Piano cartesiano

Definizione di piano cartesiano

È difficile immaginare una pianura senza la profondità del suolo, oppure un foglio senza spessore. Ma se c’è anche un minimo spessore avresti un solido a tre dimensioni, non due.

Un piano in geometria analitica non è altro che una superficie piana che si estende all'infinito in tutte le direzioni, senza bordi e senza spessore. L'indole umana ci spinge a volerci orientare, a saper in quale direzione andare, e ad avere punti di riferimento. Ed è per questo che esistono concetti come il piano cartesiano.

Sistemi di riferimento

In geometria analitica si introducono sistemi per descrivere la posizione di punti in uno spazio a più dimensioni, utilizzando più numeri. Una volta trovato un metodo per rappresentare i punti, l'idea è quella di rappresentare insiemi di punti più complessi, che seguono schemi precisi, come la retta o la circonferenza.

Cartesio, un tizio che decise di illuminarci tutti col suo "Cogito ergo sum", si teneva occupato anche in faccende matematiche, e introdusse un modo per orientarsi sul piano, a partire da una origine, un punto di riferimento iniziale in funzione del quale tutti gli altri punti sono riconducibili.

La retta numerica

La retta numerica è uno dei più semplici sistemi di coordinate: scelte l'origine e un'orientazione (il verso in cui i numeri crescono), puoi spostarti di un tot di caselle in avanti (o indietro) e sapere esattamente dove sei e come tornare al punto iniziale. Nella seguente immagine la retta è stata semplificata: vedi solo sei unità. La retta numerica invece, va immaginata estesa all'infinito in entrambi i versi. Inoltre, comprende tutti i valori reali intermedi tra i numeri effettivamente segnati.

Figura 2. Retta numerica

La posizione di un punto sulla retta numerica può essere espressa come un singolo numero. Questo numero indica la distanza orizzontale di quel punto dall'origine, cioè dal punto in cui è segnato il punto 0. La posizione di qualsiasi punto del sistema di coordinate è espressa in riferimento all'origine.

Ad esempio, il punto \(A\) sulla retta numerica nella seguente immagine è a 3 unità dall'origine.

Figura 3. Il punto A rappresentato sulla retta numerica si trova a tre unità dall'origine.

Sistema di coordinate cartesiane

Combinando due retta numeriche aventi direzioni diverse, e perpendicolari tra loro, si ottiene il sistema di coordinate cartesiane. Ciascuna di queste rette numeriche è nota come asse, e insieme creano un piano noto come piano delle coordinate. Con una sola retta numerica, basta un unico numero per indicare la posizione. Adesso serviranno due numeri, uno per ogni retta.

Figura 4. Sistema di coordinate cartesiane.

Hai notato che sono comparsi anche dei nomi per gli assi? Quello orizzontale viene indicato con la lettera \(x\), e quello verticale con \(y\). Qualsiasi punto sul piano delle coordinate può essere descritto utilizzando due numeri, uno per descrivere la distanza lungo l'asse orizzontale, noto anche come asse delle ascisse, o asse delle \(x\). L'altro numero serve per descrivere la distanza lungo l'asse verticale, noto anche come asse delle ordinate, o asse delle \(y\). Ciascuno di questi numeri è noto come coordinata.

Coordinate dei punti nel piano cartesiano

La notazione che indica un punto nel sistema di coordinate cartesiane è semplicemente una coppia di numeri tra parentesi. L'origine ha coordinate \((0,0)\).

Per esempio, il punto \(P\) sul seguente piano cartesiano ha coordinate \((2,3)\). Ci sono diversi modi di interpretare le coordinate: puoi scegliere tu quello che ti sembra più logico e usarlo per gli esercizi.

