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Disequazioni di secondo grado

In matematica si fa un grande riciclaggio di idee: se impari un metodo per risolvere un problema, è sicuro che lo riutilizzerai anche in problemi diversi! Spesso un primo metodo diventa uno dei passaggi per arrivare a risolvere un problema più complesso. Succede così anche con le equazioni di secondo grado: saperle risolvere è il primo passaggio per affrontare le disequazioni di secondo grado.

Disequazioni di secondo grado: i passaggi

Per risolvere le disequazioni di secondo grado bisogna fare attenzione a seguire precisamente tutti i passaggi, senza cercare scorciatoie. Questo è importante: la maggior parte degli errori sono fatti perché si cerca di risolvere una disequazione di secondo grado come se fosse di primo. Non è così!

I passaggi da svolgere sono questi:

  1. Portare la disequazione in forma normale.

  2. Risolvere l'equazione associata e riportare le soluzioni \(x_1, x_2\) su un asse.

  3. Controllare il segno di \(a\) e rappresentare graficamente l'equazione \(y=ax^2+bx+c\).

  4. Studiare il segno della disequazione e selezionare quali intervalli la verificano.

Forma normale

Il primo passaggio è quello di arrivare alla forma normale: un polinomio di secondo grado al primo membro, poi il segno, e quindi zero al secondo membro. La struttura è la seguente: \[ax^2+bx+c \gtreqless 0 \] dove al posto di \(\gtreqless\) c'è uno dei quattro simboli \(<, >, \leq, \geq\).

Mentre il termine \(a\) deve sempre essere diverso da \(0\), i termini \(b\) e \(c\) possono essere nulli: in questo caso, come per le equazioni di secondo grado, si dice che la disequazione è incompleta.

  • Se \(b=c=0\), c'è una disequazione monomia: \(ax^2 \gtreqless 0\).

  • Se \(b=0\) e \(c \neq 0\) la disequazione è pura ed è nella forma \(ax^2+c \gtreqless 0 \).

  • Se \(b \neq 0\) e \(c=0\) la disequazione è spuria ed è nella forma \(ax^2+bx \gtreqless 0 \).

Per portare una disequazione in forma normale si manipolano primo e secondo membro come si fa, in generale, nelle disequazioni. In pratica, puoi fare tre cose:

  • Spostare un termine dal primo al secondo membro, e viceversa, cambiandone il segno.

  • Moltiplicare o dividere per un numero positivo.

  • Moltiplicare o dividere per un numero negativo, cambiando il verso della disequazione.

Considera la disequazione seguente. \[(3x-1)(x+1) > -2x + 3\] Svolgi i calcoli e sposta i termini al primo membro in modo da arrivare alla forma normale. \begin{align} (3x-1)(x+1) & > -2x + 3 \\ 3x^2+3x-x-1 &> -2x+3 \\ 3x^2+2x-1 +2x-3 &> 0 \\ 3x^2+4x-4 &> 0\end{align} A questo punto puoi passare alla risoluzione!

Risolvere l'equazione associata

Data una disequazione in forma normale \[ax^2+bx+c \gtreqless 0\] si considera l'equazione associata \[ax^2+bx+c =0.\]Il primo passaggio è risolvere l'equazione: puoi ripassare i metodi risolutivi con l'articolo sulle equazioni di secondo grado. In genere si usa la formula. \[ x_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] Il termine sotto radice si chiama discriminante, ma viene spesso chiamato delta: \(\Delta = b^2-4ac\). Il segno del discriminante determina il numero di soluzioni dell'equazione:

  • se \(\Delta <0\) non c'è nessuna soluzione.

  • se \(\Delta =0\) c'è una sola soluzione (o meglio: due soluzioni coincidenti).

  • se \(\Delta > 0\) ci sono due soluzioni distinte.

Attenzione, però: il delta determina le soluzioni dell'equazione, non quelle della disequazione! La disequazione potrebbe avere soluzioni anche se \(\Delta <0\).

