Tutte le operazioni hanno delle proprietà: questo vale anche per le potenze. Le proprietà delle potenze permettono di calcolarle in modo più semplice. Sono importantissime con monomi, polinomi e funzioni: è una buona idea fare esercizi finché non senti di averle imparate!
Prima di cominciare, è meglio ripassare la definizione di potenza che si dà alle scuole secondarie di primo grado.
Dato un numero naturale \(n\) e un numero reale \(a\), la potenza con base \(a\) ed esponente \(n\) è una moltiplicazione ripetuta di \(a\) per sé stesso, in cui \(a\) compare \(n\) volte.
\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ volte }} \]
Si specifica che:
- \(a^1=a\) per ogni base \(a\);
- \(a^0=1\) se \(a \neq 0\);
\(0^0\), invece, non è definito: è un'espressione senza significato.
Ad esempio:\[3^2 = 3 \cdot 3 = 9, \; 5^3=5\cdot5\cdot5=125,\]\[ (-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) =16.\] Fai attenzione: l'esponente conta il numero di volte in cui si ripete la base, non il segno di moltiplicazione!
Le proprietà delle potenze sono delle scorciatoie che accorciano i conti quando si verificano certe condizioni, e riguardano il comportamento delle potenze con prodotti e divisioni. Senza proprietà delle potenze i calcoli sarebbero molto più lunghi e complicati!
Proprietà delle potenze con la stessa base
Prodotto di potenze con la stessa base
Il prodotto di due potenze con la stessa base \(a\) è la potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. \[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]
Se provi a fare qualche calcolo sostituendo dei numeri alle lettere ti accorgi subito che ha senso: \[3^4\cdot 3^2 = (3\cdot 3\cdot 3\cdot 3) \cdot (3\cdot 3) = 3^6=3^{4+2}\]
Quoziente di potenze con la stessa base
Il quoziente di due potenze con la stessa base \(a\) è la potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. \[a^n : a^m = a^{n-m}\]
Anche in questo caso, ci si rende conto che la proprietà è vera con qualche esempio: è più facile riscrivendo la divisione come una frazione.
\[3^4: 3^2 = \frac{3\cdot 3\cdot \cancel 3\cdot \cancel 3}{\cancel 3\cdot \cancel3} = 3^2 = 3^{4-2}\]
Potenza di potenza
Se si eleva una potenza a un altro esponente, il risultato è una potenza che ha come base la stessa base della potenza originale e come esponente il prodotto degli esponenti.
\[\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}\]
Questa proprietà sembra un po' più strana delle altre: conviene fare un esempio pratico anche in questo caso e capire che senso ha passaggio per passaggio.
Calcola \((3^4)^2\).
- Applica la definizione di potenza all'operazione più esterna. La base è \(3^4\) e l'esponente è \(2\): devi moltiplicare \(3^4\) per sé stesso. \[(3^4)^2=(3^4)\cdot(3^4)\]
- Ora applica la definizione di potenza su \(3^4\). \[(3^4)^2=(3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3)\cdot (3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3)\]
- Conta quanti \(3\) sono presenti: sono precisamente \(4\) per ogni parentesi, e le parentesi sono \(2\). Quindi ci sono \(4\cdot 2 = 8\)
- Il risultato, quindi, è \[(3^4)^2=3^8.\]
Proprietà delle potenze con lo stesso esponente
Quando devi moltiplicare o dividere potenze che hanno lo stesso esponente, ma basi diverse, le proprietà appena viste non valgono. Si applica, invece, una proprietà distributiva delle potenze rispetto alla moltiplicazione e alla divisione: l'esponente che riguarda un prodotto (o un quoziente) può essere distribuito sui termini che compaiono nel prodotto (o nel quoziente). Vediamo le formule per i due casi: potenze e moltiplicazione, e potenze e divisione.
La proprietà distributiva riguarda sempre due operazioni: descrive il modo in cui una si distribuisce rispetto all'altra. Una sola operazione non può avere la proprietà distributiva.
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente \(n\) è la potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente. \[a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^{n}\]
Come sopra, è bene fare un esempio pratico per rendersi conto del perché la proprietà è vera. \[4^3\cdot 2^3= (4\cdot 4\cdot 4) \cdot (2\cdot 2 \cdot 2) = (4 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 2)\cdot (4 \cdot 2) =(4 \cdot 2)^3 \]
Quoziente di potenze con lo stesso esponente
Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente \(n\) è la potenza che ha come base il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente. \[a^n : b^n = (a: b)^{n}\]
Ecco un esempio per convincerti che ha senso: conviene scrivere la divisione come frazione.
\[4^3:2^3 = \frac{4\cdot 4\cdot 4}{2\cdot 2 \cdot 2} = \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} = \left(\frac{4}{2}\right)^3 \]
Questa proprietà consente di definire le potenze anche sulle frazioni: basta distribuire l'esponente sia al numeratore che al denominatore.
\[ \left( \frac{a}{b}\right)^n := \frac{a^n}{b^n}\]
Esercizi sulle proprietà delle potenze
A questo punto passiamo alla pratica: fare esercizi aiuta sia a memorizzare le proprietà che a capire quando usarle.
