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Quadrilateri

Le planimetrie delle case di oggi non sono molto diverse da quelle di duemila anni fa: quella nel disegno è la Casa dei Dioscuri, a Pompei. Come succede oggi, tutte le stanze hanno quattro pareti e quattro angoli. Nonostante questo, le forme sono molto diverse: cambiano gli angoli, a volte le pareti sono tutte uguali, altre volte hanno dimensioni differenti.

Quadrilateri planimetria casa StudysmarterFig. 1. Casa dei Dioscuri, Pompei.

Quattro lati e quattro angoli però sono già qualcosa in comune. Una figura con quattro lati e quattro angoli ha un nome specifico:

Un quadrilatero è un poligono con quattro lati, quattro vertici e quattro angoli.

Al di là del numero di lati e angoli, che è sempre lo stesso, ci sono molte caratteristiche diverse che permettono di definire diversi tipi di quadrilateri.

Rispetto ai triangoli, i quadrilateri hanno un lato e un vertice in più: sembra banale, ma consente di definire una nuova struttura.

Una diagonale di un quadrilatero è un segmento che congiunge due vertici opposti.

Un triangolo non ha diagonali: un quadrilatero, invece, ne ha sempre due.

Quadrilatero diagonali StudysmarterFig. 2. Diagonali di un quadrilatero

Quadrilateri concavi e convessi

Concavo e convesso sono uno l'opposto dell'altro. In italiano il termine conca indica un avvallamento, una rientranza: intuitivamente, un oggetto è convesso quando non ha nessuna "conca", ed è concavo quando le ha. La definizione matematica è un po' più precisa.

Una figura piana è convessa se, comunque fissati due punti \(A\) e \(B\) che le appartengono, tutto il segmento che congiunge \(A\) e \(B\) è contenuto nella figura. Una figura non convessa è concava.

Nella figura sotto vedi un esempio: il quadrilatero \(ABCD\) è concavo. Infatti alcuni dei segmenti che congiungono i suoi punti non sono interni: c'è precisamente una "conca" nella zona attorno al punto \(A\). Questo non vuol dire che tutti i segmenti che congiungono punti escano dalla figura: il segmento \(\overline{OP}\) è interno. La figura è concava se almeno un segmento che collega due suoi punti è esterno. È convessa se tutti i segmenti che collegano due dei suoi punti sono interni, come succede al quadrilatero \(EFGH\).

Quadrilateri Concavo e convesso StudysmarterFig. 3. Quadrilatero concavo e convesso.

Come vedi dal disegno, un quadrilatero concavo deve avere almeno un angolo maggiore di 180°: nel primo disegno, è l'angolo in \(\hat{A}\). Un angolo di questo tipo si chiama appunto... angolo concavo! Puoi rivedere la definizione di quest'angolo anche nell'articolo sulla geometria piana.

Somma degli angoli interni di un quadrilatero

È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°: cosa succede nei quadrilateri? La somma degli angoli interni in un quadrilatero è sempre di un angolo giro, cioè di 360°. Se ti chiedi perché, è un'ottima domanda: ci sono tante dimostrazioni diverse. La più semplice, probabilmente, è quella di sfruttare una diagonale. Considera, ad esempio, la diagonale \(\overline{FH}\) nella figura 2: questa taglia il quadrilatero in due triangoli, \(FGH\) e \(FHE\). Puoi calcolare la somma degli angoli interni di \(EFGH\) come "somma delle somme" nei due triangoli: 180°+180°=360°.

Classificazione dei quadrilateri

Il fatto che la somma degli angoli interni sia 360° fa sì che un quadrilatero possa avere più di un angolo retto: anzi, possono essere retti anche tutti gli angoli. Questo può suggerire un'idea per classificare i quadrilateri: dividere quelli che hanno angoli retti da quelli che non li hanno. Un'altra idea può essere studiare se ci sono lati uguali; oppure studiare se ci sono coppie di lati paralleli. Un criterio che sembra più strano è quello di studiare se le diagonali sono perpendicolari tra loro oppure no.

Tutte queste idee sono sfruttate per classificare i quadrilateri!

  • un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;

  • un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;

  • un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;

  • un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;

  • un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;

  • un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.

