La parola algebra deriva dall'arabo al-jabr, che si può tradurre come "riunione delle parti rotte", come nel caso di un osso che si ricompone dopo la rottura. Lavorando con le frazioni algebriche questo significato viene in mente molto spesso: gli esercizi consistono proprio nel "rompere" una frazione in vari pezzettini e rimettere tutto assieme!
Frazioni algebriche: condizioni di esistenza
Una frazione algebrica è una frazione in cui compaiono polinomi al numeratore e al denominatore.
Le frazioni algebriche, come quelle numeriche, hanno lo stesso significato di una divisione: solo che, nel caso di una frazione algebrica, al denominatore c'è un monomio o un polinomio. Ad esempio,
\[ \frac{2}{5}, \quad \frac{5}{6}, \quad \frac{1}{3} \] sono frazioni numeriche. Quando cominci a usare lettere, puoi scrivere cose come \[ \frac{2x}{7}, \quad \frac{x^2-2x}{3}, \quad \frac{3ab^2}{2}\] e altro. Questi però sono polinomi: al denominatore c'è solo un numero! Sono frazioni algebriche così come \(2\) e \(-11\) sono numeri razionali: alle medie si dice che sono "frazioni apparenti", per indicare quelle che rappresentano un numero intero, a differenza delle frazioni "vere" che non danno un risultato intero.
Quando ci mettiamo di mezzo le lettere, si può distinguere un polinomio da una frazione algebrica guardando se ci sono lettere al denominatore. Ad esempio \[\frac{3}{2y}, \quad \frac{x+1}{2x}, \quad \frac{x^2+2}{2y-4}\] sono frazioni algebriche, ma non polinomi.
Perché è così importante distinguere le frazioni "vere" dai polinomi? Il punto è che il polinomio si può sempre calcolare, mentre la frazione ha senso solo se il denominatore è diverso da zero. Quando hai denominatore intero è facile capire se è non nullo, mentre se è un polinomio le cose si fanno più complicate. L'espressione \[\frac{x^2+2}{3y-4}\] dipende da quale valore diamo a \(x\) e \(y\): queste lettere rappresentano numeri, e la frazione algebrica ha un valore diverso a seconda di quanto valgono\(x\) e \(y\). Ad esempio se \(x=1, y=0\) la frazione diventa \[\frac{x^2+2}{2y-4} = \frac{1^2+2}{2\cdot 0 -4} = -\frac{3}{4}\] ma se \(x=1, y=2\) ottieni \[\frac{x^2+2}{2y-4} = \frac{1^2+2}{2\cdot 2 -4} = \frac{3}{0}\]che non ha senso! Per evitare questi problemi, quando si lavora con le frazioni algebriche si cercano come prima cosa le condizioni di esistenza: ovvero, i numeri che annullano il denominatore se sostituiti alle lettere.
Nel caso della frazione appena vista, bisogna escludere i numeri che danno \(2y-4=0\): risolvendo quest'equazione ottengo \(y=2\). La frazione è definita per qualunque numero \(y\) diverso da \(2\): all'inizio dell'esercizio in cui compare dovrai quindi scrivere \[\text{Condizione di esistenza: } \; y \neq 2. \]
Trova le condizioni di esistenza della frazione \(\dfrac{3a^2+2a+5}{(x-1)(y+3)}\).
Soluzione.
Perché la frazione abbia senso il denominatore deve essere non nullo: \[(x-1)(y+3) \neq 0.\] Il prodotto tra due numeri è zero solo se uno dei due numeri è zero (questa proprietà si chiama legge di annullamento del prodotto). Questo significa che, per avere \((x-1)(y+3) \neq0\) si deve avere \[ x-1 \neq 0 \quad \text{ e } \quad y+3 \neq 0. \] Risolvendo ottieni \[x-1 \neq 0 \text{ per } x \neq 1\] e \[y+3 \neq 0 \text{ per } y \neq -3. \] Quindi le condizioni di esistenza sono \[ \mathbf{ C.E.}: x \neq 1, y \neq -3\] Se valgono queste condizioni la frazione è definita.
Semplificazione di frazioni algebriche
Semplificare le frazioni algebriche significa ridurre numeratore e denominatore ai termini più piccoli possibile ottenendo una frazione equivalente. Per farlo si applicano principi simili a quelli che consentono di semplificare le frazioni numeriche.
