In matematica si fa un grande riciclaggio di idee: se impari un metodo per risolvere un problema, è sicuro che lo riutilizzerai anche in problemi diversi! Spesso un primo metodo diventa uno dei passaggi per arrivare a risolvere un problema più complesso. Succede così anche con le equazioni di secondo grado: saperle risolvere è il primo passaggio per affrontare le disequazioni di secondo grado.
Disequazioni di secondo grado: i passaggi
Per risolvere le disequazioni di secondo grado bisogna fare attenzione a seguire precisamente tutti i passaggi, senza cercare scorciatoie. Questo è importante: la maggior parte degli errori sono fatti perché si cerca di risolvere una disequazione di secondo grado come se fosse di primo. Non è così!
I passaggi da svolgere sono questi:
Portare la disequazione in forma normale.
Risolvere l'equazione associata e riportare le soluzioni \(x_1, x_2\) su un asse.
Controllare il segno di \(a\) e rappresentare graficamente l'equazione \(y=ax^2+bx+c\).
Studiare il segno della disequazione e selezionare quali intervalli la verificano.
Forma normale
Il primo passaggio è quello di arrivare alla forma normale: un polinomio di secondo grado al primo membro, poi il segno, e quindi zero al secondo membro. La struttura è la seguente: \[ax^2+bx+c \gtreqless 0 \] dove al posto di \(\gtreqless\) c'è uno dei quattro simboli \(<, >, \leq, \geq\).
Mentre il termine \(a\) deve sempre essere diverso da \(0\), i termini \(b\) e \(c\) possono essere nulli: in questo caso, come per le equazioni di secondo grado, si dice che la disequazione è incompleta.
Se \(b=c=0\), c'è una disequazione monomia: \(ax^2 \gtreqless 0\).
Se \(b=0\) e \(c \neq 0\) la disequazione è pura ed è nella forma \(ax^2+c \gtreqless 0 \).
Se \(b \neq 0\) e \(c=0\) la disequazione è spuria ed è nella forma \(ax^2+bx \gtreqless 0 \).
Per portare una disequazione in forma normale si manipolano primo e secondo membro come si fa, in generale, nelle disequazioni. In pratica, puoi fare tre cose:
Spostare un termine dal primo al secondo membro, e viceversa, cambiandone il segno.
Moltiplicare o dividere per un numero positivo.
Moltiplicare o dividere per un numero negativo, cambiando il verso della disequazione.
Considera la disequazione seguente. \[(3x-1)(x+1) > -2x + 3\] Svolgi i calcoli e sposta i termini al primo membro in modo da arrivare alla forma normale. \begin{align} (3x-1)(x+1) & > -2x + 3 \\ 3x^2+3x-x-1 &> -2x+3 \\ 3x^2+2x-1 +2x-3 &> 0 \\ 3x^2+4x-4 &> 0\end{align} A questo punto puoi passare alla risoluzione!
Risolvere l'equazione associata
Data una disequazione in forma normale \[ax^2+bx+c \gtreqless 0\] si considera l'equazione associata \[ax^2+bx+c =0.\]Il primo passaggio è risolvere l'equazione: puoi ripassare i metodi risolutivi con l'articolo sulle equazioni di secondo grado. In genere si usa la formula. \[ x_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] Il termine sotto radice si chiama discriminante, ma viene spesso chiamato delta: \(\Delta = b^2-4ac\). Il segno del discriminante determina il numero di soluzioni dell'equazione:
se \(\Delta <0\) non c'è nessuna soluzione.
se \(\Delta =0\) c'è una sola soluzione (o meglio: due soluzioni coincidenti).
se \(\Delta > 0\) ci sono due soluzioni distinte.
Attenzione, però: il delta determina le soluzioni dell'equazione, non quelle della disequazione! La disequazione potrebbe avere soluzioni anche se \(\Delta <0\).
