La matematica si occupa di risolvere problemi. In molti casi, questi problemi consistono nel trovare un certo valore di una quantità sconosciuta, chiamata incognita e indicata con la lettera \(x\). In ogni problema ci sono indizi che esprimono la relazione dell'incognita con altre grandezze. Questi indizi vengono scritti sotto forma di equazioni: per risolvere il problema, quindi, devi risolvere l'equazione.
Le equazioni non si usano solamente per risolvere problemi, ma anche per rappresentare degli oggetti. La geometria analitica descrive oggetti geometrici sfruttando delle equazioni: questo tipo di descrizione ha applicazioni anche nella grafica e nelle rappresentazioni virtuali.
Imparare a maneggiare e a risolvere le equazioni è fondamentale per proseguire nel mondo delle conoscenze matematiche! Ma cosa vuol dire, quindi, risolvere un'equazione?
Equazioni: definizione
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni matematiche contententi almeno un'incognita.
Risolvere un'equazione significa trovare i valori dell'incognita, o delle incognite, per cui l'equazione è valida: questi valori sono detti soluzioni dell'equazione.
Ci possono essere più incognite diverse in un'equazione: per cominciare, conviene capire come risolvere quelle in una sola incognita! In genere la lettera preferita per indicare quest'incognita è \(x\), ma potresti trovare anche equazioni in cui viene indicata con \(y\), \(z\) o \(t\).
Un'equazione, quindi, è fatta da tre parti: due espressioni algebriche, e un segno di uguaglianza tra queste. La parte a sinistra dell'uguale si chiama primo membro dell'equazione, e la parte a destra si chiama secondo membro. Ad esempio:\[ \definecolor{s1}{RGB}{250,50,115} \definecolor{s2}{RGB}{0,220,180} \textcolor{s1}{\text{ primo membro} \rightarrow x+1}= \textcolor{s2}{2(1-x)-3 \leftarrow \text{secondo membro}} \]
Puoi pensare a un'equazione come a una "frase matematica": stai dicendo che una certa quantità è uguale a un'altra quantità. Questa frase può essere vera o falsa, a seconda dei valori dell'incognita \(x\). Se, per un certo valore di \(x\), l'equazione è verificata, quel valore è una soluzione; altrimenti non lo è.
Ora, diciamo che vuoi controllare se, ad esempio, \(1\) o \(-1\) sono soluzioni dell'equazione. L'idea è sostituirli al posto di \(x\) e fare una verifica: per farlo allora cominci a sostituire \(1\) al posto di \(x\) al primo membro.
\[x+1=1+1=2 = 2(1-1)-3 \ldots\]
A questo punto sorge un po' di confusione. Ci sono un sacco di segni di uguaglianza: quali provengono dall'equazione e quali sono dovuti alla sostituzione?
Per evitare di fare confusione con i segni di uguaglianza, si fissano alcune convenzioni. Quando fai calcoli con un'equazione o la risolvi, scrivi i vari passaggi su più righe consecutive, in cui modifichi l'equazione riga per riga. In questo modo il primo membro cambia sempre "in verticale" da una riga all'altra, e così anche il secondo; l'uguaglianza che li mette in relazione resta al centro. Ad esempio, così:
\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} x+2 &=2(1-x)-3 \\\text{ sostituisco } x=1: \hspace{1 cm} \textcolor{stsm}{\downarrow} \hspace{0.2 cm} & \hspace{1 cm} \textcolor{stsm}{\downarrow} \\ 1+2&= 2(1-1)-3 \\\textcolor{stsm}{\downarrow} \hspace{0.1 cm} & \hspace{0.9cm} \textcolor{stsm}{\downarrow} \\ 3 & =-3\end{align}
Da questi passaggi è uscita un'uguaglianza falsa: \(3\) non è uguale a \(-3\). Questo significa che \(1\) non è soluzione dell'equazione.
Per risolvere le equazioni si sfruttano alcune proprietà delle uguaglianze che vengono chiamate principi di equivalenza.
Primo e secondo principio di equivalenza
Un'equazione è una sorta di "frase matematica" in cui si dice che primo e secondo membro sono uguali. Bene: allora sicuramente se aggiungi uno stesso numero a entrambi, continueranno ad essere uguali, no? Questo è il significato concreto del primo principio di equivalenza.
Primo principio di equivalenza
Se si aggiunge o si sottrae uno stesso numero a entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
"Equivalente" è un termine che si usa moltissimo in matematica con significati leggermente diversi. In questo caso, due equazioni sono equivalenti se hanno la stessa soluzione.
