Le radici dei numeri reali sono numeri irrazionali: hanno infinite cifre decimali dopo la virgola e nessuna ripetizione regolare. Imparando qualche trucco per manipolare le radici, invece, possiamo ottenere espressioni matematiche più chiare e semplici e scrivere i numeri come radicali.
Cosa sono i radicali?
Un radicale è un'espressione che contiene un simbolo di radice applicato a qualche espressione algebrica, o più semplicemente a qualche numero. In simboli, è un'espressione della forma \[\sqrt[n]{x}\] e si legge "radice ennesima di x". I numeri che compaiono hanno dei nomi specifici: \(n\) è un numero naturale positivo, si chiama indice della radice, \(x\) si chiama radicando ed è un numero reale. In genere negli esercizi al posto di \(x\) trovi un numero intero, un numero razionale o un'espressione algebrica. Il risultato dell'operazione si chiama radice.
L'estrazione di radice è l'operazione opposta dell'elevamento a potenza: scrivere \[y= \sqrt[n]{x}\] significa anche che \[y^n=x \]Sembra naturale definire la radice \(n\)-esima di un numero \(x\) come il numero \(y\) che verifica quest'uguaglianza, ma bisogna fare attenzione.
Se l'indice \(n\) è dispari, non ci sono problemi: c'è un solo numero \(y\) che verifica \(y^n=x\). Questo numero è la radice \(n\)-esima di \(x\).
Se l'indice \(n\) è pari, ci sono due numeri \(y\) opposti per cui \(y^n=x\). In questo caso si definisce radice \(n\)-esima di \(x\) solo il numero positivo.
Ad esempio, \(2^2=(-2)^2=4\), ma \(\sqrt{4}=2\); non è corretto scrivere \(\sqrt{4}=-2\). Questo non significa che \((-2)^2\) non faccia \(4\): il punto è che assegnare due possibili risultati alla radice crea un sacco di problemi sia teorici che pratici. Ogni operazione matematica deve dare un solo risultato: si sceglie quello positivo.
Resta vero che \((-2)^2 = 4\): si può esprimere scrivendo che \(-\sqrt{4}=-2\).
I radicali si possono esprimere anche in notazione esponenziale: una radice con indice \(n\) si può indicare anche come elevamento alla potenza che ha per esponente il reciproco di \(n\), ovvero \(\frac{1}{n}\). È più semplice scriverlo in formula!
\[ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\]
Se al radicando c'è una potenza, l'esponente della potenza va al numeratore della frazione.
\[ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\]
Considera \(\sqrt[3]{8}\): puoi scriverlo come \(8^{\frac{1}{3}}\). Dato che \(8=2^3\) puoi scrivere
\[ \sqrt[3]{8} = \sqrt[ 3]{2^{ 3}} = 2 \]
Riscrivendo la stessa cosa con la notazione esponenziale, puoi cancellare gli esponenti:
\[ 8^{\frac{1}{3}} = \left( 2^{\cancel 3} \right)^{\frac{1}{\cancel 3}} = 2 \]
Quindi puoi semplificare anche indice ed esponente del radicando.
In generale l'indice \(n\) negli esercizi è un numero esplicito, e quindi la radice prende un nome specifico:
Se l'indice è 2, si può evitare di scriverlo: \( \sqrt{x} =\sqrt[2]{x}\). In questo caso si parla di radice quadrata.
Se l'indice è 3 la radice è chiamata radice cubica.
Negli altri casi, si usa l'aggettivo ordinale del numero: radice quarta, radice quinta, e così via.
Condizioni di esistenza dei radicali
Pensa a cosa succede al segno quando elevi un numero al quadrato: \(2^2=4\), ma anche \((-2)^2=4\). Qualunque numero negativo, se elevato a esponente positivo, dà un risultato positivo.
\[ (-4)^2 =16, \quad \left(-\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}, \quad (-0{,}83)^6 = 0{,}326940373369. \]
Il risultato di un'elevamento a una potenza pari non può mai essere negativo: di conseguenza, non è possibile calcolare radici con indice pari su un radicando negativo.