Calcola l'espressione. \[ \left( 3^4\cdot \frac{1}{3^7} \right)^{-1}\] In questo caso, ti conviene riscrivere la frazione come potenza con esponente negativo. \[ \left( 3^4\cdot 3^{-7} \right)^{-1}\] Usa le proprietà delle potenze: hai un prodotto di potenze con la stessa base, quindi puoi sommare gli esponenti: \(4+(-7) =4-7 =-3\). \[ \left( 3^{-3} \right)^{-1}\] Hai una potenza di potenza: basta moltiplicare i due esponenti: \(-3\cdot(-1) = 3\), quindi \[ \left( 3^{-3} \right)^{-1} = 3^3 =\bf{27}\]
Nel prossimo esercizio vedrai come usare le proprietà delle potenze per semplificare delle frazioni.
Calcola il valore dell'espressione seguente. \[ (2^6:3^4)\cdot \left( \frac{2^3}{3^5} \right)^{-1}\]
Per cominciare scrivi la divisione sottoforma di frazione. Nella frazione già presente puoi applicare la potenza: il risultato dell'elevare alla \(-1\) è l'inverso, ovvero la frazione con numeratore e denominatore invertiti.
\begin{align} & (2^6:3^4)\cdot \left( \frac{2^3}{3^5} \right)^{-1} = \\ = & \left(\frac{2^6}{3^4} \right) \cdot \left( \frac{3^5}{2^3} \right) \end{align}
Adesso puoi applicare le proprietà delle potenze.
\begin{align} & \frac{2^6 \cdot 3^5}{3^4 \cdot 2^3} = \\ = & 2^{6-3} \cdot 3^{5-4} = \\ = & 2^3 \cdot 3 =8 \cdot 3 = \bf{24}\end{align}
Le regole sulle proprietà delle potenze si applicano anche ai monomi.
Calcola \( (2a)^3: 4a\).
Per prima cosa, distribuisci la potenza ed esprimi 4 come potenza di 2. \[ (2^3a^3): (2^2 a^2)\] È il turno della divisione: puoi fare il quoziente tra le potenze con base 2 e moltiplicarlo per quelle con base \(a\). Ricorda che, quando l'esponente non è scritto esplicitamente, vale 1: \(a=a^1\). \[ (2^3a^3): (2^2 a) = 2^{3-2}a^{3-1} = 2a^2\]
Potenze con esponenti negativi e razionali
Quando qualcosa funziona bene, si cerca sempre di usarlo anche in altri contesti. Funziona così anche per le potenze: visto che gli esponenti naturali funzionano bene, la comunità matematica ha pensato bene di definire le potenze anche per esponenti interi, razionali e irrazionali. L'idea è quella di dare le definizioni in modo che continuino a valere le proprietà delle potenze.
Si parte dai numeri negativi, anzi, da \(-1\). La potenza con esponente \(-1\) è definita per ogni base eccetto \(0\), e dà come risultato l'inverso della base: ossia il numero che, moltiplicato per la base, dà \(1\). \[a^{-1} := \frac{1}{a} \qquad \text{ per }a \neq 0\]
Questo permette di definire allo stesso modo le potenze sui numeri negativi: una base elevata a un numero negativo dà l'inverso della potenza con l'esponente positivo. \[a^{-n} := \frac{1}{a^n}\]
Si possono definire anche potenze con esponente razionale: la potenza con esponente \(\frac{1}{n}\), per \(n \neq 0\), si definisce come la radice \(n\)-esima della base. Attenzione, però: se \(n\) è un numero pari, questa potenza è definita solo se \(a \geq 0\)!
\[a^{\frac{1}{n} }= \sqrt[n]{a}\]
A questo punto si può definire una potenza che ha per esponente qualsiasi numero razionale: il numeratore diventa l'esponente della potenza e il denominatore l'indice della radice.
\[ a^{\frac{n}{m}} := \sqrt[m]{a^n}\]
Questa proprietà si usa moltissimo quando lavori con i radicali.
Espressioni con proprietà delle potenze
Nelle espressioni con le potenze è importante ricordare in quale ordine fare le operazioni. In Italia si usa la convenzione PEMDAS: quando ci sono dubbi su quale operazione va svolta per prima, la priorità va ai calcoli tra Parentesi, poi quelli con gli Esponenti, dopodiché vengono Moltiplicazioni e Divisioni, infine Addizioni e Sottrazioni.
Svolgi l'espressione. \[\left\{ \left[ \left(3^2-7\right)^3 + \left(2\cdot (2\cdot 3^2 -15)\right)^2\right] :2^2-2\right\} :9\]
Soluzione.