In pratica hai due scelte: puoi dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore (MCD), oppure per tutti i divisori comuni che trovi, uno dietro l'altro, con una serie di divisioni consecutive. Entrambi i metodi danno lo stesso risultato: con il MCD fai più lavoro all'inizio, ma poi hai una sola divisione, mentre con il secondo metodo hai più divisioni.
Il massimo comun divisore è il più grande dei divisori comuni tra due numeri. "Più grande" tra monomi e polinomi significa "con il grado più alto". Il metodo per trovarlo è simile a quello che si usa sugli interi: facciamo un breve ripasso.
Trova il MCD tra i monomi \(24x^2y^6\) e \(6x^3y^4\).
Soluzione.
Devi trovare il monomio di grado più alto che divide entrambi i monomi. L'approccio più efficiente è di lavorare separatamente con le varie componenti: entrambi i monomi sono un prodotto tra una parte numerica, una potenza di \(x\) e una potenza di \(y\). Puoi trovare separatamente i MCD delle varie parti.
- Coefficienti: il MCD tra \(24\) e \(6\) è \(6\).
- Potenze di \(x\): il MCD è la potenza con l'esponente minore tra le due, e quindi \(x^2\).
- Potenze di \(y\): come nel caso precedente, prendi la potenza con il grado minore, ovvero \(y^4\).
A questo punto moltiplica i MCD delle varie parti:
\[6 \cdot x^2 \cdot y^4 = \mathbfit{ 6x^2y^4} \] e questo è il MCD tra \(24x^2y^6\) e \(6x^3y^4\).
A questo punto vediamo come semplificare due frazioni, una con il MCD e l'altra con divisioni consecutive.
Semplifica la frazione \(\dfrac{15t^3s^4}{20ts^5}\).
Soluzione.
Risolviamo questo esercizio calcolando il MCD con lo stesso procedimento già visto: il MCD tra \(15\) e \(20\) è 5, quello tra \(t^3\) e \(t\) è \(t\), e il MCD tra \(s^4\) e \(s^5\) è \(s^4\). Dunque il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore è \(\mathbf{5ts^4}\).
Dividi numeratore e denominatore per questo termine: \[ \frac{15t^3s^4}{20ts^5} = \frac{(15t^3s^4):(5ts^4)}{(20ts^5):(5ts^4)} = \frac{3t^2}{4s}.\]
Puoi anche lavorare con le divisioni consecutive: vediamo un esempio.
Semplifica la frazione \(\dfrac{56x^3y^2}{42x^2y^3}\).
Soluzione.
Puoi cominciare semplificando la parte letterale: semplifica tra loro le \(x\) alla massima potenza a cui compaiono. \[\frac{56x^3y^2}{42x^2y^3} = \frac{56\cancel{x^3}^x y^2}{42 \cancel{x^2} y^3} = \frac{56xy^2}{42y^3}\] Ora prosegui semplificando le \(y\). \[ \frac{56xy^2}{42y^3} = \frac{56x \cancel{y^2}}{42 \cancel{y^3}_y} = \frac{56x}{42y}\] A questo punto cerca dei divisori comuni di \(56\) e \(42\): sono entrambi pari, quindi puoi cominciare dividendo per \(2\). \[\frac{56x}{42y} = \frac{\cancel{56}^{28} x}{\cancel{42}_{21}y} = \frac{28x}{21y}\]Ora puoi dividere per \(7\). \[\frac{28x}{21y} = \frac{\cancel{28}^4 x}{\cancel{21}_3 y} = \mathbfit{\frac{4x}{3y}}\] Dato che nessun termine al numeratore ha fattori in comune con il denominatore, hai finito!
Nei casi visti sopra, la frazione aveva monomi a numeratore e denominatore. Quando compaiono i polinomi la fattorizzazione è un po' meno immediata: in questo caso, devi usare tutti i mezzi a tua disposizione, come la conoscenza dei prodotti notevoli o della divisione tra polinomi.
Semplifica \(\dfrac{p^2-4}{p^2-4p+4}\).
Soluzione.
Scomponi i polinomi: al numeratore hai una differenza di quadrati: \(p^2-4 =(p-2)(p+2)\). Al denominatore c'è il quadrato di un binomio: \(p^2-4p+4 = (p-2)^2\). Riscrivi la frazione con i fattori \[ \frac{p^2-4}{p^2-4p+4} = \frac{(p-2)(p+2)}{(p-2)^2}\] e semplifica il fattore in comune: \[\frac{\cancel{(p-2) }(p+2)}{(p-2)^{\cancel{2}} }= \frac{p+2}{p-2}.\]
A questo punto compare la domanda che non vorresti farti, ma che è importante: cosa succede alle condizioni di esistenza quando semplifichi?
