In matematica si usano spesso le proprietà note di varie forme per risolvere problemi. In questo articolo, esploreremo la classica, comunissima forma a tre lati: il triangolo. Potreste essere sorpresi di vedere un articolo interamente dedicato ai triangoli, ma si tratta di un argomento ampio con molti dettagli interessanti da scoprire! Iniziamo definendo cosa intendiamo per triangolo.
Un triangolo è un poligono con tre lati (e, quindi, tre angoli).
Attenzione a distinguere gli angoli dai vertici, i punti che delimitano il triangolo! I vertici, come tutti i punti, si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino. Nell'immagine che segue, i vertici sono \(A\), \(B\) e \(C\), e i lati sono \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\), e \(\overline{CA}\): il triangolo si indica con la successione di lettere \(ABC\).
Fig. 1. Triangolo
In genere gli angoli si indicano invece con le lettere greche minuscole: di solito si indica con \(\alpha\) l'angolo in \(A\), con \(\beta\) l'angolo in \(B\) e con \(\gamma\) l'angolo in \(C\).
Somma degli angoli interni di un triangolo
Uno dei fatti fondamentali da ricordare in un triangolo è che la somma degli angoli interni è di \(180°\): è possibile notarlo facilmente se tagli le punte di un triangolino di carta e li metti vicini sovrapponendo i vertici. Anche se hai già visto questa proprietà varie volte, non dimenticarla: serve in molti esercizi, anche avanzati!
Considera la figura seguente. Sapendo che il triangolo \(ADC\) ha tutti gli angoli di 60° e l'angolo \(\widehat{CAB}\) misura 32°, trova le misure degli altri angoli in figura.
Fig. 2. Triangolo con angoli non noti
A prima vista può sembrarti di dover calcolare un sacco di angoli: in realtà la maggior parte è già data nella consegna! Ad esempio, sai già che \(\widehat{CAD} = \widehat{ADC} = \widehat{DCA} =60°\). Questo significa che \[\widehat{BAD} = \widehat{BAC}+\widehat{CAD} = 32°+60° = 92°\]
Ora ti restano da calcolare \(\widehat{BCA}\) e \(\widehat{ABC}\).
Due angoli che si allineano su una retta sono supplementari, ovvero hanno una somma di \(180°\): quindi
\[ \widehat{ACB} = 180° - \widehat{DCA} = 180°-60° =120° \]
A questo punto puoi calcolare \(\widehat{ABC}\):
\[\begin{align}\widehat{ABC}+ \widehat{BCA} + \widehat{CAB} & = 180° \\\widehat{ABC} + 120° + 32°& =180° \\\widehat{ABC} & = 180°-120°-32°=28°\end{align}\]
Disuguaglianza triangolare
Un'altra proprietà fondamentale dei triangoli è nota con il nome di disuguaglianza triangolare: dice che, in ogni triangolo, la somma delle misure di due lati deve essere maggiore della misura del terzo. In formule:
\[ a+b > c \hspace{0.5cm} a+c > b \hspace{0.5cm} b+c > a\]
Questa proprietà viene spesso data per scontata, ma in alcuni quiz risulta molto utile!
È possibile avere un triangolo con lati che misurano 4, 10 e 15 cm?
La risposta è no: 4 cm + 10 cm = 14 cm che è minore di 15 cm. I due segmenti sono troppo corti per riuscire a chiudere la figura: non è possibile costruire un triangolo.
Fig. 3. Disuguaglianza triangolare.
Tipi di triangoli
I triangoli si possono classificare in due modi: in base ai lati e in base agli angoli.
Se ci concentriamo sugli angoli, le possibilità sono tre:
- tutti gli angoli sono acuti (minori di 90°): in questo caso il triangolo è acutangolo.
- uno degli angoli è retto (uguale a 90°): il triangolo si dice rettangolo.
- uno degli angoli è ottuso (maggiore di 90°): il triangolo in questo caso si dice ottusangolo.
In un triangolo i lati possono essere tutti diversi tra loro, ma si possono avere anche due o tre lati uguali. Da questo nasce la seconda classificazione:
- tutti i lati sono diversi tra loro: il triangolo si dice scaleno.
- due lati sono uguali tra loro: il triangolo in questo caso è chiamato isoscele.
- tutti i tre lati sono uguali: allora il triangolo è equilatero.
I due tipi di classificazione sono indipendenti. Un triangolo equilatero è sempre acutangolo, ma un triangolo scaleno o un triangolo isoscele possono essere acutangoli, rettangoli od ottusangoli.
Triangolo rettangolo
Se uno degli angoli del triangolo è un angolo retto, cioè misura 90°, il triangolo è chiamato rettangolo. Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, ed è il lato più lungo: i due lati adiacenti all'angolo retto si chiamano cateti. Nei triangoli rettangoli vale un importante risultato che mette in relazione le lunghezze dei lati.
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è pari al quadrato costruito sull'ipotenusa:
\[ a^2 + b^2 =c^2\]
Fig. 4. Triangolo rettangolo.
