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Vettori

È un giorno afoso, e atterri in mezzo a un incrocio senza segnaletiche. Chiedi al primo passante di indicarti la via di ritorno mentre pieghi il paracadute, e ti spiega che ci sono tre chilometri da percorrere per raggiungere il bar più vicino. “Non troppi”, pensi, “Poteva andarmi peggio”. “Ma in che direzione?”, gli chiedi. Il vecchio passante ti indica quale delle due strade percorrere, ma non si ricorda se verso destra o sinistra. Non capisci a questo punto se ha voglia di scherzare. Ora forse dovrai percorrere tre chilometri verso destra per accorgerti che era il verso sbagliato, tornare indietro di tre chilometri e farne altri tre verso sinistra. Tre volte quello che ti aveva detto in principio.

Vettori Bivio StudysmarterFigura 1. I vettori ci aiutano a capire in quale direzione andare

Grandezze vettoriali

A volte non basta avere un solo numero per dare senso a una misurazione. Servono altre informazioni: nello specifico, una direzione e un verso. Anche in matematica, e nelle discipline che ne fanno uso, è così. Si parla, in questo caso, di vettori, o grandezze vettoriali, per distinguerle da quelle scalari.

Una grandezza fisica è qualcosa che si può misurare. Se una grandezza è rappresentata da una sola misura, si chiama scalare, se per descriverla occorrono anche una direzione e un verso, si parla di grandezza vettoriale.

Definizione di vettore

Il vettore è una grandezza rappresentata da una misura della sua quantità, lunghezza o intensità, detta modulo, da una direzione e da un verso.

I vettori si indicano solitamente con una freccia, proprio per dare quest’idea. Dalla lunghezza del segmento possiamo calcolare il modulo, dall'orientamento capiamo la direzione, e da dove si trova la punta della freccia deduciamo il verso.

La rappresentazione letterale di un vettore comunemente usata contiene anch'essa una freccia: \( \overrightarrow{v}\). Altri modi per indicare un vettore sono \(\hat{v}\) oppure \(\mathbf{v}\).

Il modulo di \( \overrightarrow{v}\) non essendo un vettore, ma un numero, si indica solitamente con \(v\) o \( | \, \overrightarrow{v} \, | \).

Se devi dare indicazioni complete, non basta la distanza, ma servono anche direzione e verso, ad esempio 1 km (la misura scalare, in questo caso la distanza) sull’autostrada Milano-Roma (direzione), verso Roma (verso). Il modulo del vettore è 1.

Altri esempi di grandezze scalari sono la temperatura o il tempo, che si misurano con un’unica quantità.

Un esempio di grandezza vettoriale è la velocità: possiamo misurare non solo di quanto si muove un oggetto, ma anche verso dove, cioè in quale direzione (ad esempio 20 km/h verso nord).

Ora che sappiamo che cos'è una quantità vettoriale, come si esprime in matematica? Per fare ciò dobbiamo fare una piccola precisazione. Un vettore, per definizione, non è un segmento fissato nello spazio, o legato a un sistema di coordinate, nel senso che se si muove la rappresentazione della freccia mantenendo la stessa lunghezza, lo stesso orientamento e lo stesso verso, il vettore rimane uguale, o con termini più precisi, equipollente.

Due vettori equipollenti:

Se due macchine gareggiano in corsie rettilinee e parallele, e percorrono la stessa distanza, dalla linea di partenza a quella d’arrivo, il tragitto percorso può essere rappresentato per entrambi da uno stesso vettore.

Vettori Auto da corsa StudySmarter Figura 2. Due vettori equipollenti sono come due auto che gareggiano alla stessa identica velocità e nella stessa direzione

Come rappresentare i vettori sul piano

Una volta che introduciamo un piano cartesiano, le estremità dei vettori equipollenti avranno rispettivamente valori diversi, ma non per questo i vettori sono diversi per definizione.

Di solito, in due dimensioni, descriviamo i punti usando una coordinata \(x\) e una coordinata \(y\). In questo modo, quando rappresentiamo un qualsiasi punto nel piano cartesiano, non facciamo altro che descrivere di quanto ci muoviamo partendo dall'origine nella direzione \(x\) e di quanto ci muoviamo nella direzione \(y\).

