Log In Iscriviti
L'app all-in-one per gli studenti
4.8 • +11K recensioni
Più di 3 milioni di downloads
Free
|
|

Goniometria e trigonometria

Want to get better grades?

Nope, I’m not ready yet

Get free, full access to:

  • Flashcards
  • Notes
  • Explanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Come si fa a calcolare quanto spazio c'è tra due oggetti se non si può misurare direttamente? È un problema in molti ambiti diversi, dal catasto all'astronomia! Popoli diversi, in luoghi e tempi diversi sulla Terra, hanno avuto un problema comune: stimare delle distanze quando non era possibile misurarle. Per risolvere questo problema, sono state sviluppate goniometria e trigonometria: con semplici ragionamenti sugli angoli e sui triangoli, si possono stimare le distanze tra due oggetti in modo molto preciso.

Goniometria e trigonometria si studiano assieme: c'è un legame molto stretto tra di loro, soprattutto attraverso i triangoli rettangoli. Alcuni argomenti fanno parte di entrambe, quello che cambia è semplicemente il punto di vista.

La goniometria è la parte della matematica che si occupa dello studio degli angoli; la trigonometria studia le relazioni tra lati e angoli all'interno di un triangolo.

Goniometria: angoli orientati

Per studiare gli angoli nella goniometria moderna si parte dalla nozione di angolo orientato. L'idea è quella che vedi nell'illustrazione: uno stesso angolo può essere considerato come orientato in due modi diversi! Nel primo caso, l'angolo parte da A e arriva a P, mentre nel secondo succede il viceversa.

Goniometria angoli orientati StudysmarterFig. 1. Angoli orientati.

Per confrontare due angoli l'ideale è sovrapporli e far coincidere uno dei lati. È quello che fa la goniometria moderna: tutti gli angoli vengono appoggiati sulla circonferenza unitaria centrata sull'origine. Un lato dell'angolo viene appoggiato sempre sull'asse \(x\). Per disegnare un angolo con una misura positiva, come 30°, si ruota in senso antiorario: un angolo che ruota in senso orario viene considerato negativo (ad esempio, -30°).

La circonferenza unitaria, su cui troverai un articolo specifico, è un mezzo fondamentale per rappresentare gli angoli e associare loro una misura. Ecco un disegno per aiutarti a capire il procedimento:

  • Un primo lato dell'angolo viene appoggiato sul segmento \(\overline{OA} \).
  • Da qui si disegna l'angolo ruotando in senso antiorario di una grandezza \(\alpha\) corrispondente alla misura dell'angolo.
  • Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza in un punto \(P\): l'angolo quindi è \(\widehat{AOP}\).

Goniometria Angoli sulla circonferenza unitaria StudysmarterFig 2. Un angolo sulla circonferenza goniometrica.

L'immagine evidenzia anche un altro punto \(Q\) sull'asse \(x\) che, con \(O\) e \(P\), forma un triangolo rettangolo. Se \(P\) ha coordinate \(P =(x_P, y_P) \) allora \(Q\) ha la stessa ascissa: \(Q =(x_P, 0)\). Questo triangolo ti suggerisce un esempio pratico del collegamento tra la goniometria, che studia gli angoli, e la trigonometria, che invece si occupa dei triangoli: c'è una corrispondenza diretta tra un angolo e il triangolo rettangolo che puoi costruire sulla circonferenza unitaria!

Sul triangolo \( \triangle{OQP} \) vale il teorema di Pitagora:

\[ \overline{OQ}^2 + \overline{PQ}^2 = \overline{OP}^2 =1 \tag{*} \]

Il valore è 1 perché \(\overline{OP}\) corrisponde al raggio della circonferenza unitaria, che è 1.

Radianti

In goniometria e trigonometria si introduce una nuova unità di misura: i radianti. L'idea alla base è quella di associare un angolo con la lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria corrispondente. Ad esempio, considera l'angolo di 180°: l'arco corrispondente è metà della lunghezza totale della circonferenza. Dato che la circonferenza è lunga \(2 \pi r\) e il raggio della circonferenza unitaria è \(r=1\), 180° corrispondono a un arco di \(\frac{2 \pi}{2} = \pi \) radianti.

