Con l'algebra in terza media cominciano a comparire delle lettere, oltre ai numeri. Questo succede perché spesso ci si trova a dover fare i conti con quantità sconosciute: a ognuna di queste si associa una lettera. Succede ad esempio in geometria: l'area di un rettangolo si calcola sempre moltiplicando la base per l'altezza, seguendo la formula \[A = b\cdot h \] Come vedi, in questa formula ci sono solo lettere: l'area ha un valore espresso da un monomio.
Monomi e polinomi
Un monomio è un'espressione algebrica che consiste in un prodotto tra una numeri e lettere, che possono essere elevate a potenza con un esponente naturale.
Il numero è detto coefficiente o parte numerica del monomio. Il prodotto delle lettere è detto parte letterale.
La somma degli esponenti delle varie lettere si chiama grado del monomio.
Ricorda che, quando un esponente non è scritto esplicitamente, il suo valore è 1.
Vedere qualche esempio ti aiuterà a capire se un'espressione con lettere è un monomio oppure no! Un'ultima cosa importante: come convenzione, i numeri vengono considerati monomi di grado 0.
\(-3a^2xy\) è un monomio: nell'espressione compaiono solo prodotti e gli esponenti sono tutti numeri naturali. La lettera \(a\) è elevata all'esponente \(2\), mentre in \(x\) e \(y\) l'esponente non è indicato esplicitamente: e quindi vale \(1\) per entrambe.
- il coefficiente è \(-3\);
- la parte letterale è \(a^2xy\);
- il grado è la somma degli esponenti delle lettere: \(2+1+1=4\).
\(15xy^{-2}\) NON è un monomio: anche se compaiono solo prodotti, ma l'esponente di \(y\) è \(-2\) che non è un numero naturale. Una scrittura equivalente è \(15\frac{x}{y^2}\): qui vedi chiaramente che c'è una divisione con le lettere al denominatore!
\(\frac{bh}{2}\) è un monomio. Non farti confondere dalla frazione: le lettere non compaiono al denominatore. Entrambe hanno esponente \(1\).
- il coefficiente è \(\frac{1}{2}\);
- la parte letterale è \(bh\);
- il grado vale \(1+1=2\).
\(3xab-5y^4x\) non è un monomio, perché nell'espressione algebrica compare una sottrazione.
Un'espressione con le lettere, quindi, non si chiama "monomio" se le lettere sono sommate tra loro, o se si trovano al denominatore. I monomi si possono sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere tra loro, ma il risultato non è sempre un monomio!
Il caso più facile è quello della moltiplicazione. Il prodotto tra due monomi è sempre un monomio: ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti. Nella parte letterale compaiono tutte le lettere di entrambi i monomi, e l'esponente di ogni lettera è la somma degli esponenti che ha nei due fattori. Ad esempio se moltiplichi \(-3xy^2a\) e \(-\frac{1}{3}xab^2\) ottieni
\[-3xy^2a\cdot \left(-\frac{1}{3}xab^2 \right) = -\cancel3\cdot \left(-\frac{1}{\cancel3}\right) xy^2a \cdot xa^2b^3 = 1 x^{1+1} y^2 a^{1+2} b^2 = x^2y^2a^3b^4 \]
Nota che il grado del prodotto è la somma dei gradi dei fattori.
Così come il prodotto, anche l'elevamento a potenza di un monomio dà come risultato un monomio. L'esponente si applica sia alla parte letterale che a quella numerica sfruttando le proprietà delle potenze:
\[ \left( 2a^2b^3 y\right)^4 = 2^4(a^2)^4(b^3)^4y^4 = 16 a^{2\cdot 4}b^{3\cdot 4}y^4=16a^8b^{12}y^4\]
La divisione tra monomi può dare come risultato un monomio: succede, ad esempio, se dividi \(21m^2nu^3\) per \(-7mu^3\). In questo caso tutte le lettere che compaiono nel divisore si trovano anche nel dividendo, e gli esponenti nel divisore sono minori o uguali di quelli del dividendo: le lettere quindi si semplificano e non ne resta nessuna al denominatore. Il risultato quindi è un monomio.