Ma se parliamo di direzione (con verso) e di quanto ci spostiamo, abbiamo soddisfatto la nostra esigenza di modulo, direzione e verso per poter parlare di vettore.

A partire da questo concetto, esiste un modo intuitivo di scrivere matematicamente un vettore \( \overrightarrow{v}\). Si utilizzano i vettori unitari. In due dimensioni, i nostri vettori unitari sono rappresentati da \( \overrightarrow{i}\) e \( \overrightarrow{j}\), dove \( \overrightarrow{i}\) corrisponde a un'unità nella direzione \(x\) e \( \overrightarrow{j}\) a un'unità nella direzione \(y\). Questi vettori unitari caratterizzano una direzione e un verso. Moltiplicandoli per una grandezza scalare (cioè un numero), otterremo un vettore avente la stessa direzione e lo stesso verso del vettore unitario, e modulo uguale al numero in questione.

Vettori Vettori unitari StudySmarter Figura 3. I vettori unitari sono sugli assi e hanno modulo pari a 1.

Dato un qualsiasi vettore \( \overrightarrow{v}\) che vogliamo rappresentare, scegliamo il suo vettore equipollente avente il primo estremo nell’origine degli assi. Il suo secondo estremo sarà un punto P di coordinate \( (x,y) \). In questo modo, ogni vettore può essere rappresentato da una coppia ordinata di numeri. Per non confonderlo col punto, a volte si usa un'altra dicitura: \( \binom{x}{y} \).

Scegliamo come vettore \( \overrightarrow{v}\) quello con secondo estremo in \( P=(2,3) \). Per disegnare P, ci siamo spostati di 2 unità sull'asse delle x, cioè di un vettore avente la stessa direzione e stesso verso dell'asse, di modulo 2. Allo stesso modo, possiamo individuare un segmento orientato tra l'origine e il punto \( (0,3) \), che si può esprimere come \(3 \overrightarrow{j}\). Allora, intuitivamente, il vettore \( \overrightarrow{v}\) si può ottenere univocamente da una combinazione delle sue componenti.

Vettori Vettore somma delle componenti StudySmarter Figura 4. Ogni vettore nel piano cartesiano si può scrivere come somma di multipli dei vettori unitari.

Vedrai tra un po' che si tratta di una somma: \( \overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j} \).

In termini generali, una rappresentazione matematica di un vettore sul piano cartesiano xOy è data da

\[ \overrightarrow{v}= x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \]

dove \(x\) e \(y\) sono variabili, e possono assumere anche valori negativi. A ogni coppia \( (x,y) \), corrisponderà un vettore diverso.

Quando fissiamo due punti A e B, nel piano o nello spazio, il vettore che va da A a B si chiama segmento orientato, e si indica \( \overrightarrow{AB}\). Il primo estremo A viene detto a volte punto di applicazione o coda mentre il secondo estremo punto B è detto anche apice o testa). Si tratta di un vettore unico, proprio perché fissato e determinato dai punti A e B. Questo non toglie che avrà infiniti altri vettori nel piano o nello spazio ad esso equipollenti.

Se dovesse percorrere il senso opposto, cioè da B ad A, sarebbe il cosiddetto vettore opposto, e si indica con \( \overrightarrow{BA}\), oppure \( - \overrightarrow{AB} \). Non sono lo stesso vettore, pur avendo lo stesso modulo e la stessa direzione, perché cambia il verso.

Attenzione a usare la freccia, perché altrimenti non saremmo in grado di distinguere il vettore \( \overrightarrow{AB}\) dal segmento \( \overline{AB}\).

Vettori Segmento orientato StudySmarter Figura 5. Un segmento orientato che va dal punto A al punto B Vettori Vettore opposto StudySmarter Figura 6. Il segmento orientato da B ad A è l'opposto che del segmento orientato che va da A a B, e ha verso opposto.

Il vettore nullo è quello con modulo pari a zero. La direzione e il verso sono indeterminati. Si indica solitamente con \( \overrightarrow{0}\).

