Equazioni

La Matematica si occupa di risolvere problemi. In molti casi, questi problemi consistono nel trovare un certo valore di una quantità sconosciuta, chiamata incognita e indicata con la lettera \(x\). In ogni problema ci sono indizi che esprimono la relazione dell'incognita con altre grandezze. Questi indizi vengono scritti sotto forma di equazioni: per risolvere il problema, quindi, devi risolvere l'equazione.

Le equazioni non si usano solamente per risolvere problemi, ma anche per rappresentare degli oggetti. La Geometria analitica descrive oggetti geometrici sfruttando delle equazioni: questo tipo di descrizione ha applicazioni anche nella grafica e nelle rappresentazioni virtuali.

Imparare a maneggiare e a risolvere le equazioni è fondamentale per proseguire nel mondo delle conoscenze matematiche! Ma cosa vuol dire, quindi, risolvere un'equazione?

Equazioni: definizione

Ci possono essere più incognite diverse in un'equazione: per cominciare, conviene capire come risolvere quelle in una sola incognita! In genere la lettera preferita per indicare quest'incognita è \(x\), ma potresti trovare anche equazioni in cui viene indicata con \(y\), \(z\) o \(t\).

Un'equazione, quindi, è fatta da tre parti: due espressioni algebriche, e un segno di uguaglianza tra queste. La parte a sinistra dell'uguale si chiama primo membro dell'equazione, e la parte a destra si chiama secondo membro. Ad esempio:\[ \definecolor{s1}{RGB}{250,50,115} \definecolor{s2}{RGB}{0,220,180} \textcolor{s1}{\text{ primo membro} \rightarrow x+1}= \textcolor{s2}{2(1-x)-3 \leftarrow \text{secondo membro}} \]

Puoi pensare a un'equazione come a una "frase matematica": stai dicendo che una certa quantità è uguale a un'altra quantità. Questa frase può essere vera o falsa, a seconda dei valori dell'incognita \(x\). Se, per un certo valore di \(x\), l'equazione è verificata, quel valore è una soluzione; altrimenti non lo è.

Ora, diciamo che vuoi controllare se, ad esempio, \(1\) o \(-1\) sono soluzioni dell'equazione. L'idea è sostituirli al posto di \(x\) e fare una verifica: per farlo allora cominci a sostituire \(1\) al posto di \(x\) al primo membro.

\[x+1=1+1=2 = 2(1-1)-3 \ldots\]

A questo punto sorge un po' di confusione. Ci sono un sacco di segni di uguaglianza: quali provengono dall'equazione e quali sono dovuti alla sostituzione?

Per evitare di fare confusione con i segni di uguaglianza, si fissano alcune convenzioni. Quando fai calcoli con un'equazione o la risolvi, scrivi i vari passaggi su più righe consecutive, in cui modifichi l'equazione riga per riga. In questo modo il primo membro cambia sempre "in verticale" da una riga all'altra, e così anche il secondo; l'uguaglianza che li mette in relazione resta al centro. Ad esempio, così:

\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} x+2 &=2(1-x)-3 \\\text{ sostituisco } x=1: \hspace{1 cm} \textcolor{stsm}{\downarrow} \hspace{0.2 cm} & \hspace{1 cm} \textcolor{stsm}{\downarrow} \\ 1+2&= 2(1-1)-3 \\\textcolor{stsm}{\downarrow} \hspace{0.1 cm} & \hspace{0.9cm} \textcolor{stsm}{\downarrow} \\ 3 & =-3\end{align}

Da questi passaggi è uscita un'uguaglianza falsa: \(3\) non è uguale a \(-3\). Questo significa che \(1\) non è soluzione dell'equazione.

Per risolvere le equazioni si sfruttano alcune proprietà delle uguaglianze che vengono chiamate principi di equivalenza.

Primo e secondo principio di equivalenza

Un'equazione è una sorta di "frase Matematica" in cui si dice che primo e secondo membro sono uguali. Bene: allora sicuramente se aggiungi uno stesso numero a entrambi, continueranno ad essere uguali, no? Questo è il significato concreto del primo principio di equivalenza.

"Equivalente" è un termine che si usa moltissimo in matematica con significati leggermente diversi. In questo caso, due equazioni sono equivalenti se hanno la stessa soluzione.

Il primo principio di equivalenza, nella pratica, si applica sommando e sottraendo dei numeri "convenienti". Ad esempio considera l'equazione \[5x+3=-2\] In questo caso conviene sottrarre 3 a entrambi i membri: \[\definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x+3 \textcolor{stsm}{-3} =-2\textcolor{stsm}{-3} \] Svolgendo i calcoli hai \[5x =-5\] Il primo principio ti assicura che quest'equazione è equivalente a quella di partenza: ha la stessa soluzione.

In genere il primo principio di equivalenza viene condensato nella regola del trasporto. Invece che sommare o sottrarre uno stesso numero, svolgendo il passaggio così:

\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x+3 & =-2 \\ 5x+3 \textcolor{stsm}{-3} &=-2\textcolor{stsm}{-3} \end{align}

si sposta semplicemente il numero cambiandolo di segno, così:

\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x+3 & =-2 \\ 5x &=-2\textcolor{stsm}{-3} \end{align}

Se il primo principio di equivalenza riguarda addizione e sottrazione, puoi immaginare che il secondo principio riguardi le altre due operazioni fondamentali: moltiplicazione e divisione.