La condizione di esistenza di un radicale con indice pari, quindi, è che il radicando non sia negativo. Non puoi calcolare \(\sqrt[8]{-2}, \sqrt[4]{-3,21}, \sqrt{-\pi} \)!
E quando l'indice è dispari? I numeri negativi, se elevati a una potenza dispari, restano negativi. Ad esempio:
\[ (-2)^3 =-8, \quad (-0,1)^5=-0,00001, \quad \left(-\frac{1}{2}\right)^7=- \frac{1}{128}, \] e potresti continuare aggiungendo altri numeri e altre potenze. Di conseguenza, sui numeri negativi è possibile estrarre radici cubiche, quinte, settime, etc, senza nessun problema.
Sui radicali ad indice dispari, quindi, non serve verificare condizioni di esistenza: la radice è sempre definita e ha lo stesso segno del radicando.
È importante verificare le condizioni di esistenza soprattutto quando il radicando è un'espressione algebrica. Se devi studiare, ad esempio
\[\sqrt{x^2-4}, \quad \sqrt{3x^2a^4b} \]
è importante esaminare solo i casi in cui l'espressione sotto radice risulta positiva. In caso contrario, si rischia di ottenere risultati impossibili! Studierai meglio questo problema affrontando le equazioni irrazionali.
A voler essere precisi, dire che le radici dei numeri negativi non esistono non è corretto: è meglio dire che non esistono nei numeri reali. Si può definire, però, un nuovo insieme di numeri in cui esistono anche le radici dei numeri negativi: in particolare, si definisce l'unità immaginaria \(i \) come la radice quadrata \(\sqrt{-1}\). Sommando e moltiplicando \(i\) con gli altri numeri reali si possono ottenere numeri come \(2+i\), \(\pi+2i\), \(\sqrt{3}+\frac{2}{3}i\) e molti altri. Tutti i numeri della forma \(a+ib\), con \(a, b \in \mathbb{R}\) sono detti numeri complessi: l'insieme dei numeri complessi si indica con la lettera \(\mathbb{C}\).
Proprietà dei radicali
I radicali sono numeri reali: si possono sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere tra loro, sfruttando alcune proprietà della radice e delle altre operazioni. In molti esercizi risulta importante semplificare i radicali, ovvero trasformarli in un radicale equivalente che rispetta le seguenti tre regole:
Nel radicando non compaiono potenze con esponente maggiore dell'indice della radice.
Nel radicando non compaiono frazioni.
Non compaiono radicali al denominatore.
Può essere comodo pensare ai radicali come se fossero monomi che hanno un numero sotto radice al posto della parte letterale. Ti sembrerà strano, eppure quando studi i monomi sfrutti proprietà delle operazioni tra i numeri reali. Queste proprietà quindi valgono anche per i radicali! Ripassando le proprietà dei monomi, che puoi trovare qui su StudySmarter nell'articolo sui polinomi, puoi capire più facilmente le proprietà dei radicali.
Somma algebrica di radicali
Per fare un'addizione o una sottrazione tra radicali, devi controllare che i radicali siano simili, cioè che indice e radicando siano identici. In questo caso puoi riscrivere il risultato così come tra i monomi: basta sommare i coefficienti. La regola generale è: \begin{align}& a\sqrt[n]{x} +b \sqrt[n]{x}=(a+b)\sqrt[n]{x} \\ & a\sqrt[n]{x} -b \sqrt[n]{x}=(a-b)\sqrt[n]{x} \end{align} Ad esempio, \begin{align} & 5\sqrt{3}+2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}, \\ & 5\sqrt{3}-2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\end{align} Se i radicali non sono simili, questa proprietà non vale, e devi scrivere la somma in forma estesa, senza scorciatoie.
