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Algebra

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L'algebra elementare è la branca della matematica che rappresenta problemi e grandezze tramite formule, usando lettere come \(x, y\) o \(z\). Le lettere servono per rappresentare delle grandezze di valore sconosciuto (incognite) oppure con un valore che può cambiare (variabili).

Si parla di algebra elementare per distinguerla dall'algebra astratta che viene studiata nella ricerca matematica. Anche l'algebra astratta ha applicazioni quotidiane in molti campi, tra cui la crittografia.

L’algebra nacque durante l’alto medioevo: i primi trattati importanti furono scritti da Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, uno scrittore, scienziato, astronomo, geografo e matematico, nato nel 780 d.C. a Baghdad. Il termine “algebra” deriva dalla parola araba al-jabr, che significa "la riunione di parti rotte". Dal nome di al-Khwarizmi deriva invece la parola algoritmo, che indica una sequenza di istruzioni per risolvere un problema.

Nelle espressioni ed equazioni algebriche, lettere e numeri sono legati da operazioni matematiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le soluzioni ai problemi si trovano manipolando le equazioni tramite alcune regole che consentono di ottenere un risultato corretto. Capire queste regole è fondamentale per riuscire a risolvere i problemi!

Una lettera può avere vari ruoli a seconda del problema. Può essere un’incognita, se rappresenta una grandezza sconosciuta da trovare: ad esempio, se il problema è un’equazione, bisogna trovare il valore, o i valori, che la rendono vera. Oppure può essere una variabile se è un valore che può cambiare, e se da questo valore dipendono altre grandezze. Se invece non è noto il valore, ma questo viene fissato in anticipo, allora rappresenta un parametro.

Aritmetica e algebra

Per fare i primi passi nel mondo dell’algebra è fondamentale avere chiaro le proprietà delle operazioni tra i numeri relativi.

Quando si lavora con i numeri relativi, ovvero i numeri con segno \(+\) o \(-\), conviene studiare l’addizione e la sottrazione come se fossero un’unica operazione: la somma algebrica. L’idea è che una sottrazione come \(2-3\) possa essere vista come la somma tra i due numeri relativi \(2\) e \(-3\): \(2-3 = 2+(-3)\).

Allo stesso modo, la divisione può essere vista come una moltiplicazione per il reciproco di un numero:

$$2:3 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

$$4:\left(\frac{4}{3}\right)= 4 \cdot \frac{3}{4}=3$$

il reciproco di un numero \(a\) è \(\frac{1}{a}\).

Se il numero in questione è una frazione \(\frac{a}{b}\), il reciproco si ottiene invertendo numeratore e denominatore: \(\frac{b}{a}\).

Attenzione però: non si può dividere un numero per zero! Zero è l’unico numero che non ha un reciproco.

Sia l’addizione che la moltiplicazione godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa; inoltre si possono invertire sfruttando i numeri opposti e reciproci. Nella prossima tabella puoi vedere una lista di queste proprietà, espresse in formule e in parole, con un esempio.

Proprietà

Formula

Spiegazione

Esempio

Proprietà commutativa dell’addizione

\(a+b=b+a\)

Cambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

\(2+3=3+2\)

Proprietà associativa dell’addizione

\((a+b)+c= a+(b+c)\)

Cambiando il modo con cui si raggruppano addizioni consecutive, la somma non cambia.

\( 2+(4+3)=(2+4)+3\)

Infatti:

\( 2+(4+3)=2+7=9\)

\((2+4)+3=6+3=9\)

Proprietà commutativa della moltiplicazione

\(a\cdot b = b\cdot a\)

Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.

\(2\cdot 3 = 3\cdot 2\)

Proprietà associativa della moltiplicazione

\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)

Cambiando il modo con cui si raggruppano più moltiplicazioni consecutive, il prodotto non cambia.

\((2\cdot 3)\cdot 4=2 \cdot (3 \cdot 4)\)

Infatti

\((2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4 =24 \)

e

\(2 \cdot (3 \cdot 4)= 2 \cdot 12 = 24\)

Proprietà distributiva

\(a \cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c\)

Moltiplicare un numero per la somma di due addendi è equivalente a moltiplicare il primo numero per ciascuno dei due addendi e poi sommare i risultati.