1. se punti il dito nell'origine, oltre alla strada più breve per andare direttamente a \(P\) in diagonale, puoi spostarti di 2 unità nella direzione dell'asse delle ascisse, e poi risalire nella direzione dell'asse delle ordinate \(y\) di 3 unità.
2. se punti il dito nel punto \(P\) e scendi in verticale fino all'asse delle ascisse, ti troverai dove è segnato 2. L'intersezione dell'unica retta parallela all'asse delle \(y\) che passa per il punto \(P\) viene chiamata la proiezione del punto \(P\) sull'asse delle ascisse. La coordinata \(x\) di \(P\) è 2: \(x_P=2\). Similmente, la proiezione del punto \(P\) sull'asse delle ordinate è il punto \(y=3\), quindi la coordinata \(y\) di \(P\) è 3: \(y_P=3\).
3. se punti il dito nel punto \(P\) e ti sposti in orizzontale fino a toccare l'asse delle ordinate, vedrai che hai percorso 2 unità: la distanza orizzontale tra il punto \(P\) e l'asse \(y\) è di 2 unità. Similmente, se scendi in verticale fino all'asse delle ascisse, vedrai che ti sarai spostato di 3 unità: la distanza orizzontale tra il punto \(P\) e l'asse \(x\) è di 3 unità.

Ecco perché, nella notazione \((2,3)\), 2 viene chiamata l'ascissa del punto, e 3 la sua ordinata.

Figura 5. La retta verticale, parallela all'asse y, indica di quanto salire per arrivare all'altezza di P. La retta orizzontale indica di quante unità ti devi staccare dall'asse verticale.

Il punto P ha coordinate \((x_P, y_P)=(2,3)\).

Coordinate dei punti sugli assi

In alcuni casi, le coordinate di un punto hanno una forma particolare: un caso è quando il punto di cui vogliamo trovare le coordinate si trova sull'asse delle ascisse o delle ordinate. Un esempio ti aiuterà a capire meglio:

In accordo con questi due esempi, la regola generale è:

1. Se un punto si trova sull'asse delle \(y\), la sua coordinata \(x\) è \(0\).
2. Se un punto si trova sull'asse delle \(x\), la sua coordinata \(y\) è \(0\).

I quadranti del piano cartesiano

Nel seguente piano cartesiano, puoi notare che i due assi lo dividono in quattro parti, che devi (di nuovo!) pensare infinite.

Figura 8. Gli assi perpendicolari suddividono il piano in quattro quadranti.

I quadranti vengono indicati con i numeri romani, che probabilmente già avrai incontrato in passato: I, II, III, IV. Per fortuna bastano questi, e non devi ricordati anche come scrivere 50, o 400 o la tua data di nascita!

• Se il punto si trova nel quadrante superiore destro I, le due coordinate \(x\) e \(y\) saranno positive.
• Se il punto si trova nel quadrante superiore sinistro II, la coordinata \(x\) sarà negativa e la coordinata \(y\) sarà positiva.

• Se il punto si trova nel quadrante inferiore sinistro III, le due coordinate \(x\) e \(y\) saranno negative.
• Infine, se il punto si trova nel quadrante inferiore destro IV, la coordinata \(x\) sarà positiva e la coordinata \(y\) sarà negativa.

Distanza tra due punti nel piano cartesiano

Se hai due punti nel piano cartesiano, entrambi avranno delle coordinate ben precise, in riferimento all'origine. Ma puoi anche pensare di volerli vedere l'uno in relazione all'altro. Una cosa che sicuramente puoi fare senza troppe difficoltà, è trovare la distanza tra questi due punti.

Non ha senso usare un righello per misurare la distanza tra due punti, perché avresti una misura relativa. Pensa a quando ingrandisci con le dita le immagini sul tuo schermo, oppure le visualizzi su uno schermo più grande. I grafici avranno dimensioni diverse, ma sono fatti esattamente delle stesse unità. Le unità generiche del piano cartesiano per misurare le lunghezze sono universali, svincolate da unità di misura specifiche.

Per introdurre il metodo per trovare la distanza tra due punti nel piano cartesiano, usiamo un esempio:

Se i due punti sono \(A_1=(2,4)\) e \(C_1=(5,6)\), vogliamo trovare la distanza \(\overline{A_1 C_1}\).