Per semplificare, è necessario che i termini per cui dividi siano diversi da zero: quindi devono valere le condizioni di esistenza della frazione originaria.
Semplifica la frazione \(\dfrac{15y+12}{25y^2-16}\) ed esplicita le condizioni di esistenza.
Soluzione.
Comincia calcolando le condizioni di esistenza: il denominatore deve essere non nullo, quindi \(25y^2-16 \neq 0\). Fattorizza: è una differenza di quadrati. \[ 25y^2-16= (5y)^2-4^2 =(5y-4)(5y+4)\] Le condizioni di esistenza sono due, una per ogni fattore del denominatore.
- \(5y-4 \neq 0\), che dà la \( \mathbf{C.E.}: y \neq \frac{5}{4}\).
- \(5y+4 \neq 0\), che dà la \( \mathbf{C.E.}: y \neq -\frac{5}{4}\).
Ora fattorizza il numeratore: l'unica cosa che puoi fare è raccogliere un fattore \(3\). \[15y+12 = 3(5y+4)\] A questo punto punto sostituisci nella frazione e semplifica. \begin{align} \frac{15y+12}{25y^2-16} & = \frac{3(5y+4)}{(5y-4)(5y+4)} \\ & = \frac{3\cancel{(5y+4)}}{(5y-4)\cancel{(5y+4)}} \\ &= \frac{3}{5y-4} \end{align} Nota che per fare questo passaggio deve valere la seconda condizione di esistenza: altrimenti la semplificazione sarebbe una divisione per zero, che è impossibile!
La frazione ottenuta quindi è \(\dfrac{3}{5y-4}\) e le sue \(\mathbf{C.E.}\) sono \(y \neq \frac{5}{4}, y \neq -\frac{5}{4}\).
Operazioni tra frazioni algebriche
Tra frazioni algebriche si possono fare tutte le operazioni in modo simile a quello che accade tra frazioni numeriche: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione seguono le stesse regole. Vediamo qualche esempio pratico!
Addizione tra frazioni algebriche
Per sommare frazioni algebriche il passaggio fondamentale è di portarle al minimo comune denominatore. Si tratta del minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori delle frazioni.
Trova il mcm tra i monomi \(24x^2y^6\) e \(6x^3y^4\).
Soluzione.
Mentre nel MCD prendi i fattori comuni con il minimo esponente, per calcolare il mcm devi considerare tutti i fattori comuni con il massimo esponente con cui compaiono. Come con il MCD, puoi lavorare dividendo i monomi a pezzi.
- Coefficienti: \(24\) è un multiplo di \(6\), quindi il mcm è proprio \(24\).
- Potenze di \(x\): devi prendere quella più alta: in questo caso è \(x^3\).
- Potenze di \(y\): il mcm in questo caso è \(y^6\).
Il mcm dei due monomi è il prodotto delle tre parti trovate: \(24 \cdot x^3 \cdot y^6 = \mathbfit{24x^3y^6}\).
Vediamo un esempio semplice.
Calcola la somma \[\frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}.\]
Soluzione.
- Calcola il mcm tra i denominatori. In questo caso è particolarmente semplice perché c'è un solo fattore, \(y\), e il massimo esponente con cui compare è \(2\): il mcm è \(y^2\).
- Porta entrambe le frazioni al minimo comune denominatore. Per farlo devi moltiplicare numeratore e denominatore di ogni frazione per lo stesso fattore, che si trova dividendo il mcm per il denominatore. Quindi nel caso della prima frazione devi moltiplicare per \(y^2 : y = y\), mentre nel caso della seconda frazione devi moltiplicare per \(y^2:y^2=1\). Se preferisci, nella seconda frazione puoi notare che il denominatore è già il mcm, quindi non serve cambiare nulla. \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^2} = \frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2} \]
- Calcola la somma dei numeratori. \[ \frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2} = \frac{y+1}{y^2}\] Dato che non puoi scomporre questa somma, hai terminato il calcolo.
Sottrazione tra frazioni algebriche
Il procedimento per la sottrazione è lo stesso che per l'addizione, cambia solamente il segno: vediamo un caso in cui al denominatore ci sono polinomi.
Calcola la differenza \[\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}.\]
Soluzione.
