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Disequazioni

Le equazioni sono problemi in cui si trova il valore dell'incognita sapendo che due grandezze devono essere uguali. Cosa succede, però, se sappiamo solo che una delle due grandezze deve essere maggiore dell'altra? In questo caso abbiamo una disequazione: una diseguaglianza tra grandezze, che dipende da una certa quantità incognita.

In pratica, prendi una qualunque equazione e sostituisci il simbolo \(=\) con \( <, >, \leq, \geq\). Quello che hai ottenuto è una disequazione! Ad esempio, dall'equazione \(x+1 = 2x-3 \) potresti voler dire che il primo membro è maggiore del secondo: questo si esprime con la disequazione

\[ x+1 > 2x-3 \]

L'equazione che si ottiene sostituendo il simbolo nella diseguaglianza con un \(=\) si chiama equazione associata alla disequazione considerata. In molti casi è utile risolvere l'equazione associata e passare poi alla disequazione.

Nella tabella trovi i simboli che possono comparire in una disequazione.

SimboloSignificato
\(>\)maggiore
\(<\)minore
\(\geq\)maggiore o uguale
\(\leq\)minore o uguale

Per non confonderti con i simboli di maggiore e minore nella disequazione, concentrati sulla punta del segno: in una disequazione, la punta è sempre diretta verso la quantità più piccola. Ad esempio in

\[ x+1 > 2x-3 \] la prima quantità è maggiore della seconda (e il simbolo si legge "maggiore").

Se consideri invece

\[ x+1 < 2x-3 \] allora il primo membro è minore: la quantità più grande si trova a secondo membro.

Principi di equivalenza

Nella risoluzione di equazioni sono fondamentali i principi di equivalenza: grazie a questi puoi sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere entrambi i membri di un'equazione senza cambiare la soluzione. Sarebbe bello se i principi di equivalenza valessero anche con le disequazioni: proviamo a capire se è così.

Addizione e sottrazione: primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza dice che puoi sommare o sottrarre un numero a entrambi i membri di un'equazione senza modificare la soluzione. Ad esempio, se \[ x+1 = 3x-2\] puoi sommare \(-1\) a entrambi i membri e ottenere \[x=3x-3.\] Cosa succede se al posto di \(=\) hai un altro segno, ad esempio \(\leq\)? La disequazione \[ x+1 \leq 3x-2\] esprime il fatto che il numero a destra è più grande: questo continua a valere se aumenti o diminuisci entrambi i numeri della stessa quantità. Questo vale anche per gli altri segni!

Ad esempio, \(5 \geq 2\) e \(5+3 \geq 2+3\); è vero anche \(5-4 \geq 2-4\).

Primo principio di equivalenza. Sommando o sottraendo uno stesso numero a entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.

Moltiplicazione e divisione: secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza dice che puoi moltiplicare o dividere per uno stesso numero non nullo, senza cambiare le soluzioni dell'equazione. Prova a fare la stessa cosa con una disequazione come \(4>2\): moltiplicando per qualunque numero, ad esempio \(3\), ottieni \[ 4\cdot 3 > 2 \cdot 3\] che è vera, perché \(12 > 6\). Allo stesso modo, resta vera la disequazione che ottieni dividendo per \(3\) \[ \frac{4}{3} > \frac{2}{3}\]Ora prova a moltiplicare o dividere per \(-1\). Quello che ottieni è \[-4 > -2\] che è falsa! Il problema è che quando moltiplichi o dividi per un numero negativo inverti l'ordine dei due numeri. Per mantenere vera la diseguaglianza, devi invertire il verso: la "punta" del simbolo tra i due numeri deve essere girata dalla parte opposta, come vedi di seguito. \begin{align} 4 & > 2 \\ -4 & < -2 \end{align}

Secondo principio di equivalenza.

Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero positivo entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.

Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero negativo entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza, a patto di invertire il verso della disequazione.

Come si svolgono le disequazioni

Per risolvere una disequazione puoi usare i principi di equivalenza come hai imparato a fare con le equazioni. Tieni a mente queste differenze:

  • La soluzione di una disequazione è l'insieme di tutti i numeri reali che rendono vera la disuguaglianza. In altre parole, non è un singolo valore specifico, ma un certo intervallo numerico!

  • I simboli \(<\) e \(>\) escludono dall'insieme delle soluzioni il valore specifico (o i valori) per cui i due membri sono uguali tra loro. I simboli \(\geq\) e \(\leq\) invece comprendono tra le soluzioni il valore (o i valori) per cui i due membri sono uguali.