- \(\sqrt{x} + \sqrt{x}=2\sqrt{x} \): le due radici hanno stesso indice e stesso radicando, quindi puoi sommare i "coefficienti" della radice come tra monomi.
- \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) hanno lo stesso indice ma non lo stesso radicando: devi tenerle in questa forma. Ricorda, in particolare, che la radice della somma non è la somma delle radici: \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{2+3}\), fai attenzione!
- \(\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}\) hanno lo stesso radicando ma non lo stesso indice: anche in questo caso non puoi fare nulla e devi tenerle così.
Prodotto di radicali
Se l'indice della radice è lo stesso, il prodotto delle radici di due numeri è uguale alla radice del prodotto. \[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}\]
Quoziente di radicali
Se l'indice della radice è lo stesso, la radice del quoziente di due numeri è uguale al quoziente delle radici. \[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \] Spesso le proprietà del quoziente e del prodotto si usano assieme.
Semplifica il radicale \(\sqrt[3]{\dfrac{24}{125}}\).
Come prima cosa puoi usare la proprietà dei quozienti.
\[\sqrt[3]{\dfrac{24}{125}} =\dfrac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{125}}\] Ora conviene riscrivere ogni fattore come prodotto di numeri primi: \(24=8\cdot3=2^3\cdot3\) e \(125=5^3\). A questo punto basta usare la proprietà del prodotto e semplificare indici ed esponenti. \[ \dfrac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{125}} = \dfrac{\sqrt[3]{2^3\cdot 3}}{\sqrt[3]{5^3}} = \dfrac{\sqrt[3]{2^3} \,\sqrt[3]{ 3}}{5} = \dfrac{2\sqrt{3}}{5}\]
Potenze di radicali
La prima cosa da ricordare è che potenza e radice possono essere scambiate nell'ordine: in formule, \[\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\]Questa scrittura si può semplificare? Ci sono tre casi.
Quando l'indice è uguale all'esponente, cioè \(n=m\), radice e potenza si eliminano a vicenda. \[\left(\sqrt[n]{a}\right)^n= \sqrt[n]{a^n}=a\]
Se l'indice è maggiore dell'esponente, cioè \(n > m\) non c'è modo di semplificare: \(\sqrt[n]{a^m}\).
Se invece l'esponente è maggiore dell'indice, \(m>n\), puoi ottenere l'esponente come somma: \(m=n+(m-n)\). Sostituendo e usando le proprietà del prodotto di radicali e le proprietà delle potenze, arrivi ad avere sotto radice un esponente minore dell'indice. \[\sqrt[n]{a^m}= \sqrt[n]{{a^n}\cdot a^{m-n}}= \sqrt[n]{a^{n}}\cdot \sqrt[n]{a^{m-n}} = a \sqrt[n]{a^{m-n}}\] In altre parole, hai portato un termine fuori dal segno di radice.
Semplifica \(\sqrt[3]{81}\).
Come prima cosa devi scomporre \(81\) come potenza di primi: \(81=3^4\). Ora puoi scrivere \(3=3+(4-3)=3+1\) e quindi scomporre la potenza con questi esponenti. \[\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} \] Il prossimo passaggio è usare le proprietà del prodotto; infine puoi
\[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3} =3\sqrt[3]{3}\]
Radicali di radicali
Può capitare anche di avere al posto del radicando un altro radicale. In questo caso, si può semplificare ad un unico radicale moltiplicando gli indici: \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n\cdot m ]{a}\]
Considera \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}\): con la proprietà appena studiata, e ricordando che \(64=2^6\), puoi riscriverlo come \[\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2\cdot 3]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2\]
Proprietà invariantiva
Le formule appena viste per quoziente e prodotto funzionano quando due radici hanno lo stesso indice. Se l'indice è diverso, puoi portarli allo stesso indice sfruttando la proprietà invariantiva dei radicali: se moltiplichi sia l'indice della radice che l'esponente del radicando per uno stesso numero, ottieni un radicale equivalente a quello di partenza. \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}\]
Calcola e semplifica: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{12}\).
