Nei calcoli fa comodo usare una serie di trucchetti: questo succede anche quando i polinomi sostituiscono i numeri. I prodotti di polinomi vanno fatti tramite la proprietà distributiva, quindi i calcoli sono lunghi e scomodi. L'idea, allora, è quella di riuscire a imparare i risultati dei prodotti più comuni e usati, esattamente come si studiano le tabelline per fare le moltiplicazioni tra interi. Questi prodotti si chiamano prodotti notevoli.
I prodotti notevoli si studiano per vari motivi: uno è svolgere più rapidamente alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi. Un secondo motivo è che sono importanti per fattorizzare (o scomporre) i polinomi: cioè, per scrivere un polinomio come prodotto di altri di grado minore. Una terza applicazione è al calcolo veloce: in alcuni casi, i prodotti notevoli aiutano a fare rapidamente moltiplicazioni o fattorizzare dei numeri interi.
La parte che risulta più difficile negli esercizi è quella di identificare i vari termini. Nelle formule dei prodotti notevoli, i termini che compaiono sono \(a, b, c, x,\) mentre negli esercizi i termini sono monomi. È importante capire che ogni lettera che compare nelle formule può rappresentare uno qualunque di questi termini: \(a, b, c, x\) vanno sostituite con il monomio che compare nell'espressione da calcolare.
Più in generale, puoi sostituire nei prodotti notevoli qualunque altra espressione algebrica: monomi, polinomi, radicali, e non solo! Quando studierai le funzioni, ti capiterà di sostituire anche termini più complicati. Come tutti i trucchetti, i prodotti notevoli risultano utili quando meno te lo aspetti!
Quadrato di un binomio
Un binomio è un polinomio con due termini: ad esempio, \(2a-x\) o \(3xy+12\) sono due binomi. Per calcolare il quadrato del binomio \(a+b\) devi applicare la proprietà distributiva. \begin{align} (a+b)^2& = (a+b)(a+b) \\ &=a^2+ab+ab+b^2 \\ &= a^2 +2ab +b^2\end{align} A parole, hai ottenuto il quadrato dei due termini \(a^2\) e \(b^2\), più il prodotto dei due termini \(ab\) moltiplicato per due: \(2ab\) viene chiamato il doppio prodotto.
Dimenticare di scrivere anche il doppio prodotto è l'errore più comune quando si calcola il quadrato di un binomio. Cerca di fare attenzione a scriverlo sempre: è un termine importante quanto gli altri due!
Ora, \(a\) e \(b\) sono delle variabili: lettere che possono rappresentare dei numeri, ma anche altri monomi. Non ha importanza cosa ci sia al posto di \(a\) e \(b\): il quadrato seguirà comunque lo sviluppo dato dalla formula. \[ (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2\] La formula è valida anche nel caso in cui i termini \(a\) e \(b\) abbiano segno negativo.
Calcola \((3xy-a^2)^2\).
Soluzione.
Sostituisci \(3xy\) al posto di \(a\) e \(-a^2\) al posto di \(b\). \begin{align} (3xy-a^2)^2 & = (3xy)^2 + 2(3xy)(-a^2) + (-a^2)^2\\ &= 9x^2y^2 - 6xya^2+a^4 \end{align}
Se il binomio è una differenza invece che una somma, la formula funziona lo stesso: cambia solo il segno del doppio prodotto!
\[ (a-b)^2 = (a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+(-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\]
Differenza di quadrati
Moltiplicare la somma di due numeri (o monomi) per la loro differenza dà un risultato con una forma particolare. Prova a svolgere il prodotto applicando la propretà distributiva. \[(a+b)(a-b) = a^2+ab-ab+b^2=a^2-b^2\] Nota come stavolta non ci sia nessun doppio prodotto: c'è solo la differenza dei quadrati dei due termini. La formula da ricordare è \[\mathbfit{(a+b)(a-b) =a^2-b^2}\] In questo caso, non ha nessuna importanza quali siano i segni di \(a\) e \(b\): il risultato è lo stesso, ci sarà sempre un quadrato positivo e uno negativo. Vediamo un esempio!
Sviluppa il prodotto \( (-3x+ay)(-3x-ay)\).
Soluzione.
