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Equazione della retta

Non dare retta a chi ti dice che la retta universitaria non è obbligatoria, o che retta non è participio passato di reggere, o che l'equazione della retta non si può capire...

La retta in geometria analitica è un ente astratto a una dimensione. Di solito si indica con una lettera minuscola: \(r\), \(s\), ecc. La rappresentazione grafica di una retta è una linea con pendenza costante. In altre parole, non ci sono scalini, cambi di direzione, curve, o ripiegamenti. È dritta e basta!

Ogni retta sul piano ha un'equazione lineare a due variabili (\(x\) e \(y\) ) in cui la massima potenza delle incognite è 1.

Esempi di equazioni di rette sono:

\[y=5x, \;\;\; y=x-2, \;\;\; y=x, \;\;\; x+ky-1=0, \;\;\; x-2=\frac{y-1}{3} \]

L'equazione della retta

Ogni retta del piano può essere espressa mediante un’equazione, in cui compaiono delle variabili (\(x\) e \(y\)). Una volta che a \(x\) assegni un valore preciso (puoi scegliere un qualsiasi valore tra \(-\infty\) e \(+\infty\)), l'equazione ti permette di trovare sempre un valore preciso e unico anche per \(y\). Così potresti scrivere infinite coppie numeri che rappresentano tutti i punti della retta stessa.

Un'equazione ti permette anche di scegliere un valore di \(y\) per trovare un valore univoco di \(x\), ma per convenzione di solito la variabile indipendente (cioè quella che si sceglie per prima) è \(x\).

Condizione di appartenenza di un punto ad una retta

Se conosci l'equazione di una retta, e ti viene dato un punto \(P\) di coordinate \((x_P, y_P)\),

  1. se \(P\) giace sulla retta, sostituendo le sue coordinate alle variabili generiche \(x\) e \(y\), allora l’equazione sarà verificata. È vero anche il contrario: se sostituisci le coordinate di un punto in un'equazione, e questa risulta un'identità, puoi affermare che il punto appartiene alla retta.
  2. Diversamente, se \(P\) non appartiene alla retta, sostituendo le sue coordinate nell’equazione, questa sarà falsa.

In termini matematici, un punto appartiene a una retta se e solo se le sue coordinate soddisfano la sua equazione.

Data la retta di equazione \(y=5x\), il punto di coordinate \( (-10,0)\) non appartiene alla retta perché \(0 \neq 5 \cdot (-10)\). Invece, il punto di coordinate \( (2,10)\) giace sulla retta, infatti, sostituendo le sue coordinate nell'equazione, hai: \(10 = 5 \cdot 2\).

La retta \(r\) ha equazione \(y=10x-4\). Qual è la coordinata \(y\) del punto \(P\) sulla retta quando \(x = 14\)?

Poiché conosci il valore di \(x_P\), puoi sostituirlo nell'equazione.

\(y=10 \cdot 14 -4 \Rightarrow y_P=136\)

Pertanto, il punto \(P\) avrà coordinate \((14, 136)\).

È importante fornire la risposta nella forma richiesta dalla domanda. Se ti viene chiesto di fornire le coordinate, assicurati di dare la risposta con una coppia di numeri. Scrivere un numero solo, invece che una coppia, è un errore comune, ma è facile da evitare.

L'equazione di rette particolari: assi, rette orizzontali e verticali, e bisettrici

L'asse delle \(x\) è una retta molto particolare: resta orizzontale, non sale e non scende.

In termini più precisi, la \(y\) non varia, e il suo valore costante è zero per ogni punto dell'asse. Tutti i suoi punti saranno del tipo \( (x,0)\), per esempio \( (-10,0)\), \( (2,0)\), \( (\frac{8}{7},0)\). Alla variabile \(x\) puoi assegnare un qualsiasi numero tra\(-\infty\) e \(+\infty\), scorrendo a sinistra o a destra dall'origine, ma ad \(y\) solo zero.

