L'algebra elementare è la branca della matematica che rappresenta problemi e grandezze tramite formule, usando lettere come \(x, y\) o \(z\). Le lettere servono per rappresentare delle grandezze di valore sconosciuto (incognite) oppure con un valore che può cambiare (variabili).
Si parla di algebra elementare per distinguerla dall'algebra astratta che viene studiata nella ricerca matematica. Anche l'algebra astratta ha applicazioni quotidiane in molti campi, tra cui la crittografia.
L’algebra nacque durante l’alto medioevo: i primi trattati importanti furono scritti da Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, uno scrittore, scienziato, astronomo, geografo e matematico, nato nel 780 d.C. a Baghdad. Il termine “algebra” deriva dalla parola araba al-jabr, che significa "la riunione di parti rotte". Dal nome di al-Khwarizmi deriva invece la parola algoritmo, che indica una sequenza di istruzioni per risolvere un problema.
Nelle espressioni ed equazioni algebriche, lettere e numeri sono legati da operazioni matematiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le soluzioni ai problemi si trovano manipolando le equazioni tramite alcune regole che consentono di ottenere un risultato corretto. Capire queste regole è fondamentale per riuscire a risolvere i problemi!
Una lettera può avere vari ruoli a seconda del problema. Può essere un’incognita, se rappresenta una grandezza sconosciuta da trovare: ad esempio, se il problema è un’equazione, bisogna trovare il valore, o i valori, che la rendono vera. Oppure può essere una variabile se è un valore che può cambiare, e se da questo valore dipendono altre grandezze. Se invece non è noto il valore, ma questo viene fissato in anticipo, allora rappresenta un parametro.
Aritmetica e algebra
Per fare i primi passi nel mondo dell’algebra è fondamentale avere chiaro le proprietà delle operazioni tra i numeri relativi.
Quando si lavora con i numeri relativi, ovvero i numeri con segno \(+\) o \(-\), conviene studiare l’addizione e la sottrazione come se fossero un’unica operazione: la somma algebrica. L’idea è che una sottrazione come \(2-3\) possa essere vista come la somma tra i due numeri relativi \(2\) e \(-3\): \(2-3 = 2+(-3)\).
Allo stesso modo, la divisione può essere vista come una moltiplicazione per il reciproco di un numero:
$$2:3 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
$$4:\left(\frac{4}{3}\right)= 4 \cdot \frac{3}{4}=3$$
il reciproco di un numero \(a\) è \(\frac{1}{a}\).
Se il numero in questione è una frazione \(\frac{a}{b}\), il reciproco si ottiene invertendo numeratore e denominatore: \(\frac{b}{a}\).
Attenzione però: non si può dividere un numero per zero! Zero è l’unico numero che non ha un reciproco.
Sia l’addizione che la moltiplicazione godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa; inoltre si possono invertire sfruttando i numeri opposti e reciproci. Nella prossima tabella puoi vedere una lista di queste proprietà, espresse in formule e in parole, con un esempio.
Proprietà | Formula | Spiegazione | Esempio |
Proprietà commutativa dell’addizione | \(a+b=b+a\) | Cambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia. | \(2+3=3+2\) |
Proprietà associativa dell’addizione | \((a+b)+c= a+(b+c)\) | Cambiando il modo con cui si raggruppano addizioni consecutive, la somma non cambia. | \( 2+(4+3)=(2+4)+3\) Infatti: \( 2+(4+3)=2+7=9\) \((2+4)+3=6+3=9\) |
Proprietà commutativa della moltiplicazione | \(a\cdot b = b\cdot a\) | Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia. | \(2\cdot 3 = 3\cdot 2\) |
Proprietà associativa della moltiplicazione | \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\) | Cambiando il modo con cui si raggruppano più moltiplicazioni consecutive, il prodotto non cambia. | \((2\cdot 3)\cdot 4=2 \cdot (3 \cdot 4)\) Infatti \((2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4 =24 \) e \(2 \cdot (3 \cdot 4)= 2 \cdot 12 = 24\) |
Proprietà distributiva | \(a \cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c\) | Moltiplicare un numero per la somma di due addendi è equivalente a moltiplicare il primo numero per ciascuno dei due addendi e poi sommare i risultati. | \(2 \cdot (3+5) =2\cdot 3 + 2 \cdot 5\) Infatti: \(2 \cdot (3+5) = 2\cdot 8 = 16\) e \(2\cdot 3 + 2 \cdot 5 = 6+10=16\) |
Elemento neutro dell’addizione | \(a+0=a\) | Sommare 0 a un numero qualunque dà come risultato quello stesso numero. | \( 3+0=3\) |
Elemento neutro della moltiplicazione | \(a\cdot 1 = a\) | Moltiplicare per 1 un numero qualunque dà come risultato quello stesso numero. | \(3\cdot 1 =3\) |
Opposto | \( a + (-a) = 0\) | L’opposto (o inverso additivo) di un numero è quello che, sommato al numero stesso, dà zero. | \(4+(-4)=0\) -4 è l’opposto di 4. In generale, l’opposto di un numero è quello stesso numero cambiato di segno. |
Reciproco | \(a \cdot a^{-1} = a \cdot \frac{1}{a} =1 \) | Il reciproco (o inverso moltiplicativo) di un numero è quello che, moltiplicato per il numero stesso, dà uno. | \(3\cdot 3^{-1}=3 \cdot \frac{1}{3} = 1\) Il reciproco di un numero si può indicare sia con \(a^{-1} \) che con \(\frac{1}{a}\) |
Questi esempi ti sembreranno banali: è importante però avere chiaro il significato delle varie proprietà, perché sostituendo le lettere ai numeri le cose diventano meno scontate. Usare la proprietà distributiva è fondamentale per moltiplicare espressioni in cui compaiono le lettere!
