Immagina di essere in mezzo a una pianura che si allunga a perdita d'occhio; ovunque ti giri vedi solo una distesa verde fino all'orizzonte, senza colli, dune, arbusti, o nient’altro. Ecco: questo è come si sentiva un punto sul piano prima di Cartesio!
Figura 1. Un piano senza alcun punto di riferimento.
Definizione di piano cartesiano
È difficile immaginare una pianura senza la profondità del suolo, oppure un foglio senza spessore. Ma se c’è anche un minimo spessore avresti un solido a tre dimensioni, non due.
Un piano in geometria analitica non è altro che una superficie piana che si estende all'infinito in tutte le direzioni, senza bordi e senza spessore. L'indole umana ci spinge a volerci orientare, a saper in quale direzione andare, e ad avere punti di riferimento. Ed è per questo che esistono concetti come il piano cartesiano.
Sistemi di riferimento
In geometria analitica si introducono sistemi per descrivere la posizione di punti in uno spazio a più dimensioni, utilizzando più numeri. Una volta trovato un metodo per rappresentare i punti, l'idea è quella di rappresentare insiemi di punti più complessi, che seguono schemi precisi, come la retta o la circonferenza.
Cartesio, un tizio che decise di illuminarci tutti col suo "Cogito ergo sum", si teneva occupato anche in faccende matematiche, e introdusse un modo per orientarsi sul piano, a partire da una origine, un punto di riferimento iniziale in funzione del quale tutti gli altri punti sono riconducibili.
L'origine è il punto di riferimento di un sistema di coordinate, e viene spesso indicata con lo zero.
La retta numerica
La retta numerica è uno dei più semplici sistemi di coordinate: scelte l'origine e un'orientazione (il verso in cui i numeri crescono), puoi spostarti di un tot di caselle in avanti (o indietro) e sapere esattamente dove sei e come tornare al punto iniziale. Nella seguente immagine la retta è stata semplificata: vedi solo sei unità. La retta numerica invece, va immaginata estesa all'infinito in entrambi i versi. Inoltre, comprende tutti i valori reali intermedi tra i numeri effettivamente segnati.
Figura 2. Retta numerica
Come puoi vedere, qui manca un’unità di misura (cm, m o altro). Nel piano cartesiano non serve specificare l'unità precisa, perché i ragionamenti valgono in generale.
La posizione di un punto sulla retta numerica può essere espressa come un singolo numero. Questo numero indica la distanza orizzontale di quel punto dall'origine, cioè dal punto in cui è segnato il punto 0. La posizione di qualsiasi punto del sistema di coordinate è espressa in riferimento all'origine.
Ad esempio, il punto \(A\) sulla retta numerica nella seguente immagine è a 3 unità dall'origine.
Figura 3. Il punto A rappresentato sulla retta numerica si trova a tre unità dall'origine.
I punti sul piano cartesiano vengono solitamente indicati con lettere maiuscole: A, B, P, Q, ecc.
Sistema di coordinate cartesiane
Combinando due retta numeriche aventi direzioni diverse, e perpendicolari tra loro, si ottiene il sistema di coordinate cartesiane. Ciascuna di queste rette numeriche è nota come asse, e insieme creano un piano noto come piano delle coordinate. Con una sola retta numerica, basta un unico numero per indicare la posizione. Adesso serviranno due numeri, uno per ogni retta.
Figura 4. Sistema di coordinate cartesiane.
Hai notato che sono comparsi anche dei nomi per gli assi? Quello orizzontale viene indicato con la lettera \(x\), e quello verticale con \(y\). Qualsiasi punto sul piano delle coordinate può essere descritto utilizzando due numeri, uno per descrivere la distanza lungo l'asse orizzontale, noto anche come asse delle ascisse, o asse delle \(x\). L'altro numero serve per descrivere la distanza lungo l'asse verticale, noto anche come asse delle ordinate, o asse delle \(y\). Ciascuno di questi numeri è noto come coordinata.
Coordinate dei punti nel piano cartesiano
La notazione che indica un punto nel sistema di coordinate cartesiane è semplicemente una coppia di numeri tra parentesi. L'origine ha coordinate \((0,0)\).
Per esempio, il punto \(P\) sul seguente piano cartesiano ha coordinate \((2,3)\). Ci sono diversi modi di interpretare le coordinate: puoi scegliere tu quello che ti sembra più logico e usarlo per gli esercizi.