Applica la formula:
\[(-3x+ay)(-3x-ay)= (-3x)^2-(ay)^2=9x^2-a^2y^2\] Se non ti convince il calcolo puoi rifarlo con la proprietà distributiva: nota che così hai lo stesso risultato, ma con un calcolo più lungo. \begin{align}& (-3x+ay)(-3x-ay) = \\ = &(-3x)(-3x)+(-3x)(-ay) + ay(-3x) -(ay)^2 \\ = & 9x^2 +3axy-3axy-a^2y^2 \\ =&9x^2-a^2y^2 \end{align}
È importantissimo ricordare una cosa: la differenza di quadrati si può scomporre, ma la somma di quadrati no! Un polinomio del tipo \(a^2+b^2\), in generale, non si può ottenere come prodotto di due polinomi di primo grado.
Quadrato di un trinomio
Cosa succede se devi fare un quadrato, e i termini tra parentesi non sono due ma tre? Viene una formula molto simile a quella del quadrato di binomio! \begin{align} &(a+b+c)(a+b+c) = \\ = &a^2+ab+ac +ab+b^2+bc +ac+bc+c^2 \\ =& a^2+b^2+c^2 +2ab +2ac +2bc \end{align}Il risultato sono tre quadrati e tre doppi prodotti diversi: \[\mathbfit{(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2ab +2ac +2bc}\] Questa formula è meno comune del quadrato del binomio: può essere che nel tuo programma scolastico non ci sia.
Sviluppa il quadrato \( (1-3ab+x^3)^2\).
Soluzione.
Applica la formula: devi ottenere i tre quadrati dei termini, più tre doppi prodotti.
\begin{align} & (1-3ab+x^3)^2 = \\ = & 1^2+(-3ab)^2+(x^3)^2 + 2\cdot 1 (-3ab) + 2 \cdot 1 \cdot x^3 +2(-3ab)x^3 = \\ = & 1+9a^2b^2 +x^6 -6ab +2x^3 -6abx^3 \end{align}
Cubo di un binomio
Non c'è due senza tre: vale anche per gli esponenti. Così come si eleva un binomio al quadrato, si può elevare anche al cubo: per calcolare il risultato sfruttiamo il quadrato del binomio. \begin{align} (a+b)^3 & = (a+b)^2(a+b) \\ =&(a^2+2ab+b^2)(a+b) \\ =& a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 \\ =& a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{align} La formula che devi ricordare è \[ \mathbfit{ (a+b)^3 =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\] Per ricordarla, può essere utile notare come \(a\) diminuisce di grado tra il primo e l'ultimo termine, mentre \(b\) aumenta il grado. Nei prodotti misti (cioè i monomi che contengono sia \(a\) che \(b\)) il coefficiente è sempre \(3\).
Sviluppa \((ax^2-3y)^3\).
Soluzione.
Sostituisci i termini nella formula, facendo attenzione ai calcoli. Nei primi esercizi di questo tipo è meglio fare tutti i passaggi: ti aiuta a capire meglio cosa stai facendo. Salta i passaggi solo se hai una certa sicurezza di avere capito! \begin{align} & (ax^2-3y)^3 = \\ = & (ax^2)^3 + 3(ax^2)^2(-3y) +3 (ax^2)(-3y)^2 +(-3y)^3 = \\ =& a^3x^6 - 9y(a^2x^4)+3ax^2(9y^2) -27y^3 \\ =& a^3x^6-9a^2x^4y+27ax^2y^2-27y^3 \end{align}
Come vedi, anche usando la formula i calcoli non sono scontati. Pensa come sarebbe lungo il calcolo senza usarla!
Trinomio caratteristico
Questo prodotto si usa negli esercizi in cui ti viene dato un polinomio e devi scomporlo in fattori. Si tratta di un polinomio di secondo grado in una sola variabile, di solito \(x\). L'idea si capisce meglio se moltiplichi tra loro due termini \(x+a\) e \(x+b\): qui \(a\) e \(b\) sono numeri.\[ (x+a)(x+b) = x^2 +ax +bx +ab = x^2+ (a+b)x +ab\]
Se devi scomporre, però, non vedrai questo: quello che troverai sarà un polinomio del tipo \[x^2+sx+p\], e dovrai trovare tu i due fattori \((x+a), (x+b)\). Per farlo, devi trovare due numeri \(a, b\) che hanno come somma \(s\) e come prodotto \(p\). Vediamo il metodo con un esempio.
Scomponi in fattori \(x^2-7x-8\).
Soluzione.
Devi trovare due numeri \(a,b\) che abbiano somma \(a+b=-7\) e prodotto \(ab=-8\). Conviene partire dal prodotto, perché ci sono meno possibilità: puoi ottenere \(-8\) in quattro modi \[ -8 =-1\cdot 8 =1\cdot(-8) =- 2 \cdot 4=2 \cdot (-4).\] Prova a sommare queste coppie di numeri per vedere quale dà somma \(-7\):
- \(-1+8=7 \) quindi \(1, 8\) non va bene.
