Flatlandia è un racconto ambientato in un mondo bizzarro. Il protagonista è un quadrato e gli altri personaggi sono poligoni che abitano in un mondo a due dimensioni: un piano. Nel racconto, il quadrato incontra una sfera che gli racconta dell'esistenza di una terza dimensione. Per il quadrato è una rivelazione: nel suo mondo la terza dimensione non si percepisce, perché ne esistono solo due.
La geometria piana si occupa di studiare il mondo di Flatlandia: un mondo di oggetti che hanno solamente due dimensioni, e vivono nel piano. Il piano geometrico si può immaginare come un foglio infinitamente sottile, che si estende senza terminare in entrambe le dimensioni. Anche un foglio non è un modello perfetto, perché ha sempre uno spessore e dei bordi, che ne limitano altezza e larghezza.
Gli oggetti della geometria piana si definiscono a partire dai concetti primitivi di punto e retta: questi concetti non vengono definiti, ma servono come base per dare le definizioni di tutti gli altri. L'idea è che tutti, intuitivamente, "sappiamo" cosa siano un punto, una retta e un piano: la cosa fondamentale è chiarire quale relazione hanno questi enti tra di loro. Questo viene fatto tramite i postulati d'appartenenza e d'ordine.
Postulati di ordine e appartenenza nel piano
Postulato è un termine che indica un'affermazione di cui tutti possono individuare, intuitivamente, la verità. I postulati che riguardano la geometria piana spiegano come si comportano tra loro rette, punti e piani e si dividono in postulati di appartenenza e d'ordine.
I postulati d'appartenenza dicono che:
Il piano è un insieme di punti. La retta è un sottoinsieme del piano.
Esistono almeno tre punti nel piano che non si trovano tutti sulla stessa retta.
Una retta contiene almeno due punti distinti.
Dati due punti, c'è una e una sola retta che li contiene entrambi.
Può sembrarti strano dover specificare "una e una sola retta": perché non basta dire "una sola retta"? Il significato nel linguaggio comune è lo stesso: in matematica però ci sono delle sfumature diverse.
In matematica quando si dice "Per due punti passa una retta" dice che la retta esiste, ma non garantisce che sia unica. "Per due punti passa una sola retta" dice che la retta è unica, ma non garantisce che esista.
Spesso in matematica serve garantire che un oggetto esiste ed è unico: ecco perché si usa il termine una e una sola.
Una retta, inoltre, può essere orientata: cioè, si può scegliere un verso in cui percorrerla. Questo permette di dire che un punto viene prima di un altro, o meglio: che un punto \(A\) precede un punto \(B\), e quindi \(B\) segue \(A\).
L'orientazione della retta permette di capire i postulati di ordine:
Dati due punti in una retta, uno dei due precede sempre l'altro (l'ordine dell'orientazione è totale).
Fissati due punti \(A, B\) in una retta orientata, con \(A\) che precede \(B\) , allora esiste sempre un terzo punto \(C\) che segue \(A\) e precede \(B\) (densità).
Fissati tre punti \(A, B, C\), se \(A\) precede \(B\) e \(B\) precede \(C\), allora \(A\) precede \(C\).
Come vedi, non dicono nulla di strano: è abbastanza ragionevole prenderli come veri!
Questi postulati hanno importanti conseguenze: ad esempio, il quarto postulato di appartenenza ci dice che due rette distinte possono avere al massimo un punto in comune. Se avessero due punti in comune, infatti, dovrebbero essere la stessa retta!
Linee
Posa la matita su un foglio e muovi un po' la mano senza staccare la punta della matita. Hai disegnato un modello del concetto intuitivo di linea: anche questo va preso come concetto primitivo.
Semirette e segmenti
L'orientazione delle rette e i postulati d'ordine permettono di definire le semirette e i segmenti.
Fissata una retta \(r\) e un punto \(A\) appartenente alla retta, si definisce semiretta di origine \(A\) uno dei due sottoinsiemi di \(r\) seguenti:
- l'insieme di \(A\) e di tutti i punti che lo precedono;
- l'insieme di \(A\) e di tutti i punti che lo seguono.
La retta di partenza è il prolungamento della semiretta.
Fig. 1. Semiretta di origine A.