  • Puoi rappresentare la soluzione di una disequazione sulla retta reale. In genere le soluzioni sono intervalli o semirette. Per indicare gli estremi di questi insiemi si usano dei cerchietti vuoti per rappresentare punti che non sono soluzioni della disequazione, e dei cerchietti pieni se i punti invece sono soluzioni.

  • Se moltiplichi o dividi la disequazione per un numero negativo, devi invertire il verso della disuguaglianza. In altre parole, \(<\) diventa \(>\), e viceversa, mentre \(\geq\) diventa \(\leq\).

Disequazioni di primo grado

Nelle disequazioni di primo grado o lineari l'incognita, di solito la \(x\), compare solamente al primo grado. Questo significa che non ci sono potenze di \(x\) di grado due o superiore, come \(x^2, x^3\) e simili.

Una disequazione di primo grado si può manipolare seguendo le regole appena viste, spostando le \(x\) a sinistra e i numeri a destra, fino a che non si arriva alla forma \[ x > a \] o una forma analoga con uno degli altri segni: \((x<a), (x\geq a)\) o \((x\leq a)\). A questo punto hai la soluzione: generalmente si tratta di una semiretta, formata da tutti i numeri maggiori o minori di un certo valore.

Risolvi la disequazione \[2x+2 < 16\]

Isola la \(x\) a sinistra e sposta i numeri a destra.

\[ 2x < 16-2\] Ora puoi dividere per \(2\): dato che è un numero positivo, il verso della disuguaglianza resta invariato. \begin{align} \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}}x & < \frac{14}{2} \\ x & < 7 \end{align} La disequazione ha come soluzione tutti i numeri minori di \(7\): puoi rappresentarla sulla retta reale, indicando il \(7\) con un cerchietto. L'interno del cerchietto sarà vuoto perché \(7\) non è compreso tra i valori delle soluzioni. Qualunque numero più piccolo di \(7\) fa parte di questa semiretta ed è una soluzione della disequazione.

In generale l'insieme delle soluzioni viene indicato con la lettera \(S\): ci sono vari modi di indicarlo, ma sono tutti equivalenti tra loro.

  1. Puoi usare la notazione insiemistica: \( S = \{ x \in \mathbb{R} : x < 7\}\).
  2. Puoi usare la notazione degli intervalli: \( S = (-\infty, 7) \).
  3. Puoi anche scrivere semplicemente \(x < 7\).

Disequazioni Soluzioni di una disequazione di primo grado StudysmarterFigura 1. La disequazione \(x < 7\) individua una semiretta.

Quando il segno che compare è \( \geq\) o \(\leq\), il punto che fa da "confine" dell'insieme delle soluzioni è compreso in esso.

Risolvi la disequazione seguente. \[ -3x+2 - \frac{5+3x}{2} \leq -\left( \frac{x-1}{2}\right) 7\]

Comincia portando tutto a denominatore \(2\) e svolgendo la moltiplicazione a destra. \begin{align} \frac{2(-3x+2)}{2} - \frac{5+3x}{2} & \leq -\frac{7x-7}{2} \\ \cancel{2} \cdot \frac{-6x+4 -5-3x}{\cancel{2}} & \leq \frac{-7x+7}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2} \\ -9x-1 & \leq -7x+7 \\ -9x+7x & \geq 7+1 \\ -2x & \leq 8 \end{align}A questo punto fai attenzione: devi dividere per \(-2\) che è un numero negativo: quindi bisogna cambiare il verso della disequazione. \begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} x & \textcolor{stsm}{\geq} \frac{8}{-2} \\ x & \geq -4\end{align}

L'insieme delle soluzioni quindi è \(S=[ 4, \infty) = \{ x \in \mathbb{R}: x \leq 4\} \) con il \(4\) compreso. Puoi disegnare la semiretta corrispondente indicando nel \(4\) un cerchietto pieno.

Disequazioni Soluzioni di una disequazione StudySmarterFigura 2. Soluzioni di \(x \geq 4\).

Esercizi su casi particolari

Nel risolvere le disequazioni è importante vedere alcuni esempi di casi particolari. Così come le equazioni, anche le disequazioni possono essere impossibili e non avere nessuna soluzione.

