Le planimetrie delle case di oggi non sono molto diverse da quelle di duemila anni fa: quella nel disegno è la Casa dei Dioscuri, a Pompei. Come succede oggi, tutte le stanze hanno quattro pareti e quattro angoli. Nonostante questo, le forme sono molto diverse: cambiano gli angoli, a volte le pareti sono tutte uguali, altre volte hanno dimensioni differenti.
Fig. 1. Casa dei Dioscuri, Pompei.
Quattro lati e quattro angoli però sono già qualcosa in comune. Una figura con quattro lati e quattro angoli ha un nome specifico:
Un quadrilatero è un poligono con quattro lati, quattro vertici e quattro angoli.
Al di là del numero di lati e angoli, che è sempre lo stesso, ci sono molte caratteristiche diverse che permettono di definire diversi tipi di quadrilateri.
Rispetto ai triangoli, i quadrilateri hanno un lato e un vertice in più: sembra banale, ma consente di definire una nuova struttura.
Una diagonale di un quadrilatero è un segmento che congiunge due vertici opposti.
Un triangolo non ha diagonali: un quadrilatero, invece, ne ha sempre due.
Fig. 2. Diagonali di un quadrilatero
Quadrilateri concavi e convessi
Concavo e convesso sono uno l'opposto dell'altro. In italiano il termine conca indica un avvallamento, una rientranza: intuitivamente, un oggetto è convesso quando non ha nessuna "conca", ed è concavo quando le ha. La definizione matematica è un po' più precisa.
Una figura piana è convessa se, comunque fissati due punti \(A\) e \(B\) che le appartengono, tutto il segmento che congiunge \(A\) e \(B\) è contenuto nella figura. Una figura non convessa è concava.
Nella figura sotto vedi un esempio: il quadrilatero \(ABCD\) è concavo. Infatti alcuni dei segmenti che congiungono i suoi punti non sono interni: c'è precisamente una "conca" nella zona attorno al punto \(A\). Questo non vuol dire che tutti i segmenti che congiungono punti escano dalla figura: il segmento \(\overline{OP}\) è interno. La figura è concava se almeno un segmento che collega due suoi punti è esterno. È convessa se tutti i segmenti che collegano due dei suoi punti sono interni, come succede al quadrilatero \(EFGH\).
Fig. 3. Quadrilatero concavo e convesso.
Come vedi dal disegno, un quadrilatero concavo deve avere almeno un angolo maggiore di 180°: nel primo disegno, è l'angolo in \(\hat{A}\). Un angolo di questo tipo si chiama appunto... angolo concavo! Puoi rivedere la definizione di quest'angolo anche nell'articolo sulla geometria piana.
Somma degli angoli interni di un quadrilatero
È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°: cosa succede nei quadrilateri? La somma degli angoli interni in un quadrilatero è sempre di un angolo giro, cioè di 360°. Se ti chiedi perché, è un'ottima domanda: ci sono tante dimostrazioni diverse. La più semplice, probabilmente, è quella di sfruttare una diagonale. Considera, ad esempio, la diagonale \(\overline{FH}\) nella figura 2: questa taglia il quadrilatero in due triangoli, \(FGH\) e \(FHE\). Puoi calcolare la somma degli angoli interni di \(EFGH\) come "somma delle somme" nei due triangoli: 180°+180°=360°.
Classificazione dei quadrilateri
Il fatto che la somma degli angoli interni sia 360° fa sì che un quadrilatero possa avere più di un angolo retto: anzi, possono essere retti anche tutti gli angoli. Questo può suggerire un'idea per classificare i quadrilateri: dividere quelli che hanno angoli retti da quelli che non li hanno. Un'altra idea può essere studiare se ci sono lati uguali; oppure studiare se ci sono coppie di lati paralleli. Un criterio che sembra più strano è quello di studiare se le diagonali sono perpendicolari tra loro oppure no.
Tutte queste idee sono sfruttate per classificare i quadrilateri!
un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;
un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;
un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;
un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;
un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;
un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.