Comincia dallo scomporre \(12\) come prodotto di primi: \(12=2^2 \cdot 3\).
A questo punto per fare il prodotto conviene portare entrambe le radici al minimo comune multiplo (mcm) degli indici: il mcm di 2 e 3 è 6. Indice ed esponente nella radice quadrata, quindi, vanno moltiplicati per \(3\), mentre nella radice cubica vanno moltiplicati per \(2\). \begin{align} \sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{12} & =\sqrt{2}\, \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3} \\ & =\sqrt[2 \cdot 3]{2^3} \, \cdot \sqrt[3\cdot 2]{(2^2 \cdot 3)^2} \\ &= \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^4 \cdot 3^2} \end{align}Ora che i radicali hanno lo stesso indice, puoi sfruttare le proprietà del prodotto, mettendo tutto sotto una stessa radice. \begin{align} \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^4 \cdot 3^2} &= \sqrt[6]{2^3 \cdot 2^4 \cdot 3^2} \\ &= \sqrt[6]{2^7\cdot 3^2} \end{align} Adesso il \(2\) ha un esponente più grande dell'indice della radice, quindi puoi trasportarlo fuori e moltiplicare i fattori rimasti. \begin{align} \sqrt[6]{2^7\cdot 3^2} &= \sqrt[6]{2^6\cdot 2 \cdot 3^2} \\ &= \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{2\cdot 3^2} \\ &=2 \sqrt[6]{18}\end{align}
Razionalizzazione di frazioni con radicali
Nelle frazioni con i radicali si cerca sempre di evitare di avere un radicale al denominatore.
Quindi, ad esempio \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) va bene così: la radice si trova al numeratore.
Invece \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\) ha la radice al denominatore: va cambiata con un'altra frazione equivalente.
L'idea, quindi, è trasformare queste frazioni in una frazione equivalente ma che ha il denominatore intero: questo procedimento si chiama razionalizzazione. Per trasformare una frazione in una equivalente, ti basta moltiplicare per uno stesso numero al numeratore e al denominatore. Ma quale numero? Ci sono casi diversi.
Il caso più semplice è quello in cui compare una radice quadrata in questo caso basta moltiplicare numeratore e denominatore per la stessa radice. Ad esempio:
\[ \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{ 5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{ 5\sqrt{3}}{3}\]
La frazione che ho ottenuto è equivalente, cioè ha lo stesso valore e rappresenta lo stesso numero, ma stavolta il radicale è al numeratore.
È meno immediato capire cosa fare nel caso di una radice generica con un altro indice. L'idea da sfruttare, però, è la stessa: moltiplicare per qualcosa al denominatore. Supponi di avere, ad esempio, \(\sqrt[3]{5}\) come denominatore: puoi moltiplicare per \(\sqrt[3]{5^2}\), dato che \(\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{5^3} =5\). Razionalizzare una frazione quindi funziona così:
\[\frac{2}{\sqrt[3]{5}} = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{2 \sqrt[3]{5^2}}{5}\] In generale, se al denominatore compare \(\sqrt[n]{a^m}\), la strategia è quella di moltiplicare per \(\sqrt[n]{a^{n-m}}\).