- se punti il dito nell'origine, oltre alla strada più breve per andare direttamente a \(P\) in diagonale, puoi spostarti di 2 unità nella direzione dell'asse delle ascisse, e poi risalire nella direzione dell'asse delle ordinate \(y\) di 3 unità.
- se punti il dito nel punto \(P\) e scendi in verticale fino all'asse delle ascisse, ti troverai dove è segnato 2. L'intersezione dell'unica retta parallela all'asse delle \(y\) che passa per il punto \(P\) viene chiamata la proiezione del punto \(P\) sull'asse delle ascisse. La coordinata \(x\) di \(P\) è 2: \(x_P=2\). Similmente, la proiezione del punto \(P\) sull'asse delle ordinate è il punto \(y=3\), quindi la coordinata \(y\) di \(P\) è 3: \(y_P=3\).
- se punti il dito nel punto \(P\) e ti sposti in orizzontale fino a toccare l'asse delle ordinate, vedrai che hai percorso 2 unità: la distanza orizzontale tra il punto \(P\) e l'asse \(y\) è di 2 unità. Similmente, se scendi in verticale fino all'asse delle ascisse, vedrai che ti sarai spostato di 3 unità: la distanza orizzontale tra il punto \(P\) e l'asse \(x\) è di 3 unità.
Ecco perché, nella notazione \((2,3)\), 2 viene chiamata l'ascissa del punto, e 3 la sua ordinata.
Figura 5. La retta verticale, parallela all'asse y, indica di quanto salire per arrivare all'altezza di P. La retta orizzontale indica di quante unità ti devi staccare dall'asse verticale.
Il punto P ha coordinate \((x_P, y_P)=(2,3)\).
Se un punto generico \(P\) nel piano cartesiano ha coordinate \((x,y)\), allora \(x\) rappresenta la distanza di \(P\) dall'asse delle ordinate (l'asse delle y, verticale) e la seconda coordinata \(y\) è la distanza di \(P\) dall'asse ascisse (l'asse delle x, orizzontale).
Coordinate dei punti sugli assi
In alcuni casi, le coordinate di un punto hanno una forma particolare: un caso è quando il punto di cui vogliamo trovare le coordinate si trova sull'asse delle ascisse o delle ordinate. Un esempio ti aiuterà a capire meglio:
Quali sono le coordinate del punto \(P\) nel piano cartesiano rappresentato di seguito?
Figura 6. Punto sull'asse y.
Poiché il punto \(P\) si trova sull'asse delle ordinate, la distanza tra la proiezione di \(P\) sull'asse delle ascisse e l'origine è di fatto zero, quindi la coordinata \(x_P\) è 0.
D'altra parte, poiché la distanza verticale tra il punto \(P\) e l'origine è di due unità, la coordinata \(y_P\) è 2.
Sei quindi in grado di concludere che le coordinate cartesiane di \(P\) sono \((0,2)\).
Quali sono le coordinate del punto \(P\) nel piano cartesiano rappresentato di seguito?
Figura 7. Il punto P si trova sull'asse delle ascisse.
Poiché la distanza orizzontale tra il punto \(P\) e l'origine è di 5 unità, la coordinata \(x_P\) è 5 (e non -5 perché l'orientazione dell'asse è verso destra, ovvero i numeri vanno crescendo dopo lo zero).
D'altra parte, poiché il punto \(P\) si trova sull'asse delle ascisse (quindi né sopra dove le \(y\) sono positive, né sotto dove sono negative), la distanza tra la proiezione di \(P\) sull'asse delle ordinate e l'origine è di fatto zero, quindi la coordinata \(y_P\) è 0. In altre parole, il punto non si trova né
Sei quindi in grado di concludere che le coordinate cartesiane di \(P\) sono \((5,0)\).
In accordo con questi due esempi, la regola generale è:
- Se un punto si trova sull'asse delle \(y\), la sua coordinata \(x\) è \(0\).
- Se un punto si trova sull'asse delle \(x\), la sua coordinata \(y\) è \(0\).
I quadranti del piano cartesiano
Nel seguente piano cartesiano, puoi notare che i due assi lo dividono in quattro parti, che devi (di nuovo!) pensare infinite.
Figura 8. Gli assi perpendicolari suddividono il piano in quattro quadranti.