Quadrilatero | Proprietà dei lati | Proprietà degli angoli | Proprietà delle diagonali |
Trapezio  Fig. 4. Trapezio
| Due lati sono paralleli tra loro e sono detti basi. Oltre a questi ci sono due lati obliqui, che possono essere diversi tra loro (trapezio scaleno) oppure uguali (in questo caso si parla di trapezio isoscele) | Gli angoli agli estremi di uno stesso lato obliquo sono supplementari (hanno una somma di 180°). | |
Parallelogramma  Fig. 5. Parallelogramma
| Due coppie di lati paralleli tra loro. I lati opposti sono congruenti. | Due coppie di angoli opposti congruenti. | Le diagonali possono avere lunghezze diverse. Il loro punto d'intersezione le divide a metà. |
Rettangolo  Fig. 6. Rettangolo
| Due coppie di lati paralleli tra loro. I lati opposti sono congruenti. | Gli angoli sono tutti retti, e quindi congruenti tra loro. | Le diagonali sono congruenti. Il loro punto d'intersezione le divide a metà. |
Deltoide  Fig. 7. Deltoide
| Due coppie di lati consecutivi congruenti tra loro. | Due angoli tra loro opposti sono congruenti. | Le diagonali sono perpendicolari tra loro. |
Rombo  Fig. 8. Rombo
| I lati sono tutti congruenti tra loro. | Due coppie di angoli opposti congruenti. | Le diagonali sono perpendicolari tra loro. |
Quadrato  Fig. 9. Quadrato
| Due coppie di lati paralleli tra loro. I lati sono tutti congruenti. | Gli angoli sono tutti retti, e quindi congruenti tra loro. | Le diagonali sono congruenti e perpendicolari tra loro. Il loro punto d'intersezione le divide a metà. |
Puoi notare come certe caratteristiche siano presenti in più quadrilateri: ad esempio, il parallelogramma ha due lati paralleli. Significa che è anche un trapezio? E il quadrato ha quattro lati uguali: allora è anche un rombo? La risposta è sì in entrambi i casi! Le relazioni di inclusione si possono rappresentare molto più brevemente con il diagramma di Venn che vedi di seguito.
Fig. 10. Classificazione dei quadrilateri.
I trapezi e i deltoidi sono i quadrilateri con le proprietà più generiche: questo significa che possono essere suddivisi ulteriormente.
Trapezio
La proprietà che definisce il trapezio è quella di avere due lati paralleli. In generale, non ci sono lati uguali, e quindi il trapezio risulta scaleno. Potrebbe esserci un angolo retto: in questo caso si dice che il trapezio è rettangolo. È possibile che un trapezio rettangolo sia anche scaleno, come nell'illustrazione sotto.
Fig. 11. Trapezio rettangolo
Quando i due lati obliqui sono uguali, si dice che il trapezio è isoscele. In questo caso anche le diagonali sono congruenti.
Fig. 12. Trapezio isoscele
Deltoide
Questo è il termine geometrico con cui si descrive la forma dell'aquilone. O meglio: la forma dell'aquilone corrisponde a un deltoide convesso. Nella definizione, però, non è richiesto di essere convesso: un deltoide può anche essere concavo!
Fig 13. Deltoide concavo.
Quadrilatero: regolare o irregolare?
I quadrilateri sono poligoni e quindi valgono gli stessi criteri:
Un quadrilatero è regolare quando sia i suoi lati che i suoi angoli sono tutti congruenti tra loro.
Di tutti i quadrilateri che hai visto, quindi, l'unico regolare è il quadrato: tutti gli altri sono irregolari.
Quadrilateri inscritti e circoscritti
Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza.
Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Fig. 14. Quadrilatero inscritto in una circonferenza a sinistra. Quadrilatero circoscritto a una circonferenza a destra.
Il problema, dato un poligono, è di capire se è possibile costruire la circonferenza a cui è inscritto o circoscritto: cioè, capire se il poligono è inscrivibile o circoscrivibile. Per fortuna, i criteri da verificare con i quadrilateri sono più semplici!
Teorema
Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se i suoi angoli opposti sono supplementari.
Fig. 15. Quadrilatero inscritto in una circonferenza con angoli opposti in evidenza.
Questo teorema deriva dalla relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza:
l'angolo al centro è sempre il doppio dell'angolo alla circonferenza corrispondente.
Considera la figura con il quadrilatero \(\overline{ABCD}\): gli angoli \(\alpha\), nel vertice \(A\), e \(\gamma\) , nel vertice \(B\), sono opposti tra loro, come nelle ipotesi del teorema.
L'angolo \(\alpha\) è l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro \(\delta\). Quindi \(\alpha = 2 \delta\).