Figura 9. Problema: calcolare la lunghezza del segmento \(\overline{A_1 C_1}\)

Puoi costruire un triangolo rettangolo \(t_1\) che ha per ipotenusa il segmento \(\overline{A_1 C_1}\), e cateti paralleli agli assi cartesiani. In genere si usa il triangolo sottostante al segmento, come nella figura di seguito:

Figura 10. Le proprietà suitriangoli rettangoli aiutano a calcolare la lunghezza del segmento \(\overline{A_1 C_1}\)

Conoscendo le coordinate dei punti \(A_1\) e \(C_1\), puoi facilmente dedurre le coordinate del punto \(B_1\). Infatti ha la stessa 'altezza' rispetto all'asse orizzontale del punto \(A_1\). Da un'altra prospettiva, se punti il dito sul 4 dell'asse delle ordinate \(y\) e prosegui in direzione orizzontale (parallela all'asse delle ascisse), \(A_1\) e \(B_1\) si trovano sulla stessa linea. Entrambi quindi sono in corrispondenza della coordinata \(y=4\), quindi \(y_{B_1}=4\). In maniera analoga, la coordinata \(x\) di \(B_1\) è la stessa del punto \(C_1\): si trovano entrambi sulla retta perpendicolare all'asse delle ascisse passante per il punto 5, quindi \(x_{B_1}=5\).

Detto questo, puoi trovare la lunghezza dei segmenti \(\overline{A_1 B_1}\) e \(\overline{B_1 C_1}\). Se hai fatto bene il disegno (cosa molto raccomandata in geometria), potresti anche contare le unità, ma in maniera più rigorosa e universale basta calcolare rispettivamente la differenza \(x_{B_1} - x_{A_1}=5-2=3\), e \(y_{C_1} - y_{B_1}=6-4=2\).

Ora ti basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo \(t_1\), per ottenere la lunghezza dell'ipotenusa \(\overline{A_1 C_1}\):\[\overline{A_1 C_1}=\sqrt{\overline{A_1 B_1}^2 + \overline{B_1 C_1}^2}\]che nel nostro caso corrisponde a \(\sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3,6.\)

La formula generica, quindi, per trovare la distanza tra due punti qualsiasi \(A=(x_1,y_1)\) e \(B=(x_2,y_2)\) sul piano cartesiano è:\[\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}\]

Piano cartesiano: esercizi

Retta nel piano cartesiano

Come forse già sai, per due punti passa una e una sola retta. La retta è diversa dal segmento che unisce i due punti, vista nel paragrafo precedente. Infatti la retta si allunga all'infinito oltre il segmento, e in entrambe le direzioni.

Con la geometria analitica hai gli strumenti giusti per scrivere un'equazione della retta, grazie al sistema di riferimento. Se cambi il sistema, o la retta, cambierà anche l'equazione.

La forma di equazione più comunemente usata è:

\[y=mx+q\]

dove:

• x rappresenta il valore della coordinata \(x_{P}\) di un punto qualsiasi \(P\) sulla retta.
• y è il rispettivo valore della coordinata \(y_{P}\) dello stesso punto \(P\) sulla retta.
• q è il valore della coordinata y quando la retta si interseca con l'asse y di equazione \(x=0|). q prende il nome matematico di intercetta, o anche ordinata all'origine.
• m è la pendenza del grafico della retta, e prende il nome di coefficiente angolare della retta.

Ogni scelta di \(m\) e \(q\) determina una e una sola retta del piano.

La forma appena enunciata si chiama equazione in forma esplicita, perché al primo membro compare sempre e solo la variabile \(y\) in maniera esplicita. Questa forma rende possibile trovare immediatamente la corrispondente coordinata \(y\) di un punto della retta se scegliamo un qualsiasi valore di \(x\).

Esiste anche la forma implicita dell'equazione generica di una retta: \(ax+by+c=0\), dove assegnando un valore preciso ad \(a\), \(b\) e \(c\), si ottiene l'equazione di una particolare retta del piano.

Troverai più approfondimenti sull'equazione della retta su un articolo specificamente dedicato all'argomento.

Formula della circonferenza nel piano cartesiano

Ricordati che la circonferenza è l'insieme dei punti sul piano aventi la stessa distanza fissata (il raggio) da un punto (il centro).

Un punto generico della circonferenza di coordinate \((x,y)\) dista quindi dal centro di coordinate \((x_C,y_C)\) una lunghezza fissa (una costante matematica) \(r\). Se usi la formula per la distanza tra due punti, ottieni l’equazione:

\[(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\]

Su StudySmarter potrai approfondire le relazioni tra queste equazioni e trovare diversi esercizi negli articoli sull'equazione della circonferenza.