\(2 \cdot (3+5) =2\cdot 3 + 2 \cdot 5\)

Infatti:

\(2 \cdot (3+5) = 2\cdot 8 = 16\)

e

\(2\cdot 3 + 2 \cdot 5 = 6+10=16\)

Elemento neutro dell’addizione

\(a+0=a\)

Sommare 0 a un numero qualunque dà come risultato quello stesso numero.

\( 3+0=3\)

Elemento neutro della moltiplicazione

\(a\cdot 1 = a\)

Moltiplicare per 1 un numero qualunque dà come risultato quello stesso numero.

\(3\cdot 1 =3\)

Opposto

\( a + (-a) = 0\)

L’opposto (o inverso additivo) di un numero è quello che, sommato al numero stesso, dà zero.

\(4+(-4)=0\)

-4 è l’opposto di 4. In generale, l’opposto di un numero è quello stesso numero cambiato di segno.

Reciproco

\(a \cdot a^{-1} = a \cdot \frac{1}{a} =1 \)

Il reciproco (o inverso moltiplicativo) di un numero è quello che, moltiplicato per il numero stesso, dà uno.

\(3\cdot 3^{-1}=3 \cdot \frac{1}{3} = 1\)

Il reciproco di un numero si può indicare sia con \(a^{-1} \) che con \(\frac{1}{a}\)

Questi esempi ti sembreranno banali: è importante però avere chiaro il significato delle varie proprietà, perché sostituendo le lettere ai numeri le cose diventano meno scontate. Usare la proprietà distributiva è fondamentale per moltiplicare espressioni in cui compaiono le lettere!

Proprietà delle potenze

Nelle espressioni algebriche compaiono non solo addizione e moltiplicazione, ma anche potenze, applicate sia su lettere che su numeri.

L'elevamento a potenza di un numero naturale \(a\) si definisce come una moltiplicazione ripetuta: \(a\) elevato alla \(n\) significa $$a^n=a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \text{, dove } a \text{ è ripetuto } n \text{ volte.}$$

La lettera \(a\) si chiama base e la lettera \(n\) esponente della potenza.

Le proprietà delle potenze derivano proprio da questo essere una moltiplicazione ripetuta: fissati dei numeri \(a, b, c \in \mathbb{R}\), si ha:

\[ \begin{align} a^b \cdot a^c & = a^{b+c} \\ a^b : a^c & = a^{b-c} \\ (a^b)^c &= a^{b\cdot c} \\(a\cdot b)^c & =a^c \cdot b^c \end{align} \]

Si fissa inoltre il valore \(a^0=1\) per \(a \neq 0\). Il valore \(0^0\) invece non è definito.

Queste proprietà consentono di estendere la definizione di elevamento a potenza ai numeri interi, razionali e infine a tutto l’insieme dei numeri reali; sono indispensabili per definire e studiare esponenziali e logaritmi.

La maggior parte dei problemi che dovrai risolvere in algebra sono equazioni algebriche e calcoli con espressioni algebriche. Attenzione a non confondere i termini “espressione” ed “equazione”: hanno significati diversi!

Espressioni

Un’espressione algebrica è un calcolo che contiene una combinazione di operazioni tra numeri e lettere, che in questo caso assumono il ruolo di variabili. È possibile sostituire a ogni lettera un certo valore, e calcolare il risultato dell’espressione algebrica.

Questa è un’espressione algebrica: \[3x+2[12x-(4+x)] \] Puoi calcolarne il valore per uno specifico valore della variabile, ad esempio, per \(x=2\):

\[ \begin{align}3x+2 \left[ 12x - \left(4+x \right) \right] &= \\3\cdot 2 +2 \left[ 12\cdot 2 - \left(4+2 \right) \right] &= \\6+2 \left[ 24-6 \right] &= \\6+2\cdot 18 &= \\6+36 & =42\end{align} \]

Con una scelta diversa della variabile, l'espressione assumerà un valore diverso.