Vettori nello spazio

Possiamo estendere questo ragionamento a tre dimensioni. Nella terza direzione \(z\), il vettore unitario è indicato con \(\overrightarrow{k}\). Il sistema di coordinate ha tre assi, tutti perpendicolari tra loro. Se il piano del tavolo fosse il piano cartesiano xOy, la direzione \(z\) uscirebbe direttamente dal tavolo. Se avessimo un vettore \( \overrightarrow{r}\) nello spazio, potremmo esprimerlo in termini di vettori unitari come \( \overrightarrow{r}= x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}\).

Somma di vettori perpendicolari

Come abbiamo anticipato, il vettore \( \overrightarrow{v}\), che va dall'origine al punto P, è considerata la somma delle sue due componenti.

Se rispetto alla figura 4 spostiamo la componente \( y \), forse vedi più chiaramente come le componenti descrivono un percorso alternativo per andare dall'origine al punto P.

Vettore come somma componentiFigura 7. Ogni vettore si può rappresentare come somma delle sue componenti x e y in un piano cartesiano

Questo stesso percorso si ottiene anche senza un sistema di coordinate, come vedi di seguito.

Vettori Vettore somma delle componenti StudySmarterFigura 8. Rappresentazione di un vettore come somma delle componenti, senza sistema di coordinate.

Quindi, la seguente definizione di vettore somma è indipendente dal sistema di coordinate.

Se abbiamo due vettori perpendicolari e consecutivi, nel senso che il primo ha la punta nel punto iniziale del secondo, possiamo definire il vettore somma come il vettore che unisce il punto iniziale del primo vettore, alla punta del secondo vettore.

Geometricamente, si vede però che il percorso verde è più breve. Quindi, come fa ad essere la somma dei primi due vettori componenti uguale al vettore somma \( \overrightarrow{v}\) ? Sommando i moduli, è evidente che non sono uguali (ci occuperemo di definire il modulo del vettore somma tra un attimo). Quello che coincide sono il punto di partenza e d'arrivo dei due percorsi. Infatti, non si tratta di una somma numerica, ma somma tra vettori, che è tutta un'altra storia!

Ricordiamoci che la definizione appena data di somma è molto particolare, perché i vettori sono perpendicolari e quindi non si viene a formare un triangolo qualsiasi, ma uno rettangolo. Questa proprietà risulta utilissima per calcolare il modulo del nuovo vettore somma, se conosciamo i moduli dei vettori perpendicolari. Basta usare il teorema di Pitagora!

Vettori Modulo vettore somma con Pitagora StudySmarterFigura 9. Il modulo del vettore somma dei due vettori perpendicolari in blu si può trovare tramite il teorema di Pitagora.

C'è anche un altro aspetto algebrico sulla somma di due vettori perpendicolari che potrebbe giovarti.

Se conosci gli estremi di due vettori componenti, entrambi con punto iniziale nell'origine, per trovare gli estremi del vettore somma \( \overrightarrow{v}\), basta sommare gli estremi delle sue componenti \(x\) e \(y\).

Nell'esempio della figura 4,

Il secondo estremo di \( \overrightarrow{2i}\) è \((2,0)\).

Il secondo estremo di \( \overrightarrow{3j}\) è \((0,3)\).

Allora

Il secondo estremo di \( \overrightarrow{v}\) è dato dalla somma \((2+0,0+3)\).

Somma di due vettori qualsiasi

Cosa succede se i vettori non sono perpendicolari?

Vediamo un caso più generico da un punto di vista geometrico. Iniziamo dal caso più semplice di due soli vettori, ma stavolta non perpendicolari.

Vettori Due vettori non perpendicolari StudySmarter Figura 10. Due vettori non perpendicolari

Innanzitutto, come abbiamo fatto nel caso dei vettori perpendicolari, possiamo avvicinare i due vettori fino a toccarsi, la punta del primo col primo estremo del secondo.

Come vedi dalla figura di seguito, traslando il vettore \( \overrightarrow{b}\), non cambiamo né la sua direzione, né il suo verso, né il suo modulo, quindi si tratta dello stesso vettore.

Vettori Traslazione di un vettore per metodo punta-coda StudySmarter Figura 11. Traslazione del vettore \(\vec{b}\): la sua coda viene spostata sulla punta del vettore \(\vec{A}\)

Come prima, tracciamo un vettore, unendo il primo estremo del primo vettore con la punta del secondo vettore. Questo vettore è chiamato il vettore somma. Come vedi, il triangolo che si è venuto a creare non è rettangolo.