Comincia svolgendo i calcoli tra parentesi.\begin{align} & \left\{\left[\left(9-7\right)^3 + \left(2\cdot(18 -15)\right)^2\right]:2^2-2 \right\}:9 \\ = & \left\{\left[2^3 + \left(2\cdot3\right)^2\right]:2^2-2 \right\}:9 = \\ =& \left\{\left[2^3 + 2^2\cdot3^2\right]:2^2-2 \right\}:9\end{align} Ora conviene applicare la proprietà distributiva alla divisione, togliendo la parentesi quadra.\[ \left\{2^3:2^2 + 2^2\cdot3^2:2^2-2 \right\}:9\]
Applica le proprietà delle potenze alle divisioni e svolgi gli ultimi calcoli.\begin{align} & \left\{2^{3-2} + 2^{2-2}\cdot3^2-2 \right\}:9 \\ = & \left\{2 + 3^2-2 \right\}:9 \\ = & \, 3^2:9 \\ = & \, \bf{1} \end{align}
Passiamo alle frazioni!
Svolgi l'espressione seguente. \[ \left[\left(\frac{8}{3}\right)^2 : \frac{2}{9}\right] \cdot \frac{1}{4} + 3^3 \cdot \frac{1}{9}\]
Soluzione.
Come primo passaggio conviene esprimere tutti i numeri non primi in forma di potenza: \(8=2^3, 9=3^2, 4=2^2\). Sostituisci la divisione per la frazione con la moltiplicazione per il reciproco.\[ \left[\left(\frac{2^3}{3}\right)^2 \cdot \frac{3^2}{2}\right] \cdot \frac{1}{2^2} + 3^3 \cdot \frac{1}{3^2}\]
Ora puoi fare la potenza di potenza nella prima parentesi. Nella moltiplicazione più a destra puoi semplificare dei fattori.\[ \left[\frac{2^6}{3^2} \cdot \frac{3^2}{2}\right] \cdot \frac{1}{2^2} + 3^\cancel{3} \cdot \frac{1}{\cancel{3^2}}\]
Puoi togliere le parentesi quadre e fare le semplificazioni incrociate tra le prime tre frazioni.\[ \frac{{2^{\cancel 6}}^3}{\cancel{3^2}} \cdot \frac{\cancel{3^2}}{\cancel 2} \cdot \frac{1}{\cancel{2^2}} + 3\]
Calcola la potenza e somma i risultati.\begin{align} 2^3+3 = 8+3 =\bf{11} \end{align}
Aggiungiamo qualche lettera per prendere confidenza con le potenze sui polinomi.
Calcola il valore dell'espressione seguente. \[ \left((a^2b)^2 \cdot ab^3 \right):a^3b^2 \] Come prima cosa svolgi la potenza "distribuendo" l'esponente. \begin{align} & \left( (a^2)^2b^2 \cdot ab^3\right):a^3b^2 \\ = \, &( a^4b^2 \cdot ab^3):a^3b^2 \end{align} A questo punto fai i prodotti con le stesse basi. \begin{align} & ( a^{4 +1} \cdot b^{2+3}):a^3b^2 \\ =\, & ( a^5 \cdot b^5):a^3b^2 \end{align} Infine puoi fare la divisione sfruttando ancora una volta le proprietà delle potenze. \begin{align} & (a^5:a^3) \cdot (b^5:b^2) \\ = \, & \mathbfit{ a^2b^3} \end{align}
Proprietà delle potenze - Punti chiave
- Dato un numero naturale \(n\) e un numero reale \(a\), la potenza con base \(a\) ed esponente \(n\) è una moltiplicazione ripetuta di \(a\) per sé stesso, in cui \(a\) compare \(n\) volte: \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ volte }} \).
- \(a^0=1\) se \(a \neq 0\), mentre \(0^0\) non è definito: è un'espressione senza significato.
- Se le potenze hanno la stessa base, il prodotto si fa sommando gli esponenti: \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\).
- Se le potenze hanno la stessa base, il quoziente si fa sottraendo gli esponenti: \(a^n :a^m = a^{n-m}\).
- Se due potenze hanno lo stesso esponente, il loro prodotto è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e lo stesso esponente: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\).
- Se due potenze hanno lo stesso esponente, il loro quoziente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e lo stesso esponente: \(a^n : b^n = (a : b)^n\).
- Si definiscono anche potenze con esponente negativo: se \(n\) è un numero naturale, si definisce \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
- Si possono definire anche potenze con esponente razionale: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \). In questo caso bisogna fare attenzione: se \(n\) è pari, la potenza è definita solamente se \(a \geq 0\).
- Nelle espressioni, comprese quelle con le potenze, in Italia si usa la convenzione PEMDAS per specificare quale operazione va svolta per prima. La priorità va ai calcoli tra Parentesi, poi quelli con gli Esponenti, dopodiché vengono Moltiplicazioni e Divisioni, infine Addizioni e Sottrazioni.
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