Come si fa a calcolare quanto spazio c'è tra due oggetti se non si può misurare direttamente? È un problema in molti ambiti diversi, dal catasto all'astronomia! Popoli diversi, in luoghi e tempi diversi sulla Terra, hanno avuto un problema comune: stimare delle distanze quando non era possibile misurarle. Per risolvere questo problema, sono state sviluppate goniometria e trigonometria: con semplici ragionamenti sugli angoli e sui triangoli, si possono stimare le distanze tra due oggetti in modo molto preciso.
Goniometria e trigonometria si studiano assieme: c'è un legame molto stretto tra di loro, soprattutto attraverso i triangoli rettangoli. Alcuni argomenti fanno parte di entrambe, quello che cambia è semplicemente il punto di vista.
La goniometria è la parte della matematica che si occupa dello studio degli angoli; la trigonometria studia le relazioni tra lati e angoli all'interno di un triangolo.
Goniometria: angoli orientati
Per studiare gli angoli nella goniometria moderna si parte dalla nozione di angolo orientato. L'idea è quella che vedi nell'illustrazione: uno stesso angolo può essere considerato come orientato in due modi diversi! Nel primo caso, l'angolo parte da A e arriva a P, mentre nel secondo succede il viceversa.
Fig. 1. Angoli orientati.
Per confrontare due angoli l'ideale è sovrapporli e far coincidere uno dei lati. È quello che fa la goniometria moderna: tutti gli angoli vengono appoggiati sulla circonferenza unitaria centrata sull'origine. Un lato dell'angolo viene appoggiato sempre sull'asse \(x\). Per disegnare un angolo con una misura positiva, come 30°, si ruota in senso antiorario: un angolo che ruota in senso orario viene considerato negativo (ad esempio, -30°).
La circonferenza unitaria, su cui troverai un articolo specifico, è un mezzo fondamentale per rappresentare gli angoli e associare loro una misura. Ecco un disegno per aiutarti a capire il procedimento:
- Un primo lato dell'angolo viene appoggiato sul segmento \(\overline{OA} \).
- Da qui si disegna l'angolo ruotando in senso antiorario di una grandezza \(\alpha\) corrispondente alla misura dell'angolo.
- Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza in un punto \(P\): l'angolo quindi è \(\widehat{AOP}\).
Fig 2. Un angolo sulla circonferenza goniometrica.
L'immagine evidenzia anche un altro punto \(Q\) sull'asse \(x\) che, con \(O\) e \(P\), forma un triangolo rettangolo. Se \(P\) ha coordinate \(P =(x_P, y_P) \) allora \(Q\) ha la stessa ascissa: \(Q =(x_P, 0)\). Questo triangolo ti suggerisce un esempio pratico del collegamento tra la goniometria, che studia gli angoli, e la trigonometria, che invece si occupa dei triangoli: c'è una corrispondenza diretta tra un angolo e il triangolo rettangolo che puoi costruire sulla circonferenza unitaria!
Sul triangolo \( \triangle{OQP} \) vale il teorema di Pitagora:
\[ \overline{OQ}^2 + \overline{PQ}^2 = \overline{OP}^2 =1 \tag{*} \]
Il valore è 1 perché \(\overline{OP}\) corrisponde al raggio della circonferenza unitaria, che è 1.
Radianti
In goniometria e trigonometria si introduce una nuova unità di misura: i radianti. L'idea alla base è quella di associare un angolo con la lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria corrispondente. Ad esempio, considera l'angolo di 180°: l'arco corrispondente è metà della lunghezza totale della circonferenza. Dato che la circonferenza è lunga \(2 \pi r\) e il raggio della circonferenza unitaria è \(r=1\), 180° corrispondono a un arco di \(\frac{2 \pi}{2} = \pi \) radianti.
I radianti generalmente si indicano senza nessun simbolo. A volte è utile specificare quando si ha una misura in radianti, e in quel caso si usa il simbolo rad (e quindi può capitarti di leggere \(\pi \, \mathrm{rad} \) ). La misura di un generico angolo \(\alpha\) in gradi si può trasformare nella misura \(x\) in radianti usando la proporzione:
\[ \pi : 180^{\circ} =x : \alpha\]
Per calcolare la misura dell'angolo di 90° in radianti puoi sostituirlo nella proporzione al posto di \(\alpha\):
\(\pi:180^{\circ} =x : 90^{\circ} \) ti permette di calcolare:
\[x= \frac{\pi \cdot 90^{\circ} }{180^{\circ} } = \frac{ \pi }{2}\]
Viceversa, per trovare a quanto corrisponde in radianti un angolo di \( \frac{\pi}{3}\), sostituisci questo valore al posto di \(x\) ottenendo \(\pi:180^{\circ} = \frac{\pi}{3}: \alpha \). Da qui trovi la misura in gradi corrispondente:
\[ \alpha = \frac{ \frac{\pi}{3} \cdot 180^{\circ} }{\pi } = \frac{180^{\circ}}{3}= 60^{\circ} \]
Fig. 3. Misure di angoli in gradi e radianti.