Prosegui con la disequazione precedente \(3x^2+4x-4 > 0\). Devi risolvere l'equazione associata \(3x^2+4x-4 = 0\). Per farlo sostituisci i coefficienti nella formula: \begin{align} x_{1,2} & = \frac{b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{ -4 \pm \sqrt{ 4^2 - 4\cdot 3(-4)}}{2 \cdot 3} \\ & = \frac{ -4 \pm \sqrt{16+48} }{6} \\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} \\ & = \frac{-4 \pm 8}{6} \end{align}Le soluzioni sono \[x_1 = \frac{-4+8}{6} = \frac{4}{6} =\frac{2}{3}\] e \[x_2=\frac{-4-8}{6} =\frac{-12}{6} =-2\]
Rappresentazione grafica
Risolta l'equazione associata, torna alla disequazione: devi studiare se la quantità \(ax^2+bx+c\) è maggiore o minore di zero. Per aiutarti, puoi rappresentare questa quantità al variare di \(x\) sul piano cartesiano. L'idea è rappresentare dei punti con coordinate \( (x, y=ax^2+bx+c)\): la curva che ottieni unendo punti di questo tipo è una parabola.
Ci sono due possibilità: se il coefficiente di \(x^2\) è positivo, la parabola ha i bracci rivolti verso l'alto e una forma simile a quella di una U.
Figura 1. Grafico di \(y=ax^2+bx+c\) per \(a > 0\).
Se invece il coefficiente di \(x^2\) è negativo, si ha una curva a forma di U rovesciata: la pancia è verso l'alto e i bracci della parabola sono rivolti verso il basso.
Figura 2. Grafico di \(y=ax^2+bx+c\) per \(a < 0\).
Le soluzioni dell'equazione danno i punti in cui la curva che stai disegnando tocca l'asse \(x\): sono tanti punti quante sono le soluzioni. Se non ci sono soluzioni, la parabola è sempre sopra l'asse se \(a >0\), sempre sotto se \(a <0\).
Non preoccuparti di fare un disegno preciso: la cosa importante è l'andamento generale, ovvero capire se il grafico ha i bracci verso l'alto o verso il basso.
Considera la disequazione \(3x^2+4x-4 > 0\).
La curva \(y=3x^2+4x-4\) toccherà l'asse \(x\) nei punti \(x_1=\frac{2}{3}\) e \(x_2=-2\). Siccome il coefficiente di \(x^2\) è \(3\) ed è positivo, la parabola avrà i bracci rivolti verso l'alto. Il grafico sarà circa quello che vedi qui sotto.
Figura 3. Andamento di \(y=3x^2+4x-4\).
Trovare il segno e le soluzioni
A questo punto hai una curva che rappresenta \(ax^2+bx+c\) al variare di \(x\): quello che devi capire è quando la quantità considerata è maggiore o minore di zero.
Diciamo che devi risolvere \(ax^2+bx+c > 0\). Sul piano cartesiano lo zero è rappresentato dall'asse \(x\): le soluzioni della disequazione quindi corrispondono agli intervalli in cui la parabola si trova sopra l'asse. Con il segno \(\geq\) fai lo stesso ragionamento: l'unica differenza è che devi includere anche i due punti in cui la parabola tocca l'asse.
Proseguendo con \(3x^2+4x-4 > 0\), nel punto precedente hai fatto il grafico corrispondente alla parabola: ora devi selezionare gli intervalli in cui la disequazione è valida. Dato che il segno è \(>\), si tratta degli intervalli in cui la parabola è sopra l'asse; i punti in cui c'è intersezione non fanno parte delle soluzioni, quindi li rappresenterai con un cerchietto vuoto.
Figura 5. Rappresentazione delle soluzioni della disequazione \(3x^2+4x-4 > 0\).