Fissata una retta \(r\) e due punti \(A\) e \(B\) appartenenti a \(r\), ordinati in modo che \(A\) preceda \(B\).
Il segmento \(\overline{AB}\) di estremi \(A\) e \(B\) è l'insieme di tutti i punti che seguono \(A\) e precedono \(B\). I punti \(A\) e \(B\) sono detti estremi del segmento.
Un segmento, quindi, è un tratto di retta compreso tra due punti. Si rappresenta evidenziandone gli estremi.
Fig. 2. Segmento di estremi A e B.Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune un estremo; sono adiacenti se sono consecutivi e si trovano sulla stessa retta. Due segmenti adiacenti si possono sommare tra di loro: la somma è il segmento che definito dai due estremi non coincidenti.
Angoli
Date due semirette con l'origine in comune, si chiama angolo l'insieme dei punti delle due semirette e di una delle due parti in cui esse dividono il piano. Le due semirette si chiamano lati dell'angolo.
Fissate due semirette, quindi, è possibile individuare due angoli: nei disegni si specifica quale dei due è considerato con un arco di cerchio. C'è una differenza, però: uno dei due contiene sia i lati, che i loro prolungamenti, mentre l'altro no.
Un angolo è detto concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati; convesso se non è concavo.
Fig. 3. Angolo convesso e angolo concavo; i prolungamenti dei lati sono tratteggiati.
Nota che la definizione non esclude che le due semirette possano essere coincidenti: ovvero, che siano la stessa semiretta. In questo caso particolare si definisce l'angolo giro che risulta formato, in pratica, da tutti i punti del piano. L'altro angolo, in questo caso, sarebbe compreso tra due semirette coincidenti: di fatto, risulta un insieme vuoto. Viene chiamato, quindi, angolo nullo.
Fig. 4. Angolo giro e angolo nullo
L'angolo giro permette di definire l'unità di misura degli angoli: tradizionalmente, si usano i gradi sessagesimali. L'angolo giro misura 360°: gli altri angoli vengono misurati in proporzione a questo. Un angolo piatto è un angolo i cui lati si trovano sulla stessa retta: è la metà di un angolo giro, e quindi misura 180°. Un angolo retto è la metà di un angolo piatto, e misura precisamente 90°. Gli angoli prendono nomi diversi a seconda della misura.
Nome | Disegno | Misura |
Angolo acuto |  Fig. 5. Angolo acuto
| Minore di 90o |
Angolo retto |  Fig. 6. Angolo retto
| 90o |
Angolo ottuso |  Fig. 7. Angolo ottuso
| Più di 90o |
Angolo piatto |  Fig. 8. Angolo piatto
| 180o |
Angolo concavo |  Fig. 9. Angolo concavo
| Più di 180o |
Tabella 1. Nomi degli angoli in base alla misura.
Gli angoli si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto greco (\(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \ldots \)). Due angoli si possono sommare o sottrarre, facendo coincidere un lato di uno con un lato dell'altro: la somma dei due angoli allora è l'angolo definito dai due lati rimanenti. Nella figura, i due angoli più piccoli hanno per somma quello grande: viceversa, la differenza tra l'angolo più grande e uno dei più piccoli è il terzo angolo.
Fig. 10. Somma e differenza di angoli
Quando la somma di una coppia di angoli è un angolo retto, piatto o giro, la coppia di angoli prende dei nomi precisi.
Due angoli sono detti
- Complementari se la loro somma è di 90°.
- Supplementari se la loro somma è di 180o.
- Esplementari se la loro somma è di 360°.
Consideriamo un angolo di 60°, allora:
il suo complementare misura 90°-60°=30°;
il suo supplementare misura 180°-60°=120°;
il suo esplementare misura 360-60°=300°.
Uguale o congruente?
Se confronti due oggetti e non noti differenze tra loro, tendi a dire che sono uguali. In geometria, però, questo uguali non è abbastanza preciso: cosa significa dire che due angoli o due segmenti sono uguali? Che cosa, esattamente, è uguale? Hanno gli stessi lati? Gli stessi estremi? Oppure è proprio lo stesso oggetto?