- \(1+(-8) =-7\): perfetto!
I numeri che stavi cercando sono \(1\) e \(-8\): il trinomio quindi si dovrebbe scomporre come prodotto di \((x+1)\) e \((x+(-8))=(x-8)\). \[x^2-7x-8 = (x+1)(x-8)\]Nei primi esercizi ti conviene fare la verifica: svolgi il prodotto applicando la proprietà distributiva per controllare che funzioni tutto. \[ (x+1)(x-8) = x^2+x-8x-8 = x^2-7x-8\]
Il procedimento per scomporre il trinomio \(x^2+sx+p\) è questo:
- Trova le coppie di numeri \(a,b\) che hanno come prodotto \(a\cdot b =p\). Fai attenzione ai segni! Se \(p\) è positivo, \(a, b\) devono avere lo stesso segno. Se \(p\) è negativo, i segni dei due numeri devono essere diversi.
- Prova a sommare, una per una, le coppie ottenute, finché non trovi \(a+b =s\).
- A questo punto il trinomio si scompone in \(x^2+sx+p = (x+a)(x+b)\).
Somma di due cubi
Hai già visto che la somma di quadrati non si può scomporre come prodotto di due termini. E se invece dei quadrati hai dei cubi? In questo caso, le cose vanno meglio: vale la formula seguente.
\[ \mathbfit{ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}\]
Come prima cosa, conviene assicurarsi che funziona: sviluppa il prodotto a destra usando la proprietà distributiva.
\[ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\] La somma a destra ha dei termini opposti che si cancellano a vicenda: restano solamente i due cubi. \[a^3-\cancel{a^2b}+\cancel{ab^2}+\cancel{a^2b}-\cancel{ab^2}+b^3 = a^3+b^3\]
Differenza di due cubi
Cosa succede se c'è una differenza invece di una somma? In questo caso, si può adattare la formula appena vista sfruttando il fatto che \(-b^3 =(-b)^3\).
\begin{align} a^3 - b^3 = & a^3 + (-b)^3 \\ = & (a+(-b))(a^2-a(-b)+(-b)^2) \\ =& (a-b)(a^2+ab+b^2)\end{align}
Quindi c'è una nuova formula, leggermente diversa da quella sopra: fai molta attenzione a ricordare dove va il \(-\) e dove il \(+\) , perché è molto facile confonderle!
\[ \mathbfit{ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}\]
Scomponi \(a^3x^6-27\).
Soluzione.
Potresti non vedere subito i cubi, ma guardando con attenzione puoi notare che \(27=3^3\) e \(x^6=(x^2)^3\) (e quindi \(a^3x^6 = (ax^2)^3\)). Quindi puoi applicare la formula per la differenza di cubi:
\begin{align} a^3x^6-27& =(ax^2)^3-3^3 \\ &=(ax^2-3)((ax^2)^2+a\cdot 3 +3^2) \\ & = (ax^2-3)(a^2x^4+3a+9)\end{align}
Esercizi con prodotti notevoli
L'esercizio più classico che si fa per imparare i prodotti notevoli sono le espressioni. In alcuni tipi di esercizi devi semplicemente svolgere le moltiplicazioni: in genere i calcoli sono fatti in modo che la maggior parte dei termini si semplifichino.
Svolgi l'espressione seguente.
\[ (a-b)^3 +3b[(a+b)^2-b(b+3a)-2]+b(b+3)^2. \]
Soluzione.
Comincia sviluppando le potenze. Nota come nella parentesi quadra alcuni termini si semplifichino già al secondo passaggio..
\begin{align} & a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 +3b[a^2+2ab+b^2-b^2-3ab-3]+b(b^2+6b+9) \\ & = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 +3b[a^2 - ab-3]+b^3+6b^2+9b \\ & = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 +3a^2b - 3ab^2-9b+b^3+6b^2+9b\end{align} A questo punto tantissimi termini si cancellano a vicenda, e il risultato finale ne ha solo due.
\begin{align} & a^3 \cancel{-3a^2b}+3ab^2\cancel{-b^3} +\cancel{3a^2b} - 3ab^2-9b+\cancel{b^3}+6b^2+9b \\ & = a^3\cancel{+3ab^2} \cancel{ - 3ab^2} \cancel{-9b}+6b^2 \cancel{+9b} \\ & = \mathbfit{a^3+6b^2}\end{align}
In altri tipi di esercizi potresti dover usare i prodotti notevoli sia per fare moltiplicazioni che per scomporre.