Vettori Vettore somma con metodo punta-coda StudySmarter Figura 12. Somma di vettori con il metodo punta-coda.

Se abbiamo due vettori, e

  1. facciamo coincidere la punta del primo con il punto iniziale del secondo vettore, e
  2. tracciamo un segmento orientato dal punto iniziale del primo vettore alla punta del secondo vettore

otteniamo un nuovo vettore, chiamato vettore somma, o risultante.

Per trovare il modulo del vettore somma, si può usare il teorema del coseno, ammesso che conosciamo i moduli di entrambi i vettori da sommare, e l'angolo tra essi compreso.

Per il teorema del coseno, il modulo \(s\) del vettore somma è uguale a:

\[ s = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}\]

dove \(\alpha\) è l'angolo compreso tra i due vettori.

Per calcolare il modulo del vettore somma, possiamo usare uno qualsiasi dei due percorsi rappresentati nella figura che segue. Vedi che il percorso viola, "da sotto" per modo di dire, è identico a quello verde. Nota come i vettori paralleli sono vettori equipollenti.

Vettori Somma vettori metodo parallelogramma StudySmarter Figura 12. La somma di vettori è commutativa.

Da questa figura capiamo anche che per la somma di vettori vale la proprietà commutativa: \[ \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a} \].

Non lo dimostriamo, ma la somma di vettori gode anche della proprietà associativa.

Da un punto di vista algebrico, se ci troviamo in un piano cartesiano, per trovare gli estremi del vettore \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\), dobbiamo traslarli entrambi fino a che il primo estremo di entrambi coincide con l'origine, per poi sommare gli estremi delle sue componenti \( \overrightarrow{a}\) e quelle di \( \overrightarrow{b}\).

Guarda i seguenti due vettori non perpendicolari

Vettori Due segmenti orientati sul piano cartesiano StudySmarter Figura 14. Questi due vettori sul piano cartesiano non sono ancora pronti per essere sommati. Bisogna traslarne uno dei sue, affinché si tocchino.

Innanzitutto usiamo i due vettori equipollenti con primo estremo nell'origine, tramite una traslazione, per poi trovare il secondo estremo del vettore somma, che avrà coordinate \((-3-5, 1-2)=(-8,-1)\).

Vettori Somma delle coordinate di due vettori nel piano cartesiano StudySmarter Figura 15. Facendo coincidere i punti di applicazione di due vettori con l'origine degli assi, il vettore somma si trova partendo dall'origine fino al punto che ha come coordinate la somma delle rispettive coordinate dei due vettori.

La lunghezza del vettore somma, cioè il suo modulo, si può adesso calcolare usando le sue componenti. Per il teorema di Pitagora, in questo caso sarà \( \sqrt{(-1)^2+(-8)^2} = \sqrt{65} \approx 8,06\)

Se guardi bene la figura precedente, abbiamo evidenziato un parallelogramma. Se spostiamo \( \overrightarrow{b}\) sul lato parallelo, ci ritroviamo nella stessa condizione della definizione geometrica di somma vettoriale. Da questo puoi vedere che ci sono due modi di arrivare alla risultante:

  1. Il metodo del parallelogramma: si fanno coincidere i primi estremi dei vettori da sommare \(\overrightarrow{a}\) e \( \overrightarrow{b}\), si costruisce un parallelogramma con i vettori paralleli ad \(\overrightarrow{a}\) e \( \overrightarrow{b}\) e si trova la diagonale che parte dal primo estremo.
  2. Il metodo punta-coda: si fa partire il secondo vettore dalla punta del primo, e si chiude il triangolo con un vettore con la punta nella punta del secondo vettore.

Se preferisci non traslare i vettori (e nessuno ti darebbe torto!) per calcolare il modulo del vettore somma, ricordati che puoi sempre usare il metodo più convenzionale del teorema del coseno. Certo, una formula in più da ricordare, ma può essere più immediata, soprattutto per angoli noti e lunghezze non approssimate.

