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Geometria

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Quando si parla di matematica, si tende a pensare che riguardi solo i numeri: questo non è del tutto vero! Fa parte della matematica anche lo studio delle dimensioni, delle forme e delle distanze degli oggetti: questa branca della matematica si chiama geometria.

L'origine del termine è nella parola greca geōmetría, che significa "misurazione della terra". È uno dei campi più antichi della matematica: si studiava già nell'antica Mesopotamia e in Egitto durante il II millennio a.C. e fu poi sviluppata ulteriormente nel mondo greco.

Su StudySmarter troverai gli argomenti divisi tra geometria piana e geometria solida.

  • Nella geometria piana si studiano le relazioni tra punti, linee, curve, angoli e figure nel piano. Qui ci occuperemo in particolare di triangoli, quadrilateri e cerchi.
  • La geometria solida invece riguarda superfici e figure solide nello spazio tridimensionale: puoi creare solidi a partire da figure piane, ottenendo dei poliedri, oppure lavorare con figure che hanno qualche tipo di curvatura, come sfera, cilindro e cono.

Geometria euclidea

Una figura molto importante nella storia della geometria è il matematico greco Euclide, vissuto tra il IV e il III secolo a.C. Euclide scrisse gli Elementi, il testo più famoso della storia della matematica: la novità è nell'organizzazione logica del testo. Euclide parte da cinque nozioni comuni e cinque postulati: da queste dieci "verità" fa derivare tutte le conoscenze dell'epoca, organizzandole in tredici libri.

Tra i vari postulati è più famoso il quinto, che sembrava troppo complicato rispetto agli altri. Nel corso dei secoli vari matematici (Saccheri, Bolyai, Lobačevskij e altri) cercarono di capire se c'era modo di far derivare questo postulato dagli altri: il risultato fu che scoprirono altri tipi di geometria in cui il quinto postulato non vale! Si parla di geometrie non euclidee per distinguerle da quella di Euclide.

Anche le geometrie non euclidee hanno applicazioni concrete: la superficie sferica, ad esempio, è un modello di geometria non euclidea. La superficie terrestre ha più o meno questa forma: angoli e distanze sulla sfera, e quindi sulla Terra, si comportano in modo diverso da quello che accade sul piano!

Si potrebbe dire che la differenza è nella curvatura: la geometria euclidea resta valida negli spazi "piatti", come il piano. Dove c'è una curvatura, come sulla sfera, le cose funzionano diversamente. La geometria moderna resta comunque molto legata a quella euclidea: come Euclide, si cerca di definire tutti gli oggetti a partire da punto, retta, e piano.

Punto, retta, piano

Punto, retta e piano sono i tre enti primitivi della geometria euclidea: nella geometria moderna non vengono definiti, ma si accettano come concetti noti a tutti. Il punto non ha dimensione e si indica con lettere maiuscole dell'alfabeto latino come \(P\), \(Q\), \(R\). La retta ha una sola dimensione e si indica con lettere minuscole dell'alfabeto latino come \(r\), \(s\), \(t\). Il piano invece è un ente a due dimensioni e si indica con le lettere minuscole dell'alfabeto greco come \(\alpha\) , \(\beta\) , \( \gamma\) .

Qualunque figura geometrica si può definire come un insieme di punti: questo vale anche per rette e piani. La relazione che governa la gerarchia tra insiemi è quella di appartenenza, che si indica con il simbolo \(\in\). Si può dire che un punto \(P\) appartiene alla retta \(r\), o che \(P\) sta sulla retta \(r\), o che la retta \(r\) passa per il punto \(P\), scrivendo \(P \in r\); se il punto non appartiene alla retta si indica \(P \not\in r\). Allo stesso modo, con il simbolo \(r \in \alpha\) si dice che una retta \(r\) appartiene a un piano (o che sta sul piano) \(\alpha\), oppure che il piano \(\alpha \) passa per la retta \(r\).

Per individuare una retta servono almeno due punti. Tre punti si dicono allineati se appartengono alla stessa retta. Per individuare un piano servono tre punti, oppure una retta e un punto che non le appartiene. Quando due rette, due piani oppure un piano e una retta hanno almeno un punto in comune si dice che si intersecano.