Ognuna delle quattro parti in cui gli assi dividono il piano cartesiano si chiamano quadranti.
I quadranti vengono indicati con i numeri romani, che probabilmente già avrai incontrato in passato: I, II, III, IV. Per fortuna bastano questi, e non devi ricordati anche come scrivere 50, o 400 o la tua data di nascita!
- Se il punto si trova nel quadrante superiore destro I, le due coordinate \(x\) e \(y\) saranno positive.
- Se il punto si trova nel quadrante superiore sinistro II, la coordinata \(x\) sarà negativa e la coordinata \(y\) sarà positiva.
- Se il punto si trova nel quadrante inferiore sinistro III, le due coordinate \(x\) e \(y\) saranno negative.
- Infine, se il punto si trova nel quadrante inferiore destro IV, la coordinata \(x\) sarà positiva e la coordinata \(y\) sarà negativa.
Distanza tra due punti nel piano cartesiano
Se hai due punti nel piano cartesiano, entrambi avranno delle coordinate ben precise, in riferimento all'origine. Ma puoi anche pensare di volerli vedere l'uno in relazione all'altro. Una cosa che sicuramente puoi fare senza troppe difficoltà, è trovare la distanza tra questi due punti.
Non ha senso usare un righello per misurare la distanza tra due punti, perché avresti una misura relativa. Pensa a quando ingrandisci con le dita le immagini sul tuo schermo, oppure le visualizzi su uno schermo più grande. I grafici avranno dimensioni diverse, ma sono fatti esattamente delle stesse unità. Le unità generiche del piano cartesiano per misurare le lunghezze sono universali, svincolate da unità di misura specifiche.
Se hai due punti sul piano, la distanza è la lunghezza del segmento che li unisce.
Per introdurre il metodo per trovare la distanza tra due punti nel piano cartesiano, usiamo un esempio:
Se i due punti sono \(A_1=(2,4)\) e \(C_1=(5,6)\), vogliamo trovare la distanza \(\overline{A_1 C_1}\).
Figura 9. Problema: calcolare la lunghezza del segmento \(\overline{A_1 C_1}\)
Puoi costruire un triangolo rettangolo \(t_1\) che ha per ipotenusa il segmento \(\overline{A_1 C_1}\), e cateti paralleli agli assi cartesiani. In genere si usa il triangolo sottostante al segmento, come nella figura di seguito:
Figura 10. Le proprietà suitriangoli rettangoli aiutano a calcolare la lunghezza del segmento \(\overline{A_1 C_1}\)
Conoscendo le coordinate dei punti \(A_1\) e \(C_1\), puoi facilmente dedurre le coordinate del punto \(B_1\). Infatti ha la stessa 'altezza' rispetto all'asse orizzontale del punto \(A_1\). Da un'altra prospettiva, se punti il dito sul 4 dell'asse delle ordinate \(y\) e prosegui in direzione orizzontale (parallela all'asse delle ascisse), \(A_1\) e \(B_1\) si trovano sulla stessa linea. Entrambi quindi sono in corrispondenza della coordinata \(y=4\), quindi \(y_{B_1}=4\). In maniera analoga, la coordinata \(x\) di \(B_1\) è la stessa del punto \(C_1\): si trovano entrambi sulla retta perpendicolare all'asse delle ascisse passante per il punto 5, quindi \(x_{B_1}=5\).
Detto questo, puoi trovare la lunghezza dei segmenti \(\overline{A_1 B_1}\) e \(\overline{B_1 C_1}\). Se hai fatto bene il disegno (cosa molto raccomandata in geometria), potresti anche contare le unità, ma in maniera più rigorosa e universale basta calcolare rispettivamente la differenza \(x_{B_1} - x_{A_1}=5-2=3\), e \(y_{C_1} - y_{B_1}=6-4=2\).