Seno e coseno
Le coordinate del punto \(P\) nel paragrafo precedente sono estremamente importanti per definire due grandezze che descrivono gli angoli: il seno e il coseno.
Dato un angolo \(\alpha\) rappresentato con un angolo orientato \(\widehat{AOP}\) sulla circonferenza unitaria, si definiscono seno e coseno dell'angolo \( \alpha\) corrispondente i valori dell'ordinata e dell'ascissa del punto \(P\):
\[ \sin \alpha =y_P\]
\[ \cos \alpha =x_P\]
Queste due grandezze sono importantissime per fare una lunga serie di calcoli: per alcuni angoli si possono calcolare piuttosto facilmente. Questi angoli si trovano spesso indicati come angoli noti o angoli notevoli.
| Angolo in gradi | Angolo in radianti | Seno | Coseno |
\( 0^{\circ} \) | \(0\) | \( 0 \) | \( 1 \) |
\( 30^{\circ} \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
\( 45^{\circ} \) | \(\frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) |
\( 60^{\circ} \) | \(\frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) |
\( 90^{\circ} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
\( 180^{\circ} \) | \( \pi \) | \( 0 \) | \( -1 \) |
\( 360^{\circ} \) | \( 2 \pi \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
Tabella 1. Angoli noti.
Per calcolare altri angoli ci si basa sugli angoli associati: angoli che si collegano ad altri, con seno e coseno noti, grazie a considerazioni geometriche.
Tangente, cotangente ed altre funzioni
Seno e coseno consentono di definire e calcolare altre funzioni trigonometriche:
- la tangente si definisce come il rapporto tra il seno e il coseno: \( \tan \alpha = \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha }\)
- la cotangente si definisce come il rapporto tra coseno e seno, è quindi l'inversa della tangente: \( \cot \alpha = \frac{ \cos \alpha}{\sin \alpha }\)
- la secante è l'inversa del coseno: \( \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha }\)
- la cosecante è l'inversa del seno: \( \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha }\)
Quella più usata in pratica è sicuramente la tangente: la ritrovi anche studiando l'equazione della retta sul piano cartesiano! Si dice spesso che il coefficiente angolare di una retta misura l'inclinazione rispetto all'asse delle ascisse: ma come? La risposta è: il coefficiente angolare \(m\) è la tangente dell'angolo tra l'asse \(x\) e la retta!
Relazione fondamentale della goniometria
Puoi notare che, a questo punto, la versione del teorema di Pitagora vista in \((*)\) nel paragrafo precedente si può scrivere in termini di seni e coseni: dato che \(\overline{OQ}=\cos \alpha\), \(\overline{PQ}=\sin \alpha\), si ha
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1 \]
Questa versione del teorema di Pitagora è importantissima, tant'è che viene chiamata relazione fondamentale della goniometria. Mostra, ancora una volta, il legame molto stretto tra angoli e triangoli.
Ricordare questa relazione ti aiuterà in molti esercizi: dalle equazioni e disequazioni goniometriche al calcolo di particolari valori di seno e coseno.
Trigonometria e triangoli
Hai già visto che nella goniometria è molto facile ottenere dei triangoli una volta fissato un angolo. Storicamente, però, è successo il contrario: a partire da problemi pratici sui triangoli, la matematica è arrivata a studiare i singoli angoli e le funzioni associate. Ogni figura piana si può disegnare come fosse composta da tanti triangoli: calcolare lati e angoli dei triangoli consente di fare calcoli su qualsiasi figura.
La trigonometria ti servirà nello studio della fisica, ad esempio per scomporre i vettori. Non serve solo a questo, naturalmente: ha applicazioni pratiche in qualunque disciplina in cui serva misurare delle distanze, in particolare in topografia e in geodesia. Se vuoi fare una mappa di una città o di un territorio, la trigonometria è indispensabile! Oggi i calcoli sono svolti da strumenti automatici, ma qualcuno deve pur inserire le formule da usare nei programmi di calcolo, no?
Triangoli rettangoli
Come hai già visto nei paragrafi precedenti, i triangoli rettangoli hanno un ruolo speciale nella trigonometria: consentono di definire e calcolare seni e coseni. D'altra parte, anche le relazioni tra cateti e ipotenusa in un triangolo possono essere espressi tramite seni e coseni. Considera un triangolo rettangolo in cui un angolo misura \(\theta\), il cateto adiacente all'angolo è \(b\), il cateto opposto è \(a\) e l'ipotenusa è \(c\).
Fig. 4. Triangolo rettangolo.
Valgono le seguenti relazioni:
- \( a = c \sin \theta \)
- \( b = c \cos \theta \)
- \( \frac{a}{b} = \tan \theta \)
Triangoli qualunque
Il problema generale della trigonometria è risolvere un triangolo: ovvero trovarne lati e angoli non noti. Per fare questo si possono sfruttare diversi risultati importanti: forse i due più noti sono il teorema dei seni e il teorema del coseno. Entrambi questi teoremi sono ambientati in un triangolo qualunque, che ha lati \(a, b, c\) e angoli \(\alpha, \beta, \gamma\). Una precisazione: \(\alpha\) è sempre l'angolo opposto al lato \(a\), \(\beta\) è opposto al lato \(b\) e \(\gamma\) al lato \(c\). È molto importante mantenere questo ordine, altrimenti i teoremi non valgono!