\[\frac{21m^2nu^3}{-7mu^3} = \frac{\phantom{i}^3 \cancel{21} m^\cancel2n\cancel{u^3}}{-\cancel7\cancel m \cancel{u^3}} = -3mn \]
Non sempre è così: se dividi \(-7mu^3\) per \(21m^2nu^3\) le lettere al denominatore non si semplificano con quelle al numeratore, e il risultato non è un monomio.
\[\frac{-7mu^3}{21m^2nu^3} = \frac{-\cancel7\cancel m \cancel{u^3}}{\phantom{i}^3 \cancel{21} m^\cancel2n\cancel{u^3}} = -\frac{1}{3mn }\]
Un risultato di questo tipo si chiama frazione algebrica.
Succede qualcosa di simile alla divisione con i numeri interi: il quoziente di una divisione tra interi a volte è ancora un numero intero, a volte no. Se il quoziente è intero, uno dei due numeri è divisibile per l'altro: anche tra i monomi si dà la stessa definizione.
Un monomio, detto dividendo, è divisibile per un altro monomio, detto divisore, se esiste un terzo monomio detto quoziente tale che
il prodotto del quoziente per il divisore dà il dividendo.
In questo caso si dice anche che il dividendo è multiplo del divisore.
Un monomio risulta divisibile per un secondo se:
- tutte le lettere del divisore compaiono nel dividendo;
- l'esponente di ogni lettera del divisore è minore dell'esponente della stessa lettera nel dividendo.
Due monomi si chiamano simili se hanno la stessa parte letterale: stesse lettere e stessi esponenti. Ad esempio, \(5ab\) e \(-13ab\) sono monomi simili. In questo caso, puoi sommarli o sottrarli ottenendo un altro monomio: basta sommare o sottrarre i coefficienti, così:
\[5ab+(-13ab)=5ab-13ab=(5-13)ab=-8ab\]
\[5ab-(-13ab)=5ab+13ab=(5+13)ab=18ab\]
Questo procedimento si chiama riduzione dei monomi simili.
Se i monomi non sono simili, invece, la loro addizione e sottrazione non si può ridurre: è il caso di \(4ab^2\) e \(-\frac{7}{2}a^2b\). In questo caso le lettere sono le stesse, \(a\) e \(b\), ma gli esponenti non hanno lo stesso valore in entrambe le espressioni. Quindi la somma risulta \[4ab^2 + (-\frac{7}{2}a^2b) =4ab^2-\frac{7}{2}a^2b\] e la differenza resta \[4ab^2 - (-\frac{7}{2}a^2b) = 4ab^2 + \frac{7}{2}a^2b \]Il risultato in questo caso non è un monomio, ma prende un nuovo nome: si chiama polinomio.
Definizione di polinomio
Un polinomio consiste in somme e differenze tra monomi.
Il grado di un polinomio è il maggiore tra i gradi dei monomi che lo compongono.
Si può specificare il numero dei monomi usando i termini binomio se compaiono esattamente due monomi, trinomio per tre monomi e quadrinomio per quattro monomi. Il termine generale polinomio comprende tutti questi casi, compreso il singolo monomio, e va bene per qualunque numero di termini.
Tra i polinomi si possono svolgere l'addizione e la sottrazione come tra i monomi: si individuano i termini simili, che vengono ridotti, mentre i monomi che non hanno termini simili si scrivono allo stesso modo. È bene fare molti esercizi per imparare a svolgere queste operazioni: con un po' di pratica diventano meno difficili!
Calcola la somma e la differenza tra \( 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5\) e \(x^4 + x^2 + 3x + 2\) e trovane il grado.
Svolgimento
Come prima cosa, puoi notare che il primo polinomio ha grado 3 e il secondo ha grado 4. Con una sola lettera trovare i gradi è più semplice: non serve fare somme!