Nell'esempio di prima, non è questo il caso. Infatti, l'angolo compreso è di circa \(40.24^{\circ} \), che non è un angolo noto, e i moduli dei due vettori, per il teorema di Pitagora, sono \( \sqrt{10} \) e \( \sqrt{29} \).

Usando il teorema del coseno, dovremmo affrontare il calcolo

\[ s = \sqrt{(\sqrt{10})^2+(\sqrt{29})^2+2 \sqrt{10} \sqrt{29} \cos (40,24^{\circ}) \]

che non è né immediato, né preciso!

Somma di più di due vettori

Lo stesso principio della somma geometrica vale per più di due vettori. Il primo passo da fare, forse ormai lo sai anticipare, è unire tutti i vettori con la punta sul primo estremo del vettore successivo, fino a formare una poligonale come nella figura seguente.

Il vettore somma si ottiene collegando la punta dell'ultimo vettore con il primo estremo del primo vettore.

Vettori Risultante di più vettori StudySmarter Figura 16. Il vettore somma si ottiene collegando la punta dell'ultimo vettore con il primo estremo del primo vettore.

Nella seguente figura vedi il dettaglio delle singole somme: la somma dei primi due vettori, a questa si somma poi il terzo, e così via dicendo, fino all'ultimo vettore.

Vettori Somma di sei vettori StudysmarterFigura 17. Le linee viola sommano i vettori a uno a uno, ma il vettore somma finale coincide col vettore che unisce il punto di applicazione del primo vettore con la punta dell'ultimo vettore.

Risultante nulla

La risultante può essere anche nulla, se il primo estremo del primo vettore e la punta dell'ultimo coincidono. Per due vettori, questo coincide col dire che i due vettori sono opposti. Per più vettori, coincide col dire che la poligonale che si viene a creare è chiusa.

Differenza di due vettori

La differenza è molto simile alla somma sia dal punto di vista geometrico che algebrico. Geometricamente, quando sottraiamo un vettore \( \overrightarrow{w}\) da un vettore \( \overrightarrow{v}\), ne invertiamo il verso e poi lo sommiamo. In altre parole, per sottrarre \( \overrightarrow{w}\) da \( \overrightarrow{v}\), basta sommare \( \overrightarrow{v}\) con l'opposto di \( \overrightarrow{w}\).

\[ \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{w}) \]

Per questo è importante comprendere prima bene la somma.

Anche in questo caso, il procedimento è esattamente lo stesso per più di due vettori, e in tre dimensioni.

Prodotto di un vettore per uno scalare

Un multiplo di un vettore si ottiene moltiplicandone il suo modulo per un numero qualsiasi. Il nuovo vettore avrà la stessa direzione, ma modulo diverso, e verso opposto nel caso di numeri negativi. Questa operazione viene detta prodotto di uno scalare per un vettore.

Si dice prodotto di uno scalare \(k\) per un vettore \( \overrightarrow{v}\) il vettore che ha

  • la stessa direzione del vettore \( \overrightarrow{v}\),
  • modulo pari al modulo del vettore \( \overrightarrow{v}\) per \(k\),
  • verso opposto nel caso che \(k\) sia negativo.

Vediamo un semplice esempio:

Dato il vettore \( \overrightarrow{v}\), di modulo \(3\), possiamo fare il prodotto di uno scalare, per esempio \(2\), e il vettore. Avremo un vettore più lungo di \( \overrightarrow{v}\), di modulo \(3 \cdot 2 = 6\) per l'esattezza, ma ancora orientato nella stessa direzione.

Se lo scalare fosse stato \(-3\), il nuovo vettore sarebbe stato di nuovo più lungo di \( \overrightarrow{v}\), di modulo \(3 \cdot 2 = 6\), ma avrebbe avuto verso opposto.

