui si può assegnare un valore vero o falso.
- Le proposizioni si possono combinare con connettivi logici come la negazione \(\neg\), la congiunzione \(\wedge\) o la disgiunzione \(\vee\).
- Un ragionamento è fatto di premesse, le ipotesi che supponiamo essere vere, e conclusioni, le affermazioni che vogliamo dimostrare.
- Le regole di deduzione logica permettono di fare ragionamenti validi: ragionamenti che permettono di arrivare a conclusioni vere a patto che siano vere anche le premesse.
- Una contraddizione è un'affermazione sempre falsa, mentre una tautologia è un'affermazione sempre vera. Un ragionamento non è valido se permette di dimostrare contraddizioni.
- Un insieme è una collezione di oggetti di cui si può dire precisamente se appartengono all'insieme oppure no. Un oggetto dell'insieme è chiamato elemento.
- L'unione di due insiemi \(A\) e \(B\) si indica con \(A \cup B\) ed è l'insieme che contiene tutti gli elementi di \(A\) e tutti gli elementi di \(B\).
- L'intersezione di due insiemi \(A\) e \(B\) si indica con il simbolo \(A \cap B\) : è l'insieme che contiene tutti gli elementi comuni ad \(A\) e \(B\).
- Se gli elementi di un insieme \(A\) sono tutti anche elementi di un insieme \(B\) si dice che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\).
- Un insieme si può rappresentare graficamente tramite i diagrammi di Venn. Questi diagrammi sono utili anche nel fare ragionamenti logici, perché permettono di rappresentare le relazioni tra i concetti.
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