Figura 5. Triangolo qualunque.
Teorema dei seni (o di Eulero)
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{ \sin \gamma } \phantom{ caratteri invisibili tanto per spostare la formula a sinistra sotto il titolo} \]
Questo teorema mostra un'uguaglianza di tre rapporti: scritta così è comoda per l'enunciato di un teorema, ma non in pratica! Per gli esercizi conviene considerare solo due di queste quantità: vedrai quali confrontare di volta in volta, in base ai dati che hai.
Teorema del coseno (o di Carnot)
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \phantom{ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma caratteri invisibili}\]
Anche il teorema del coseno ha altre due versioni, in cui compaiono i coseni degli altri due angoli. Per ora basta questa!
Sia il teorema dei seni che quello del coseno hanno applicazioni dirette nella risoluzione dei triangoli: devi capire quale usare a seconda dei dati e delle incognite.
Considera un triangolo in cui \(b = \sqrt{2}, c = 1, \gamma = 30^{\circ}\).
Puoi trovare l'angolo \(\beta\) grazie al teorema dei seni:
\[ \sin \beta = \sin \gamma \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
da cui ricavi che \( \beta = 45^{\circ}\).
Considera un triangolo di lati \(a = 25, b= 20, c=15\). Puoi trovare un angolo, ad esempio \( \alpha \), tramite il teorema del coseno: da \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \) ricavi che
\[\cos \alpha =\frac{ b^2+c^2 -a^2}{2bc} = \frac{20^2+15^2-25^2}{2\cdot15\cdot20} = 0\]
Dato che è venuto zero, significa che l'angolo è \(\alpha = 90^{\circ} \): un triangolo rettangolo!
Goniometria e trigonometria: formule
Calcolare seni e coseni non è affatto facile. Gli angoli noti, su cui si possono fare ragionamenti geometrici, sono pochi: una possibile idea per sfruttare questi pochi dati è di combinarli in tutti i modi possibili. Ad esempio potresti chiederti come ricavare il seno di un angolo che è la somma, o la differenza, di due angoli noti. Per risolvere questi problemi puoi usare le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione e di bisezione che trovi nella tabella seguente.
| Nome | Seno | Coseno |
| Formule di addizione | \( \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) | \( \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \) |
| Formule di sottrazione | \( \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \) | \( \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \) |
| Formule di duplicazione | \( \sin (2 \alpha ) = 2\sin \alpha \cos \alpha \) | \(\cos (2 \alpha ) = \cos^2( \alpha ) - \sin^2 (\alpha)\) |
| Formule di bisezione | \[ \sin (\frac{\alpha}{2} ) = \pm \frac{\sqrt{1- \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{2} \] | \[ \cos (\frac{\alpha}{2} ) = \pm \frac{\sqrt{1+ \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{2} \] |
| Formule parametriche | \[ \sin \alpha = \frac{ 2 \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)}{ 1 + \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)} \] | \[ \cos \alpha = \frac{ 1 - \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)}{ 1 + \tan^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)} \] |
Tabella 2. Formule goniometriche.
Puoi sfruttare le formule di addizione per calcolare \( \sin 75^{\circ} \) come \( \sin (30^{\circ}+45^{\circ})\):
\[\begin{align} \sin (30^{\circ}+45^{\circ} ) & = \sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} \\&= \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\&= \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4} \end{align}\]
Goniometria e trigonometria - Key takeaways
- La goniometria studia gli angoli, la trigonometria i triangoli: cambia il punto di vista ma le discipline sono strettamente legate tra loro.
- Nella goniometria moderna si studiano gli angoli orientati sulla circonferenza goniometrica, nel piano cartesiano. In questo modo si possono dare coordinate a un punto che rappresenta l'angolo.
- Gli angoli si possono anche misurare in radianti: questa unità corrisponde alla lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria corrispondente all'angolo.
- Seno e coseno si possono definire come coordinate cartesiane di un punto sulla circonferenza unitaria: il seno corrisponde alla coordinata \(y\) mentre il coseno alla coordinata \(x\). Da queste funzioni se ne definiscono altre, tra cui la tangente.
- Dal teorema di Pitagora deriva la relazione fondamentale della goniometria: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1\) per qualunque angolo \(\alpha\).
- Nella trigonometria si applicano le funzioni goniometriche per risolvere i triangoli, ovvero per trovare lati e angoli non noti.
- In un triangolo rettangolo in cui \(c\) è l'ipotenusa, \(\theta\) uno degli angoli, \(b\) il cateto adiacente a \(\theta\) e \(a\) quello opposto, si ha che:
- \( a = c \sin \theta \)
- \( b = c \cos \theta \)
- \( \frac{a}{b} = \tan \theta \)
- I risultati più importanti per risolvere triangoli qualunque sono teorema dei seni e teorema del coseno.
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