Semplifica la seguente espressione.
\[ (a^2x+2y)(a^2x-2y) +(2y-3)^2+12y+6a^2x\]
Soluzione.
Come prima cosa svolgi i prodotti: il primo dà una differenza di quadrati, mentre il secondo è un quadrato di binomio. \begin{align} & (a^2x+2y)(a^2x-2y) +(2y-3)^2+12y+6a^2x \\ &= a^4x^2-4y^2+4y^2 -12y +9+12y+6a^2x \\ & = a^4x^2 +9 +6a^2x \tag{\(\star\)} \end{align} A questo punto non ci sono più termini opposti che si cancellano, però ti conviene controllare se non puoi scrivere il polinomio in una forma più semplice. Il primo termine ha tutti gli esponenti pari, quindi è un quadrato: \(a^4x^2 = (a^2x)^2\). Anche \(9\) è il quadrato di \(3\): se l'ultimo termine è il doppio prodotto, potresti avere un quadrato di binomio! Devi moltiplicare \[2 \cdot a^2x \cdot 3 = 6 a^2 x.\] Dato che questo è proprio l'ultimo termine rimasto, il polinomio in \((\star)\) è un quadrato di binomio:
\[ a^4x^2 +9 +6a^2x = (a^2x+3)^2. \] La consegna dell'esercizio chiede di semplificare, ovvero scrivere nella forma più semplice possibile: il risultato finale quindi è \[ \mathbfit{(a^2x+3)^2}. \]
Ci sono anche esercizi in cui i polinomi non compaiono affatto, ma i prodotti notevoli aiutano parecchio!
Calcola \(21 \cdot 19\).
Soluzione.
Ma come, due numeri? Ti sembrerà strano, ma i prodotti notevoli funzionano anche per moltiplicare numeri! In questo caso puoi notare che \(21=20+1\) e \(19=20-1\). Quindi la moltiplicazione diventa:
\[ 21 \cdot 19 = (20+1)(20-1).\]
Il risultato, quindi, è la differenza dei quadrati di \(20\) e \(1\). Dato che \(20=2\cdot 10\), il suo quadrato si può calcolare rapidamente come \(20^2=2^2\cdot 10^2 =4 \cdot 100 =400\). Quindi il calcolo diventa:
\[ 21 \cdot 19 = (20+1)(20-1)= 20^2 - 1^2 = 400-1=399.\]
Fare il calcolo così è sicuramente meno faticoso che non calcolare la moltiplicazione in colonna!
Scomposizione di polinomi
I prodotti notevoli si usano principalmente per scomporre polinomi, ovvero per scriverli come prodotto di polinomi di grado più piccolo.
Scomponi in fattori il polinomio \((x^2-6)^2-x^2\).
Soluzione.
Forse il primo istinto che hai è quello di sviluppare i calcoli: in questo caso però devi ricordare che l'obiettivo è scomporre in fattori, non moltiplicare. Osserva attentamente la struttura: se chiami \(A\) il fattore \(x^2-6\), allora il tuo polinomio diventa \(A^2-x^2\). Una differenza di quadrati: si scompone come \((A-x)(A+x)\).
\[(x^2-6)^2-x^2 = [(x^2-6+x)(x^2- 6-x)] \tag{\(\diamond\) }\] Ora hai due polinomi di primo grado. Non hanno una struttura riconoscibile, quindi l'unica possibilità è scomporli come trinomio caratteristico. Riscrivili con i termini ordinati in base al grado. \[[(x^2+x-6)(x^2-x- 6)] \] LI due trinomi hanno lo stesso prodotto: questo è molto comodo, perché significa meno calcoli. I modi in cui puoi ottenere \(-6\) come prodotti di interi sono:
- \( 1 \cdot (-6)\): la somma è \(1-6=-5\), quindi questa coppia non va bene per nessuno dei due trinomi.
- \(- 1 \cdot 6\): la somma è \(-1+6=5\), anche questo tentativo fallisce.
- \(-2 \cdot 3\): la somma è \(-2+3=1\) che è il coefficiente di \(x\) nel primo trinomio. Il primo è risolto.
- \(2 \cdot (-3)\): la somma fa \(2+(-3)=-1\), il coefficiente di \(x\) nel secondo trinomio. Risolto anche questo!