I radianti generalmente si indicano senza nessun simbolo. A volte è utile specificare quando si ha una misura in radianti, e in quel caso si usa il simbolo rad (e quindi può capitarti di leggere \(\pi \, \mathrm{rad} \) ). La misura di un generico angolo \(\alpha\) in gradi si può trasformare nella misura \(x\) in radianti usando la proporzione:

\[ \pi : 180^{\circ} =x : \alpha\]

Per calcolare la misura dell'angolo di 90° in radianti puoi sostituirlo nella proporzione al posto di \(\alpha\):

\(\pi:180^{\circ} =x : 90^{\circ} \) ti permette di calcolare:

\[x= \frac{\pi \cdot 90^{\circ} }{180^{\circ} } = \frac{ \pi }{2}\]

Viceversa, per trovare a quanto corrisponde in radianti un angolo di \( \frac{\pi}{3}\), sostituisci questo valore al posto di \(x\) ottenendo \(\pi:180^{\circ} = \frac{\pi}{3}: \alpha \). Da qui trovi la misura in gradi corrispondente:

\[ \alpha = \frac{ \frac{\pi}{3} \cdot 180^{\circ} }{\pi } = \frac{180^{\circ}}{3}= 60^{\circ} \]

Goniometria e trigonometria Misure in gradi e radianti StudySmarter Fig. 3. Misure di angoli in gradi e radianti.

Seno e coseno

Le coordinate del punto \(P\) nel paragrafo precedente sono estremamente importanti per definire due grandezze che descrivono gli angoli: il seno e il coseno.

Dato un angolo \(\alpha\) rappresentato con un angolo orientato \(\widehat{AOP}\) sulla circonferenza unitaria, si definiscono seno e coseno dell'angolo \( \alpha\) corrispondente i valori dell'ordinata e dell'ascissa del punto \(P\):

\[ \sin \alpha =y_P\]

\[ \cos \alpha =x_P\]

Queste due grandezze sono importantissime per fare una lunga serie di calcoli: per alcuni angoli si possono calcolare piuttosto facilmente. Questi angoli si trovano spesso indicati come angoli noti o angoli notevoli.

Angolo in gradiAngolo in radiantiSenoCoseno

\( 0^{\circ} \)

\(0\)

\( 0 \)

\( 1 \)

\( 30^{\circ} \)

\( \frac{\pi}{6} \)

\( \frac{1}{2} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 45^{\circ} \)

\(\frac{\pi}{4} \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( 60^{\circ} \)

\(\frac{\pi}{3} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \frac{1}{2} \)

\( 90^{\circ} \)

\( \frac{\pi}{2} \)

\( 1 \)

\( 0 \)

\( 180^{\circ} \)

\( \pi \)

\( 0 \)

\( -1 \)

\( 360^{\circ} \)

\( 2 \pi \)

\( 0 \)

\( 1 \)

Tabella 1. Angoli noti.

Per calcolare altri angoli ci si basa sugli angoli associati: angoli che si collegano ad altri, con seno e coseno noti, grazie a considerazioni geometriche.

Tangente, cotangente ed altre funzioni

Seno e coseno consentono di definire e calcolare altre funzioni trigonometriche:

  • la tangente si definisce come il rapporto tra il seno e il coseno: \( \tan \alpha = \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha }\)
  • la cotangente si definisce come il rapporto tra coseno e seno, è quindi l'inversa della tangente: \( \cot \alpha = \frac{ \cos \alpha}{\sin \alpha }\)
  • la secante è l'inversa del coseno: \( \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha }\)
  • la cosecante è l'inversa del seno: \( \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha }\)

Quella più usata in pratica è sicuramente la tangente: la ritrovi anche studiando l'equazione della retta sul piano cartesiano! Si dice spesso che il coefficiente angolare di una retta misura l'inclinazione rispetto all'asse delle ascisse: ma come? La risposta è: il coefficiente angolare \(m\) è la tangente dell'angolo tra l'asse \(x\) e la retta!