Proprio perché ogni punto della retta ha ordinata nulla, l'equazione dell'asse delle \(x\) è: \[y=0\]

Con ragionamento simile, una retta parallela all'asse delle \(x\) è sempre orizzontale, con \(y\) costante, anche se non pari a zero. Quindi tutte le rette orizzontali hanno equazione \(y=k\), con k una costante. Al variare di \(k\) troveremo tutte le rette parallele all'asse.

In maniera analoga, puoi dedurre che l'equazione dell'asse delle ordinate \(y\) è \[x=0\] e tutte le rette ad essa parallele hanno equazione \(x=k\), essendo \(k\) una costante. Al variare di \(k\) troveremo tutte le rette parallele all'asse.

Non ti fare confondere dall'apparente contraddizione di avere l'equazione \(x=0\) per l'asse \(y\). Pensa piuttosto a quale valore cambia, e quale resta costante. Se hai la retta di equazione \(x=0\), la \(x\) non può cambiare, perché sarà sempre fissata (e pari a zero). Sulla \(y\) invece non ci sono vincoli, puoi assegnare qualsiasi valore, quindi è una retta che può "salire e scendere", quindi sicuramente non orizzontale.

La prima bisettrice ha la caratteristica che tutti i suoi punti sono del tipo \((1,1)\), \((2,2)\), \((-5,-5)\), cioè le coordinate coincidono. La sua equazione è: \(x=y\).

La seconda bisettrice ha equazione \(y=-x\).

L'equazione della retta in forma esplicita

La forma di equazione più comunemente conosciuta è:

\[y=mx+q\] dove:

  • \(x\) rappresenta il valore della coordinata \(x_P\) di un punto qualsiasi \(P\) sulla retta.
  • \(y\) è il rispettivo valore della coordinata \(y_P\) dello stesso punto \(P\) sulla retta.
  • \(q\) è il valore della coordinata \(y\) quando la retta si interseca con l'asse \(y\) di equazione \(x = 0\). \(q\) prende il nome matematico di intercetta, o anche ordinata all'origine.
  • \(m\) è la pendenza del grafico della retta, e prende il nome di coefficiente angolare della retta.

Si chiama equazione in forma esplicita, perché al primo membro compare sempre e solo la variabile \(y\) in maniera esplicita. Questa forma rende possibile trovare immediatamente la corrispondente coordinata \(y\) di un punto della retta se scegliamo un qualsiasi valore di \(x\).

Ogni retta del piano è univocamente determinata da un coefficiente angolare e un'intercetta.

Se pensiamo al caso particolare di una retta generica e l'asse delle \(y\), abbiamo solo detto che si intersecano in un punto, di cui l'ordinata è l'intercetta \(q\) che appare nell'equazione in forma esplicita. Ma due rette nel piano possono

  1. incontrarsi in un punto solo (le rette saranno incidenti),
  2. avere infiniti punti in comune (le rette saranno coincidenti),
  3. non avere nessun punto in comune (le rette saranno parallele).

Nel secondo e terzo caso, cioè in cui una retta è parallela all'asse delle \(y\), allora l'intercetta non è definita affatto. L'equazione della retta sarà \(x=k\), con \(k\) un valore costante qualsiasi, e non ha una forma esplicita.

L'equazione della retta in forma implicita

L'equazione di una retta sul piano in forma implicita si presenta nella seguente forma: \[ax + by + c = 0 \]

Assegnando un valore preciso ad \(a, b\) e \(c\), si ottiene l'equazione di una particolare retta del piano.

Ad esempio, per \(a=2, b=1, c=-1\), l'equazione sarà \(2x + y - 1 = 0\).

Se l'equazione della retta si trova in forma implicita si può trasformare in forma esplicita mediante passaggi algebrici.

Puoi riscrivere l'equazione della retta in forma implicita \(2x + y - 1 = 0\) in forma esplicita: \(y=-2x +1\).

L'equazione in forma implicita è più generale, ovvero tutte le rette possono essere rappresentate dall'equazione implicita, incluse quelle verticali.

Come tracciare il grafico di una retta

Se ti vengono dati due punti, basta disegnare i punti sul piano e tracciare la sola retta che passa per entrambi.