Ora ti basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo \(t_1\), per ottenere la lunghezza dell'ipotenusa \(\overline{A_1 C_1}\):\[\overline{A_1 C_1}=\sqrt{\overline{A_1 B_1}^2 + \overline{B_1 C_1}^2}\]che nel nostro caso corrisponde a \(\sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3,6.\)
La formula generica, quindi, per trovare la distanza tra due punti qualsiasi \(A=(x_1,y_1)\) e \(B=(x_2,y_2)\) sul piano cartesiano è:\[\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}\]
La lunghezza di un segmento ha sempre una misura positiva. Se, quando calcoli la differenza tra i valori delle coordinate \(x\) o \(y\), non metti per primo il valore maggiore, ottieni una misura negativa. Per evitare questo problema si usa il valore assoluto: la distanza tra i punti \(A_1\) e \(B_1\) si esprime con \(\overline{A_1 B_1 }=|x_{A_1}-x_{B_1}|\). La distanza (verticale) tra i punti \(C_1\) e \(B_1\) corrisponde a \(\overline{C_1 B_1} = |y_{C_1}-y_{B_1}|\).
Per la formula della distanza tra due punti, però, il valore assoluto non serve. Infatti, l'ordine in cui scrivi le coordinate \(x\) e \(y\) dei punti non ha importanza perché la loro differenza verrà sempre elevata al quadrato.
Nel nostro esempio, avresti potuto invertire e scrivere:
\(y_{A_1} - y_{B_1}=2-5=-3\),
e \(x_{B_1} - x_{C_1}=4-6=-2\),
e avresti ottenuto lo stesso risultato: \(\overline{A_1 C_1}=\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2}=\sqrt{9+4} = \sqrt{13}.\)
Piano cartesiano: esercizi
Quali sono le coordinate del punto C nel piano cartesiano rappresentato di seguito?
Figura 11. Trova le coordinate del punto C
Notando che il punto \(C\) si trova nel secondo quadrante, puoi affermare che deve avere una coordinata \(y\) positiva e una \(x\) negativa.
Osservando la figura, se punti il dito nel punto \(C\) e ti avvicini in verticale all'asse delle ascisse, ti troverai nel punto \(x=-3\). La coordinata \(x\) di \(C\) è -3: \(x_C=-3\). Da un'altra prospettiva, se punti il dito nel punto \(C\) e ti avvicini in orizzontale all'asse delle ordinate, vedrai che ti sarai spostato di 3 unità: la distanza orizzontale tra il punto \(C\) e l'asse \(y\) è di 3 unità. Per capire se la coordinata è positiva o negativa, puoi prima di tutto guardare in che quadrante si trova il punto, oppure fare riferimento all'origine. Per arrivare al punto \(C\) dall'origine, devi percorrere l'asse delle ascisse verso sinistra, cioè nella direzione delle ascisse negative. Quindi la coordinata \(x\) sarà negativa. Poi devi salire (nella direzione positiva) fino a raggiungere il punto \(C\): quindi la coordinata \(y\) sarà positiva.
D'altra parte, la coordinata \(y\) è 5, poiché la distanza verticale tra il punto \(C\) e l'asse \(x\) è di 5 unità.
Pertanto, le coordinate cartesiane del punto C sono \((-3,5)\).
Quali sono le coordinate del punto \(D\) nel piano cartesiano rappresentato di seguito?
Figura 12. Trova le coordinate del punto D
Notando che il punto \(D\) si trova nel terzo quadrante, puoi affermare che deve avere una coordinata \(x\) negativa e una \(y\) negativa.
Osservando la figura, la distanza orizzontale tra il punto \(D\) e l'asse \(y\) è di 3 unità.
D'altra parte, la distanza verticale tra il punto \(D\) e l'asse \(x\) è anche essa di 3 unità.
Pertanto, le coordinate cartesiane del punto C sono \((-3,-3)\).
Disegna sul piano cartesiano il punto di coordinate \(x=4, y=-1\).
Se punti il dito nell'origine, le coordinate \((4,-1)\) ti indicano
- di quante unità ti devi spostare in orizzontale, sull'asse delle \(x\), e anche il verso in cui ti devi spostare: sono 4 unità verso destra, perché il segno di 4 è positivo;
- di quante unità ti devi spostare in verticale, parallelamente all'asse delle \(y\), e se verso l'alto o il basso. Essendo \(y=-1\), vuol dire che sarà un’unità verso il basso (perché il segno di 1 è negativo).
Figura 13. Se punti il dito nell'origine e segui le frecce, spostandoti di 4 unità verso destra e una verso il basso, ottieni il punto di coordinate \((4,-1\).
Essendo la \(x\) positiva e la \(y\) negativa il punto si trova nel quarto quadrante.