Quindi il primo trinomio si scompone come \[x^2+x-6=(x+3)(x-2),\] mentre il secondo è \[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\] A questo punto, torniamo a \((\diamond)\) e sostituiamo.
\[(x^2+x-6)(x^2-x- 6) =(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)\] L'esercizio è risolto!
In molti esercizi però non devi usare solamente i prodotti notevoli, ma anche le scomposizioni basate su raccoglimenti totali (qui su StudySmarter trovi questa tecnica nell'articolo sui polinomi). Quando non è possibile, conviene sfruttare un'altra tecnica: il raccoglimento parziale.
Il raccoglimento parziale si può usare quando hai un quadrinomio, ovvero un polinomio con quattro termini. L'idea è raccogliere un fattore tra i primi due termini e un secondo fattore tra gli ultimi due. Ad esempio, per scomporre
\[ ax^2-3a -2bx^2-6bx\] puoi raccogliere \(a\) dai primi due termini e \(b\) dagli ultimi due. \[ a(x^2-3) -2b(x^2-3)\] A questo punto puoi raccogliere tutto il polinomio tra parentesi: è un fattore comune a entrambi i termini. \[ a(x^2-3) -2b(x^2-3) =(x^2-3)(a-2b)\] Se non compare uno stesso fattore, il raccoglimento parziale non funziona: quindi bisogna trovare un'altra strategia.
In generale, conviene seguire questo ordine per scomporre un polinomio:
Prova a fare un raccoglimento totale.
Se i termini sono 4, prova un raccoglimento parziale.
Altrimenti, cerca di riconoscere un prodotto notevole.
Scomponi \( axy^3+by^3-axy-by\).
Soluzione.
Come prima cosa puoi notare che tutti i termini hanno una \(y\), quindi puoi raccoglierla:
\begin{align} &axy^3+by^3-axy-by= \\ & = y(axy^2+by^2-ax-b)\end{align} A questo punto prova un raccoglimento parziale. I primi due termini contengono una \(y^2\), mentre gli ultimi due hanno entrambi segno \(-\), quindi puoi raccogliere \(-1\). \begin{align} & y(axy^2+by^2-ax-b) = \\ & = y[y^2(ax+b)-1(ax+b)]\end{align} C'è uno stesso polinomio che moltiplica entrambi i termini: quindi puoi raccoglierlo. \begin{align} & y[y^2(ax+b)-1(ax+b)]= \\ & = y[(ax+b)(y^2-1)] \end{align} L'ultima cosa che puoi provare a fare è riconoscere un prodotto notevole: in questo caso, \(y^2-1\) è una differenza di quadrati. \begin{align} & y[(ax+b)(y^2-1)]= \\ &= y(ax+b)(y-1)(y+1)\end{align} A questo punto hai finito: gli altri fattori non si possono scomporre più di così!
Prodotti notevoli - Punti chiave
- I prodotti notevoli sono alcuni casi particolari di prodotti tra polinomi. Dato che si trovano molto spesso, conviene imparare le formule per riuscire a svolgere i calcoli più rapidamente. Si studiano sia per moltiplicare polinomi, sia per scomporli in fattori.
- Nello studiare i prodotti notevoli si trovano delle formule con dei termini come \(a, b, c, x \dots\) Nel fare gli esercizi bisogna tenere a mente che questi termini possono rappresentare sia numeri, sia altri monomi, sia interi polinomi. La parte fondamentale dell'esercizio è identificare i ruoli dei vari termini
- Il quadrato di binomio \((a+b)^2\) dà come risultato la somma dei quadrati dei due termini, più il doppio prodotto di essi: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).
- Moltiplicando tra loro la somma e la differenza di due termini, si ottiene la differenza dei loro quadrati: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
- Il quadrato di un trinomio dà come risultato la somma dei quadrati dei tre termini, più i tre doppi prodotti: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\).
- Il cubo di un binomio si sviluppa in quattro termini: \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
- Quando si ha un polinomio di secondo grado, si può cercare di capire se è un trinomio caratteristico: \(x^2+sx+p\) si può scomporre come \((x+a)(x+b)\) dove \(a+b=s\) e \(a\cdot b=p\).
- La somma di due cubi si può scomporre come prodotto tra un polinomio di primo grado e uno di secondo: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\). Se invece della somma si ha la differenza di cubi bisogna scambiare tra di loro due segni: \(a^3-b^3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
- Per scomporre un polinomio, conviene usare prima il raccoglimento totale, poi quello parziale, infine cercare di riconoscere prodotti notevoli.
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