Relazione fondamentale della goniometria

Puoi notare che, a questo punto, la versione del teorema di Pitagora vista in \((*)\) nel paragrafo precedente si può scrivere in termini di seni e coseni: dato che \(\overline{OQ}=\cos \alpha\), \(\overline{PQ}=\sin \alpha\), si ha

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1 \]

Questa versione del teorema di Pitagora è importantissima, tant'è che viene chiamata relazione fondamentale della goniometria. Mostra, ancora una volta, il legame molto stretto tra angoli e triangoli.

Ricordare questa relazione ti aiuterà in molti esercizi: dalle equazioni e disequazioni goniometriche al calcolo di particolari valori di seno e coseno.

Trigonometria e triangoli

Hai già visto che nella goniometria è molto facile ottenere dei triangoli una volta fissato un angolo. Storicamente, però, è successo il contrario: a partire da problemi pratici sui triangoli, la matematica è arrivata a studiare i singoli angoli e le funzioni associate. Ogni figura piana si può disegnare come fosse composta da tanti triangoli: calcolare lati e angoli dei triangoli consente di fare calcoli su qualsiasi figura.

La trigonometria ti servirà nello studio della fisica, ad esempio per scomporre i vettori. Non serve solo a questo, naturalmente: ha applicazioni pratiche in qualunque disciplina in cui serva misurare delle distanze, in particolare in topografia e in geodesia. Se vuoi fare una mappa di una città o di un territorio, la trigonometria è indispensabile! Oggi i calcoli sono svolti da strumenti automatici, ma qualcuno deve pur inserire le formule da usare nei programmi di calcolo, no?

Triangoli rettangoli

Come hai già visto nei paragrafi precedenti, i triangoli rettangoli hanno un ruolo speciale nella trigonometria: consentono di definire e calcolare seni e coseni. D'altra parte, anche le relazioni tra cateti e ipotenusa in un triangolo possono essere espressi tramite seni e coseni. Considera un triangolo rettangolo in cui un angolo misura \(\theta\), il cateto adiacente all'angolo è \(b\), il cateto opposto è \(a\) e l'ipotenusa è \(c\).

Goniometria e trigonometria Triangolo rettangolo StudySmarterFig. 4. Triangolo rettangolo.

Valgono le seguenti relazioni:

  • \( a = c \sin \theta \)
  • \( b = c \cos \theta \)
  • \( \frac{a}{b} = \tan \theta \)

Triangoli qualunque

Il problema generale della trigonometria è risolvere un triangolo: ovvero trovarne lati e angoli non noti. Per fare questo si possono sfruttare diversi risultati importanti: forse i due più noti sono il teorema dei seni e il teorema del coseno. Entrambi questi teoremi sono ambientati in un triangolo qualunque, che ha lati \(a, b, c\) e angoli \(\alpha, \beta, \gamma\). Una precisazione: \(\alpha\) è sempre l'angolo opposto al lato \(a\), \(\beta\) è opposto al lato \(b\) e \(\gamma\) al lato \(c\). È molto importante mantenere questo ordine, altrimenti i teoremi non valgono!

Goniometria e trigonometria Lati e angoli di un triangolo qualunque StudysmarterFigura 5. Triangolo qualunque.

Teorema dei seni (o di Eulero)

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{ \sin \gamma } \phantom{ caratteri invisibili tanto per spostare la formula a sinistra sotto il titolo} \]

Questo teorema mostra un'uguaglianza di tre rapporti: scritta così è comoda per l'enunciato di un teorema, ma non in pratica! Per gli esercizi conviene considerare solo due di queste quantità: vedrai quali confrontare di volta in volta, in base ai dati che hai.

Teorema del coseno (o di Carnot)

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \phantom{ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma caratteri invisibili}\]

Anche il teorema del coseno ha altre due versioni, in cui compaiono i coseni degli altri due angoli. Per ora basta questa!