Equazione della retta Per due punti passa una sola retta StudysmarterFigura 1. Dati due punti, puoi tracciare una sola retta che passa per entrambi

Se ti viene data l'equazione, invece, devi prima ricavare tu i due punti.Il primo punto più veloce da trovare è quello che sta sull'asse delle y. Questo punto avrà coordinate \((0,q)\), dove \(q\) è l'intercetta che trovi nell'equazione in forma esplicita. Ma non sempre è il più pratico.

Per il secondo punto, puoi scegliere un qualsiasi valore di \(x\). Puoi scegliere per esempio, \(x=1\), sostituirlo nell'equazione, e calcolare il valore corrispondente di \(y\).

Disegna il grafico della retta di equazione \(y=x+3\).

Per \(x=0\), \(y=3\), per \(x=1\), \(y=4\). Così hai due punti che puoi facilmente disegnare sul piano cartesiano, e poi tracci la retta che passa per entrambi.

Equazione della retta Retta per due punti StudySmarterFigura 2. Dall'equazione della retta, puoi ricavare due punti e disegnarli, e poi tracciare la retta sul piano, unendo i due punti.

Nell'esempio della figura 1, la retta ha equazione \(y=\frac{8x+19}{5}\). Potresti prendere i due punti \((0,\frac{19}{5})\) e \((1, \frac{27}{5})\) anche se non sono molto semplici da disegnare sul grafico, oppure provare altri valori di \(x\), fino a quando trovi qualche punto che ti viene facile da disegnare, come per \(x=2\) e \(x=-3\).

Equazione della retta passante per un punto

Per disegnare una retta, occorrono due punti. Pensa di avere un punto solo e dover disegnare una retta. E poi chiedi a qualcun altro di farlo. Sicuramente ne sceglierete due diverse.

Equazione della retta Due rette per un punto StudySmarterFigura 3. Dato un solo punto, si possono disegnare più rette a cui appartiene (qui ne vedi due, ma sono infinite)

La realtà è che ci sono infinite rette che passano per un punto, ognuno con una pendenza unica: hanno un coefficiente angolare unico corrispondente a ogni angolo tra \(0 ^{\circ}\) e \(360^{\circ}\).

Equazione della retta Fascio di rette StudysmarterFigura 4. Per un punto passano infinite rette. Queste sono solo alcune: se potessimo disegnarle tutte riempirebbero il piano!

L'insieme di tutte le rette passanti per un punto si chiama fascio di rette proprio. Il punto viene detto centro del fascio.

L'equazione di un fascio di rette con centro \(C\) di coordinate \((x_C,y_C)\) sarà \[y-y_C=m(x-x_C)\]Da questa equazione, puoi capire che il coefficiente angolare \(m\) è un parametro che determina una retta in particolare del fascio. In altre parole, se sostituisci a \(m\) un valore particolare, quindi scegli quale inclinazione deve avere la retta nel grafico, otterrai una sola retta ben precisa.

L'asse delle \(x\) e tutte le rette orizzontali \(y=k\), hanno intercetta \(k\), e coefficiente angolare uguale a zero. Infatti, sono un riferimento per l'inclinazione di tutte le altre rette.Se pensi al fascio di rette proprio con centro l'origine, man mano che le rette si staccano dall'asse delle \(x\) in senso antiorario, si inclinano con una certa pendenza crescente da \(0\) a \(+\infty\). Arrivate a \(90^{\circ}\), cambia qualcosa: è come se si abbassassero di nuovo, fino a coincidere con l'asse delle \(x\). Nel secondo quadrante, da \(90^{\circ}\) a \(180^{\circ}\), il coefficiente angolare assume valori negativi da \(-\infty\) a \(0\).

Al punto critico di \(90^{\circ}\), si ha l'asse delle \(y\), che come tutte le rette verticali ha coefficiente angolare indeterminato.

La formula \[y-y_P=m(x-x_P)\] è utilissima per risolvere tanti esercizi in cui conosci o puoi ricavare un punto \(P\) della retta (che puoi considerare il centro del fascio di rette) e il suo coefficiente angolare \(m\).