Per fare il calcolo basta togliere le parentesi e ridurre i termini simili. Una volta che non ci sono più termini simili tra loro, il polinomio è nella sua versione definitiva.
\[ \begin{align} & (3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 )+ (x^4 + x^2 + 3x + 2 ) \\ &= x^4 + 3x^3 + (2x^2 + x^2) + (6x + 3x) + (5+2) \\ &= x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 9x + 7\end{align} \]
Il grado del risultato è il maggiore dei gradi dei monomi che lo compongono: in questo caso è 4.
Nella sottrazione ci vuole un po' più attenzione ai segni. Per calcolare \( 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 - (x^4+x^2+3x+2) \) devi ricordarti che il meno davanti alla parentesi si applica a tutti i termini del polinomio! Puoi svolgere le operazioni mettendo i polinomi in colonna.
\[\begin{array}{ll} &\phantom{x^4}+ 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \,- \\ & x^4 \phantom{ + 13 x^3 } + \phantom{0} x^2 + 3x + 2 = \\ \hline \end{array} \]
Conviene esprimere l'operazione come una somma cambiando segno a tutti i termini del secondo polinomio: a questo punto basta fare le operazioni in colonna.
\[ \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} \begin{array}{ll} &\phantom{-(x^4}+ 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5\, \textcolor{stsm}{+} \\ & \textcolor{stsm}{-} \,x^4 \phantom{+0 1x^3,} \textcolor{stsm}{-} \phantom{1} x^2 \textcolor{stsm}{-} 3x \textcolor{stsm}{-} 2 =\\ \hline & -x^4\; +3x^3 \; + \, x^2 \, + 3x \,+5 \end{array} \]
Anche in questo caso, il grado del risultato è 4.
In generale, il grado della somma e della differenza di due polinomi è il maggiore dei gradi dei due polinomi. In qualche caso, può succedere che i termini di grado maggiore si cancellino: in questo caso, il grado diminuisce.
Calcola la somma tra \(x^4-3x^2a+2a^2+3\) e \(-x^4+3x^2a-2\).
Svolgimento
Togli la parentesi e sposta i termini simili in modo da averli vicini: come vedi, entrambi i termini di grado maggiore dei due polinomi si cancellano a vicenda.
\begin{align}& (x^4-3x^2a+2a^2+3) + (-x^4+3x^2a-2) = \\ & = x^4-3x^2a+2a^2+3 -x^4+3x^2a-2 \\& =x^4 -x^4 -3x^2a+3x^2a +2a^2+3-2 \\& = +2a^2+1 \end{align}
La somma dei due polinomi ha grado 2.
Per moltiplicare tra loro i polinomi è fondamentale sfruttare la proprietà distributiva:
Moltiplicare un numero per la somma di due addendi è equivalente a moltiplicare il primo numero per ciascuno dei due addendi e poi sommare i risultati.
In formule, \(\; a(b+c) = ab+ac\).
Applicata ai polinomi, la proprietà distributiva consente di fare qualunque tipo di moltiplicazione: permette di ridurre tutto a moltiplicazioni monomio per monomio. Vediamola in pratica con un esercizio.
Calcola il prodotto
\[(3xy^2+a)(ax^2-2ay) \]e trovane il grado.
Svolgimento
Applicando la proprietà distributiva, basta "distribuire" i termini del primo polinomio su quelli del secondo:
\[\begin{align} & (3xy^2+a)(ax^2-2ay) =\\ & = 3xy^2(ax^2-2ay) + a(ax^2-2ay) \\& =3xy^2\cdot ax^2 + 3xy^2\cdot (-2ay) + a \cdot ax^2+ a \cdot(-2ay) \\&= 3ax^3y^2 - 6axy^3+a^2x^2 -2a^2y \end{align}\]
In questo caso trovare il grado è meno immediato, quindi esaminiamo tutti i monomi di entrambi i fattori:
- In \(3xy^2+a\) il primo termine \(3xy^2\) ha grado 1+2=3 e il secondo termine \(a\) ha grado 1. Il grado del polinomio quindi è 3.
- In \(ax^2-2ay \) il primo termine \(ax^2\) ha grado 1+2=3 e il secondo termine \(2ay\) ha grado 1+1=2. Il grado del polinomio quindi è 3.