Prosegui con la disequazione precedente \(3x^2+4x-4 > 0\). Devi risolvere l'equazione associata \(3x^2+4x-4 = 0\). Per farlo sostituisci i coefficienti nella formula: \begin{align} x_{1,2} & = \frac{b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{ -4 \pm \sqrt{ 4^2 - 4\cdot 3(-4)}}{2 \cdot 3} \\ & = \frac{ -4 \pm \sqrt{16+48} }{6} \\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} \\ & = \frac{-4 \pm 8}{6} \end{align}Le soluzioni sono \[x_1 = \frac{-4+8}{6} = \frac{4}{6} =\frac{2}{3}\] e \[x_2=\frac{-4-8}{6} =\frac{-12}{6} =-2\]

Rappresentazione grafica

Risolta l'equazione associata, torna alla disequazione: devi studiare se la quantità \(ax^2+bx+c\) è maggiore o minore di zero. Per aiutarti, puoi rappresentare questa quantità al variare di \(x\) sul piano cartesiano. L'idea è rappresentare dei punti con coordinate \( (x, y=ax^2+bx+c)\): la curva che ottieni unendo punti di questo tipo è una parabola.

Ci sono due possibilità: se il coefficiente di \(x^2\) è positivo, la parabola ha i bracci rivolti verso l'alto e una forma simile a quella di una U.

Disequazioni di secondo grado Grafico parabola con coefficiente del termine di secondo grado positivo StudySmarterFigura 1. Grafico di \(y=ax^2+bx+c\) per \(a > 0\).

Se invece il coefficiente di \(x^2\) è negativo, si ha una curva a forma di U rovesciata: la pancia è verso l'alto e i bracci della parabola sono rivolti verso il basso.

Disequazioni di secondo grado Grafico di una parabola con coefficiente del termine di secondo grado negativo StudySmarterFigura 2. Grafico di \(y=ax^2+bx+c\) per \(a < 0\).

Le soluzioni dell'equazione danno i punti in cui la curva che stai disegnando tocca l'asse \(x\): sono tanti punti quante sono le soluzioni. Se non ci sono soluzioni, la parabola è sempre sopra l'asse se \(a >0\), sempre sotto se \(a <0\).

Non preoccuparti di fare un disegno preciso: la cosa importante è l'andamento generale, ovvero capire se il grafico ha i bracci verso l'alto o verso il basso.

Considera la disequazione \(3x^2+4x-4 > 0\).

La curva \(y=3x^2+4x-4\) toccherà l'asse \(x\) nei punti \(x_1=\frac{2}{3}\) e \(x_2=-2\). Siccome il coefficiente di \(x^2\) è \(3\) ed è positivo, la parabola avrà i bracci rivolti verso l'alto. Il grafico sarà circa quello che vedi qui sotto.

Disequazioni di secondo grado Grafico di una parabola StudySmarterFigura 3. Andamento di \(y=3x^2+4x-4\).

Trovare il segno e le soluzioni

A questo punto hai una curva che rappresenta \(ax^2+bx+c\) al variare di \(x\): quello che devi capire è quando la quantità considerata è maggiore o minore di zero.

Diciamo che devi risolvere \(ax^2+bx+c > 0\). Sul piano cartesiano lo zero è rappresentato dall'asse \(x\): le soluzioni della disequazione quindi corrispondono agli intervalli in cui la parabola si trova sopra l'asse. Con il segno \(\geq\) fai lo stesso ragionamento: l'unica differenza è che devi includere anche i due punti in cui la parabola tocca l'asse.

Proseguendo con \(3x^2+4x-4 > 0\), nel punto precedente hai fatto il grafico corrispondente alla parabola: ora devi selezionare gli intervalli in cui la disequazione è valida. Dato che il segno è \(>\), si tratta degli intervalli in cui la parabola è sopra l'asse; i punti in cui c'è intersezione non fanno parte delle soluzioni, quindi li rappresenterai con un cerchietto vuoto.

Disequazioni di secondo grado Grafico delle soluzioni StudySmarterFigura 5. Rappresentazione delle soluzioni della disequazione \(3x^2+4x-4 > 0\).

In questo caso le soluzioni sono gli intervalli esterni alle soluzioni \(x_1=\frac{2}{3}\) e \(x_2=-2\). Puoi scrivere queste soluzioni in modi diversi:

\[ x < -2 \; \vee \; x > \frac{2}{3}\]oppure \[ (-\infty, -2) \cup (\tfrac{2}{3}, \infty).\] Scegli sempre la notazione che usi in classe per semplicità.

Per risolvere una disequazione del tipo \(ax^2+bx+c < 0\), invece, devi cercare gli intervalli in cui la parabola è sotto l'asse. Con \(\leq\) fai lo stesso, aggiungendo semplicemente i punti in cui la parabola tocca l'asse come fatto con \(\geq\).