A partire da punti, rette e piani si possono definire angoli e figure geometriche, sia piane che solide. Ci sono infinite possibilità di costruzioni per le figure geometriche: in geometria piana si studiano il cerchio e i poligoni, come triangoli o quadrilateri. Nella geometria solida si possono costruire piramidi, prismi, poliedri, coni, cilindri, sfera, e molte altre figure ancora: praticamente ogni oggetto del mondo reale ha un modello nella geometria solida!

Area

La geometria dell'antico Egitto nasce per misurare e dividere le aree dei terreni fertili. Per confrontare due terreni, non serve misurare lo spazio tridimensionale che occupano, ma si confronta lo spazio piano occupato dai due. La misura dell'estensione della superficie piana di un oggetto si chiama area.

Nella scuola primaria e secondaria si fa spesso l'esperienza di suddividere una figura in piccoli quadratini per avere un'idea intuitiva di che cos'è l'area e fare confronti tra figure diverse. Altri contenuti che si imparano in queste scuole, ma è bene ricordare sempre, sono questi:

  • Non confondere area e perimetro dei poligoni: sono grandezze diverse! Il perimetro nei poligoni è la somma delle lunghezze dei lati: è quindi una misura lineare, di lunghezza, non di superficie come l'area.
  • Quando si usano unità di misura, l'area è sempre espressa in unità al quadrato: m², cm², etc. Anche questo ti aiuta a distinguerla dalle misure lineari.
  • L'area di due figure congruenti (identiche) è sempre la stessa, ma anche due figure non congruenti (non identiche) possono avere la stessa area.

Ogni figura geometrica ha una formula specifica che permette di calcolarne l'area. L'area più semplice da calcolare è quella del quadrato: ragionando in maniera più generale a partire da questa, si trovano le formule per figure più complesse. Qui su StudySmarter troverai le formule per l'area, così come quelle delle altre grandezze, nelle sezioni specifiche sui triangoli, quadrilateri e cerchi.

L'area di un triangolo si trova con la formula

$$ A = \frac{1}{2}\cdot b \cdot h $$

dove \(b\) è la base e \(h\) è l'altezza.

Geometria Triangolo StudySmarterFigura 1. Area di un triangolo. StudySmarter Originals.

Ricorda che l'area non è un'esclusiva delle figure piane: ogni figura solida è circondata da una superficie piana che ha anch'essa un'area!

L'area di un cubo di lato \(l\) si trova con la formula

$$A=6 l^2$$

Geometria Cubo StudySmarterFigura 2. Cubo. StudySmarter Originals

Memorizzare molte formule non è facile. Cerca di capire la logica che c'è dietro ogni formula: in questo modo sarà più semplice ricordarla. Nel caso del cubo, pensa alle facce di un dado: sono numerate da uno a sei, e ognuna ha area \(l^2\)!

Volume

Nella vita pratica gli oggetti sono tridimensionali: non occupano solo una superficie piana, ma lo spazio tridimensionale. Il volume di un solido misura precisamente lo spazio tridimensionale occupato da un oggetto.

Così come per l'area, anche il volume a scuola viene introdotto immaginando di tagliare un oggetto in piccoli cubetti: nella pratica matematica però è molto più comodo sfruttare le formule per calcolare i volumi degli oggetti. Anche con le formule dei volumi il caso più semplice è quello del cubo, da cui poi si trovano le formule riguardanti altri solidi via via più complessi.

Il volume di un cono che ha raggio di base \(r\) e altezza \(h\) si trova tramite la formula

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Geometria Cono StudySmarterFigura 3. Cono. StudySmarter Originals.

Conoscere i volumi è fondamentale anche nelle scienze applicate: c'è un legame molto stretto tra volume e massa di un oggetto fatto di un materiale noto! Il volume consente di calcolare pesi e stimare le capacità dei contenitori.