Sia il teorema dei seni che quello del coseno hanno applicazioni dirette nella risoluzione dei triangoli: devi capire quale usare a seconda dei dati e delle incognite.

Considera un triangolo in cui \(b = \sqrt{2}, c = 1, \gamma = 30^{\circ}\).

Puoi trovare l'angolo \(\beta\) grazie al teorema dei seni:

\[ \sin \beta = \sin \gamma \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

da cui ricavi che \( \beta = 45^{\circ}\).

Considera un triangolo di lati \(a = 25, b= 20, c=15\). Puoi trovare un angolo, ad esempio \( \alpha \), tramite il teorema del coseno: da \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \) ricavi che

\[\cos \alpha =\frac{ b^2+c^2 -a^2}{2bc} = \frac{20^2+15^2-25^2}{2\cdot15\cdot20} = 0\]

Dato che è venuto zero, significa che l'angolo è \(\alpha = 90^{\circ} \): un triangolo rettangolo!

Goniometria e trigonometria: formule

Calcolare seni e coseni non è affatto facile. Gli angoli noti, su cui si possono fare ragionamenti geometrici, sono pochi: una possibile idea per sfruttare questi pochi dati è di combinarli in tutti i modi possibili. Ad esempio potresti chiederti come ricavare il seno di un angolo che è la somma, o la differenza, di due angoli noti. Per risolvere questi problemi puoi usare le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione e di bisezione che trovi nella tabella seguente.

NomeSenoCoseno
Formule di addizione\( \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)\( \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
Formule di sottrazione\( \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)\( \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
Formule di duplicazione\( \sin (2 \alpha ) = 2\sin \alpha \cos \alpha \)\(\cos (2 \alpha ) = \cos^2( \alpha ) - \sin^2 (\alpha)\)
Formule di bisezione\[ \sin (\frac{\alpha}{2} ) = \pm \frac{\sqrt{1- \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{2} \]\[ \cos (\frac{\alpha}{2} ) = \pm \frac{\sqrt{1+ \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{2} \]
Formule parametriche\[ \sin \alpha = \frac{ 2 \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)}{ 1 + \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)} \]\[ \cos \alpha = \frac{ 1 - \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)}{ 1 + \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)} \]

Tabella 2. Formule goniometriche.

Puoi sfruttare le formule di addizione per calcolare \( \sin 75^{\circ} \) come \( \sin (30^{\circ}+45^{\circ})\):

\[\begin{align} \sin (30^{\circ}+45^{\circ} ) & = \sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} \\&= \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\&= \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4} \end{align}\]

Goniometria e trigonometria - Key takeaways

  • La goniometria studia gli angoli, la trigonometria i triangoli: cambia il punto di vista ma le discipline sono strettamente legate tra loro.
  • Nella goniometria moderna si studiano gli angoli orientati sulla circonferenza goniometrica, nel piano cartesiano. In questo modo si possono dare coordinate a un punto che rappresenta l'angolo.
  • Gli angoli si possono anche misurare in radianti: questa unità corrisponde alla lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria corrispondente all'angolo.
  • Seno e coseno si possono definire come coordinate cartesiane di un punto sulla circonferenza unitaria: il seno corrisponde alla coordinata \(y\) mentre il coseno alla coordinata \(x\). Da queste funzioni se ne definiscono altre, tra cui la tangente.
  • Dal teorema di Pitagora deriva la relazione fondamentale della goniometria: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1\) per qualunque angolo \(\alpha\).
  • Nella trigonometria si applicano le funzioni goniometriche per risolvere i triangoli, ovvero per trovare lati e angoli non noti.
  • In un triangolo rettangolo in cui \(c\) è l'ipotenusa, \(\theta\) uno degli angoli, \(b\) il cateto adiacente a \(\theta\) e \(a\) quello opposto, si ha che:
    • \( a = c \sin \theta \)
    • \( b = c \cos \theta \)
    • \( \frac{a}{b} = \tan \theta \)
  • I risultati più importanti per risolvere triangoli qualunque sono teorema dei seni e teorema del coseno.