Equazione della retta passante per due punti

Se ti vengono dati due punti e devi trovare l’equazione della retta passante per essi, puoi usare l’equazione esplicita due volte, sostituendo ogni volta alle variabili \(x\) e \(y\) le coordinate dei punti dati. E poi risolverle a sistema.

Trova l'equazione della retta tra i punti \((-1, 2)\) e \((0, 8)\).

Usa l'equazione \(y-y_P=m(x-x_P)\), sostituendo a \((x_P,y_P)\) le coordinate \((-1, 2)\) e \((0, 8)\):

\begin{cases}2=m(-1)+q\\8=m(0)+q\end{cases}

\begin{cases}2=-m+q\\8=q \end{cases}

Sostituendo \(8=q\) nella prima equazione di primo grado in \(m\), trovi \(m\):

\(2=-m+8 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m=8-2=6\)

Adesso devi scegliere uno dei due punti, e sostituire le sue coordinate e il coefficiente angolare trovato nell'equazione \(y-y_P=m(x-x_P)\). Se scegli il punto di coordinate \((0, 8)\), è più semplice, per via dello zero:

\(y-8=6(x-0) \; \; \; \Rightarrow \; \; \; y=6x+8\)

La risposta è \(y=6x+8\).

Un secondo approccio è il seguente, usando la formula per trovare il coefficiente angolare: \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) :

Trova l'equazione della retta tra i punti \((-1, 2)\) e \((0, 8)\) nella forma \(y=mx+q\).

Il coefficiente angolare di una retta, dati due punti su di essa, può essere trovato usando la formula

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Sostituendo le coordinate dei punti \((x_1,y_1)= (-1, 2)\) e \((x_2,y_2) = (0, 8)\) nella formula, ottieni:

\(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-2}{0-(-1)}=\frac{6}{1}\)

Adesso puoi di nuovo utilizzare l’equazione generica di una retta: \(y-y_P=m(x-x_P)\), dove \((x_P,y_P)\) sono le coordinate di un qualsiasi punto \(P\) della retta.

Stavolta prova a sostituire le coordinate \((-1, 2)\) nell’espressione precedente. Otterrai l'equazione: \(y-2=6(x-(-1))\), quindi \(y-2=6(x+1)\), da cui isolando la \(y\), \(y=6x+8\).

In questo caso specifico, puoi anche notare che la prima coordinata del punto \(P = (0, 8)\) è zero. Questo vuol dire che si trova sull'asse \(y\), e che l'ordinata di \(P\) è l’intercetta \(q\) dell'equazione. Quindi conoscendo \(m\) e \(q\), puoi scrivere direttamente l'equazione: \(y=6x+8\).

Un altro metodo ancora è utilizzare una formula apposita, in cui basta sostituire le coordinate nell’equazione:

\[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]

Nel nostro caso,\[\begin{align} &\phantom{\Rightarrow} &\frac{y-2}{8-2} & =\frac{x-(-1)}{0-(-1)} \\& \Rightarrow &\frac{y-2}{6} & = \frac{x+1}{1} \\&\Rightarrow & y-2 &= 6(x+1) \\&\Rightarrow & y-2 &= 6x+6 \\&\Rightarrow & y&= 6x+6 +2 \\&\Rightarrow & y&= 6x+8\end{align} \]

Equazione della retta parallela a una retta data

Se due rette sono parallele, avranno la stessa pendenza o inclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare nell'equazione. Se \(m_1\) ed \(m_2\) sono i coefficienti angolari di due rette parallele:

\[m_1 = m_2\]

Se hai una retta, puoi trovarne infinite altre che saranno a essa parallele. Ma se scegli un punto in particolare (non appartenete alla retta data), allora ce ne sarà una sola passante per quel punto e parallela alla retta.

L'insieme di tutte le rette parallele a una data si chiama fascio di rette parallele.

L'equazione del fascio rappresenterà tutte queste rette. Pensa: se il coefficiente è uguale per tutte le rette, cosa le distinguerà? L'intercetta (a meno che non siano tutte rette parallele all'asse delle ordinate, per cui l'intercetta non è definita).

L'equazione del fascio di rette con coefficiente angolare \(\overline{m}\) è:

\[y=\overline{m} x+q \] \(q\) è un parametro variabile, cioè ad ogni valore che scegli, corrisponderà una retta particolare del fascio.