Disequazioni di secondo grado: esercizi svolti

Anche nelle disequazioni di secondo grado ci sono casi particolari in cui è facile restare confusi sul da farsi e non capire come individuare le soluzioni. Un primo caso che crea spesso confusione è quello delle disequazioni spurie.

Risolvi la disequazione \(x^2 \leq 2x\).

Soluzione.

Potresti avere la tentazione di dividere per \(x\): non farlo! Non devi mai dividere per le incognite nelle equazioni o nelle disequazioni. Devi portare in forma normale: tutti i termini vanno al primo membro. Basta un solo passaggio: \[x^2-2x \leq 0\,.\] Passa all'equazione associata: \(x^2-2x =0\) è spuria, quindi puoi risolverla raccogliendo \(x\). \begin{align} x^2-2x & = 0 \\ x(x-2) &= 0 \end{align} Il prodotto si annulla per \(x=0\) o per \(x-2=0\): questo dà le soluzioni \(x_1=0\) e \(x_2=2\).

Rappresenta sul piano la parabola: i bracci sono verso l'alto perché il coefficiente di \(x^2\) è \(1\) ed è \(> 0\). Ora devi trovare dove la parabola è \(\leq 0\): si ha l'\(=\) nei punti \(x_1\) e \(x_2\) e il \(<\) nell'intervallo compreso tra questi due punti. L'insieme delle soluzioni quindi è \[ 0 \leq x \leq 2.\]

A volte capita che l'equazione associata non abbia soluzione, ma la disequazione invece sì.

Risolvi la disequazione \(-4x^2+3x -1 < 0\).

Soluzione.

La disequazione è già in forma normale: passa all'equazione associata \(-4x^2+3x-1 = 0\). Calcola il discriminante. \[\Delta = 3^2-4(-4)(-1) = 9-16 =-7\] Dato che è negativo, l'equazione associata non ha soluzioni: la parabola corrispondente non tocca mai l'asse \(x\). Il coefficiente di \(x^2\) è \(-4\) ed è negativo, quindi la parabola ha i bracci rivolti verso il basso e si trova sempre sotto l'asse.

Dato che la disequazione chiede dove la parabola si trova sotto l'asse, le soluzioni sono tutti i numeri reali! La disequazione è verificata \(\forall x \in \mathbb{R}\) ("per ogni \(x\) appartenente a \( \mathbb{R}\)").

In alcuni casi c'è una sola soluzione!

Risolvi la disequazione \(6x \leq -x^2-9\).

Soluzione.

Porta la disequazione in forma normale: sposta tutto a sinistra. \[ x^2+6x+9 \leq 0\] Ora applica la formula per risolvere l'equazione associata \(x^2+6x+9=0\). Come prima cosa calcola il discriminante. \[\Delta = 6^2-4\cdot 1 \cdot 9 =36-36=0\]Questo significa che ci sarà una sola soluzione. \[ x_{1,2} = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = - \frac{6 \pm 0}{2\cdot 1} = -3 \] Passiamo alla disequazione. Il coefficiente di \(x^2\) è \(1\), quindi la parabola ha i bracci verso l'alto e tocca l'asse \(x\) nel punto \(-3\).

Le soluzioni della disequazione sono gli intervalli in cui la parabola si trova sotto l'asse o lo tocca: in questo caso la parabola si trova sempre sopra l'asse, eccetto nel punto \(x=-3\). Questo punto è l'unica soluzione!

Disequazioni di secondo grado: tabella delle soluzioni

Le soluzioni delle disequazioni di secondo grado sono abbastanza standard: si possono dividere e riassumere in vari casi sfruttando delle tabelle. Qui su Studysmarter abbiamo fatto due tabelle: una per \(a > 0\) e una per \(a < 0\). Le tabelle hanno sulle righe il simbolo che compare nella disequazione e sulle colonne i possibili segni di \(\Delta\). Nelle caselle centrali trovi le possibili soluzioni a seconda del simbolo e del valore di \(\Delta\). Nel caso in cui \(\Delta > 0\) hai due soluzioni distinte dell'equazione associata \(x_1, x_2\); nel caso \(\Delta =0\) le soluzioni sono coincidenti e quindi le indichiamo con un altro simbolo \(\bar{x}=x_1=x_2\).

Caso 1: \(a>0\)

In questo caso la parabola ha il vertice verso il basso e i bracci verso l'alto.