Dalla definizione precedente, possiamo definire anche una somma di più prodotti di vettori per scalari:

Si chiama combinazione lineare di n vettori \( \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, ... \overrightarrow{v_n}\) l'operazione in cui si sommano i prodotti dei vettori per uno scalare: i vettori moltiplicati per uno scalare:

\( k_1\overrightarrow{v_1} + k_2\overrightarrow{v_2} + ... + k_n\overrightarrow{v_n}\)

Vettori linearmente indipendenti

Se abbiamo un insieme di più vettori, diciamo tre vettori per semplicità, \( \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_3}\), sappiamo farne la somma \( \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2} + \overrightarrow{v_3}\) traslandoli e unendoli col metodo punto-coda, ottenendo una linea spezzata. Il vettore somma andrà a chiudere la linea, formando una poligonale. Nel caso in cui unendo tutti i vettori si viene già a creare una poligonale chiusa, il vettore somma è nullo. Il più delle volte, dei vettori generici non formano una poligonale chiusa col metodo punta-coda.

Qui abbiamo tre vettori

Vettori Tre vettori sul piano cartesianoFigura 18. Tre vettori sul piano cartesiano.

Se procediamo come se dovessimo farne la somma col metodo punta-coda, avremmo

Vettori Vettori disposti punta-coda StudySmarter Figura 19. I tre vettori sono stati disposti col metodo punta-coda, e non formano una poligonale.

La linea che vediamo è spezzata, e i vettori non formano una poligonale chiusa.

Potrebbe servirti sapere se allungando o accorciando la lunghezza di qualche vettore, e semmai cambiandone anche il verso, riesci a ottenere una poligonale chiusa. Non è sempre un'operazione immediata, soprattutto dal punto di vista geometrico.

Algebricamente, allungare o accorciare la lunghezza dei vettori corrisponde a dire moltiplicarli per uno scalare:

\(k_1\overrightarrow{v_1}\), \(k_2\overrightarrow{v_2}\) + \(k_3\overrightarrow{v_3}\).

Il quesito che ci siamo posti corrisponde quindi a chiederci se esistono \(k_1, k_2, ..., k_n\) tali che la somma sia \( \overrightarrow{0}\). In altre parole, se esiste una combinazione lineare dei vettori tale che la somma sia il vettore nullo:

\[k_1\overrightarrow{v_1} + k_2\overrightarrow{v_2} + k_3\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}\\]

Nell'esempio di prima è possibile. Vediamo prima da un punto di vista geometrico:

Vettori Poligonale chiusa StudySmarter Figura 20. Tramite una combinazione lineare dei vettori, si ottiene una poligonale chiusa.

E adesso dal punto di vista algebrico, abbiamo moltiplicato \( \overrightarrow{v_1}\) per \(-1\), cioè abbiamo preso il suo opposto, \(\overrightarrow{v_2}\) per \(1\) e \(\overrightarrow{v_3}\) per \(3\). Quindi, per \(k_1=-1, k_2=1 e k_n=3\) otteniamo una poligonale chiusa.

Facendo un calcolo elementare, dalle coordinate dei vettori nella figura 18, si ha che:

\(-1 \cdot 7 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 0\), e

\(-1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 0\).

Un modo banale per ottenere una risultante nulla è moltiplicare tutti i moduli dei vettori per 0, e questo è sempre possibile. Basta porre \( k_1=0, k_2=0, ... , k_n=0\) in modo che tutti i vettori siano nulli e anche la somma sarà il vettore nullo:

\[0 \cdot \overrightarrow{v_1} + 0 \cdot \overrightarrow{v_2} + ... + 0 \cdot \overrightarrow{v_n}=\( \overrightarrow{0}\]

Ma se questa è la sola combinazione possibile per ottenere la risultante nulla, allora i vettori si chiamano linearmente indipendenti. Viceversa, si dicono dipendenti.

Dati n vettori, essi si dicono linearmente indipendenti se la sola combinazione lineare possibile per ottenere la risultante nulla è moltiplicando tutti i vettori per \(0\).

Prodotto di due vettori

Finora, per numeri o incognite, definire il prodotto è stato piuttosto semplice. Per i vettori è diverso. E questo perché i vettori, ricordiamoci, non sono numeri, ma sono rappresentati da tre componenti (modulo, direzione e verso). Dati due vettori, bisogna distinguere due tipi di prodotto: il prodotto scalare, e il prodotto vettoriale.

Prodotto scalare

Come suggerisce il nome stesso, il prodotto scalare ha come risultato una grandezza scalare, cioè una quantità numerica.

