Disequazioni

Principi di equivalenza

Nella risoluzione di equazioni sono fondamentali i principi di equivalenza: grazie a questi puoi sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere entrambi i membri di un'equazione senza cambiare la soluzione. Sarebbe bello se i principi di equivalenza valessero anche con le disequazioni: proviamo a capire se è così.

Addizione e sottrazione: primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza dice che puoi sommare o sottrarre un numero a entrambi i membri di un'equazione senza modificare la soluzione. Ad esempio, se \[ x+1 = 3x-2\] puoi sommare \(-1\) a entrambi i membri e ottenere \[x=3x-3.\] Cosa succede se al posto di \(=\) hai un altro segno, ad esempio \(\leq\)? La disequazione \[ x+1 \leq 3x-2\] esprime il fatto che il numero a destra è più grande: questo continua a valere se aumenti o diminuisci entrambi i numeri della stessa quantità. Questo vale anche per gli altri segni!

Ad esempio, \(5 \geq 2\) e \(5+3 \geq 2+3\); è vero anche \(5-4 \geq 2-4\).

Moltiplicazione e divisione: secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza dice che puoi moltiplicare o dividere per uno stesso numero non nullo, senza cambiare le soluzioni dell'equazione. Prova a fare la stessa cosa con una disequazione come \(4>2\): moltiplicando per qualunque numero, ad esempio \(3\), ottieni \[ 4\cdot 3 > 2 \cdot 3\] che è vera, perché \(12 > 6\). Allo stesso modo, resta vera la disequazione che ottieni dividendo per \(3\) \[ \frac{4}{3} > \frac{2}{3}\]Ora prova a moltiplicare o dividere per \(-1\). Quello che ottieni è \[-4 > -2\] che è falsa! Il problema è che quando moltiplichi o dividi per un numero negativo inverti l'ordine dei due numeri. Per mantenere vera la diseguaglianza, devi invertire il verso: la "punta" del simbolo tra i due numeri deve essere girata dalla parte opposta, come vedi di seguito. \begin{align} 4 & > 2 \\ -4 & < -2 \end{align}

Come si svolgono le disequazioni

Per risolvere una disequazione puoi usare i principi di equivalenza come hai imparato a fare con le equazioni. Tieni a mente queste differenze:

• La soluzione di una disequazione è l'insieme di tutti i numeri reali che rendono vera la disuguaglianza. In altre parole, non è un singolo valore specifico, ma un certo intervallo numerico!

• I simboli \(<\) e \(>\) escludono dall'insieme delle soluzioni il valore specifico (o i valori) per cui i due membri sono uguali tra loro. I simboli \(\geq\) e \(\leq\) invece comprendono tra le soluzioni il valore (o i valori) per cui i due membri sono uguali.

• Puoi rappresentare la soluzione di una disequazione sulla retta reale. In genere le soluzioni sono intervalli o semirette. Per indicare gli estremi di questi insiemi si usano dei cerchietti vuoti per rappresentare punti che non sono soluzioni della disequazione, e dei cerchietti pieni se i punti invece sono soluzioni.

• Se moltiplichi o dividi la disequazione per un numero negativo, devi invertire il verso della disuguaglianza. In altre parole, \(<\) diventa \(>\), e viceversa, mentre \(\geq\) diventa \(\leq\).

Disequazioni di primo grado

Nelle disequazioni di primo grado o lineari l'incognita, di solito la \(x\), compare solamente al primo grado. Questo significa che non ci sono potenze di \(x\) di grado due o superiore, come \(x^2, x^3\) e simili.

Una disequazione di primo grado si può manipolare seguendo le regole appena viste, spostando le \(x\) a sinistra e i numeri a destra, fino a che non si arriva alla forma \[ x > a \] o una forma analoga con uno degli altri segni: \((x<a), (x\geq a)\) o \((x\leq a)\). A questo punto hai la soluzione: generalmente si tratta di una semiretta, formata da tutti i numeri maggiori o minori di un certo valore.

Quando il segno che compare è \( \geq\) o \(\leq\), il punto che fa da "confine" dell'insieme delle soluzioni è compreso in esso.

Esercizi su casi particolari

Nel risolvere le disequazioni è importante vedere alcuni esempi di casi particolari. Così come le equazioni, anche le disequazioni possono essere impossibili e non avere nessuna soluzione.

Nei casi in cui \(x\) si semplifica devi fare molta attenzione al segno che c'è tra i due membri: interpretarlo nel modo giusto è indispensabile per risolvere la disequazione! Un \(\geq\) o un \(>\) può cambiare completamente l'insieme delle soluzioni.

Tipi di disequazioni

Esattamente come succede per le equazioni, ci sono molti tipi di disequazioni diverse, a seconda delle funzioni e delle espressioni che compaiono. Alcuni tipi

• disequazioni di primo grado;

• disequazioni di secondo grado;

• disequazioni irrazionali;

• disequazioni con valori assoluti;

• disequazioni fratte;

• disequazioni esponenziali;

• disequazioni logaritmiche;

• disequazioni goniometriche;

Gli articoli principali che troverai qui su StudySmarter sono sulle disequazioni di secondo grado, equazioni e disequazioni fratte, equazioni e disequazioni irrazionali, equazioni esponenziali ed equazioni logaritmiche, sistemi di equazioni.