- Calcola il minimo comune denominatore. Per farlo devi fattorizzare i polinomi: \(p-3\) è di primo grado, quindi non puoi scomporlo più di così. L'altro invece si può scomporre come trinomio caratteristico: \(6=(-2)(-3)\) e \(-5=-2-3\), quindi \(p^2-5p+6=(p-2)(p-3)\). Questo polinomio è multiplo dell'altro, e quindi è il mcm.
- Porta entrambe le frazioni allo stesso denominatore: in questo caso sarà \((p-2)(p-3)\). La prima frazione è a posto così: la seconda va moltiplicata a numeratore e denominatore per \((p-2)(p-3):(p-3)=(p-2)\). \[\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{(p-3)}\cdot \frac{(p-2)}{(p-2)}\]
- Calcola la differenza tra i numeratori. Fai attenzione ai segni: il segno negativo davanti alla seconda frazione si applica a tutto il numeratore. \begin{align}& \frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p(p-2)}{(p-3)(p-2)} \\ & = \frac{1- (p^2-2p)}{(p-2)(p-3)} \\ & = \frac{1-p^2+2p}{(p-2)(p-3)}\end{align}
Moltiplicazione tra frazioni algebriche
Il prodotto di frazioni algebriche segue le stesse regole del prodotto tra frazioni numeriche: si fa una semplificazione incrociata, se possibile, e poi si moltiplicano numeratori con numeratori e denominatori con denominatori.
Moltiplica \[\frac{x-y}{z}\cdot \frac{z^2}{x^2-y^2}.\]
Soluzione.
- Prima di fare la semplificazione incrociata devi scomporre in fattori. È quasi tutto già fatto, tranne il denominatore della seconda frazione: \(x^2-y^2 =(x-y)(x+y)\). \begin{align}& \frac{x-y}{z}\cdot \frac{z^2}{x^2-y^2} \\ &= \frac{x-y}{z}\cdot \frac{z^2}{(x-y)(x+y)}\end{align}
- A questo punto puoi semplificare: il numeratore della prima frazione si semplifica col denominatore della seconda, e viceversa. \[ \frac{\cancel{(x-y)} }{\cancel{z}} \cdot \frac{z^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} \]
- Ora dovresti fare le moltiplicazioni, ma c'è un solo fattore al numeratore e uno al denominatore: hai già ottenuto il risultato! \[ \frac{z}{(x+y)} \]
Divisione tra frazioni algebriche
Anche tra frazioni algebriche, la divisione si svolge "trasformandola" in una moltiplicazione per il reciproco della frazione divisore. In formule, \[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.\]
Calcola \[ \frac{rt^2}{15}: \frac{r^2}{5t}. \]
Soluzione.
- Trasforma in moltiplicazione.\[\frac{rt^2}{15}: \frac{r^2}{5t}= \frac{rt^2}{15} \cdot \frac{5t}{r^2}\]
- Semplifica il possibile. \[\frac{\cancel{r}t^{2}}{\cancel{15}_3} \cdot \frac{\cancel{5} t}{r^{\cancel{2}}}\]
- Moltiplica i termini restanti. \[ \frac{t^2}{3} \cdot \frac{t}{r} = \frac{t^3}{3r}\]
Vediamo un esempio con i polinomi.
Calcola \[ \frac{x^2-9}{x^2+3x+2}:\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7}. \]
Soluzione.
- Trasforma in moltiplicazione per il reciproco della seconda frazione. \begin{align} &\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}:\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7} = \\ & = \frac{x^2-9}{x^2+3x+2}\cdot \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+9} \end{align}
- Prima di proseguire devi scomporre in fattori tutti i termini. Il più semplice è il primo numeratore, che è una differenza di quadrati: \(x^2-9= (x-3)(x+3)\). Il suo denominatore si scompone come trinomio caratteristico: \(2=2\cdot 1, 3=2+1\) quindi \(x^2+3x+2=(x+2)(x+1)\). Il numeratore della seconda frazione si scompone con lo stesso metodo: \(7=7\cdot 1, 8=7+1\) e \(x^2+8x+7 =(x+7)(x+1)\). L'ultimo denominatore è un quadrato di binomio: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). \begin{align} & \frac{x^2-9}{x^2+3x+2}\cdot \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+9} = \\ &= \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+1)} \cdot \frac{(x+7)(x+1)}{(x+3)^2} \end{align}
- Ora fai le semplificazioni incrociate. \begin{align} \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+1)}} \cdot \frac{(x+7)\cancel{(x+1)}}{(x+3)^{\cancel{2}}} \end{align}
- Moltiplica i fattori rimanenti. \[ \frac{(x-3)(x+7)}{(x+2)(x+3)}\]
Potenze di frazioni algebriche
Le potenze di frazioni algebriche funzionano come quelle delle frazioni numeriche: l'esponente va applicato sia al numeratore che al denominatore. Ad esempio: \[ \left( \frac{x+1}{y-2} \right)^3 = \frac{(x+1)^3}{(y-2)^3}.\] Se devi calcolare una potenza su un'operazione tra frazioni è meglio prima svolgere l'operazione e poi fare l'elevamento a potenza, in modo da semplificare dove possibile. Fai attenzione a sviluppare la potenza: se devi fare altre operazioni può essere meglio tenere la potenza così com'è, in modo da poterla semplificare nei passaggi successivi.