Altri metodi si ispirano ai prodotti notevoli, ad esempio i casi in cui al sono somme algebriche di radicali, come nel caso seguente.
\[ \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\] In questo caso si può sfruttare la differenza di quadrati: \( (x-y)(x+y)=x^2-y^2\). Se \(x\) e \(y\) sono termini con radici quadrate, moltiplicare la loro somma per la loro differenza significa ottenere un prodotto senza radici: precisamente quello che serve per razionalizzare! I passaggi in questo caso sono i seguenti:
\begin{align} \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} & = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\ & = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2} }{ (\sqrt{3} )^2 -(\sqrt{2})^2 } \\ &= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} \\ & = \sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align}
| Denominatore | Metodo |
| \(\sqrt{a}\) | Moltiplico per \(\sqrt{a}\) |
| \(\sqrt[n]{a^m}\) | Moltiplico per \(\sqrt[n]{a^{n-m}}\) |
| \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) | Moltiplico per \(\sqrt{a} +\sqrt{b}\) |
| \(\sqrt{a} +\sqrt{b}\) | Moltiplico per \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) |
Tabella 1. Alcuni metodi per razionalizzare frazioni con radicali a seconda di cosa compare al denominatore.
Radicali - Punti chiave
- Un radicale è un'espressione della forma \(\sqrt[n]{x}\), dove \(n\) si chiama indice della radice e \(x\) si chiama radicando. Il risultato dell'operazione si chiama radice.
- L'estrazione di radice è l'operazione opposta dell'elevamento a potenza: \( \sqrt[n]{x}\) è definito come il numero \(y\) tale che \(y^n=x\), per \(n\) dispari. Per \(n\) pari invece \( \sqrt[n]{x}\) è il numero \(y\) positivo tale che \(y^n=x\).
- Le radici si possono scrivere in forma esponenziale usando come esponente il reciproco dell'indice: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\).
- La condizione di esistenza di un radicale con indice pari è che il radicando non sia negativo. Sui radicandi negativi non si possono estrarre radici pari.
- Un radicale con indice dispari è sempre definito su tutti i numeri reali: non serve verificare condizioni di esistenza.
- Le proprietà dei radicali si sfruttano peri scriverli in una forma equivalente che rispetta le seguenti tre regole:
Nel radicando non compaiono potenze con esponente maggiore dell'indice della radice.
Nel radicando non compaiono frazioni.
Non compaiono radicali al denominatore.
Tra radicali simili, ovvero con stesso indice e stesso radicando, somme e differenze si possono fare come con i monomi: \(a\sqrt[n]{x} +b \sqrt[n]{x}=(a+b)\sqrt[n]{x}\) e \(a\sqrt[n]{x} -b \sqrt[n]{x}=(a-b)\sqrt[n]{x}\).
Il prodotto di radicali con lo stesso indice è uguale alla radice del prodotto. \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}\)
Il quoziente di radicali con lo stesso indice è uguale alla radice del quoziente. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
La potenza di un radicale è pari alla radice della potenza. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
Se il radicando è una potenza con esponente maggiore dell'indice della radice, cioè se \(m>n\) nell'espressione \(\sqrt[n]{a^m}\), si può trasportare parte fuori dalla radice: \(\sqrt[n]{a^m}= \sqrt[n]{{a^n}\cdot a^{m-n}}= a \sqrt[n]{a^{m-n}}\)
Se il radicando è un altro radicale, il risultato dell'espressione è una radice che ha per indice il prodotto degli indici. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n\cdot m ]{a}\)
La proprietà invariantiva dei radicali consente di trasformare una radice in un'altra equivalente: basta moltiplicare indice ed esponente del radicando per uno stesso numero. \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}\). Negli esercizi serve a portare due radici allo stesso indice, per moltiplicarle o dividerle e poi semplificarle.
Se un radicale compare al denominatore di una frazione, si cerca di razionalizzarla: ovvero trasformarla in una frazione equivalente con denominatore intero. Per farlo ci sono varie tecniche, a seconda di cosa compare al denominatore. Se c'è \(\sqrt[n]{a^m}\), con \(m < n\), si moltiplica per \(\sqrt[n]{a^{n-m}}\). Se c'è una somma di radici quadrate, ad esempio \(\sqrt{a} +\sqrt{b}\), si moltiplica per \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\): sfruttando i prodotti notevoli, il risultato è \(a-b\), che è un numero intero.
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