Quadrilatero

Proprietà dei lati

Proprietà degli angoli

Proprietà delle diagonali

Trapezio

Quadrilateri Trapezio StudySmarter Fig. 4. Trapezio

Due lati sono paralleli tra loro e sono detti basi. Oltre a questi ci sono due lati obliqui, che possono essere diversi tra loro (trapezio scaleno) oppure uguali (in questo caso si parla di trapezio isoscele)

Gli angoli agli estremi di uno stesso lato obliquo sono supplementari (hanno una somma di 180°).

Parallelogramma

Quadrilateri Parallelogramma StudySmarterFig. 5. Parallelogramma

Due coppie di lati paralleli tra loro. I lati opposti sono congruenti.

Due coppie di angoli opposti congruenti.

Le diagonali possono avere lunghezze diverse. Il loro punto d'intersezione le divide a metà.

Rettangolo

Quadrilateri Rettangolo StudySmarter Fig. 6. Rettangolo

Due coppie di lati paralleli tra loro. I lati opposti sono congruenti.

Gli angoli sono tutti retti, e quindi congruenti tra loro.

Le diagonali sono congruenti. Il loro punto d'intersezione le divide a metà.

Deltoide

Quadrilateri Deltoide StudySmarterFig. 7. Deltoide

Due coppie di lati consecutivi congruenti tra loro.

Due angoli tra loro opposti sono congruenti.

Le diagonali sono perpendicolari tra loro.

Rombo

Quadrilateri Rombo StudySmarterFig. 8. Rombo

I lati sono tutti congruenti tra loro.

Due coppie di angoli opposti congruenti.

Le diagonali sono perpendicolari tra loro.

Quadrato

Quadrilateri Quadrato StudySmarter Fig. 9. Quadrato

Due coppie di lati paralleli tra loro. I lati sono tutti congruenti.

Gli angoli sono tutti retti, e quindi congruenti tra loro.

Le diagonali sono congruenti e perpendicolari tra loro. Il loro punto d'intersezione le divide a metà.

Puoi notare come certe caratteristiche siano presenti in più quadrilateri: ad esempio, il parallelogramma ha due lati paralleli. Significa che è anche un trapezio? E il quadrato ha quattro lati uguali: allora è anche un rombo? La risposta è sì in entrambi i casi! Le relazioni di inclusione si possono rappresentare molto più brevemente con il diagramma di Venn che vedi di seguito.

Quadrilateri classificazione diagramma di Venn StudysmarterFig. 10. Classificazione dei quadrilateri.

I trapezi e i deltoidi sono i quadrilateri con le proprietà più generiche: questo significa che possono essere suddivisi ulteriormente.

Trapezio

La proprietà che definisce il trapezio è quella di avere due lati paralleli. In generale, non ci sono lati uguali, e quindi il trapezio risulta scaleno. Potrebbe esserci un angolo retto: in questo caso si dice che il trapezio è rettangolo. È possibile che un trapezio rettangolo sia anche scaleno, come nell'illustrazione sotto.

Quadrilateri Trapezio Rettangolo StudySmarterFig. 11. Trapezio rettangolo

Quando i due lati obliqui sono uguali, si dice che il trapezio è isoscele. In questo caso anche le diagonali sono congruenti.

Quadrilateri trapezio isoscele StudySmarterFig. 12. Trapezio isoscele

Deltoide

Questo è il termine geometrico con cui si descrive la forma dell'aquilone. O meglio: la forma dell'aquilone corrisponde a un deltoide convesso. Nella definizione, però, non è richiesto di essere convesso: un deltoide può anche essere concavo!

Quadrilateri deltoide concavo StudysmarterFig 13. Deltoide concavo.

Quadrilatero: regolare o irregolare?

I quadrilateri sono poligoni e quindi valgono gli stessi criteri:

Un quadrilatero è regolare quando sia i suoi lati che i suoi angoli sono tutti congruenti tra loro.

Di tutti i quadrilateri che hai visto, quindi, l'unico regolare è il quadrato: tutti gli altri sono irregolari.

Quadrilateri inscritti e circoscritti

Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza.

Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.

Quadrilateri inscritti e circoscritti a circonferenze StudysmarterFig. 14. Quadrilatero inscritto in una circonferenza a sinistra. Quadrilatero circoscritto a una circonferenza a destra.

Il problema, dato un poligono, è di capire se è possibile costruire la circonferenza a cui è inscritto o circoscritto: cioè, capire se il poligono è inscrivibile o circoscrivibile. Per fortuna, i criteri da verificare con i quadrilateri sono più semplici!

Teorema

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se i suoi angoli opposti sono supplementari.