L'idea di uguale che serve in geometria è quella di vedere se un oggetto e un altro si possono sovrapporre perfettamente, senza che una parte del primo oggetto sporga dal secondo. Questo concetto è espresso dal termine congruenza: si dice che due oggetti sono congruenti, e si indica con il termine \( \cong \), se esiste un movimento rigido nel piano che porta il primo oggetto sull'altro.
Tutte le rette sono congruenti tra loro; tutti i punti sono congruenti tra loro; tutte le semirette sono congruenti tra loro. Questo non vale, invece, per i segmenti! Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza; due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza.
Figure geometriche piane
A questo punto possiamo passare a costruire figure piane! Per costruire una figura piana bisogna definirne i contorni. L'idea intuitiva è che il contorno di una figura possa essere sia "curvo" che "dritto": quindi serve un concetto un po' più generale di quello di "retta". La linea generica, che comprende anche le linee curve, non si può definire: va considerato un concetto primitivo al pari di quello di retta.
Anche una linea curva può essere ordinata: la grossa differenza con le rette, però, è che fissati due punti esistono infinite linee curve che passano per essi. Valgono, insomma, i postulati di ordine, ma non il postulato di appartenenza numero 4.
Un tratto di linea curva compreso tra due punti si chiama arco e i due punti si chiamano estremi. Una linea può essere chiusa o aperta, intrecciata o non intrecciata (alcuni testi usano "semplice" invece che "non intrecciata").
Fig. 11. Linee aperte, chiuse, intrecciate e non intrecciate
Le linee chiuse sono l'ideale per fare da contorno alle figure piane. Ora, una retta da sola non si può chiudere: per avere un contorno "diritto" ci serve un altro concetto.
Una poligonale o spezzata è un insieme di segmenti tale che:
Una poligonale, così come una linea curva, può essere aperta o chiusa, intrecciata o non intrecciata. Una linea chiusa, o una poligonale chiusa, dividono il piano in uno spazio interno e uno esterno alla linea. Interno ed esterno sono concetti intuitivi: è più difficile darne una definizione rigorosa. L'esterno si estende in modo illimitato: l'idea, quindi è definire
- i punti esterni alla figura sono quelli nella parte di piano che contiene delle rette.
- i punti interi alla figura sono quelli nella parte del piano che non ne contiene.
Questo è precisamente ciò che serve a definire le figure piane!
In generale, una figura geometrica è un insieme di punti del piano. Le rette, i segmenti, le linee, sono figure geometriche: si estendono però in una sola dimensione. Prova a pensarci: se fissi un punto di partenza su una retta o una linea, ti basta sapere quanto andare avanti o indietro da quel punto per raggiungerne un altro. Non puoi spostarti "di lato" perché esci dalla linea.
La geometria piana studia in particolare le figure piane, che invece hanno due dimensioni. Spostarti su una figura piana è come camminare su un pavimento: puoi spostarti sia in avanti e indietro, che lungo destra e sinistra. Tra le figure definite finora, solo l'angolo ha due dimensioni: per definire altre figure piane serve qualche mezzo in più. In particolare, serve un "contorno", un "confine" della figura: l'ideale per questo è usare l'interno delle linee chiuse.
Figure concave e convesse
Intuitivamente, una figura è concava se contiene una qualche cavità, una "conca"; se non è così, e quindi non ci sono cavità di nessun tipo, è convessa. Naturalmente la geometria richiede una definizione più rigorosa!
Una figura è convessa se, per ogni coppia di punti che le appartengono, tutto il segmento che ha per estremi i due punti è contenuto nella figura. Se non è così è concava.
Sembra una definizione complicata, ma in realtà traduce il concetto intuitivo: se c'è un "buco" nella figura, il segmento che collega due punti sul lato opposto di questo "buco" deve uscire dalla figura.
Fig. 12. Figura concava e figura convessa.
Poligoni
Un poligono è l'insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata, e dei suoi punti interni.
I segmenti che compongono la poligonale si chiamano lati del poligono e i loro estremi si chiamano vertici.
Un poligono può essere sia concavo che convesso. Si indica con le lettere corrispondenti ai vertici, ordinate in senso antiorario.
In alcuni libri, vengono considerati poligoni solo i poligoni convessi. Controlla il tuo libro scolastico o le definizioni dell'insegnante per sicurezza!