- Nel prodotto i termini sono \(3ax^3y^2\) che ha grado 1+3+2=6, \(6axy^3\) che ha grado 1+1+3=5, \(a^2x^2\) che ha grado 2+2=4, e \(2a^2y\) che ha grado 2+1=3. Il grado del polinomio è il maggiore tra questi, quindi vale 6.
Nota cosa succede al grado del prodotto: risulta pari alla somma dei gradi dei due fattori. Questo succede sempre, a differenza di quanto accade con la somma e la differenza!
Anche l'elevamento a potenza si può calcolare come i prodotti grazie alla proprietà distributiva: fa parte dei prodotti notevoli. Questi prodotti sono una lista di regole che aiutano a fare velocemente le moltiplicazioni tra polinomi in alcuni casi speciali: qui su StudySmarter troverai un intero articolo precisamente su questo argomento!
Valori di un polinomio
Pensa alla formula per l'area del rettangolo: le lettere simboleggiano base e altezza. L'idea è che appena conosci base e altezza le sostituisci nella formula per trovare un valore anche per l'area. Ad esempio, se la base misura 4 e l'altezza 3, l'area avrrà il valore del prodotto.
\[A = b\cdot h = 4 \cdot 3 = 12\]
Allo stesso modo, ogni polinomio può assumere un valore in base ai valori assegnati ad ogni lettera. Alcuni esercizi fissano il valore delle varie lettere e ti chiedono di calcolare a quanto corrisponde il polinomio.
Quanto vale \(3xy^2+ax^2-2ay\) per \(x=1, y=-1\) e \( a=3\)?
Svolgimento
Devi sostituire i valori corrispondenti ad ogni lettera e svolgere i calcoli:
\begin{align} & 3xy^2+ax^2-2ay = \\ & = 3(-3)(-1)^2+ 3 \cdot 1^2-2(3)(-1) \\& =-9 + 3 +6 \\ & =0\end{align}
È sicuramente più semplice fare i calcoli con un polinomio in cui compare una lettera sola. I valori della lettera per cui il polinomio risulta zero si chiamano radici del polinomio.
Si può dire che \(-1\) è una radice del polinomio \(x^2-2x+1\)? E \(1\)?
Svolgimento
Basta sostituire \(-1\) al posto di \(x\) nel polinomio e vedere se risulta \(0\):
\[x^2-2x+1 = (-1)^2-2(-1)+1=1+2+1=4\]
Dato che il risultato non è nullo, \(-1) non è una radice.
Ripetendo con \(1\) al posto di \(x\) si ottiene:
\[x^2-2x+1=1^2-2\cdot 1 +1=1-2+1=0\]
Quindi \(1\) è una radice.
Espressioni con i polinomi
Tra i primi esercizi che si fanno con i polinomi ci sono le espressioni: l'obiettivo è fare un po' di pratica dei conti nelle espressioni algebriche con le lettere. In questo tipo di esercizi devi moltiplicare, dividere, sommare ed elevare a potenza dei polinomi: il risultato è un nuovo polinomio.
Svolgi l'espressione:\[\left(\frac{3}{2}xy+x\right) \left(\frac{1}{2}xy-2x \right)\]
Svolgimento
Devi svolgere solo n prodotto tra due polinomi. Come prima cosa applica la proprietà distributiva "distribuendo" i fattori del primo polinomio sul secondo:
\[ \begin{align}\left(\frac{3}{2}xy+x\right) \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) & = \frac{3}{2}xy \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) + x \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) \end{align}\] Al secondo passaggio applica di nuovo la proprietà distributiva, ottenendo quattro prodotti di monomi.