È vero anche il viceversa del teorema di Pitagora: se la somma dei quadrati di due lati è uguale al quadrato del terzo lato, allora il triangolo è rettangolo!
Un triangolo rettangolo è per forza un triangolo isoscele o scaleno. Pensaci: in un triangolo equilatero non potrebbe valere il teorema di Pitagora! Se i tre lati sono uguali, allora i quadrati costruiti sui tre lati sono uguali tra loro: non può essere che uno dei quadrati sia la somma degli altri due.
Triangolo equilatero
Il termine equilatero significa che i tre lati sono uguali: allora, però, devono essere uguali anche i tre angoli. Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, e i tre angoli sono uguali, possiamo calcolarne la misura dividendo 180° per 3: gli angoli interni di un triangolo equilatero misurano 60°.
Nella figura vedi una tacca su ogni lato del triangolo: serve a evidenziare che i tre i lati sono uguali tra loro. In generale, per indicare graficamente che due segmenti sono uguali si mette una tacca su ognuno dei due.
Fig. 5. Triangolo equilatero
Triangolo isoscele
Un triangolo isoscele ha due lati uguali tra loro, e di conseguenza ha anche due angoli uguali tra loro. Questa è una caratteristica molto utile: sapendo che un triangolo è isoscele, basta conoscere la misura di uno degli angoli per riuscire a calcolare gli altri due, come vedrai tra poco! Di solito nel triangolo isoscele si chiama base il lato che ha una misura diversa dagli altri due.
Come nel triangolo equilatero, anche in questo caso puoi notare delle tacche su due lati: servono per evidenziare che sono uguali tra loro. Nel disegno vedi un triangolo acutangolo, ma un triangolo isoscele può essere anche rettangolo oppure ottusangolo.
Fig. 6. Triangolo isoscele.
Che angoli può avere un triangolo rettangolo isoscele? Non ci sono molte possibilità: la somma degli angoli interni di un triangolo è \(180°\) e un angolo retto misura \(90°\). La somma degli altri due angoli, quindi, deve misurare \(180°-90° = 90°\): i due angoli misurano \(\frac{90°}{2}=45°\).
Un triangolo isoscele ha un angolo di \(30°\). Quali sono i possibili valori per gli altri due angoli?
Dato che il triangolo è isoscele, due degli angoli devono essere uguali tra loro. Ci sono due possibilità:
- l'angolo dato è uno dei due angoli uguali;
- gli angoli uguali sono i due mancanti.
Nel primo caso, i due angoli uguali misurano entrambi \(30°\). Questo significa che l'angolo restante misura \[180° -30°-30° = 120°\]
Nota che in questo caso, il triangolo risulta ottusangolo.
Nel secondo caso, la somma dei due angoli rimanenti è
\[180°-30°=150°\]
Dato che i due angoli sono uguali, per trovarne il valore basta calcolare
\[150°:2 =75°\]
In questo caso tutti gli angoli sono minori di 90° e il triangolo risulta quindi acutangolo.
Le possibili combinazioni di angoli quindi sono due: \(30°, 30°, 120°\) oppure \(30°, 75°, 75°\).
Triangolo scaleno
Se un triangolo con tre lati uguali si chiama equilatero, e uno con due lati uguali si chiama isoscele, resta l'ultimo caso: in un triangolo scaleno tutti i lati sono tutti diversi! Anche gli angoli, quindi, sono tutti diversi tra loro. Nel disegno del triangolo scaleno non vedi tacche sui lati proprio per questo.
Fig. 7. Triangolo scaleno
Un triangolo scaleno può essere acutangolo, come nel disegno, ma anche rettangolo oppure ottusangolo.
Area di un triangolo
L'area di un triangolo misura la sua estensione piana. Per calcolarla si usa la formula
\[ A_{\triangle} = \frac{b \cdot h}{2}\]
dove \(b\) è la base e \(h\) l'altezza corrispondente. Ricorda che la base può essere scelta: ogni lato di un triangolo può essere considerato una base, e per ogni base c'è un'altezza corrispondente.
L'altezza di un triangolo è sempre relativa a un lato: è il segmento che ha un estremo nel vertice opposto ed è perpendicolare al lato considerato. Ad esempio, nel disegno, il lato che fa da base è \( \overline{AB}\): il vertice opposto è \(C\), quindi l'altezza è il segmento che ha un estremo in \(C\) ed è perpendicolare ad \( \overline{AB}\). Questo segmento tocca la base \( \overline{AB}\) nel punto \(D\), che è chiamato piede dell'altezza.
Fig. 8. Triangolo ABC con altezza CD relativa al lato AB.
Ricorda che l'area si misura in unità quadrate: se base e altezza si misurano in centimetri, allora l'area si misura in centimetri quadrati.
Calcola l'area di un triangolo con base 10 cm e altezza 12 cm.
Per risolvere questo esercizio puoi usare la formula dell'area sostituendo i valori di base e altezza:
\[ A_{\triangle} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{10 cm \cdot 12 cm}{2} =60 cm^2\]
Il triangolo rettangolo è un caso particolare: l'area si ottiene moltiplicando tra loro i due cateti. Infatti questi due lati sono perpendicolari: ognuno dei due cateti è l'altezza relativa all'altro. Quando si parla di altezza di un triangolo rettangolo, in genere si intende l'altezza relativa all'ipotenusa.