I lati dei poligoni, incontrandosi nei vertici, formano degli angoli: ci sono angoli interni del poligono, ma si possono definire anche quelli esterni. Attenzione, però: l'angolo esterno non è l'angolo concavo formato dai due lati. L'angolo esterno è quello tra un lato e il prolungamento del successivo.
Oltre ai lati, puoi collegare i vertici anche con altri segmenti: si chiamano diagonali i segmenti che collegano due vertici non consecutivi di un poligono. Nella figura vedi un poligono \(ABCDEFG\): sono evidenziate due diagonali (\(AF\) e \(DG\)) e due angoli, uno interno (\(\alpha\), in giallo) e uno esterno (\(\beta\), più scuro.)
Fig. 13. Poligono con evidenziate due diagonali, un angolo esterno e uno interno.
Nota che il numero di lati è sempre uguale al numero degli angoli. Questo numero permette di classificare i poligoni: conosci sicuramente i triangoli, che hanno tre angoli (e quindi tre lati), e i quadrilateri, con quattro lati (e quindi quattro angoli). Da cinque lati in poi, i nomi sono pentagono, esagono, ettagono, ottagono, ennagono, decagono e significano rispettivamente cinque-angoli, sei-angoli, sette-angoli, e così via.
Poligoni regolari
Un poligono è equilatero se tutti i suoi lati sono congruenti tra loro.
Un poligono è equiangolo se tutti i suoi angoli sono congruenti tra loro.
Un poligono è detto regolare se è equilatero ed equiangolo.
Fissato un certo numero naturale, si può sempre costruire un poligono regolare che ha quel numero di lati.
Cerchio
Non tutte le figure che si considerano nel piano hanno una poligonale come bordo: la più famosa è forse il cerchio. Per definirlo usiamo due punti nel piano.
Fissiamo due punti \(C, P\) nel piano.
La circonferenza di centro \(C\) e raggio \(\overline{CP}\) è l'insieme dei punti del piano per cui il segmento che li congiunge a \(C\) è congruente a \(\overline{CP}\).
Il cerchio è l'insieme dei punti della circonferenza e di quelli interni ad essa.
Di solito si dice che la circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza dal centro: qui però non abbiamo ancora definito precisamente il termine "distanza"!
Perimetro e area
Per definire le distanze è necessario scegliere un segmento che prendiamo per riferimento. La lunghezza di questo segmento fa da unità di misura: sommando il segmento con sé stesso un certo numero di volte, possiamo assegnare una misura alle lunghezze degli altri segmenti e confrontarli tra di loro.
In questo modo possiamo definire la distanza tra due punti come la lunghezza del segmento che li congiunge. Le distanze sono utili per misurare la lunghezza dei bordi di una figura: in particolare, si può definire la lunghezza delle poligonali sommando tutte le lunghezze dei vari segmenti. In particolare, si può definire il perimetro di un poligono come la somma delle lunghezze dei lati del poligono.
In modo simile, si può definire un'unità di misura della superficie piana di una figura e definirne un'altra proprietà importante: l'area, che misura l'estensione piana, bidimensionale della figura.
Nota che il perimetro si definisce solo per i poligoni: il cerchio non ha un perimetro! L'area, invece, si può definire per tutte le figure piane. Un'altra differenza importante tra perimetro e area è che c'è un metodo generale per calcolare il perimetro: basta sommare le lunghezze dei lati. Questo metodo funziona sempre! Non vale lo stesso per l'area: il calcolo dell'area prevede ragionamenti, e quindi formule, diverse per ogni figura.
Costruzioni geometriche delle figure piane
La geometria euclidea dà un'estrema importanza alla possibilità di disegnare le figure usando due strumenti minimi: la riga e il compasso. Le costruzioni con riga e compasso nascono nell'antica Grecia, ma hanno avuto applicazioni pratiche dirette fino a che il disegno tecnico è stato fatto a mano. Non tutte le figure si possono costruire con riga e compasso, e nel corso della storia sono stati inventati molti strumenti diversi per ampliare le possibilità di disegno.
In queste costruzioni la riga è semplicemente uno strumento per tracciare segmenti: non è graduata e non esegue misure.