\[ \begin{align}\left(\frac{3}{2}xy+x\right) \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) & = \frac{3}{2}xy \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) + x \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) \\ & =\frac{3}{2}xy \cdot \frac{1}{2}xy- \frac{3}{2}xy\cdot 2x + x \cdot \frac{1}{2}xy- x \cdot 2x \end{align}\] A questo punto puoi calcolare tutti i prodotti dei vari monomi.\[ \begin{align}\left(\frac{3}{2}xy+x\right) \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) & = \frac{3}{2}xy \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) + x \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) \\ & =\frac{3}{2}xy \cdot \frac{1}{2}xy- \frac{3}{2}xy\cdot 2x + x \cdot \frac{1}{2}xy- x \cdot 2x \\& =\frac{3}{4}x^2y^2- \frac{6}{2}x^2y + \frac{1}{2}x^2y- 2x^2 \end{align}\] Ora controlla se ci sono monomi simili: in questo caso, sia il terzo che il quarto hanno la stessa parte letterale \(x^2y\), quindi puoi ridurli a un unico monomio sommando i loro coefficienti. \[ \begin{align}\left(\frac{3}{2}xy+x\right) \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) & = \frac{3}{2}xy \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) + x \left(\frac{1}{2}xy-2x \right) \\ & =\frac{3}{2}xy \cdot \frac{1}{2}xy- \frac{3}{2}xy\cdot 2x + x \cdot \frac{1}{2}xy- x \cdot 2x \\& =\frac{3}{4}x^2y^2- \frac{6}{2}x^2y + \frac{1}{2}x^2y- 2x^2 \\& =\frac{3}{4}x^2y^2 + \frac{-6+1}{2}x^2y - 2x^2 \\& =\frac{3}{4}x^2y^2- \frac{5}{2}x^2y - 2x^2 \end{align}\]
Anche con i polinomi valgono le stesse regole delle espressioni numeriche: ci sono delle convenzioni per stabilire quali operazioni svolgere prima, in modo da evitare confusione. Puoi ricordare l'acronimo PEMDAS che indica le priorità in ordine: Parentesi, Esponenziali, Moltiplicazione e Divisione, Addizione e Sottrazione.
Svolgi l'espressione:\[ \left( 2ax \right)^2-18ax^2:3a + 3(x+a)(2x-a)+2a^2(1-x^2) \]
Svolgimento
In questo caso hai più calcoli da svolgere, quindi devi fare attenzione a seguire l'ordine. Non ci sono calcoli tra parentesi: quindi devi cominciare dagli elevamenti a potenza (nel primo termine), poi moltiplicazioni e divisioni. Può essere più comodo riscrivere la divisione come frazione per semplificare i termini.
\begin{align} & \left( 2ax \right)^2- 18ax^2:3a + 3(x+a)(2x-a)+2a^2(1-x^2) = \\ & = 2^2 a^2 x^2 - \frac{\cancel{18}^6 \cancel a x^2}{\cancel 3 \cancel a} + 3(2x^2 +2ax-ax-a^2) +2a^2 -2a^2x^2 \end{align}
A questo punto la priorità va al calcolo tra parentesi puoi ridurre due monomi simili. Svolgi l'esponenziale: \(2^2=4\).
\begin{align} & 2^2 a^2 x^2 - \frac{\cancel{18}^6 \cancel a x^2}{\cancel 3 \cancel a} + 3(2x^2 +2ax-ax-a^2) +2a^2 -2a^2x^2= \\& = 4a^2x^2 - 6x^2 + 3 (2x^2 +ax-a^2) +2a^2 -2a^2x^2 \end{align}
Resta un'altra moltiplicazione:
\begin{align}& 4a^2x^2 - 6x^2 + 3 (2x^2 +ax-a^2) +2a^2 -2a^2x^2 \\& = 2a^2x^2 {-6x^2} {+ 6x^2} +3ax-3a^2 +2a^2 \end{align}
Infine riduci i termini simili.