Risolvi la disequazione seguente. \[ \frac{2x-3}{2} > \frac{x+1}{3}-\frac{4x+2}{6}\]

Come prima cosa porta entrambi i membri al minimo comune denominatore: dato che i denominatori sono 2, 3 e 6, il denominatore comune sarà 6. \begin{align} \frac{ 3 (2x-3)}{3\cdot 2} & >\frac{2(x+1)}{2\cdot 3}-\frac{2-4x}{6} \\ \frac{6x-9}{6} & > \frac{2x+1-(2-4x)}{6} \end{align} Dato che il denominatore è lo stesso a destra e sinistra, puoi toglierlo moltiplicando per 6: siccome è un numero positivo, non devi cambiare il verso della disequazione. \begin{align} 6x-9 & > 2x+1-2+4x \\ 6x-9 & > 6x-1 \\ 6x-6x & > 9-1 \\ 0 & > 8 \end{align} I termini con la \(x\) si sono semplificati a vicenda e sono rimasti solamente due numeri. In questi casi devi fare come con le equazioni e chiederti se è vero che \(0 > 8\). Se fosse vero, la disequazione sarebbe sempre verificata e qualunque numero sarebbe soluzione. Dato che è falso, invece, la disequazione è sempre falsa: non esistono soluzioni. Questo si può indicare con \(S = \emptyset\) (l'insieme delle soluzioni è vuoto).

Nei casi in cui \(x\) si semplifica devi fare molta attenzione al segno che c'è tra i due membri: interpretarlo nel modo giusto è indispensabile per risolvere la disequazione! Un \(\geq\) o un \(>\) può cambiare completamente l'insieme delle soluzioni.

Risolvi la disequazione. \[ \frac{1}{4} \left( \frac{1-x}{3} \right) - \frac{x}{12} \geq - \frac{2x-1}{12} \]

Svolgi subito la moltiplicazione a sinistra: in questo modo tutte le frazioni risultano allo stesso denominatore. Conviene anche distribuire il segno \(-\) al numeratore della frazione a destra: poi fai le somme e moltiplica per \(12\) per eliminare il denominatore.

\begin{align} \frac{1-x}{12}- \frac{x}{12}& \geq \frac{1-2x}{12} \\ \frac{1-x-x}{12} & \geq \frac{1-2x}{12} \\ \cancel{12} \cdot \frac{1-2x}{\cancel{12}} & \geq \frac{1-2x}{\cancel{12}} \cdot \cancel{12} \\ 2x - 2x & \geq 1-1 \\ 0 & \geq 0\end{align} In questo caso l'ultima riga dice che la disequazione è valida se \(0\) è maggiore o uguale a \(0\). Siccome \(0=0\) la disequazione è sempre vera: l'insieme delle soluzioni è \(S = \mathbb{R}\).

Se invece ci fosse \(0 > 0\) la disequazione sarebbe sempre falsa: non ci sarebbe nessuna soluzione!

Tipi di disequazioni

Esattamente come succede per le equazioni, ci sono molti tipi di disequazioni diverse, a seconda delle funzioni e delle espressioni che compaiono. Alcuni tipi

  • disequazioni di primo grado;

  • disequazioni di secondo grado;

  • disequazioni irrazionali;

  • disequazioni con valori assoluti;

  • disequazioni fratte;

  • disequazioni esponenziali;

  • disequazioni logaritmiche;

  • disequazioni goniometriche;

Gli articoli principali che troverai qui su StudySmarter sono sulle disequazioni di secondo grado, equazioni e disequazioni fratte, equazioni e disequazioni irrazionali, equazioni esponenziali ed equazioni logaritmiche, sistemi di equazioni.