Dati due vettori \( \overrightarrow{a}\) e \( \overrightarrow{b}\), il prodotto scalare si indica con \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) e si definisce prodotto scalare di \( \overrightarrow{a}\) per \( \overrightarrow{b}\):

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = ab \cos \alpha \]

dove \( \alpha \) è l'angolo compreso tra i due vettori, quando si fanno sovrapporre i primi estremi.

Prodotto vettoriale

Come suggerisce il nome, il prodotto vettoriale di due vettori ha come risultato una grandezza vettoriale.

Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale si indica con \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\), e si definisce prodotto vettoriale di \( \overrightarrow{a}\) per \( \overrightarrow{b}\) il vettore che ha:

  • come modulo il modulo di \( \overrightarrow{a}\) per il modulo di \( \overrightarrow{b}\) moltiplicato il seno dell'angolo compreso: \( ab \sin \alpha \),
  • come direzione quella perpendicolare al piano che contiene entrambi i vettori,
  • come verso quello uscente dal piano che li contiene entrambi.

Vettori - Key takeaways

  • Il vettore è una grandezza rappresentata da una misura della sua quantità, detta modulo, da una direzione e da un verso.
  • La rappresentazione letterale di un vettore contiene pure una freccia: \( \overrightarrow{v}\). Il modulo di \( \overrightarrow{v}\), che non ha né direzione, né verso, si indica solitamente con \(v\) o \( | \, \overrightarrow{v} \, | \).
  • In termini generali, una rappresentazione algebrica di un vettore sul piano cartesiano xOy è data da

    \( \overrightarrow{v}= x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \

  • Si chiama vettore equipollente un vettore che si ottiene da un altro vettore, muovendone la rappresentazione della freccia e mantenendo la stessa lunghezza, lo stesso orientamento e lo stesso verso

  • Se abbiamo due vettori, e facciamo coincidere la punta del primo con il punto iniziale del secondo un vettore partendo dall'estremità del primo vettore, e poi tracciamo un segmento orientato dal punto iniziale del primo vettore alla punta del secondo vettore otteniamo un nuovo vettore, chiamato vettore somma, o risultante. Per più vettori, si uniscono tutti i vettori con la punta sul primo estremo del vettore successivo.

  • La risultante può essere anche nulla, se il primo estremo del primo vettore e la punta dell'ultimo coincidono.

  • Dati due vettori \( \overrightarrow{a}\) e \( \overrightarrow{b}\), il prodotto scalare si indica con \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) e si definisce prodotto scalare di \( \overrightarrow{a}\) per \( \overrightarrow{b}\):

    \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = ab \cos \alpha \]

    dove \( \alpha \) è l'angolo compreso tra i due vettori, quando si fanno sovrapporre i primi estremi.

  • Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale si indica con \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\), e si definisce prodotto vettoriale di \( \overrightarrow{a}\) per \( \overrightarrow{b}\) il vettore che ha:
    • come modulo il modulo di \( \overrightarrow{a}\) per il modulo di \( \overrightarrow{b}\) moltiplicato il seno dell'angolo compreso: \( ab \sin \alpha \),
    • come direzione quella perpendicolare al piano che contiene entrambi i vettori,
    • come verso quello uscente dal piano che li contiene entrambi.

References

  1. Fig.1. Due strade che si incrociano (https://pixabay.com/photos/path-crossing-junction-direction-1522905/) by Ulrike Leone (https://pixabay.com/users/ulleo-1834854/?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=1522905) is licensed by Pixabay License
  2. Fig.2 - https://unsplash.com/photos/diRzqWT67CA by Chips & Champagner (https://unsplash.com/@chipsundchampagner?9utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText) is licensed by Upslash Licence (https://unsplash.com/license)

Domande frequenti riguardo Vettori

Un vettore è una grandezza rappresentata da una misura della sua quantità, detta modulo, da una direzione e da un verso. Graficamente si usa una freccia per rappresentarla.