\begin{align} & 2a^2x^2 \cancel{-6x^2} \cancel {+ 6x^2} +3ax-3a^2 +2a^2 \\& = 2a^2x^2 + 3ax-a^2 \end{align}
Ecco tutti i passaggi scritti di fila:
\begin{align} & \left( 2ax \right)^2- 18ax^2:3a + 3(x+a)(2x-a)+2a^2(1-x^2) = \\ & = 2^2 a^2 x^2 - \frac{\cancel{18}^6 \cancel a x^2}{\cancel 3 \cancel a} + 3(2x^2 +2ax-ax-a^2) +2a^2 -2a^2x^2= \\& = 4a^2x^2 - 6x^2 + 3 (2x^2 +ax-a^2) +2a^2 -2a^2x^2 \\& = 2a^2x^2 \cancel{-6x^2} \cancel {+ 6x^2} +3ax-3a^2 +2a^2 \\& = 2a^2x^2 + 3ax-a^2 \end{align}
Scomposizione di polinomi
Nelle espressioni di solito trovi un prodotto tra polinomi e cerchi di svolgerlo, arrivando a un solo polinomio finale con meno termini possibile. Un altro esercizio molto comune, però, è anche quello di fare il contrario: dato un polinomio, scoprire se si può scrivere come prodotto di altri polinomi. Ovvero, scomporre o fattorizzare il polinomio.
Succede qualcosa di simile quando studi le operazioni tra i numeri interi: anche tra i numeri interi si usa fattorizzare un numero, scomponendolo come prodotto di numeri primi più piccoli del numero di partenza. Tra i polinomi, è il grado dei fattori ad essere più piccolo del grado del prodotto! Come tra gli interi, i fattori si usano per trovare il massimo comun divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm).
Per scomporre un polinomio un primo tentativo è cercare di fare un raccoglimento totale. Si comincia cercando un il MCD tra i monomi che lo compongono. Il MCD si trova così:
- il coefficiente è il MCD dei coefficienti;
- la parte letterale contiene le lettere comuni a tutti i monomi, all'esponente minimo con cui compaiono.
Una volta trovato il MCD tra i monomi, questo si raccoglie mettendolo davanti alla parentesi: poi il polinomio si divide per il massimo comune divisore dei suoi monomi. Si sfrutta la proprietà distributiva della divisione: se devi dividere una somma per un numero, puoi dividere i termini della somma e poi sommarli. In formula,
\[ (a+b):c = a:c+b:c\]
A questo punto, il polinomio di partenza si scrive come prodotto del MCD dei suoi monomi, per il risultato di questa divisione.
Scomponi \(ax^2+3a^2+2a\) con un raccoglimento totale.
Svolgimento.
Trova il MCD: i coefficienti sono 1, 3, e 2, quindi l'unico divisore comune a tutti e tre è 1. L'unica lettera in tutti i termini è la \(a\) e l'esponente più piccolo con cui compare è 1. Quindi il MCD è semplicemente \(a\). Ora devi dividere il polinomio per \(a\):
\[(ax^2+3a^2+2a): a = ax^2:a+ 3a^2:a+2a:a= x^2+3a+2\]
A questo punto puoi scrivere il polinomio come prodotto del MCD dei suoi monomi per il quoziente appena ottenuto. \[ax^2+3a^2+2a = a (x^2+3a+2)\]
Ci sono molte tecniche diverse per studiare la scomposizione tra polinomi: è fondamentale conoscere i prodotti notevoli e saper fare la divisione tra polinomi.
Polinomi - Punti chiave
- Un monomio è un'espressione che consiste in un prodotto tra numeri e lettere. Il numero si chiama coefficiente e la parte con le lettere parte letterale.
- Un prodotto o una potenza di monomi è sempre un monomio.
- Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale (stesse lettere e stessi esponenti). La somma algebrica di monomi simili è ancora un monomio.
- Una somma algebrica di monomi, in generale, si chiama polinomio. Somme algebriche, prodotti e potenze di polinomi sono ancora polinomi.
- Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere. Il grado di un polinomio è il maggiore dei gradi dei monomi che lo compongono.
- Un primo monomio è divisibile per un secondo monomio se ne esiste un terzo che, moltiplicato per il secondo, dà il primo. Così come tra gli interi, il primo monomio è il dividendo, il secondo il divisore, e il terzo il quoziente.
- Per fare calcoli tra i polinomi è fondamentale conoscere le proprietà dell'aritmetica tra i numeri interi, in particolare la proprietà distributiva.
- Così come ogni numero intero si può scrivere come un prodotto di numeri primi, anche i polinomi si possono scomporre o fattorizzare.
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