Calcola \[ \left(\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b}\right)^2\cdot ( a+b)^3\].
Soluzione.
- Somma le frazioni tra parentesi. Dato che i due denominatori sono di primo grado, il minimo comune denominatore sarà il prodotto dei due. \begin{align} & \left(\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b}\right)^2\cdot ( a+b)^3 = \\ & = \left(\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3 = \\ & = \left(\frac{a+b - a +b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3 \\ & = \left(\frac{2b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3\end{align}
- Applica la potenza al termine di sinistra. \begin{align} & \left(\frac{2b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3 = \\ & = \frac{(2b)^2}{(a+b)^2(a-b)^2}\cdot ( a+b)^3 \end{align}
- Semplifica. \begin{align} & \frac{(2b)^2}{\cancel{(a+b)^2}(a-b)^2}\cdot ( a+b)^{\cancel3} \end{align}
- Ora calcola la potenza del monomio e porta tutto su un'unica frazione. \begin{align} & \frac{(2b)^2}{(a-b)^2}\cdot ( a+b) = \\ & = \frac{4b^2(a+b)}{(a-b)^2} \end{align}
Frazioni algebriche: esercizi svolti
Per fare pratica con le frazioni algebriche è bene risolvere sia espressioni che equazioni.
Nelle espressioni il tuo obiettivo è svolgere un certo calcolo: quindi devi cercare di semplificare tutto il possibile.
Svolgi l'espressione seguente. \[ \left( \frac{4a^4}{2a^2-ab} -\frac{ab^3}{2ab-b^2} \right): (2a^2+ab)\]
Soluzione.
Il primo passaggio è eseguire la sottrazione tra parentesi. Per farlo devi portare le due frazioni al minimo comune denominatore: devi quindi scomporre i denominatori in fattori. In entrambi i casi puoi raccogliere a fattore comune.
\[ 2a^2-ab =a(2a-b), \quad 2ab-b^2 =b(2a-b)\] Il minimo comune denominatore dovrà essere multiplo di tutti i fattori che compaiono: \(a,b, 2a-b\), e quindi è il prodotto di questi tre. Per arrivarci, la prima frazione va moltiplicata per \(b\) e la seconda per \(a\).
\begin{align} & \left( \frac{4a^4}{a(2a-b)} \cdot \frac{b}{b}-\frac{ab^3}{b(2a-b)} \cdot \frac{a}{a} \right): (2a^2+ab)\\ & = \left( \frac{4a^4b}{ab(2a-b)} -\frac{a^2b^3}{ab(2a-b)} \right):(2a^2+ab) \\ & = \frac{4a^4b-a^2b^3}{ab(2a-b)} : (2a^2+ab)\end{align}
Ora devi eseguire la divisione: trasformala in moltiplicazione per il reciproco. \[ \left( \frac{4a^4b-a^2b^3}{ab(2a-b)} \right)\cdot \frac{1}{(2a^2+ab)} \] Per fare una semplificazione incrociata devi scomporre. Comincia raccogliendo un fattore \(a^2b\) dal numeratore della frazione a sinistra. Nel denominatore di quella a destra puoi raccogliere \(a\). \[ \frac{a^2b(4a^2-b^2)}{ab(2a-b)} \cdot \frac{1}{a(2a+b)} \]C'è una differenza di quadrati al numeratore: fattorizzata questa, puoi semplificare. \begin{align} & \frac{a^2b(2a-b)(2a+b)}{ab(2a-b)} \cdot \frac{1}{a(2a+b)} = \\ &= \frac{a^2b \cancel{(2a-b)}\cancel{(2a+b)}}{ab \cancel{(2a-b)}} \cdot \frac{1}{a\cancel{(2a+b)}} \\ & = \frac{a^2b}{a^2b} \\ & = \mathbf{1} \end{align}
Le equazioni con frazioni algebriche si risolvono nei soliti modi, a seconda che siano di primo o secondo grado. La parte "nuova" è quella iniziale, in cui compare un'espressione contenente frazioni algebriche che va manipolata fino ad arrivare ad un'equazione in forma standard. Inoltre devi imporre le condizioni di esistenza, che a volte possono portare ad escludere una soluzione.