Scrivi l'equazione del fascio di rette alla retta \(r\): \(y=6x+8\).

Il coefficiente angolare di questa retta è \( \overline{m}=6 \).

Il fascio di rette avrà questo stesso coefficiente angolare e intercetta variabile, quindi l'equazione è: \[y=6x+q\]

Per \(q=8\) si ottiene la retta originale \(r\) che ha generato il fascio.

Ad ogni altro valore di \(q\) corrisponderà una retta particolare del fascio, parallela ad \(r\). Ad esempio, per \(q=0\) si ottiene la retta di equazione \(y=6x\), per \(q=-\sqrt2\) si ottiene la retta di equazione \(y=6x-\sqrt2\).

Se ti viene dato un punto \(P\), puoi trovare prima il fascio di rette e poi sostituire nell'equazione del fascio le coordinate di \(P\), \((x_P,y_P)\), per trovare \(q\).

Supponiamo che ti era stato chiesto di trovare la retta parallela alla retta di equazione \(y=6x+8\) passante per il punto \(P\) di coordinate \((-1,8)\).

Abbiamo trovato che il fascio di rette avrà equazione: \[y=6x+q\]

Sostituisci i valori delle coordinate di \(P\):

\[8=6(-1)+q\]

e ricava il valore di \(q\):

\[q=6(-1)-8=-14\]

Quindi la retta richiesta ha equazione \(y=6x-14\).

Potrebbe capitarti che la retta data non sia in forma esplicita. In tal caso dovrai prima ricavare il valore del coefficiente angolare.

Trova la retta parallela alla retta di equazione \(x+2y-\frac{3}{4}=0\) passante per l'origine.

Per trovare il coefficiente angolare di questa retta puoi esplicitare la \(y\):

\(\begin{equation*} \begin{split}x+2y-\frac{3}{4}&=0\\\Rightarrow \; \; \; \; \; 2y&=-x+\frac{3}{4}\\\Rightarrow \; \; \; \; \; \; \;y&=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}\end{split}\end{equation*}\)

Il coefficiente angolare di questa retta è \( \overline{m}=-\frac{1}{2} \).

Il fascio di rette avrà equazione: \(y=-\frac{1}{2}x +q\).

Se una retta passa per l'origine, la sua intercetta sarà proprio \(0\) per definizione, quindi la retta richiesta ha equazione \(y=-\frac{1}{2}x\).

Trovare il coefficiente angolare di una retta

Se l'equazione della retta è già in forma esplicita, quindi al primo membro appare solo la variabile \(y\) e al secondo membro il termine in \(x\) e il termine noto: \( y = mx + q\), allora il coefficiente angolare (o pendenza) della retta è proprio il coefficiente della variabile \(x\).

Se l'equazione della retta si trova in forma implicita \( ax + by + c = 0 \), basta trasformarla in forma esplicita mediante passaggi algebrici. Il coefficiente angolare sarà dato da \(-\frac{a}{b}\).

\(-\frac{a}{b}\) non è definito per \(b=0\), che è il caso delle rette verticali, parallele all'asse \(y\), di equazione \(x=k\), con \(k\) costante. Tutte queste rette hanno coefficiente angolare non definito.

Se, invece conosci due punti qualsiasi della retta, \(P_1\) di coordinate \((x_1,y_1)\) e \(P_2\) di coordinate \((x_2,y_2)\), puoi trovare il coefficiente angolare \(m\) usando la formula:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Non ti dovrebbe sorprendere che bastano due punti per trovare una pendenza: due punti individuano una sola retta!

Trovare il coefficiente angolare di una retta tramite il suo grafico

In casi semplici, un altro metodo per calcolare il coefficiente angolare è quello di utilizzare il grafico, a patto di farlo bene!