Quadrilatero inscritto in una circonferenza StudysmarterFig. 15. Quadrilatero inscritto in una circonferenza con angoli opposti in evidenza.

Questo teorema deriva dalla relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza:

l'angolo al centro è sempre il doppio dell'angolo alla circonferenza corrispondente.

Considera la figura con il quadrilatero \(\overline{ABCD}\): gli angoli \(\alpha\), nel vertice \(A\), e \(\gamma\) , nel vertice \(B\), sono opposti tra loro, come nelle ipotesi del teorema.

L'angolo \(\alpha\) è l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro \(\delta\). Quindi \(\alpha = 2 \delta\).

Lo stesso vale per gli angoli \(\gamma\) e \(\beta\).

D'altra parte, \(\beta\) e \(\delta\) sono esplementari: se sommati, danno l'angolo giro. Questo significa che

\[ \alpha + \gamma = \frac{\delta}{2}+ \frac{\delta}{2} = \frac{\delta + \beta}{2} =\frac{360°}{2} = 180° \]

Un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza si dice ciclico.

Quali quadrilateri, tra i 6 visti sopra, sono inscrivibili in una circonferenza?

Il trapezio è inscrivibile solo se è isoscele: è l'unico caso in cui gli angoli opposti sono supplementari!

Un parallelogramma ha sempre gli angoli opposti uguali: se sono uguali e supplementari, allora devono misurare ognuno 90°. Un parallelogramma, quindi, è inscrivibile solo se è un rettangolo!

Anche i deltoidi, in generale, non sono inscrivibili: generalmente gli angoli opposti non sono supplementari. Lo stesso vale per i rombi: un rombo è inscrivibile solo se è un quadrato.

Riassumendo, sono inscrivibili: trapezio isoscele, rettangolo, quadrato.

Il criterio per capire se un poligono è circoscrivibile, invece, riguarda i lati.

Teorema

Un poligono è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.

Quadrilatero circoscritto a una circonferenza StudysmarterFig. 16. Quadrilatero circoscritto a una circonferenza.

Anche in questo caso fare un disegno aiuta a capire l'idea per dimostrare il teorema. Considera il quadrilatero \(KLMN\) circoscritto alla circonferenza. Chiama \(J\) il punto di tangenza nel lato \(\overline{KL}\) e \(I\) il punto di tangenza nel lato \(\overline{NK}\). I punti di tangenza \(J\) e \(I\) sono simmetrici rispetto a \(K\) per le proprietà generali delle tangenti a una curva da un punto esterno. Quindi i segmenti \(\overline{KJ}\) e \(\overline{IK}\) sono uguali! Ripetendo il ragionamento trovi che

\[ \overline{JL} = \overline{LH}, \;\; \overline{HM} = \overline{MQ} ,\;\; \overline{QN} = \overline{NI}\]

Sostituendoli nella somma, si ha:

\[ \begin{align} \overline{KL} &+ \overline{MN} = \\\overline{KJ} + \overline{JL} &+ \overline{MQ}+\overline{QN} = \\\overline{KI} + \overline{LH} &+ \overline{HM}+\overline{IN} = \\\overline{KI} + \overline{IN} &+ \overline{LH} + \overline{HM} = \\\overline{KN} &+ \overline{LM} \end{align} \]

Quali dei quadrilateri visti sopra sono circoscrivibili?

Stavolta puoi andare sicuro sul deltoide: ci sono due coppie di lati congruenti, le somme delle lunghezze dei lati opposti sono per forza uguali! Anche il rombo e il quadrato, di conseguenza, ereditano questa proprietà.

Un trapezio è inscrivibile solo se la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati obliqui. Parallelogrammi e rettangoli hanno i lati opposti della stessa lunghezza: sono inscrivibili solo se tutti i lati sono uguali.

Quindi i quadrilateri sempre circoscrivibili sono: deltoide, rombo, quadrato. Possono essere inscrivibili i trapezi. Rettangoli e parallelogrammi generici invece non sono inscrivibili.

Il trapezio isoscele che ha base maggiore lunga 8 cm, base minore lunga 2 cm e lato obliquo di 5 cm è inscrivibile? È circoscrivibile?

Considera il trapezio isoscele nella figura 12 per aiutarti a ragionare. Per capire se il trapezio isoscele è inscrivibile bisogna considerare gli angoli opposti. In questo caso non sai quanto misurano, ma i due angoli ottusi sono uguali tra loro e i due angoli acuti sono uguali tra loro. Gli angoli opposti sono un acuto e un ottuso: per le proprietà generali dei trapezi, la loro somma è di 180°.