Le costruzioni con riga e compasso sono utili anche se usi uno strumento digitale come Geogebra: ti consentono di disegnare alcune figure senza dover scrivere le equazioni. Anche in digitale, le costruzioni riga e compasso si comportano seguendo i postulati:
È sempre possibile tracciare una linea retta che collega un punto a un altro punto dato.
Ogni segmento di retta si può prolungare indefinitamente in entrambi i versi.
È sempre possibile tracciare un cerchio con centro e raggio fissati.
Riga e compasso consentono di costruire l'asse di un segmento, la bisettrice di un angolo, poligoni regolari e molte altri luoghi geometrici importanti. Nel disegno qui sotto puoi vedere la costruzione di un triangolo equilatero, a partire da un segmento \(\overline{AB}\) che ne è il lato. Come prima cosa si traccia la circonferenza di centro \(A\) e raggio \(\overline{AB}\). Poi si traccia la circonferenza centrata in \(B\) con lo stesso raggio. Le circonferenze si intersecano nel punto \(C\): i segmenti \(\overline{AC}\) e \(\overline{BC}\) sono gli altri due lati del triangolo.
Fig. 14. Costruzione di un triangolo equilatero con riga e compasso.
Geometria piana - Punti chiave
- Gli enti elementari della geometria piana sono punto, retta e piano. Questi concetti non vengono definiti, ma si danno una serie di "regole" che ne descrivono il comportamento e che si chiamano postulati.
- I postulati di appartenenza descrivono le relazioni che ci sono tra punto, retta e piano.
- I postulati di ordine sulla retta consentono di definire un'orientazione: una relazione di ordine tra i punti. Possiamo dire quindi che un punto precede o segue un altro punto.
- Fissata una retta e un punto \(P\), una semiretta di origine \(P\) è l'insieme di \(P\) e di tutti i punti che seguono \(P\), oppure di quelli che lo precedono.
- Fissati due punti \(A, B\) su una retta, un segmento di estremi \(A\) e \(B\) è l'insieme dei punti compresi tra \(A\) e \(B\) (cioè che seguono un punto e precedono l'altro).
- Un angolo si può definire grazie a due semirette che si chiamano lati. L'angolo è l'insieme formato dalle due semirette e da una delle due parti in cui esse dividono il piano.
- Se i due lati di un angolo coincidono, una delle due parti in cui tagliano il piano è vuota (angolo nullo). L'altra parte è un angolo giro, che consente di definire le misure di ampiezza dei vari angoli.
- L'angolo giro misura 360°. Metà di un angolo giro è un angolo piatto di 180°; metà di questo è un angolo retto e misura 90°. Gli angoli di ampiezza tra 0° e 90° sono detti acuti, quelli tra 90° e 180° sono detti ottusi.
- In geometria non si dice che due oggetti sono uguali, ma che sono congruenti: significa che sono perfettamente sovrapponibili. Tutte le rette sono congruenti tra loro, così come tutti i punti sono congruenti tra loro. Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza e due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza.
- La linea è un altro concetto primitivo, come la retta e il punto. Una linea può essere aperta o chiusa, intrecciata o non intrecciata. Una linea chiusa divide il piano in una parte interna e una esterna e permette di definire figure geometriche.
- Una poligonale è una successione di segmenti consecutivi e non adiacenti.
- Un oggetto geometrico è convesso se, per qualsiasi coppia di punti ad esso appartenenti, il segmento che li congiunge è tutto contenuto nell'oggetto. In caso contrario è concavo. Un angolo è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati: in caso contrario è concavo.
- Una poligonale chiusa e non intrecciata, con i suoi punti interni, definisce un poligono. Esempi di poligoni sono i triangoli e i quadrilateri. Un poligono è regolare se sia i lati che gli angoli sono tutti congruenti tra loro.
- Un esempio di oggetto geometrico non definibile da una poligonale è il cerchio, che si definisce grazie a un punto detto centro e a un segmento che fa da raggio.
- Il perimetro di un poligono è la somma delle lunghezze dei segmenti che lo compongono. L'area di una figura piana è una misura della parte di piano che occupa. Per definire entrambi è necessario scegliere un'unità di misura!
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