Proprietà delle potenze
Nelle espressioni algebriche compaiono non solo addizione e moltiplicazione, ma anche potenze, applicate sia su lettere che su numeri.
L'elevamento a potenza di un numero naturale \(a\) si definisce come una moltiplicazione ripetuta: \(a\) elevato alla \(n\) significa $$a^n=a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \text{, dove } a \text{ è ripetuto } n \text{ volte.}$$
La lettera \(a\) si chiama base e la lettera \(n\) esponente della potenza.
Le proprietà delle potenze derivano proprio da questo essere una moltiplicazione ripetuta: fissati dei numeri \(a, b, c \in \mathbb{R}\), si ha:
\[ \begin{align} a^b \cdot a^c & = a^{b+c} \\ a^b : a^c & = a^{b-c} \\ (a^b)^c &= a^{b\cdot c} \\(a\cdot b)^c & =a^c \cdot b^c \end{align} \]
Si fissa inoltre il valore \(a^0=1\) per \(a \neq 0\). Il valore \(0^0\) invece non è definito.
Queste proprietà consentono di estendere la definizione di elevamento a potenza ai numeri interi, razionali e infine a tutto l’insieme dei numeri reali; sono indispensabili per definire e studiare esponenziali e logaritmi.
La maggior parte dei problemi che dovrai risolvere in algebra sono equazioni algebriche e calcoli con espressioni algebriche. Attenzione a non confondere i termini “espressione” ed “equazione”: hanno significati diversi!
Espressioni
Un’espressione algebrica è un calcolo che contiene una combinazione di operazioni tra numeri e lettere, che in questo caso assumono il ruolo di variabili. È possibile sostituire a ogni lettera un certo valore, e calcolare il risultato dell’espressione algebrica.
Questa è un’espressione algebrica: \[3x+2[12x-(4+x)] \] Puoi calcolarne il valore per uno specifico valore della variabile, ad esempio, per \(x=2\):
\[ \begin{align}3x+2 \left[ 12x - \left(4+x \right) \right] &= \\3\cdot 2 +2 \left[ 12\cdot 2 - \left(4+2 \right) \right] &= \\6+2 \left[ 24-6 \right] &= \\6+2\cdot 18 &= \\6+36 & =42\end{align} \]
Con una scelta diversa della variabile, l'espressione assumerà un valore diverso.
Un’espressione non si può “risolvere” perché non c’è nessun valore fisso che deve assumere. Gli esercizi che riguardano le espressioni algebriche hanno l’obiettivo di farti fare pratica con i calcoli letterali e le proprietà delle operazioni. In questo tipo di esercizi, quindi, dovrai solo svolgere i calcoli uno dietro l’altro per arrivare a un risultato, che potrà contenere lettere oppure no.
Equazioni
Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche: prendendo l’esempio precedente, aggiungendo un segno di uguale e un'altra espressione, otteniamo un'equazione algebrica. In questo caso, l’espressione deve essere uguale a un certo valore. C’è una sola incognita, la \(x\): sostituendo un numero al posto di \(x\) non è detto che l’equazione sia verificata.
$$3x+2[12x-(4+x)] = -8 $$
L'equazione è verificata se \(x=0\): sostituendo questo valore, si ottiene
$$3\cdot 0 + 2[12\cdot 0 - (4 + 0)=2(-4)=-8$$
Per \(x=1\) invece la parte sinistra diventa:
$$3\cdot 1 + 2[12\cdot 1 - (4 + 1)=3+2[12-4]=3+2\cdot8=3+16=19$$
Dato che questo valore è diverso da \(-8\), l'equazione non è verificata: vale
$$19 \neq -8$$
Naturalmente non si trova il valore \(x=0\) provando dei numeri a caso: negli articoli sulle equazioni imparerai come trovarlo!
Un’equazione è un problema da risolvere: l’obiettivo è trovare il valore della lettera, o i valori, che la rendono vera. La lettera, quindi, in questo caso è un’incognita. Per risolvere un'equazione bisogna innanzitutto capire di che tipo è: una volta capito come classificarla ci sono vari metodi per risolverla.
Quali argomenti si studiano in algebra?
L'algebra elementare che si studia alle scuole secondarie di secondo grado copre vari argomenti. Qui su Studysmarter i principali sono i seguenti:
Algebra - Key takeaways
L'algebra è una branca della matematica che utilizza lettere per rappresentare valori sconosciuti che possono cambiare.
L'algebra sfrutta le proprietà delle operazioni aritmetiche per svolgere calcoli con grandezze sconosciute (incognite). Addizione e moltiplicazione hanno entrambe la proprietà associativa e quella commutativa; sono importanti anche la proprietà distributiva e il fatto che le operazioni possono essere invertite sfruttando opposti e reciproci.
Una potenza è un’espressione del tipo \(a^n\) dove \(a\) si chiama base e \(n\) esponente. Anche le potenze hanno delle proprietà utili nel calcolo.
Un’espressione algebrica è una sequenza di calcoli che contengono numeri e lettere. I calcoli si svolgono sfruttando le proprietà delle operazioni.
Un’equazione algebrica è l’uguaglianza tra due espressioni algebriche: un’equazione rappresenta un problema matematico, perché non è valida per qualunque valore possibile delle incognite contenute. Risolvere l’equazione significa trovare i valori dell’incognita che la rendono vera.
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