Il trapezio quindi è inscrivibile in una circonferenza!

Per capire se è circoscrivibile, puoi sommare tra loro i lati opposti: la somma delle due basi è \(8 \, cm + 2 \, cm = 10 \, cm\). La somma dei due lati obliqui è \(5\, cm + 5 \, cm =10 \, cm\), e quindi il trapezio è anche circoscrivibile.

Area dei quadrilateri: formule

L'area è una misura dello spazio bidimensionale racchiuso da una figura. Ognuno dei quadrilateri visti ha una formula specifica.

Quadrilatero

Area

Quadrato

Quadrilateri Area di un quadrato StudySmarter Fig. 17. Area del quadrato

L'area si trova elevando il lato... al quadrato.

\[ A= a^2\]

Rettangolo

Quadrilateri Area di un rettangolo StudySmarterFig. 18. Area del rettangolo

L'area del rettangolo è il prodotto tra base e altezza. \[A= a \cdot b\]

Parallelogramma

Quadrilateri Area del parallelogramma StudySmarterFig. 19. Area del parallelogramma

L'area del parallelogramma è il prodotto tra base e altezza.

\[A=a \cdot h\]

Trapezio

Quadrilateri Area del trapezio StudySmarterFig. 20. Area del trapezio

L'area si trova moltiplicando l'altezza per la somma delle basi, e dividendo il risultato per due.

\[ A = \frac{(a+b)\cdot h}{2} \]

Rombo

Quadrilateri Area del rombo StudySmarterFig. 21. Area del rombo

L'area si trova facendo il prodotto tra le diagonali e dividendo per due.

\[A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

Deltoide

Quadrilateri, Area del deltoide, StudySmarterFig. 22. Area del deltoide

L'area si trova facendo il prodotto tra le diagonali e dividendo per due. Nota: funziona anche per un deltoide concavo.

\[A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

Spesso negli esercizi bisogna calcolare anche il perimetro o le diagonali oltre all'area. In generale, per farlo devi sfruttare il teorema di Pitagora e identificare un triangolo rettangolo utile all'interno della figura.

Trova area e perimetro del trapezio in figura.

Quadrilateri Perimetro trapezio StudySmarterFig. 23. Area di un trapezio.

Soluzione

La base maggiore del trapezio è \(a = 21 \, cm\), mentre la base minore è \(b = 15 \, cm\). L'altezza è \(h = 13 \, cm\).

L'area si trova sostituendo queste grandezze nella formula:\[ A = \frac{(a+b)\cdot h}{2} = \frac{(15+21) \cdot 13}{2} = \frac{36\cdot 13}{2} = 18\cdot13 = 234 \, cm^2\]

Il perimetro del trapezio è semplicemente la somma dei lati:

\[P = 15 \, cm + 17 \, cm+21 \, cm+17 \, cm= 70 \, cm\]

Trova la lunghezza della seconda diagonale e del lato di un rombo di area 123.5 cm2.

Quadrilateri Area del rombo StudySmarterFig. 24. Rombo

Per trovare la diagonale puoi invertire la formula dell'area: se

\[A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

allora

\[d_2 = \frac{2A}{d_1} = \frac{2 \cdot 123,5}{13} = \frac{247}{13} = 19 \, cm\]

Per trovare il lato si può considerare il triangolo rettangolo che ha per cateti le mezze diagonali: l'ipotenusa in questo caso è il lato del rombo.

\[ l= \sqrt{(6,5)^2+(9,5)^2} = \sqrt{42,25+90,25} = \sqrt{132,5} \approx 11,5 \, cm \]

Il perimetro è la somma dei quattro lati:

\[P = l+l+l+l = 4l \approx 4\cdot 11,5 \, cm = 46 \, cm\]

Quadrilateri - Punti chiave

  • I poligoni con quattro lati si chiamano quadrilateri.
  • Le diagonali sono segmenti che collegano vertici non adiacenti.
  • Un quadrilatero è convesso se, scelta una coppia qualsiasi di punti appartenenti ad esso, tutto il segmento che collega i due punti è contenuto nel quadrilatero. Se non è così è concavo.
  • I quadrilateri vengono classificati nel modo seguente:
    • un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;
    • un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;
    • un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;
    • un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;
    • un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;
    • un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.
  • Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se i suoi angoli opposti sono supplementari.
  • Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.
  • Per calcolare l'area ci sono formule diverse a seconda del quadrilatero.
    • Per un trapezio l'area è il prodotto della somma delle basi per l'altezza, diviso due;
    • Per un parallelogramma l'area si calcola moltiplicando base e altezza. Vale lo stesso per il rettangolo, solo che l'altezza in questo caso coincide con uno dei lati.
    • Nei deltoidi, rombo compreso, l'area si calcola moltiplicando tra loro le diagonali e dividendo per due.
    • Nel quadrato è sufficiente la misura di un lato: per calcolare l'area basta elevare il lato alla seconda (al quadrato).