Disequazioni - Punti chiave

  • Una disequazione esprime una disuguaglianza tra due espressioni algebriche: una delle due è maggiore dell'altra.
  • I segni che possono comparire in una disequazione sono \(\geq\) ("maggiore o uguale"), \( \leq\) ("minore o uguale"), \(>\)("maggiore") e \(<\) ("minore").
  • Sostituendo il simbolo nella diseguaglianza con un \(=\) si ottiene l'equazione associata alla disequazione.
  • Per risolvere una disequazione si possono usare i principi di equivalenza per le disequazioni. Questi principi consentono di manipolarle senza cambiare l'insieme delle soluzioni, esattamente come succede per le equazioni.
  • Il primo principio di equivalenza dice che, sommando o sottraendo uno stesso numero ai due membri di una disequazione, ottieni una disequazione equivalente.
  • Il secondo principio di equivalenza permette di ottenere una disequazione equivalente moltiplicando o dividendo per uno stesso numero non nullo. Bisogna fare attenzione al segno: se si moltiplica per un numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solamente cambiando il verso, ossia sostituendo \(<\) con \(>\) e viceversa.
  • La soluzione di una disequazione è l'insieme di tutti i numeri reali che rendono vera la disuguaglianza: in genere è un intervallo o una semiretta, non un valore specifico.
  • I simboli \(<\) e \(>\) escludono dall'insieme delle soluzioni il valore specifico (o i valori) per cui i due membri sono uguali tra loro. I simboli \(\geq\) e \(\leq\) invece comprendono tra le soluzioni il valore (o i valori) per cui i due membri sono uguali.
  • Per risolvere una disequazione di primo grado, si spostano le \(x\) a sinistra e i numeri a destra sfruttando i principi di equivalenza. L'obiettivo è arrivare a una delle forme \(x < a, x > a, x \geq a \) o \(x \leq a\). A questo punto, l'insieme delle soluzioni è la semiretta corrispondente.
  • In alcuni casi particolari, le incognite spariscono dalla disequazione e si resta con una disuguaglianza tra numeri. In questo caso bisogna fare attenzione al simbolo che c'è tra i due numeri: in alcuni casi la disequazione può essere impossibile, mentre in altri la soluzione può essere tutto l'insieme dei reali.
  • Ci sono moltissimi tipi di disequazioni: di primo e secondo grado, fratte, irrazionali, logaritmiche, esponenziali, goniometriche o con valori assoluti. Qui su StudySmarter ne troverai vari esempi!

Domande frequenti riguardo Disequazioni

Una disequazione è un tipo di problema simile a un'equazione: in entrambi i casi bisogna trovare un'incognita che renda vera una certa relazione tra due quantità. Nel caso dell'equazione, le quantità considerate sono uguali: se le quantità sono diverse tra di loro, e quindi una è maggiore dell'altra, si ha una disequazione.

Ogni tipo di disequazione si svolge in modo diverso. L'idea generale è di trovare i valori per cui membro destro e sinistro della disequazione sono uguali: questi valori divideranno i numeri reali in un certo numero di intervalli e semirette. Infine, con un ragionamento sui segni, si capisce quale quantità è maggiore in ognuno degli intervalli, e questo consente di capire dove la disequazione è vera e dove falsa.

Ci sono moltissimi tipi di disequazioni diverse. Vengono classificate in base alle funzioni che compaiono nella disequazione: alcuni tipi sono

  • disequazioni di primo grado;
  • disequazioni di secondo grado;
  • disequazioni fratte;
  • disequazioni irrazionali;
  • disequazioni esponenziali;
  • disequazioni logaritmiche;
  • disequazioni goniometriche;

ma ce ne sono altre ancora!

Le disequazioni hanno applicazione in molti problemi pratici: tra le altre cose, servono ad esprimere dei vincoli su alcune grandezze. Ad esempio, in molti casi pratici le grandezze devono essere positive: tempi o distanze negativi non hanno significato.

In economia quello che si vuole ottenere dai calcoli su entrate e uscite è un guadagno positivo, e anche questo si esprime con una disequazione.


Quiz Finale Disequazioni

Domanda

La soluzione della disequazione \(5>3x+2\) è...

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Risposta

\(x<1\)

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Domanda

In \(x \geq 9\), l'estremo \(9\) è compreso o escluso?

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Risposta

Compreso

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Domanda

Cosa significa il simbolo \(\geq\)?

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Risposta

Maggiore o uguale.

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Domanda

Cosa significa il simbolo \(\leq\)?

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Risposta

Minore o uguale.

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Domanda

Cosa si può dire di una disequazione che ha come ultimo passaggio \(3 \leq 9\)?

Visualizza la risposta

Risposta

È sempre vera.

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Domanda

Cosa si può dire di una disequazione che ha come ultimo passaggio \(2x > 2x\)?

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Risposta

È sempre falsa.

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Domanda

Quale disequazione rappresenta la semiretta nell'immagine?

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Risposta

\(x \geq \frac{3}{5}\)

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Domanda

Seleziona tutte le disequazioni di primo grado.

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Risposta

\(x+3> \frac{5}{2}-\frac{x}{3}\)

Visualizza la domanda

Domanda

La disequazione \(-3x \geq 4\) è equivalente a...

Visualizza la risposta

Risposta

\(3x \leq -4\)

Visualizza la domanda

Domanda

La disequazione \(2x-1 > 0\) ha come soluzione...

Visualizza la risposta

Risposta

\(x>\frac{1}{2}\)

Visualizza la domanda

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