Ricorda di non confondere il volume con l'area: l'area misura la superficie piana, mentre il volume misura lo spazio tridimensionale. Le unità di misura del volume sono sempre elevate alla terza potenza: se leggi m³ o cm³ sai con certezza che ci si riferisce al volume, e non all'area o alla misura di un lato!

Simmetria

Un'altra parte importante della geometria è lo studio delle trasformazioni che si possono fare su una figura senza cambiarla. Quando un oggetto può essere ruotato o modificato senza cambiarne la forma, si dice che è simmetrico: da qui viene la definizione matematica di simmetria.

Una simmetria è un'operazione che sposta o muove un oggetto mantenendone dimensioni e forma.

Ci sono vari tipi di simmetrie: i due tipi più semplici sono le simmetrie di riflessione e rotazione.

Nella simmetria di riflessione, l'oggetto risulta riflesso attorno a una retta che si chiama asse di simmetria. Questo è il tipo di simmetria che si studia alla scuola primaria: non vuol dire che sia banale! Il termine "riflessione" in questo caso indica precisamente quello che succede "specchiando" le figure: se appoggi uno specchio lungo uno degli assi, l'immagine che resta visibile viene riflessa nello specchio andando a formare l'immagine completa. Una figura può avere qualunque numero di assi di simmetria: da zero, nel caso di una figura non simmetrica, a infiniti, nel caso del cerchio.

Geometria Assi di simmetria di figure diverse StudySmarterFigura 4. Assi di simmetria di varie figure. Fonte: Wikimedia Commons.

Nel caso delle simmetrie di rotazione, l'oggetto viene ruotato attorno a un punto, detto centro di rotazione, senza cambiare la sua forma. Quadrato, triangolo equilatero o altri poligoni regolari hanno questo tipo di simmetria, ma è più interessante vederla in altre figure più insolite, come ad esempio negli anelli borromei:

Geometria Simmetria di rotazione StudySmarterFigura 5. Anelli borromei. Fonte: Wikimedia Commons.Questa figura non può essere "specchiata" perché le sovrapposizioni dei cerchi non vengono riflesse correttamente. Ruotando la figura di 60° invece si ha una sovrapposizione perfetta.

Un tipo di simmetria non esclude l'altro: molte figure hanno simmetrie sia di rotazione che di riflessione. Ad esempio, un quadrato ha gli assi di simmetria evidenziati in figura 4, ma se viene ruotato di 90° si sovrappone perfettamente a sé stesso! Entrambi i tipi di simmetria esistono anche nello spazio tridimensionale. Sono un po' più complicate, ma i concetti sono molto simili.

Le simmetrie sono importanti perché consentono di passare agilmente dalla parte all'intero. L'idea è che un oggetto simmetrico è fatto di più parti uguali tra di loro, e quindi basta studiare una singola parte. Nei problemi di geometria vedrai spesso che le simmetrie aiutano a calcolare angoli o lunghezze.

Problemi di geometria

Uno dei motivi per cui si studia la geometria a scuola è quello di imparare a risolvere problemi. Un problema di geometria ha dei dati, cioè delle grandezze che sono note e ti chiede di trovare delle incognite, cioè delle grandezze sconosciute. Oppure ti vengono date delle ipotesi, ovvero proprietà di una figura da considerare, e ti viene chiesto di dimostrare una tesi.

In questi casi non devi semplicemente dare una risposta, ma costruire una dimostrazione: un ragionamento logico fatto di vari passaggi, che parte dalle nozioni di base e, attraverso una serie di deduzioni, arriva a provare che un certo risultato è vero. Questo è anche il procedimento che si segue per dimostrare un teorema: un enunciato matematico di cui si ha una dimostrazione.

Se devi risolvere un problema di geometria, ricorda di riguardare tutti i teoremi che hai studiato fino a quel momento e rileggere le dimostrazioni: possono farti venire un'idea a cui non avevi pensato!

I problemi di geometria sono esercizi molto utili per imparare a ragionare in modo oggettivo: analizzare dati, costruire un ragionamento, arrivare a una conclusione. Per risolvere un problema non c'è un procedimento standard: devi essere tu a impostare il ragionamento. Non è facile, ma con un po' di esercizio si può imparare!