References

  1. Fig. 1. Casa dei Dioscuri (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casa_dei_Dioscuri_map.svg) di M. Violante (https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:M.violante) Licenza CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ )

Domande frequenti riguardo Quadrilateri

Tutti i poligoni con quattro vertici (che, di conseguenza, hanno anche quattro lati).

I quadrilateri sono tantissimi e ognuno ha caratteristiche diverse. Le caratteristiche che hanno tutti i quadrilateri sono di avere quattro lati, quattro angoli, due diagonali, e la somma degli angoli interni pari a 360°.

I sei quadrilateri più famosi sono questi:

  • un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;
  • un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;
  • un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;
  • un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;
  • un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;
  • un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.

I quadrilateri sono classificati in sei famiglie diverse, a seconda che abbiano o meno lati paralleli, angoli retti, lati uguali a due a due opposti tra loro oppure consecutivi, diagonali perpendicolari.
L'unico quadrilatero con tutte queste caratteristiche è il quadrato.

Basta contare i lati: se sono quattro, è un quadrilatero. In alternativa, si possono contare gli angoli.

Quiz Finale Quadrilateri

Domanda

Quali dei seguenti sono parallelogrammi?

Visualizza la risposta

Risposta

Rombo

Visualizza la domanda

Domanda

Un trapezio ha la base maggiore che misura 14 cm, la base minore 10 cm e l'altezza 8 cm. Trova l'area.

Visualizza la risposta

Risposta

\(96 cm^2\)

Visualizza la domanda

Domanda

Cosa succede quando l'angolo di un parallelogramma è retto?

Visualizza la risposta

Risposta

Il parallelogramma diventa un rettangolo: infatti gli angoli opposti sono congruenti, e quindi anche l'angolo opposto dovrà essere retto. Gli angoli adiacenti devono essere supplementari, cioè la somma deve fare 180°: il supplementare di un angolo di 90° è nuovamente di 90°.
Quindi, se è retto un angolo, lo sono anche gli altri tre!

Visualizza la domanda

Domanda

Ogni diagonale di un parallelogramma lo divide in due triangoli congruenti.

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Risposta

Vero

Visualizza la domanda

Domanda

Che cos'è un deltoide?

Visualizza la risposta

Risposta

Un deltoide è un quadrilatero con due coppie di lati consecutivi congruenti.

Visualizza la domanda

Domanda

Quale dei seguenti quadrilateri può essere concavo?

Visualizza la risposta

Risposta

Deltoide

Visualizza la domanda

Domanda

Che cos'è un rombo?

Visualizza la risposta

Risposta

Un rombo è un quadrilatero che ha quattro lati uguali.

Visualizza la domanda

Domanda

Quali quadrilateri hanno le diagonali perpendicolari?

Visualizza la risposta

Risposta

Deltoide

Visualizza la domanda

Domanda

Un parallelogramma con l'altezza di \(4 \, cm\) ha un'area di \(20 \, cm^2\). Quanto misura la base?

Visualizza la risposta

Risposta

\(5 \,cm\)

Visualizza la domanda

Domanda

Un quadrilatero \(ABCD\) ha le seguenti misure degli angoli interni:
l'angolo in \(A\) misura 72°
l'angolo in \(B\) misura 60°
l'angolo in \(C\) misura 108°
l'angolo in \(D\) misura 120°
Quali proprietà può avere?

Visualizza la risposta

Risposta

È inscrivibile, ma non circoscrivibile

Visualizza la domanda

Domanda

Un quadrato è concavo o convesso?

Visualizza la risposta

Risposta

I quadrati sono tutti convessi.

Visualizza la domanda

Domanda

Come si trova l'area di un deltoide?

Visualizza la risposta

Risposta

\[A = \frac{d_1 +d_2}{2}\]

Visualizza la domanda

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