Un’espressione non si può “risolvere” perché non c’è nessun valore fisso che deve assumere. Gli esercizi che riguardano le espressioni algebriche hanno l’obiettivo di farti fare pratica con i calcoli letterali e le proprietà delle operazioni. In questo tipo di esercizi, quindi, dovrai solo svolgere i calcoli uno dietro l’altro per arrivare a un risultato, che potrà contenere lettere oppure no.

Equazioni

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche: prendendo l’esempio precedente, aggiungendo un segno di uguale e un'altra espressione, otteniamo un'equazione algebrica. In questo caso, l’espressione deve essere uguale a un certo valore. C’è una sola incognita, la \(x\): sostituendo un numero al posto di \(x\) non è detto che l’equazione sia verificata.

$$3x+2[12x-(4+x)] = -8 $$

L'equazione è verificata se \(x=0\): sostituendo questo valore, si ottiene

$$3\cdot 0 + 2[12\cdot 0 - (4 + 0)=2(-4)=-8$$

Per \(x=1\) invece la parte sinistra diventa:

$$3\cdot 1 + 2[12\cdot 1 - (4 + 1)=3+2[12-4]=3+2\cdot8=3+16=19$$

Dato che questo valore è diverso da \(-8\), l'equazione non è verificata: vale

$$19 \neq -8$$

Naturalmente non si trova il valore \(x=0\) provando dei numeri a caso: negli articoli sulle equazioni imparerai come trovarlo!

Un’equazione è un problema da risolvere: l’obiettivo è trovare il valore della lettera, o i valori, che la rendono vera. La lettera, quindi, in questo caso è un’incognita. Per risolvere un'equazione bisogna innanzitutto capire di che tipo è: una volta capito come classificarla ci sono vari metodi per risolverla.

Quali argomenti si studiano in algebra?

L'algebra elementare che si studia alle scuole secondarie di secondo grado copre vari argomenti. Qui su Studysmarter i principali sono i seguenti:

Algebra - Key takeaways

  • L'algebra è una branca della matematica che utilizza lettere per rappresentare valori sconosciuti che possono cambiare.

  • L'algebra sfrutta le proprietà delle operazioni aritmetiche per svolgere calcoli con grandezze sconosciute (incognite). Addizione e moltiplicazione hanno entrambe la proprietà associativa e quella commutativa; sono importanti anche la proprietà distributiva e il fatto che le operazioni possono essere invertite sfruttando opposti e reciproci.

  • Una potenza è un’espressione del tipo \(a^n\) dove \(a\) si chiama base e \(n\) esponente. Anche le potenze hanno delle proprietà utili nel calcolo.

  • Un’espressione algebrica è una sequenza di calcoli che contengono numeri e lettere. I calcoli si svolgono sfruttando le proprietà delle operazioni.

  • Un’equazione algebrica è l’uguaglianza tra due espressioni algebriche: un’equazione rappresenta un problema matematico, perché non è valida per qualunque valore possibile delle incognite contenute. Risolvere l’equazione significa trovare i valori dell’incognita che la rendono vera.

Domande frequenti riguardo Algebra

L’algebra è una disciplina matematica molto ampia. La parte che si studia a scuola è chiamata dalla comunità matematica algebra elementare e studia le proprietà generali delle operazioni aritmetiche. Chi fa ricerca in matematica invece studia l’algebra astratta, che si occupa di definire nuove strutture con le loro operazioni. Anche l’algebra astratta ha applicazioni quotidiane, ad esempio nella crittografia.

L’aritmetica studia le operazioni tra numeri noti: l’algebra sfrutta l’aritmetica per fare calcoli con incognite, quelle quantità sconosciute che indichiamo con la \(x\) e altre lettere. Per farlo bisogna studiare le proprietà delle operazioni. L’algebra è una sorta di evoluzione dell'aritmetica.

La somma algebrica è un’operazione unica che mette assieme addizione e sottrazione. Tra i numeri relativi, quelli con il segno (+ o -), la sottrazione si comporta come un’addizione con un numero di segno opposto: non serve più, quindi, definire due operazioni diverse. Le due operazioni possono essere considerate come una sola: la somma algebrica.