Geometria - Key takeaways

  • La geometria è la branca della matematica che studia dimensioni e forme degli oggetti. È una delle più antiche discipline matematiche.
  • L'impostazione moderna della geometria viene dal matematico greco Euclide: i suoi trattati riordinarono tutte le conoscenze dell'epoca facendole derivare da assiomi e postulati.
  • Punto, retta e piano sono gli enti geometrici fondamentali: a partire da questi si costruiscono e si definiscono tutti gli altri oggetti.
  • L'area misura la superficie piana occupata dall'oggetto, il volume lo spazio tridimensionale. Le figure piane non hanno un volume, le figure solide hanno sia un'area che un volume.
  • Una parte importante della geometria è lo studio delle simmetrie, cioè le trasformazioni che lasciano invariati gli oggetti. Le simmetrie possono essere molto utili per risolvere problemi di vario tipo.
  • I problemi di geometria chiedono di trovare grandezze come volume o area di un oggetto, oppure di produrre una dimostrazione. Sono esercizi utili per imparare a impostare un ragionamento.

References

  1. Figura 4. Symmetry, by Loggie. Public domain image - Immagine di pubblico dominio https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Symmetry.png
  2. Figura 5. Borromean rings BW, by Anon Moos. Public domain image - immagine di pubblico dominio. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Borromean-rings-BW.svg

Domande frequenti riguardo Geometria

La geometria è stata sviluppata in modo diverso da varie civiltà: i primi sono stati probabilmente gli Egizi, ma anche altre civiltà hanno sviluppato forme di geometria diversa (ad es. in Mesopotamia, ma anche in Cina o in America del Sud)
La geometria di oggi deve la sua impostazione molto rigorosa alla cultura greca classica ed ellenistica.

La geometria serve in moltissime discipline diverse, da quelle più pratiche a quelle più teoriche: falegnameria, costruzioni, ingegneria, fisica... fino al catasto!
Siamo circondati di figure geometriche piane e solide: è vero che sono meno ideali e perfette dei triangoli, ma la geometria è un utile modello della realtà.
Risolvere problemi geometrici inoltre è un allenamento utilissimo per imparare a ragionare.

Ci sono infinite figure geometriche, sia piane che solide!
Le principali figure piane che si studiano a scuola sono: triangoli, quadrilateri, poligoni regolari e cerchio. Le figure solide più studiate sono piramidi, prismi, cilindro, cono, sfera, e i poliedri regolari.

La geometria è la branca della matematica che studia forme, distanze e relazioni tra oggetti, sia nel piano che nello spazio tridimensionale.

Ci sono molti modi di dividere la geometria in sottodiscipline: qui su StudySmarter, seguendo il programma che si fa a scuola, la divideremo in geometria piana e geometria solida.

Quiz Finale Geometria

Che cos'è la geometria?

La geometria è la branca della matematica che studia le proprietà delle figure, le distanze e le dimensioni degli oggetti.

Che differenza c'è tra geometria piana e geometria solida?

Nella geometria piana si studiano figure che possono essere rappresentate nel piano, in due dimensioni. Nella geometria solida si studiano figure disposte nello spazio tridimensionale.

Quali sono gli enti fondamentali della geometria?

Gli enti fondamentali sono punto, retta e piano.

Quante dimensioni hanno punto, retta e piano?

Un punto non ha dimensioni; una retta ha una dimensione mentre un piano ne ha due.

Quanti sono i postulati della geometria euclidea?

I postulati di Euclide sono cinque.

Quale tra questi oggetti geometrici non ha un'area?

Un segmento

Come si legge la scrittura ?

Si può leggere come

"Il punto P appartiene alla retta r"

oppure

"Il punto P sta sulla retta r"

oppure

"La retta r passa per il punto P".

Che cosa misura l'area di una figura?

L'area misura l'estensione della superficie piana della figura.

Che tipo di simmetria ha questa figura?

Simmetria di rotazione

Che simmetria ha questa figura?

Entrambe: rotazione e riflessione

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