La risultante di due vettori \( \overrightarrow{a} \) e \( \overrightarrow{b} \) è un nuovo vettore \( \overrightarrow{s} \), e corrisponde al vettore somma \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \). Occorre innanzitutto avvicinare i due vettori in modo tale da sovrapporre la punta di \( \overrightarrow{a} \) con il punto di applicazione di \( \overrightarrow{b} \). Per definizione, la sua direzione sarà quella del segmento che unisce il punto di applicazione del primo vettore \( \overrightarrow{a} \) alla punta del secondo vettore \( \overrightarrow{b} \). Il verso è quello che va dal punto di applicazione di \( \overrightarrow{a} \) alla punta di \( \overrightarrow{b} \). Per trovare il modulo si usa il teorema del coseno. Il modulo della risultante è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei moduli del primo e del secondo vettore e il doppio prodotto dei moduli dei due vettori per l'angolo tra essi compreso: \[ s = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}\]

Il modulo della risultante \( \overrightarrow{s} \) di due vettori \( \overrightarrow{a} \) e \( \overrightarrow{b} \) è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei moduli del primo e del secondo vettore e il doppio prodotto dei moduli dei due vettori per l'angolo tra essi compreso: \[ s = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}\]

Ogni vettore è caratterizzato univocamente dal suo modulo, dalla sua direzione e dal suo verso. Queste tre caratteristiche fanno in modo che a ogni vettore corrispondano infiniti altri vettori equipollenti, cioè ad esso paralleli, aventi lo stesso verso e la stessa lunghezza.

Il modulo di un vettore è la sua misura, e lo identifica insieme alla sua direzione e al suo verso. Se rappresentiamo un vettore come una freccia, il modulo corrisponde alla lunghezza del segmento orientato. 

Quiz Finale Vettori

Domanda

Che cos'è un vettore?

Visualizza la risposta

Risposta

Un vettore è una grandezza rappresentata da una misura della sua quantità, detta modulo, da una direzione e da un verso. Graficamente si usa una freccia per rappresentarla.


Visualizza la domanda

Domanda

Ad ogni numero corrisponde un vettore?

Visualizza la risposta

Risposta

Falso

Visualizza la domanda

Domanda

Come si rappresenta un vettore?

Visualizza la risposta

Risposta

Con una freccia

Visualizza la domanda

Domanda

Come si chiama un vettore che si ottiene da un altro vettore, muovendone la rappresentazione della freccia e mantenendo la stessa lunghezza, lo stesso orientamento e lo stesso verso?

Visualizza la risposta

Risposta

Vettore equipollente

Visualizza la domanda

Domanda

Quanti vettori equipollenti ha un singolo vettore?

Visualizza la risposta

Risposta

Infiniti

Visualizza la domanda

Domanda

Cosa rende diverso il vettore opposto da un vettore dato?

Visualizza la risposta

Risposta

Il verso

Visualizza la domanda

Domanda

Cos'è il vettore nullo?

Visualizza la risposta

Risposta

Il vettore nullo ha modulo pari a zero.

Visualizza la domanda

Domanda

Cos'è la risultante di due vettori?

Visualizza la risposta

Risposta

La somma

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Domanda

Come si calcola il modulo della risultante \( \overrightarrow{s} \) di due vettori \( \overrightarrow{a} \) e \( \overrightarrow{b} \) ?


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Risposta

\[ s = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}\]

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Domanda

La risultante può essere anche nulla

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Risposta

Vero

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Domanda

Nel prodotto di uno scalare per un vettore la direzione del vettore cambia.

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Risposta

Falso

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Domanda

Se moltiplicare due o più vettori per 0 è la sola combinazione possibile per ottenere una risultante nulla, allora i vettori si chiamano

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Risposta

Linearmente indipendenti

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Domanda

Dati due vettori, il loro prodotto scalare \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) è

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Risposta

\[ab \cos \alpha \]

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Domanda

Dati due vettori \(\overrightarrow{a}\) e \(\overrightarrow{b}\), il prodotto vettoriale si indica con

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Risposta

\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\)

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Domanda

Si definisce prodotto vettoriale di \(\overrightarrow{a}\) per \(\overrightarrow{b}\) il vettore che ha:

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Risposta

  • come modulo il modulo di \( \overrightarrow{a}\) meno il modulo di \( \overrightarrow{b}\) moltiplicato il seno dell'angolo compreso
  • come direzione quella perpendicolare al piano che contiene entrambi i vettori,
  • come verso quello uscente dal piano che li contiene entrambi.

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