Domande frequenti riguardo Goniometria e trigonometria

La goniometria si concentra sugli angoli, mentre la trigonometria studia i triangoli. Quindi se cerco di calcolare il seno di un angolo sto facendo goniometria; se applico il Teorema dei seni per calcolare il lato di un triangolo sto facendo trigonometria. Nella pratica le due discipline sono molto legate ed è difficile stabilire un confine preciso.

La goniometria è la disciplina che studia gli angoli e le grandezze ad essi associate, come ad esempio seno, coseno e tangente.

La trigonometria nasce per calcolare distanze quando non è possibile farlo in pratica. Conoscendo la distanza tra due punti, puoi misurare gli angoli che questi formano con un terzo punto, e calcolare le distanze mancanti. Ad esempio, se conosci la distanza tra casa tua e casa di tua zia Matilde, puoi misurare gli angoli che questi punti formano con la cima della montagna vicina: ora la trigonometria ti consente di calcolare quanto è lontana la montagna in linea d'aria.

Ricorda la definizione: fissato un punto che rappresenta un angolo sulla circonferenza goniometrica, il coseno è la sua coordinata \(x\) e il seno la sua coordinata \(y\). Puoi calcolarli direttamente, in base alla definizione, per alcuni angoli semplici, come 30°, 45°, 60°, 90°, 180°. A partire da questi si possono calcolare per molti altri angoli grazie ai concetti di angolo associato e alle formule goniometriche. In generale, fissato un qualunque angolo, ci sono ulteriori formule approssimate per calcolarli: dato che i conti sono piuttosto lunghi e complessi, oggi ci si affida alle calcolatrici scientifiche!

Quiz Finale Goniometria e trigonometria

Goniometria e trigonometria Quiz - Teste dein Wissen

Domanda

Qual è la differenza tra goniometria e trigonometria?

Visualizza la risposta

Risposta

La goniometria si concentra sugli angoli, mentre la trigonometria studia i triangoli.

Visualizza la domanda

Domanda

Fissato un punto P sulla circonferenza unitaria in corrispondenza di un angolo \(\alpha\), a cosa corrispondono le sue coordinate?

Visualizza la risposta

Risposta

\(x_P = \cos \alpha, \; y_P = \sin \alpha\)

Visualizza la domanda

Domanda

Come si definisce la tangente di un angolo?

Visualizza la risposta

Risposta

\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

Visualizza la domanda

Domanda

Come si definisce la secante di un angolo?

Visualizza la risposta

Risposta

\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}\)

Visualizza la domanda

Domanda

Come si definisce la cosecante di un angolo?

Visualizza la risposta

Risposta

\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\)

Visualizza la domanda

Domanda

Come si definisce la cotangente di un angolo \(\alpha\)?

Visualizza la risposta

Risposta

\(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Visualizza la domanda

Domanda

Seleziona la relazione fondamentale della goniometria.

Visualizza la risposta

Risposta

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1\)

Visualizza la domanda

Domanda

Quali sono i valori di seno e coseno per un angolo di 30°?

Visualizza la risposta

Risposta

\[ \sin 30° = \frac{1}{2}, \; \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Visualizza la domanda

Domanda

Quali sono i valori di seno e coseno per un angolo di 60°?

Visualizza la risposta

Risposta

\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; \cos 60° =\frac{1}{2}\]

Visualizza la domanda

Domanda

Quali sono i valori di seno e coseno per un angolo di 45°?

Visualizza la risposta

Risposta

\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Visualizza la domanda

Domanda

Come trovare l'ipotenusa \(a\) di un triangolo rettangolo, dati un cateto \(b\) e l'angolo adiacente \(\gamma\)?

Visualizza la risposta

Risposta

\[ a = \frac{b}{\cos \gamma}\]

Visualizza la domanda

Domanda

Dato un cateto \(b\) di un triangolo rettangolo e l'angolo opposto \(\beta\), come puoi trovare l'ipotenusa \(a\)?

Visualizza la risposta

Risposta

\[a = \frac{b}{\sin \beta}\]

Visualizza la domanda

Domanda

Calcola l'area di un triangolo rettangolo in cui un cateto misura \(\sqrt{3}\) e l'angolo adiacente a esso è di 30°.