Anche in questo caso, l'idea è semplicemente che, se due quantità sono uguali, allora moltiplicandoli o dividendoli per uno stesso numero resteranno uguali. Nota che è importante il fatto di non moltiplicare o dividere per zero! Puoi proseguire con l'equazione di prima: da \(5x=-5\) puoi dividere per \(5\) ottenendo un'equazione equivalente.

\begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} 5x& =-5 \\\frac{5x}{\textcolor{stsm}{5}} & = \frac{-5}{\textcolor{stsm}{5}} \\x &=-1 \end{align}

A questo punto hai isolato la \(x\): l'ultima riga ti dice che l'equazione è verificata solo se \(x\) vale \(-1\).

Equazioni impossibili e indeterminate

Finora abbiamo sempre dato per scontato che le soluzioni esistano. Se ci pensi, però, non è affatto scontato! Come già accennato prima, si può pensare a un'equazione come a una specie di "frase" matematica. Nulla ci garantisce che questa frase sia vera solamente per un certo numero \(x\): potrebbe anche essere vera per tutti, oppure potrebbe essere sempre falsa.

Ad esempio, considera l'equazione \[x+1=x-1\] Sfruttando la regola del trasporto, puoi portare le \(x\) a sinistra e i numeri a destra:\[x-x = -1-1\] Svolgendo i calcoli, ti trovi in una situazione strana: \(x-x\) fa \(0\), e quindi le \(x\) spariscono dall'equazione. Resta un'uguaglianza tra due numeri:\[0 =-2\] Ovviamente \(0\) non è uguale a \(2\): quest'equazione è sempre falsa. Non esistono valori di \(x\) per cui può risultare vera, quindi si dice che è impossibile.

Un'altro modo di interpretarla, che viene spesso spiegato alle scuole medie, è questo: \(x-x =-1-1\) si può vedere anche come \[0\cdot x =-2\]Ora per trovare \(x\) dovresti dividere per zero e questo non si può fare: non c'è nessuna soluzione.

Può succedere anche un'altra cosa, però: ad esempio, considera l'equazione \[ x +2(x-1) =3x-2\] I passaggi da svolgere di seguito sono: \begin{align} x+2x-2 &=3x-2 & \text{ sommo i termini simili}\\ 3x-2&=3x-2 & \text{ eseguo il trasporto}\\ 3x-3x &=-2+2 &\text{ sommo i termini simili}\\ 0&=0 \end{align} Membro destro e sinistro dell'equazione sono identici: non ha importanza quale sia il valore di \(x\), i due termini saranno uguali in ogni caso! In questo caso l'equazione si dice indeterminata: hai infinite soluzioni. Tornando all'idea dell'equazione come "frase matematica", un'equazione indeterminata corrisponde a un'identità: una frase sempre vera.

Riassumendo, si possono dare queste definizioni:

Equazioni di primo grado

A questo punto hai tutti gli strumenti per risolvere un'equazione di primo grado. Il termine "primo grado" riguarda i polinomi che compaiono al primo e secondo membro: significa che nell'equazione tutte le incognite sono elevate a esponente 1. In poche parole, compaiono solo \(x\) e non termini come \(x^2, x^3\) e così via.

L'idea è sfruttare i principi di equivalenza per arrivare a un'equazione in forma normale. In queste equazioni, al primo membro c'è un numero \(a\) moltiplicato per \(x\); al secondo membro un altro numero \(b\). Traducendo in formule, l'equazione in forma normale è del tipo \[ax=b \] con \(a, b \in \mathbb{R} , \; a \neq 0 \). La soluzione in questi casi è \( x = \frac{b}{a} \)

In generale, se un'equazione di primo grado non è impossibile o indeterminata, ha un'unica soluzione.

Tipi di equazioni

Le equazioni di primo grado sono il primo gradino di una lunga scala: salendo ogni gradino, impari a risolvere equazioni sempre più complicate. Le equazioni vengono classificate in modo diverso a seconda di quali funzioni ed espressioni matematiche contengono l'incognita \(x\): ecco una lista con alcuni tipi.

• Equazioni di secondo grado, in cui l'incognita è elevata al quadrato: ad esempio, \(2x^2-3x+1=0\).
• Equazioni parametriche, in cui l'incognita dipende da un parametro non noto. In altre parole, in queste equazioni compare una seconda lettera che viene pensata come fissa.
• Equazioni fratte, in cui la \(x\) compare al denominatore di una frazione.
• Equazioni irrazionali, dove un'espressione contenente la \(x\) si trova sotto radice.
• Equazioni logaritmiche, in cui l'incognita si trova nell'argomento o nella base di un logaritmo.
• Equazioni esponenziali, che hanno la \(x\) nell'esponente di qualche potenza.
• Equazioni goniometriche, che contengono l'incognita all'interno di una qualche funzione goniometrica come seno, coseno o tangente.

La lista potrebbe continuare: i problemi matematici non hanno limite di difficoltà!

Ogni equazione va risolta in modo diverso a seconda delle caratteristiche delle funzioni che vi compaiono. Restano sempre validi, però, i principi di equivalenza: cerca di capirli bene! Sono strumenti fondamentali che possono aiutarti a risolvere qualunque tipo di equazione.