\(\Delta > 0\)\(\Delta =0\)\(\Delta < 0\)
\(ax^2+bx+c > 0\)Soluzioni: \(x x_2\).Soluzioni: \(x \neq \bar{x}\).Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\).
\(ax^2+bx+c \geq 0\)Soluzioni: \(x \leq x_1 \cup x \geq x_2\).Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R} \).Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\).
\(ax^2+bx+c < 0\)Soluzioni: \( x_1 < x < x_2\)Soluzioni: \(\emptyset\).Soluzioni: \(\emptyset\).
\(ax^2+bx+c \leq 0\)Soluzioni: \( x_1 \leq x \leq x_2\)Soluzioni: \(x= \bar{x}\).Soluzioni: \(\emptyset\).

Caso 2: \(a < 0\)

In questo caso la parabola ha il vertice verso l'alto.

\(\Delta > 0\)\(\Delta =0\)\(\Delta < 0\)
\(ax^2+bx+c > 0\)Soluzioni: \( x_1 < x < x_2\).Soluzioni: \(\emptyset\).Soluzioni: \(\emptyset\).
\(ax^2+bx+c \geq 0\)Soluzioni: \( x_1 \leq x \leq x_2\).Soluzioni: \(x= \bar{x}\).Soluzioni: \(\emptyset\).
\(ax^2+bx+c < 0\)Soluzioni: \(x x_2\).Soluzioni: \(x \neq \bar{x}\).Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\).
\(ax^2+bx+c \leq 0\)Soluzioni: \(x \leq x_1 \cup x \geq x_2\).Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R} \).Soluzioni: \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Disequazioni di secondo grado - Punti chiave

  • Una disequazione di secondo grado è una disequazione in cui compare la variabile \(x\) elevata al quadrato e non a potenze superiori.
  • Per risolvere una disequazione di secondo grado bisogna svolgere i seguenti passaggi:
    • Portare la disequazione in forma normale.

    • Risolvere l'equazione associata e riportare le soluzioni \(x_1, x_2\) su un asse.

    • Controllare il segno di \(a\) e rappresentare graficamente l'equazione \(y=ax^2+bx+c\).

    • Studiare il segno della disequazione e selezionare quali intervalli la verificano.

  • Portare la disequazione in forma normale significa manipolarla con i principi di equivalenza delle disequazioni per arrivare ad avere i termini al primo membro, poi un segno tra \(<, >, \geq, \leq\) e infine lo \(0\) a secondo membro. La struttura a questo punto è \(ax^2+bx+c \gtreqless 0\).

  • Una volta che si ha la disequazione in forma normale \(ax^2+bx+c \gtreqless 0\) si risolve l'equazione associata \(ax^2+bx+c=0\).

Domande frequenti riguardo Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado di risolvono in vari passaggi.

  1. Si scrive la disequazione in forma normale: al primo membro un polinomio di secondo grado ax2+bx+c e al secondo membro lo zero.
  2. Si risolve l'equazione associata.
  3. Si rappresenta la disequazione come una parabola, che tocca l'asse x nelle soluzioni dell'equazione associata. Il vertice della parabola è verso l'alto se <0 e verso il basso se >0.
  4. Si trovano gli intervalli che verificano la disequazione: questi sono le soluzioni.

Quando il delta nell'equazione di secondo grado è negativo, non ci sono soluzioni. Questo significa che la parabola che rappresenta il polinomio è sempre sopra, o sempre sotto l'asse x.

La disequazione di secondo grado in questo caso può comunque avere soluzioni. I casi sono quattro. 

  1. La disequazione chiede dove la parabola è maggiore di zero, e la parabola si trova sotto l'asse x: nessuna soluzione.
  2. La disequazione chiede dove la parabola è minore di zero, e la parabola si trova sotto l'asse x: ogni numero reale è soluzione.
  3. La disequazione chiede dove la parabola è maggiore di zero, e la parabola si trova sopra l'asse x: ogni numero reale è soluzione.
  4. La disequazione chiede dove la parabola è minore di zero, e la parabola si trova sopra l'asse x: nessuna soluzione.

Le disequazioni di secondo grado incomplete si svolgono come quelle complete: si mettono in forma normale, si trovano le soluzioni dell'equazione associata, e si valuta il segno. 

La differenza è che l'equazione associata, essendo incompleta, si può risolvere in modo più rapido: ma i passaggi successivi per la disequazione restano gli stessi.

Non c'è un numero finale di tipi di disequazione. Ogni espressione.

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