Trova la distanza tra i due punti \(A_2\) e \(C_2\) in figura:
Figura 14. Usa il triangolo \(t_2\) per trovare la distanza tra i punti \(A_2\) e \(C_2\)
Conoscendo le coordinate dei punti \(A_2\) e \(C_2\), puoi facilmente trovare le coordinate del punto \(B_2\). Infatti ha la stessa distanza dall'asse delle ascisse del punto \(C_2\): entrambi hanno coordinata \(y=2\). La coordinata \(x\) di \(B_2\), invece, è la stessa del punto \(A_2\): si trovano entrambi sull'asse delle ascisse, quindi \(x_{B_2}=0\).
Puoi trovare algebricamente la lunghezza di \(\overline{A_2 B_2}\): \[\overline{A_2 B_2}=y_{A_2} - y_{B_2}=5-2=3\] e in modo simile\[\overline{B_2 C_2}=x_{C_2} - x_{B_2}=1-0=1.\]
Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo \(t_2\),\[\overline{A_2 C_2}=\sqrt{\overline{A_2 B_2}^2 + \overline{B_2 C_2}^2}\]che nel nostro caso corrisponde a \[\sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \approx 3,2.\]
Retta nel piano cartesiano
Come forse già sai, per due punti passa una e una sola retta. La retta è diversa dal segmento che unisce i due punti, vista nel paragrafo precedente. Infatti la retta si allunga all'infinito oltre il segmento, e in entrambe le direzioni.
Con la geometria analitica hai gli strumenti giusti per scrivere un'equazione della retta, grazie al sistema di riferimento. Se cambi il sistema, o la retta, cambierà anche l'equazione.
La forma di equazione più comunemente usata è:
\[y=mx+q\]
dove:
- x rappresenta il valore della coordinata \(x_{P}\) di un punto qualsiasi \(P\) sulla retta.
- y è il rispettivo valore della coordinata \(y_{P}\) dello stesso punto \(P\) sulla retta.
- q è il valore della coordinata y quando la retta si interseca con l'asse y di equazione \(x=0|). q prende il nome matematico di intercetta, o anche ordinata all'origine.
- m è la pendenza del grafico della retta, e prende il nome di coefficiente angolare della retta.
Ogni scelta di \(m\) e \(q\) determina una e una sola retta del piano.
La forma appena enunciata si chiama equazione in forma esplicita, perché al primo membro compare sempre e solo la variabile \(y\) in maniera esplicita. Questa forma rende possibile trovare immediatamente la corrispondente coordinata \(y\) di un punto della retta se scegliamo un qualsiasi valore di \(x\).
Esiste anche la forma implicita dell'equazione generica di una retta: \(ax+by+c=0\), dove assegnando un valore preciso ad \(a\), \(b\) e \(c\), si ottiene l'equazione di una particolare retta del piano.
Troverai più approfondimenti sull'equazione della retta su un articolo specificamente dedicato all'argomento.
Formula della circonferenza nel piano cartesiano
Ricordati che la circonferenza è l'insieme dei punti sul piano aventi la stessa distanza fissata (il raggio) da un punto (il centro).
Un punto generico della circonferenza di coordinate \((x,y)\) dista quindi dal centro di coordinate \((x_C,y_C)\) una lunghezza fissa (una costante matematica) \(r\). Se usi la formula per la distanza tra due punti, ottieni l’equazione:
\[(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\]
Su StudySmarter potrai approfondire le relazioni tra queste equazioni e trovare diversi esercizi negli articoli sull'equazione della circonferenza.
Piano cartesiano - Punti chiave
- L'origine è il punto di riferimento di un sistema di coordinate, e viene spesso indicata con lo zero.
- Combinando una retta numerica verticale e una orizzontale, si ottiene il sistema di coordinate cartesiane. Ciascuna di queste rette numeriche è nota come asse, e insieme creano un piano noto come piano delle coordinate.
- Ognuna delle quattro parti in cui gli assi dividono il piano cartesiano si chiamano quadranti. Si numerano in senso antiorario a partire dal quadrante in alto a destra.
- La formula generica per trovare la distanza tra due punti qualsiasi \(A=(x_1,y_1)\) e \(B=(x_2,y_2)\) sul piano cartesiano, è:\[\overline{AB}=\sqrt{\overline{A_1 B_1}^2 + \overline{B_1 C_1}^2}\]
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