  1. Disegna i due punti sul piano cartesiano e uniscili.
  2. Disegna il triangolo rettangolo sottostante la retta di vertici \(A\), \(C\) e \(B = (x_C, y_A)\) (o \(B = (x_A, y_C)\) se la retta ha coefficiente angolare negativo).
  3. Vedi dal grafico a quanto corrisponde l'incremento di \(y\) (cioè di quanto si è alzato la retta tra i punti \(A\) e \(C\) e dividilo per l'incremento di \(x\) (cioè di quanto ci si è spostati in avanti tra i punti \(A\) e \(C\).

È più facile da capire se guardi il grafico dell’esempio:

Equazione della retta Coefficiente angolare grafico StudySmarter Figura 5. Nel triangolo \(t_1\) l'incremento delle \(y\), la distanza tra \(B_1\) e \(C_1\) è \(6-4=2\) (puoi anche contare i quadratini), l'incremento delle \(x\) è \(3\). Il coefficiente angolare della retta \(r\) allora sarà \(m=\frac{2}{3}\).

Prova a calcolare il coefficiente angolare della retta \(s\).

Rette parallele e perpendicolari

I coefficienti \(m_1\) ed \(m_2\) di due rette parallele, abbiamo visto, coincidono.

Se in un esercizio ti viene data l'equazione di una retta \(r\), da cui puoi ricavare il coefficiente angolare, e ti viene chiesto di trovare il coefficiente angolare di una retta \(s\) ad essa parallela, basta usare lo stesso coefficiente angolare di \(r\).

Il coefficiente angolare \(m_1\) di una retta ed \(m_2\) di una retta a essa perpendicolare sono uno il reciproco dell'opposto dell'altro. Quindi,

\[m_1=-\frac{1}{m_2}\]

o ciò che è lo stesso:

\[m_1 \cdot m_2=-1\]

Trova il coefficiente angolare della retta passante per il punto \(P\) \((2,-5)\) e perpendicolare alla retta di equazione \(y=-3x+4\).

Puoi trovare subito il coefficiente angolare della retta richiesta: \(m=\frac{1}{3}\). Utilizzando la formula \(y - y_P = m(x-x_P)\), la retta avrà equazione \( y-(-5) = \frac{1}{3} (x-2)\).

Equazione della retta tangente a una curva in un punto

La retta tangente a una curva è una retta che la interseca in un solo punto. Dato un punto sulla curva, la retta tangente è quella passa per quel punto e tocca la curva solamente in quel punto.

Dato un punto qualsiasi e una curva, il punto può essere

  1. appartenente alla curva e alla retta, allora la retta tangente sarà unica,
  2. esterno alla curva, allora ci saranno due rette tangenti.

Dal punto di vista matematico, una retta tangente interseca la curva in due punti coincidenti. Come sappiamo, per trovare l'equazione di una retta, un punto non basta: ti servono due punti, o informazioni sul coefficiente angolare e/o l'intercetta. Anche se apparentemente il punto in comune alla curva e alla retta è unico, puoi pensare che sono due punti coincidenti, quindi abbiamo informazioni sufficienti per trovare l'equazione senza altre informazioni sul coefficiente angolare o sull'intercetta.

Vediamo un esempio di un punto esterno alla curva:

Data la parabola di equazione \(y=x^2-3x+5\), trova le equazioni delle rette tangenti alla curva che passano per il punto \(P\) di coordinate \((1,2)\).

Vediamo subito che \(P\) non appartiene alla curva. Infatti, sostituendo le sue coordinate abbiamo\(2=1^2-3(1)+5 \Rightarrow 2=3\), che non è un'identità. Ci aspettiamo quindi due rette tangenti.

Equazione della retta Rette tangenti a una parabola StudySmarterFigura 6. Vogliamo trovare le equazioni delle due rette tangenti alla parabola passanti per il punto \(P\).

Se prima consideri tutte le rette per \(P\), quindi il fascio di rette \(y-y_P=m(x-x_P)\), l'incognita è il coefficiente angolare \(m\) delle rette tangenti alla curva. Avendo le coordinate di un punto appartenente a entrambi le rette, se trovi anche i due coefficienti angolari, puoi individuare inequivocabilmente le due rette.

Il primo passo è sostituire i valori delle coordinate di \(P\) nell'equazione generica del fascio:

\(y-2=m(x-1) \; \; \; \Rightarrow \; \; \; y=mx + (2-m)\)

I punti di tangenza sono punti appartenenti sia alla retta che alla curva. L'idea è quindi mettere le due equazioni a sistema.