Lo stesso vale per gli angoli \(\gamma\) e \(\beta\).
D'altra parte, \(\beta\) e \(\delta\) sono esplementari: se sommati, danno l'angolo giro. Questo significa che
\[ \alpha + \gamma = \frac{\delta}{2}+ \frac{\delta}{2} = \frac{\delta + \beta}{2} =\frac{360°}{2} = 180° \]
Un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza si dice ciclico.
Quali quadrilateri, tra i 6 visti sopra, sono inscrivibili in una circonferenza?
Il trapezio è inscrivibile solo se è isoscele: è l'unico caso in cui gli angoli opposti sono supplementari!
Un parallelogramma ha sempre gli angoli opposti uguali: se sono uguali e supplementari, allora devono misurare ognuno 90°. Un parallelogramma, quindi, è inscrivibile solo se è un rettangolo!
Anche i deltoidi, in generale, non sono inscrivibili: generalmente gli angoli opposti non sono supplementari. Lo stesso vale per i rombi: un rombo è inscrivibile solo se è un quadrato.
Riassumendo, sono inscrivibili: trapezio isoscele, rettangolo, quadrato.
Il criterio per capire se un poligono è circoscrivibile, invece, riguarda i lati.
Teorema
Un poligono è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.
Fig. 16. Quadrilatero circoscritto a una circonferenza.
Anche in questo caso fare un disegno aiuta a capire l'idea per dimostrare il teorema. Considera il quadrilatero \(KLMN\) circoscritto alla circonferenza. Chiama \(J\) il punto di tangenza nel lato \(\overline{KL}\) e \(I\) il punto di tangenza nel lato \(\overline{NK}\). I punti di tangenza \(J\) e \(I\) sono simmetrici rispetto a \(K\) per le proprietà generali delle tangenti a una curva da un punto esterno. Quindi i segmenti \(\overline{KJ}\) e \(\overline{IK}\) sono uguali! Ripetendo il ragionamento trovi che
\[ \overline{JL} = \overline{LH}, \;\; \overline{HM} = \overline{MQ} ,\;\; \overline{QN} = \overline{NI}\]
Sostituendoli nella somma, si ha:
\[ \begin{align} \overline{KL} &+ \overline{MN} = \\\overline{KJ} + \overline{JL} &+ \overline{MQ}+\overline{QN} = \\\overline{KI} + \overline{LH} &+ \overline{HM}+\overline{IN} = \\\overline{KI} + \overline{IN} &+ \overline{LH} + \overline{HM} = \\\overline{KN} &+ \overline{LM} \end{align} \]
Quali dei quadrilateri visti sopra sono circoscrivibili?
Stavolta puoi andare sicuro sul deltoide: ci sono due coppie di lati congruenti, le somme delle lunghezze dei lati opposti sono per forza uguali! Anche il rombo e il quadrato, di conseguenza, ereditano questa proprietà.
Un trapezio è inscrivibile solo se la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati obliqui. Parallelogrammi e rettangoli hanno i lati opposti della stessa lunghezza: sono inscrivibili solo se tutti i lati sono uguali.
Quindi i quadrilateri sempre circoscrivibili sono: deltoide, rombo, quadrato. Possono essere inscrivibili i trapezi. Rettangoli e parallelogrammi generici invece non sono inscrivibili.
Il trapezio isoscele che ha base maggiore lunga 8 cm, base minore lunga 2 cm e lato obliquo di 5 cm è inscrivibile? È circoscrivibile?
Considera il trapezio isoscele nella figura 12 per aiutarti a ragionare. Per capire se il trapezio isoscele è inscrivibile bisogna considerare gli angoli opposti. In questo caso non sai quanto misurano, ma i due angoli ottusi sono uguali tra loro e i due angoli acuti sono uguali tra loro. Gli angoli opposti sono un acuto e un ottuso: per le proprietà generali dei trapezi, la loro somma è di 180°.
Il trapezio quindi è inscrivibile in una circonferenza!
Per capire se è circoscrivibile, puoi sommare tra loro i lati opposti: la somma delle due basi è \(8 \, cm + 2 \, cm = 10 \, cm\). La somma dei due lati obliqui è \(5\, cm + 5 \, cm =10 \, cm\), e quindi il trapezio è anche circoscrivibile.