Trova le soluzioni dell'equazione seguente. \[ \frac{x-3}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{2}{x(x-2)}\]
Soluzione.
Come prima cosa devi trovare le condizioni di esistenza: i denominatori devono essere tutti diversi da zero. \[x \neq 0, \quad x -2 \neq 0, \quad x(x-2) \neq 0\] I fattori nell'ultimo denominatore sono gli stessi che ci sono nei primi due: quindi puoi concludere che \[\mathbf{C.E.}: x \neq 0, \; x \neq 2.\]
Ora passa a risolvere l'equazione: porta al minimo comune denominatore tutte le frazioni. I fattori che compaiono ai denominatori sono \(x, x-2\): il mcm quindi sarà il loro prodotto \(x(x-2)\). Le frazioni al membro sinistro vanno moltiplicate, la prima per \(x\), la seconda per \(x-2\): la frazione a destra invece ha già il denominatore giusto.
\begin{align} \frac{x-3}{x-2}\cdot \frac{x}{x} -\frac{2}{x}\cdot \frac{x-2}{x-2} & = -\frac{2}{x(x-2)} \\ \frac{x^2-3x}{x(x-2)} + \frac{2x-4}{x(x-2)} + \frac{2}{x(x-2)} & = 0 \\ \frac{x^2-3x+2x-4 +2 }{x(x-2)} & = 0 \\ \frac{x^2-x-2 }{x(x-2)} = 0\end{align} A questo punto, perché la frazione sia nulla, il numeratore deve essere uguale a zero: quindi basta risolvere l'equazione \[x^2-x-2=0.\] In pratica, puoi dimenticare il denominatore: non ha più importanza, purché sia diverso da zero. Questo perché \(0\) diviso qualunque numero dà sempre \(0\): è sufficiente concentrarsi sul numeratore!
Puoi risolvere l'equazione \(x^2-x-2=0\) con il tuo metodo preferito per le equazioni di secondo grado, ottenendo le soluzioni \[x_1 =- 1, x_2 =2.\] A questo punto devi confrontarle con le condizioni di esistenza: dato per \(x = 2\) si annullano due denominatori, questa non è una soluzione accettabile, perché fa perdere di senso all'equazione.
L'unica soluzione quindi è \(x_1 =-1\), che non viola le condizioni di esistenza.
Frazioni algebriche - Punti chiave
- Una frazione algebrica è una frazione in cui compaiono polinomi al numeratore e al denominatore.
- Studiando una frazione algebrica bisogna stabilire le sue condizioni di esistenza: quali valori delle variabili danno senso alla frazione. Per farlo si cercano i valori delle variabili per cui si annulla il denominatore: su questi valori la frazione non si può calcolare.
- Così come le frazioni numeriche, le frazioni algebriche si possono semplificare: se uno stesso fattore compare sia al numeratore che al denominatore, questo fattore si può eliminare. Le condizione di esistenza che derivano da questi fattori, però, restano valide.
- È possibile semplificare una frazione dividendo numeratore e denominatore per il massimo comune divisore (MCD): questo si trova scomponendo in fattori e prendendo solamente i fattori comuni al minimo esponente con cui compaiono. In alternativa, si può semplificare facendo divisioni consecutive finché numeratore e denominatore non hanno più fattori in comune.
- Per fare addizioni e sottrazioni tra frazioni algebriche bisogna portarle al minimo comune denominatore. Si tratta del minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori. Si trova scomponendo in fattori i denominatori, e prendendo il prodotto di tutti i fattori con il massimo esponente con cui compaiono.
- Nella moltiplicazione tra due frazioni algebriche si cerca prima di fare una semplificazione incrociata: ovvero semplificare i fattori che compaiono al numeratore di una con gli stessi fattori che sono al denominatore dell'altra. Dopodiché si moltiplicano numeratori con numeratori, e denominatori con denominatori.
- Le divisioni tra due frazioni algebriche si trasformano in moltiplicazioni della prima frazione (il dividendo) per il reciproco della seconda frazione (il divisore).
- Le potenze di frazioni algebriche si calcolano elevando allo stesso esponente sia numeratore che denominatore.
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