Perimetro di un triangolo
Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze dei suoi lati. Se questi si chiamano \(a,b\) e \(c\), allora il perimetro si trova con la formula
\[P_{\triangle} = a+b+c\]
Negli esercizi spesso viene chiesto il perimetro dei triangoli; in genere non è immediato trovarlo dai dati ed è necessario fare qualche calcolo intermedio.
Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo con i cateti lunghi \(4 cm\) e \(3 cm\).
Fig. 9. Triangolo rettangolo con cateti noti.
Questo esercizio si svolge in due passaggi: nel primo trovi il lato mancante; nel secondo sommi i tre lati per trovare il perimetro.
Applica il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa:
\[ x = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} =5 cm\]
A questo punto puoi trovare il perimetro sommando tra loro i lati:
\[P = 3 cm +4 cm+5 cm = 12 cm\]
Mediana, altezza, bisettrice, asse
Per ogni triangolo ci sono quattro tipi di costruzioni da studiare.
Fissato un triangolo, si definiscono:
- L'altezza relativa a una base è il segmento che ha estremo nel vertice opposto ed è perpendicolare alla base.
- La mediana relativa a un lato è il segmento che collega il vertice opposto con il punto medio dello stesso lato.
- L'asse relativo a un lato è la retta perpendicolare a quella base che passa per il punto medio.
- La bisettrice relativa ad un angolo è la semiretta che taglia l'angolo a metà.
Ogni triangolo ha tre altezze, tre mediane, tre assi e tre bisettrici: c'è una costruzione di ciascun tipo per ogni lato (o angolo).
Fig. 10. Altezza, mediana, asse e bisettrice.
In generale, queste costruzioni non coincidono affatto, come vedi nel disegno qui sopra. Il punto medio del segmento \(\overline{AB}\) è indicato con \(M\): da qui passano un asse, evidenziato dall'angolo retto, e la mediana \(\overline{CM}\). \(H\) è il piede dell'altezza \(\overline{CH}\). Infine, la semiretta uscente da \(C\) è la bisettrice dell'angolo \(\widehat{ACB}\).
Quando hai un triangolo isoscele, però, succede una cosa particolare: l'altezza, l'asse e la mediana relativi alla base e la bisettrice dell'angolo opposto sono sovrapposti! Questo vale anche nel triangolo equilatero, su tutti e tre i lati.
Fig. 11. Altezza, mediana, bisettrice e asse della base in un triangolo isoscele.
Baricentro, ortocentro, circocentro, incentro
Mediane, altezze, assi e bisettrici permettono di definire i punti notevoli di un triangolo.
Il baricentro è il punto d'intersezione delle mediane di un triangolo. Ha la proprietà di tagliare ogni mediana in due parti: una delle due è il doppio dell'altra.
L'ortocentro è il punto d'intersezione delle altezze. È interno in un triangolo acutangolo, esterno in un triangolo ottusangolo, e coincide con il vertice dell'angolo retto in un triangolo rettangolo.
Il circocentro è il punto d'intersezione degli assi. È anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
L'incentro è il punto d'intersezione delle bisettrici. È il centro della circonferenza inscritta al triangolo.
In un triangolo isoscele i quattro centri sono allineati. In un triangolo equilatero sono coincidenti: questo succede perché mediane, assi, bisettrici e altezze coincidono!
Fig. 12. Circocentro, incentro, ortocentro e baricentro di quattro triangoli.
Triangoli - Key takeaways
- Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
- La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°.
- Vale la disuguaglianza triangolare: ogni lato di un triangolo deve essere minore della somma degli altri due.
- Considerando gli angoli, si possono definire tre tipi di triangolo: acutangolo se ha tutti gli angoli acuti, ottusangolo se ha un angolo ottuso, rettangolo se ha un angolo retto.
- Considerando i lati di un triangolo si possono definire altre tre categorie di triangoli: scaleno se i lati sono tutti diversi, isoscele se due lati sono congruenti, equilatero se tutti i tre lati sono congruenti tra loro.
- L'area di un triangolo si trova con la formula \(A_{\triangle} = \frac{b \cdot h}{2}\), dove \(b\) è una base e \(h\) l'altezza corrispondente.
- L'altezza relativa a un certo lato è il segmento che ha per estremo il vertice opposto a quel lato ed è perpendicolare al lato dato. Ogni triangolo ha tre altezze.
- Il perimetro di un triangolo si trova sommando le lunghezze dei tre lati.
- Le mediane sono i segmenti che collegano un vertice con il punto medio del lato opposto. Le bisettrici sono le semirette che dividono a metà i vertici di un triangolo. Gli assi sono le rette perpendicolari a ogni lato e passanti per il punto medio del lato.
- Il punto d'intersezione delle tre mediane si chiama baricentro, il punto d'intersezione delle tre altezze ortocentro, il punto d'intersezione degli assi circocentro e il punto d'intersezione delle bisettrici incentro.
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