In questo caso le soluzioni sono gli intervalli esterni alle soluzioni \(x_1=\frac{2}{3}\) e \(x_2=-2\). Puoi scrivere queste soluzioni in modi diversi:
\[ x < -2 \; \vee \; x > \frac{2}{3}\]oppure \[ (-\infty, -2) \cup (\tfrac{2}{3}, \infty).\] Scegli sempre la notazione che usi in classe per semplicità.
Per risolvere una disequazione del tipo \(ax^2+bx+c < 0\), invece, devi cercare gli intervalli in cui la parabola è sotto l'asse. Con \(\leq\) fai lo stesso, aggiungendo semplicemente i punti in cui la parabola tocca l'asse come fatto con \(\geq\).
Disequazioni di secondo grado: esercizi svolti
Anche nelle disequazioni di secondo grado ci sono casi particolari in cui è facile restare confusi sul da farsi e non capire come individuare le soluzioni. Un primo caso che crea spesso confusione è quello delle disequazioni spurie.
Risolvi la disequazione \(x^2 \leq 2x\).
Soluzione.
Potresti avere la tentazione di dividere per \(x\): non farlo! Non devi mai dividere per le incognite nelle equazioni o nelle disequazioni. Devi portare in forma normale: tutti i termini vanno al primo membro. Basta un solo passaggio: \[x^2-2x \leq 0\,.\] Passa all'equazione associata: \(x^2-2x =0\) è spuria, quindi puoi risolverla raccogliendo \(x\). \begin{align} x^2-2x & = 0 \\ x(x-2) &= 0 \end{align} Il prodotto si annulla per \(x=0\) o per \(x-2=0\): questo dà le soluzioni \(x_1=0\) e \(x_2=2\).
Rappresenta sul piano la parabola: i bracci sono verso l'alto perché il coefficiente di \(x^2\) è \(1\) ed è \(> 0\). Ora devi trovare dove la parabola è \(\leq 0\): si ha l'\(=\) nei punti \(x_1\) e \(x_2\) e il \(<\) nell'intervallo compreso tra questi due punti. L'insieme delle soluzioni quindi è \[ 0 \leq x \leq 2.\]
A volte capita che l'equazione associata non abbia soluzione, ma la disequazione invece sì.
Risolvi la disequazione \(-4x^2+3x -1 < 0\).
Soluzione.
La disequazione è già in forma normale: passa all'equazione associata \(-4x^2+3x-1 = 0\). Calcola il discriminante. \[\Delta = 3^2-4(-4)(-1) = 9-16 =-7\] Dato che è negativo, l'equazione associata non ha soluzioni: la parabola corrispondente non tocca mai l'asse \(x\). Il coefficiente di \(x^2\) è \(-4\) ed è negativo, quindi la parabola ha i bracci rivolti verso il basso e si trova sempre sotto l'asse.
Dato che la disequazione chiede dove la parabola si trova sotto l'asse, le soluzioni sono tutti i numeri reali! La disequazione è verificata \(\forall x \in \mathbb{R}\) ("per ogni \(x\) appartenente a \( \mathbb{R}\)").
In alcuni casi c'è una sola soluzione!
Risolvi la disequazione \(6x \leq -x^2-9\).
Soluzione.
Porta la disequazione in forma normale: sposta tutto a sinistra. \[ x^2+6x+9 \leq 0\] Ora applica la formula per risolvere l'equazione associata \(x^2+6x+9=0\). Come prima cosa calcola il discriminante. \[\Delta = 6^2-4\cdot 1 \cdot 9 =36-36=0\]Questo significa che ci sarà una sola soluzione. \[ x_{1,2} = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = - \frac{6 \pm 0}{2\cdot 1} = -3 \] Passiamo alla disequazione. Il coefficiente di \(x^2\) è \(1\), quindi la parabola ha i bracci verso l'alto e tocca l'asse \(x\) nel punto \(-3\).