Visualizza la risposta

Risposta

Puoi trovare l'altro cateto con la formula:
\[c= \sqrt{3} \cdot \tan 30° = \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1\]
A questo punto l'area si trova facendo il prodotto tra i cateti e dividendo per due:
\[A_{\triangle} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{ \sqrt{3}}{2}\]

Visualizza la domanda

Domanda

Perché in trigonometria si considerano solo angoli compresi tra 0° e 180°?

Visualizza la risposta

Risposta

Perché gli angoli in trigonometria sono sempre angoli interni di un triangolo. Nessun triangolo può avere angoli di 180° o oltre, e nemmeno angoli negativi o nulli!

Visualizza la domanda

Domanda

Calcola l'area di un triangolo sapendo che un lato misura 10 cm, il secondo misura 14 cm e l'angolo compreso misura 30°.

Visualizza la risposta

Risposta

L'area si trova con la formula

\[A_{\triangle} = \frac{10 \, cm \cdot 14 \, cm \cdot  \sin 30° }{2} = 5 \, cm \cdot 14 \, cm \cdot \frac{1 }{2} = 5 \, cm \cdot 7 \, cm = 35 \, cm^2\]

Visualizza la domanda

Domanda

Come puoi capire se un triangolo è ottusangolo dal valore del coseno dei suoi angoli?

Visualizza la risposta

Risposta

Un angolo ottuso ha il coseno negativo. Quindi, se il coseno di uno dei tre angoli è negativo, il triangolo è ottusangolo.

Visualizza la domanda

Domanda

In un triangolo qualunque sono noti due angoli di 45° e 75°. Quali altri dati puoi calcolare?

Visualizza la risposta

Risposta

Si può calcolare solo l'angolo mancante: \(180°-45°-75°=60°\). Non è possibile calcolare nessun lato.

Visualizza la domanda

Domanda

Cosa significa "risolvere un triangolo"?

Visualizza la risposta

Risposta

Significa calcolarne i lati e gli angoli mancanti.

Visualizza la domanda

Domanda

Risolvi il triangolo rettangolo che ha un cateto di 30 cm e l'angolo opposto di 45°.

Visualizza la risposta

Risposta

Comincia calcolando l'angolo mancante: misura 90°-45° =45°. Questo vuol dire che il triangolo è anche isoscele! I due cateti sono uguali. L'ipotenusa si può calcolare dividendo un cateto per il seno dell'angolo adiacente:

\[\frac{30 \, cm }{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 30 \sqrt{2} \, cm\]

Visualizza la domanda

Domanda

È possibile risolvere un triangolo conoscendo solo un lato e un angolo?

Visualizza la risposta

Risposta

Solo se il triangolo è rettangolo.

Visualizza la domanda

Domanda

È possibile risolvere un triangolo rettangolo conoscendo l'ipotenusa e l'angolo retto?

Visualizza la risposta

Risposta

No: è necessario conoscere l'ipotenusa e un angolo acuto. Sentendo che il triangolo è rettangolo, sai già che un angolo è retto!

Visualizza la domanda

Domanda

Calcola l'area del triangolo che ha lati 4 m e 8 m e angolo compreso 50°.

Visualizza la risposta

Risposta

Uso la formula 

\[A_{triangle} = \frac{4 \, m \cdot 8\, m  \cdot \sin 50°}{2} = 16 \, m^2 \cdot 0,766 \ldots \approx 12,26 \, m^2 \]

Visualizza la domanda

SCOPRI DI PIÙ RIGUARDO Goniometria e trigonometria
60%

degli utenti non supera il quiz di Goniometria e trigonometria! Tu lo passeresti?

INIZIA IL QUIZ

Discover the right content for your subjects

Iscriviti per sottolineare e prendere appunti. É tutto gratis.

Get FREE ACCESS to all of our study material, tailor-made!

Over 10 million students from across the world are already learning smarter.

Get Started for Free
Illustration