Il primo principio di equivalenza, nella pratica, si applica sommando e sottraendo dei numeri "convenienti". Ad esempio considera l'equazione \[5x+3=-2\] In questo caso conviene sottrarre 3 a entrambi i membri: \[\definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x+3 \textcolor{stsm}{-3} =-2\textcolor{stsm}{-3} \] Svolgendo i calcoli hai \[5x =-5\] Il primo principio ti assicura che quest'equazione è equivalente a quella di partenza: ha la stessa soluzione.
In genere il primo principio di equivalenza viene condensato nella regola del trasporto. Invece che sommare o sottrarre uno stesso numero, svolgendo il passaggio così:
\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x+3 & =-2 \\ 5x+3 \textcolor{stsm}{-3} &=-2\textcolor{stsm}{-3} \end{align}
si sposta semplicemente il numero cambiandolo di segno, così:
\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x+3 & =-2 \\ 5x &=-2\textcolor{stsm}{-3} \end{align}
Regola del trasporto
Se si sposta qualunque termine da un membro all'altro di un'equazione cambiandone il segno, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Se il primo principio di equivalenza riguarda addizione e sottrazione, puoi immaginare che il secondo principio riguardi le altre due operazioni fondamentali: moltiplicazione e divisione.
Secondo principio di equivalenza
Se si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero, diverso da zero, entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Anche in questo caso, l'idea è semplicemente che, se due quantità sono uguali, allora moltiplicandoli o dividendoli per uno stesso numero resteranno uguali. Nota che è importante il fatto di non moltiplicare o dividere per zero! Puoi proseguire con l'equazione di prima: da \(5x=-5\) puoi dividere per \(5\) ottenendo un'equazione equivalente.
\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x& =-5 \\\frac{5x}{\textcolor{stsm}{5}} & = \frac{-5}{\textcolor{stsm}{5}} \\x &=-1 \end{align}
A questo punto hai isolato la \(x\): l'ultima riga ti dice che l'equazione è verificata solo se \(x\) vale \(-1\).
Equazioni impossibili e indeterminate
Finora abbiamo sempre dato per scontato che le soluzioni esistano. Se ci pensi, però, non è affatto scontato! Come già accennato prima, si può pensare a un'equazione come a una specie di "frase" matematica. Nulla ci garantisce che questa frase sia vera solamente per un certo numero \(x\): potrebbe anche essere vera per tutti, oppure potrebbe essere sempre falsa.
Ad esempio, considera l'equazione \[x+1=x-1\] Sfruttando la regola del trasporto, puoi portare le \(x\) a sinistra e i numeri a destra:\[x-x = -1-1\] Svolgendo i calcoli, ti trovi in una situazione strana: \(x-x\) fa \(0\), e quindi le \(x\) spariscono dall'equazione. Resta un'uguaglianza tra due numeri:\[0 =-2\] Ovviamente \(0\) non è uguale a \(2\): quest'equazione è sempre falsa. Non esistono valori di \(x\) per cui può risultare vera, quindi si dice che è impossibile.
Un'altro modo di interpretarla, che viene spesso spiegato alle scuole medie, è questo: \(x-x =-1-1\) si può vedere anche come \[0\cdot x =-2\]Ora per trovare \(x\) dovresti dividere per zero e questo non si può fare: non c'è nessuna soluzione.
Può succedere anche un'altra cosa, però: ad esempio, considera l'equazione \[ x +2(x-1) =3x-2\] I passaggi da svolgere di seguito sono: \begin{align} x+2x-2 &=3x-2 & \text{ sommo i termini simili}\\ 3x-2&=3x-2 & \text{ eseguo il trasporto}\\ 3x-3x &=-2+2 &\text{ sommo i termini simili}\\ 0&=0 \end{align} Membro destro e sinistro dell'equazione sono identici: non ha importanza quale sia il valore di \(x\), i due termini saranno uguali in ogni caso! In questo caso l'equazione si dice indeterminata: hai infinite soluzioni. Tornando all'idea dell'equazione come "frase matematica", un'equazione indeterminata corrisponde a un'identità: una frase sempre vera.
Equazioni impossibili e indeterminate vengono spesso confuse, ma sono situazioni opposte tra loro. Per distinguerle, concentrati sull'uguaglianza che ottieni una volta svolti tutti i passaggi: se risulta un'uguaglianza sempre falsa (come \(1=0\)) l'equazione è impossibile, se risulta sempre vera (come \(0=0\)) è indeterminata.
Riassumendo, si possono dare queste definizioni:
Un'equazione è impossibile se non ha soluzioni.
Un'equazione è indeterminata se ha infinite soluzioni.
Equazioni di primo grado
A questo punto hai tutti gli strumenti per risolvere un'equazione di primo grado. Il termine "primo grado" riguarda i polinomi che compaiono al primo e secondo membro: significa che nell'equazione tutte le incognite sono elevate a esponente 1. In poche parole, compaiono solo \(x\) e non termini come \(x^2, x^3\) e così via.