Le soluzioni della disequazione sono gli intervalli in cui la parabola si trova sotto l'asse o lo tocca: in questo caso la parabola si trova sempre sopra l'asse, eccetto nel punto \(x=-3\). Questo punto è l'unica soluzione!
Disequazioni di secondo grado: tabella delle soluzioni
Le soluzioni delle disequazioni di secondo grado sono abbastanza standard: si possono dividere e riassumere in vari casi sfruttando delle tabelle. Qui su Studysmarter abbiamo fatto due tabelle: una per \(a > 0\) e una per \(a < 0\). Le tabelle hanno sulle righe il simbolo che compare nella disequazione e sulle colonne i possibili segni di \(\Delta\). Nelle caselle centrali trovi le possibili soluzioni a seconda del simbolo e del valore di \(\Delta\). Nel caso in cui \(\Delta > 0\) hai due soluzioni distinte dell'equazione associata \(x_1, x_2\); nel caso \(\Delta =0\) le soluzioni sono coincidenti e quindi le indichiamo con un altro simbolo \(\bar{x}=x_1=x_2\).
Caso 1: \(a>0\)
In questo caso la parabola ha il vertice verso il basso e i bracci verso l'alto.
| \(\Delta > 0\) | \(\Delta =0\) | \(\Delta < 0\) |
| \(ax^2+bx+c > 0\) | Soluzioni: \(x x_2\). | Soluzioni: \(x \neq \bar{x}\). | Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\). |
| \(ax^2+bx+c \geq 0\) | Soluzioni: \(x \leq x_1 \cup x \geq x_2\). | Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R} \). | Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\). |
| \(ax^2+bx+c < 0\) | Soluzioni: \( x_1 < x < x_2\) | Soluzioni: \(\emptyset\). | Soluzioni: \(\emptyset\). |
| \(ax^2+bx+c \leq 0\) | Soluzioni: \( x_1 \leq x \leq x_2\) | Soluzioni: \(x= \bar{x}\). | Soluzioni: \(\emptyset\). |
Caso 2: \(a < 0\)
In questo caso la parabola ha il vertice verso l'alto.
| \(\Delta > 0\) | \(\Delta =0\) | \(\Delta < 0\) |
| \(ax^2+bx+c > 0\) | Soluzioni: \( x_1 < x < x_2\). | Soluzioni: \(\emptyset\). | Soluzioni: \(\emptyset\). |
| \(ax^2+bx+c \geq 0\) | Soluzioni: \( x_1 \leq x \leq x_2\). | Soluzioni: \(x= \bar{x}\). | Soluzioni: \(\emptyset\). |
| \(ax^2+bx+c < 0\) | Soluzioni: \(x x_2\). | Soluzioni: \(x \neq \bar{x}\). | Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\). |
| \(ax^2+bx+c \leq 0\) | Soluzioni: \(x \leq x_1 \cup x \geq x_2\). | Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R} \). | Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\). |
Disequazioni di secondo grado - Punti chiave
- Una disequazione di secondo grado è una disequazione in cui compare la variabile \(x\) elevata al quadrato e non a potenze superiori.
- Per risolvere una disequazione di secondo grado bisogna svolgere i seguenti passaggi:
Portare la disequazione in forma normale.
Risolvere l'equazione associata e riportare le soluzioni \(x_1, x_2\) su un asse.
Controllare il segno di \(a\) e rappresentare graficamente l'equazione \(y=ax^2+bx+c\).
Studiare il segno della disequazione e selezionare quali intervalli la verificano.
Portare la disequazione in forma normale significa manipolarla con i principi di equivalenza delle disequazioni per arrivare ad avere i termini al primo membro, poi un segno tra \(<, >, \geq, \leq\) e infine lo \(0\) a secondo membro. La struttura a questo punto è \(ax^2+bx+c \gtreqless 0\).
Una volta che si ha la disequazione in forma normale \(ax^2+bx+c \gtreqless 0\) si risolve l'equazione associata \(ax^2+bx+c=0\).
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