Le espressioni algebriche si svolgono applicando le proprietà delle operazioni tra numeri: stavolta le operazioni riguardano monomi o polinomi. Le operazioni si svolgono nello stesso ordine delle espressioni numeriche. Se si fa una somma algebrica, come prima cosa si riducono i monomi simili. Un prodotto tra polinomi, o tra monomi e polinomi, si calcola applicando la proprietà distributiva.

Le espressioni si svolgono rispettando delle regole di precedenza: in Italia si segue la convenzione PEMDAS. Ogni lettera simboleggia un’operazione: prima di tutto si svolgono i calcoli tra parentesi (P), poi le potenze (la E sta per esponenziali), quindi moltiplicazione, divisione, addizione e sottrazione.

Quiz Finale Algebra

Quale proprietà consente di moltiplicare tra loro i polinomi?

La proprietà distributiva

Quale operazione va svolta per prima nell'espressione seguente? 2+[(1+2)²-4]:5

1+2, perché è tra parentesi.

Vero o falso: la somma algebrica è un’operazione unica che mette assieme addizione e sottrazione.

Vero

Cosa dice la proprietà associativa dell’addizione?

(a+b)+c=a+(b+c)

Cambiando il modo con cui si raggruppano addizioni consecutive, la somma non cambia.

Cosa dice la proprietà commutativa della moltiplicazione?

a∙b=b∙a

Cambiando l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

Quali valori può assumere una funzione esponenziale?

Tutti i valori positivi: \(a^x>0\) per ogni \(a>0, a \neq 1, x \in \mathbb{R}\).

Per definire una funzione esponenziale devo scegliere una base \(a\) in modo che \(a<0\) o \(a>1\). Vero o falso?

Falso

Quali valori può assumere un logaritmo?

Un logaritmo può dare come risultato qualunque valore reale.

I logaritmi sono definiti su tutti i numeri reali?

No: si possono calcolare solamente i logaritmi dei numeri positivi.

È possibile definire un logaritmo con base -1. Vero o falso?

Falso

Il numero di Nepero è minore di 5. Vero o falso?

Vero: e=2,71828182845904523536...

Calcola le soluzioni dell'equazione \(x^2+6x+9\)

Ci sono due possibilità: una è usare la formula risolutiva. L'altra è riconoscere che si tratta di un quadrato perfetto: \(x^2+6x+9 =(x+3)^2\). In entrambi i casi si determina la soluzione \(x =-3\).

Calcola le soluzioni dell'equazione \(x^2-10x+25\)

Si può risolvere notando che è un quadrato perfetto: \(x^2-10x+25 = (x-5)^2\). In alternativa, anche usando la formula si trova la soluzione \(x=5\).

Risolvi l'equazione \(81x^2-36x+4=0\)

Si può notare che è un quadrato perfetto: \(81x^2-36x+4 = (9x-2)^2\). Da \(9x-2=0\) si trova la soluzione \(x=\frac{2}{9}\). Anche la formula dà la stessa soluzione, ma con numeri più grandi i calcoli sono più laboriosi!

Che tipo di equazione è \(x^2-9=0\)?

È un'equazione pura: manca il termine di primo grado \(bx\).

Che tipo di equazione è \(2x^2-x=0\)?

È un'equazione spuria: manca il termine noto \(c\) (il "numero senza \(x\)").

Quanto vale il discriminante \(\Delta\)?

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

Quante soluzioni ha un'equazione di secondo grado in cui risulta \(\Delta > 0\)?

Due soluzioni distinte.

Quante soluzioni ha un'equazione di secondo grado in cui risulta \(\Delta =0\)?

Una soluzione (due soluzioni coincidenti)

Quante soluzioni ha un'equazione di secondo grado in cui risulta \(\Delta <0\)?

Nessuna soluzione

Un'equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte. Vero o falso?

Vero

In un'equazione pura una delle due soluzioni è sempre \(0\). Vero o falso?

Falso

60%

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