Ricorda che quando l'esponente è 1 non si scrive. \(x=x^1\).
L'idea è sfruttare i principi di equivalenza per arrivare a un'equazione in forma normale. In queste equazioni, al primo membro c'è un numero \(a\) moltiplicato per \(x\); al secondo membro un altro numero \(b\). Traducendo in formule, l'equazione in forma normale è del tipo \[ax=b \] con \(a, b \in \mathbb{R} , \; a \neq 0 \). La soluzione in questi casi è \( x = \frac{b}{a} \)
Risolvi:
\begin{align} x+2 &=2(1-x)-3 \end{align}
Primo passaggio: svolgi i calcoli
\begin{align} x+2 &=2 \cdot 1 -2\cdot x-3 \\ x+2 & =2-2x-3 \\x+2 & = -2x-1 \end{align} Ora sfrutta il primo principio di equivalenza, nella forma della regola del trasporto: porta i numeri a destra e le \(x\) a sinistra cambiando segno.
\begin{align} x+2 & = -2x-1 \\ x+2x & = -1-2 \\ 3x & = -3 \end{align} Ora puoi applicare il secondo principio di equivalenza, dividendo per \(3\) e trovando la soluzione:
\begin{align} 3x & = -3 \\ \frac{3x}{3} &= \frac{-3}{3} \\ x & =-1 \end{align}
In generale, se un'equazione di primo grado non è impossibile o indeterminata, ha un'unica soluzione.
Tipi di equazioni
Le equazioni di primo grado sono il primo gradino di una lunga scala: salendo ogni gradino, impari a risolvere equazioni sempre più complicate. Le equazioni vengono classificate in modo diverso a seconda di quali funzioni ed espressioni matematiche contengono l'incognita \(x\): ecco una lista con alcuni tipi.
- Equazioni di secondo grado, in cui l'incognita è elevata al quadrato: ad esempio, \(2x^2-3x+1=0\).
- Equazioni parametriche, in cui l'incognita dipende da un parametro non noto. In altre parole, in queste equazioni compare una seconda lettera che viene pensata come fissa.
- Equazioni fratte, in cui la \(x\) compare al denominatore di una frazione.
- Equazioni irrazionali, dove un'espressione contenente la \(x\) si trova sotto radice.
- Equazioni logaritmiche, in cui l'incognita si trova nell'argomento o nella base di un logaritmo.
- Equazioni esponenziali, che hanno la \(x\) nell'esponente di qualche potenza.
- Equazioni goniometriche, che contengono l'incognita all'interno di una qualche funzione goniometrica come seno, coseno o tangente.
La lista potrebbe continuare: i problemi matematici non hanno limite di difficoltà!
Ogni equazione va risolta in modo diverso a seconda delle caratteristiche delle funzioni che vi compaiono. Restano sempre validi, però, i principi di equivalenza: cerca di capirli bene! Sono strumenti fondamentali che possono aiutarti a risolvere qualunque tipo di equazione.
Equazioni - Punti chiave
- Un problema matematico si riduce spesso a risolvere un'equazione: un'uguaglianza tra due quantità, in cui compare una grandezza incognita indicata dalla lettera \(x\).
- In un'equazione, l'espressione a sinistra dell'uguale si chiama primo membro, quella a destra si chiama secondo membro. I valori che rendono vera l'uguaglianza si chiamano soluzioni dell'equazione.
- Per controllare che un numero sia soluzione di un'equazione, si fa una verifica: si inserisce il numero al posto della \(x\) e si fanno i calcoli previsti. Se l'equazione risulta vera, allora il numero considerato è una soluzione.
- Due equazioni sono equivalenti se hanno la stessa soluzione. I principi di equivalenza consentono di trasformare equazioni in altre equivalenti ma più semplici da risolvere.
- Il primo principio di equivalenza dice che, aggiungendo o sottraendo uno stesso numero a entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
- Il secondo principio di equivalenza dice che, moltiplicando o dividendo per uno stesso numero, diverso da zero, entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
- Un'equazione è impossibile se non ha soluzioni; è indeterminata se ha infinite soluzioni.
- Un'equazione è di primo grado se l'incognita \(x\) compare solo elevata all'esponente 1. Per risolvere un'equazione di primo grado basta sfruttare i principi di equivalenza per portarla alla forma normale \(ax=b\) e poi, per \(a\neq 0\) si trova la soluzione \(x=\frac{b}{a}\).
Spiegazioni Accedi ai contenuti gratuiti creati dai nostri esperti.
Esami Preparati al meglio per la Scuola e l'Università.
Magazine Trucchi e consigli per studiare meglio e in poco tempo.