Area dei quadrilateri: formule
L'area è una misura dello spazio bidimensionale racchiuso da una figura. Ognuno dei quadrilateri visti ha una formula specifica.
Quadrilatero | Area |
Quadrato  Fig. 17. Area del quadrato
| L'area si trova elevando il lato... al quadrato. \[ A= a^2\] |
Rettangolo  Fig. 18. Area del rettangolo
| L'area del rettangolo è il prodotto tra base e altezza. \[A= a \cdot b\] |
Parallelogramma  Fig. 19. Area del parallelogramma
| L'area del parallelogramma è il prodotto tra base e altezza. \[A=a \cdot h\] |
Trapezio  Fig. 20. Area del trapezio
| L'area si trova moltiplicando l'altezza per la somma delle basi, e dividendo il risultato per due. \[ A = \frac{(a+b)\cdot h}{2} \] |
Rombo  Fig. 21. Area del rombo
| L'area si trova facendo il prodotto tra le diagonali e dividendo per due. \[A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\] |
Deltoide  Fig. 22. Area del deltoide
| L'area si trova facendo il prodotto tra le diagonali e dividendo per due. Nota: funziona anche per un deltoide concavo. \[A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\] |
Spesso negli esercizi bisogna calcolare anche il perimetro o le diagonali oltre all'area. In generale, per farlo devi sfruttare il teorema di Pitagora e identificare un triangolo rettangolo utile all'interno della figura.
Trova area e perimetro del trapezio in figura.
Fig. 23. Area di un trapezio.
Soluzione
La base maggiore del trapezio è \(a = 21 \, cm\), mentre la base minore è \(b = 15 \, cm\). L'altezza è \(h = 13 \, cm\).
L'area si trova sostituendo queste grandezze nella formula:\[ A = \frac{(a+b)\cdot h}{2} = \frac{(15+21) \cdot 13}{2} = \frac{36\cdot 13}{2} = 18\cdot13 = 234 \, cm^2\]
Il perimetro del trapezio è semplicemente la somma dei lati:
\[P = 15 \, cm + 17 \, cm+21 \, cm+17 \, cm= 70 \, cm\]
Trova la lunghezza della seconda diagonale e del lato di un rombo di area 123.5 cm2.
Fig. 24. Rombo
Per trovare la diagonale puoi invertire la formula dell'area: se
\[A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]
allora
\[d_2 = \frac{2A}{d_1} = \frac{2 \cdot 123,5}{13} = \frac{247}{13} = 19 \, cm\]
Per trovare il lato si può considerare il triangolo rettangolo che ha per cateti le mezze diagonali: l'ipotenusa in questo caso è il lato del rombo.
\[ l= \sqrt{(6,5)^2+(9,5)^2} = \sqrt{42,25+90,25} = \sqrt{132,5} \approx 11,5 \, cm \]
Il perimetro è la somma dei quattro lati:
\[P = l+l+l+l = 4l \approx 4\cdot 11,5 \, cm = 46 \, cm\]
Quadrilateri - Punti chiave
- I poligoni con quattro lati si chiamano quadrilateri.
- Le diagonali sono segmenti che collegano vertici non adiacenti.
- Un quadrilatero è convesso se, scelta una coppia qualsiasi di punti appartenenti ad esso, tutto il segmento che collega i due punti è contenuto nel quadrilatero. Se non è così è concavo.
- I quadrilateri vengono classificati nel modo seguente:
- un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;
- un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;
- un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;
- un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;
- un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;
- un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.
- Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se i suoi angoli opposti sono supplementari.
- Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.
- Per calcolare l'area ci sono formule diverse a seconda del quadrilatero.
- Per un trapezio l'area è il prodotto della somma delle basi per l'altezza, diviso due;
- Per un parallelogramma l'area si calcola moltiplicando base e altezza. Vale lo stesso per il rettangolo, solo che l'altezza in questo caso coincide con uno dei lati.
- Nei deltoidi, rombo compreso, l'area si calcola moltiplicando tra loro le diagonali e dividendo per due.
- Nel quadrato è sufficiente la misura di un lato: per calcolare l'area basta elevare il lato alla seconda (al quadrato).
References
- Fig. 1. Casa dei Dioscuri (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casa_dei_Dioscuri_map.svg) di M. Violante (https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:M.violante) Licenza CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ )
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