Se conoscessimo il valore di \(m\), il sistema tra la curva e ciascuna retta dovrebbe ammettere una sola soluzione, o meglio due soluzioni coincidenti. E questo perché le rette tangenti devono toccare la curva in un solo punto.

Ma ancora non conosciamo \(m\). Dobbiamo determinare i due valori in modo che, se li sostituiamo nel fascio, otterremo rispettivamente due sistemi con due soluzioni coincidenti.

\( \begin{cases}y=mx+2-m\\y=x^2-3x+5\end{cases} \)

Uguagliando i secondi membri,

\(mx+2-m=x^2-3x+5\)

\( \Rightarrow x^2-3x+5-mx-2+m=0\)

\( \Rightarrow x^2-(3+m)x+3+m=0\)

Hai un'equazione di secondo grado, che avrà due soluzioni coincidenti per \(\Delta=0\).

\( \Delta = (3+m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3+m) = 9 + m^2 + 6m - 12 - 4m = m^2 + 2m - 3 \)

Devi porre questa nuova equazione uguale a zero:

\(m^2 +2m -3 =0\)

e trovare i valori di \(m\).

Anche qui, trattandosi di un'equazione di secondo grado, puoi avere due soluzioni distinte, coincidenti o nessuna. Se sono distinte, avremo trovato che ci sono due rette passanti per \(P\) che sono tangenti alla curva in due punti diversi. Se sono coincidenti vorrà dire che il punto \(P\) appartiene alla curva e ci sarà una sola retta tangente.

A calcoli fatti, \(m_1=1 \) ed \(m_2 = -3\)

Finalmente puoi scrivere le equazioni delle rette tangenti sostituendo i valori trovati nel fascio di rette:

  1. \(y=(1)x+2-(1) \Rightarrow y=x+1\)
  2. \(y=(-3)x+2-(-3) \Rightarrow y=-3x+5\)

In sintesi ti serve seguire i seguenti passi:

  1. Metti a sistema l'equazione della curva e il fascio di rette per il punto dato. Troverai così una nuova equazione di secondo grado nell'incognita \(m\), il coefficiente angolare delle rette del fascio.
  2. Trova il determinante di questa nuova equazione in \(m\).
  3. Poni il determinante uguale a \(0\), e potrai determinare \(m\).
  4. Sostituisci \(m\) nel fascio di rette.

Equazione della retta - Punti chiave

    • La retta è un ente astratto a una dimensione, solitamente indicata con una lettera minuscola: \(r\), \(s\), ecc.
    • Ogni retta del piano può essere sempre espressa mediante un’equazione, in cui la massima potenza dell’incognita è 1.
    • La forma esplicita dell'equazione di una retta è: \(y=mx+q\ dove coppie di numeri \(x\) e \(y\) rappresentano tutti i punti sulla retta, \(q\) è il valore della coordinata \(y\) quando la retta si interseca con l'asse \(y\), ed \(m\) è la pendenza del grafico della retta.
    • \(q\) prende il nome matematico di intercetta, o anche ordinata all'origine ed \(m\) prende il nome di coefficiente angolare della retta.
    • Ogni equazione di una retta è univocamente determinata da un coefficiente angolare e un'intercetta.
    • I coefficienti angolari di due rette parallele sono coincidenti. Se le rette sono perpendicolari, i loro coefficienti angolari saranno reciproci.
    • L'equazione di una retta passante per due punti si può trovare mediante la formula: \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\).
    • L'insieme di tutte le rette passanti per un punto si chiama fascio di rette proprio.
    • L'insieme di tutte le rette parallele a una data, si chiama fascio di rette parallele.
    • Mettendo a sistema l'equazione di una curva e un fascio di rette proprio per un punto dato, troverai una nuova equazione di secondo grado nell'incognita \(m\), il coefficiente angolare delle rette del fascio. Ponendo il determinante uguale a \(0\), troverai i coefficienti angolari delle rette (distinte o coincidenti) passanti per il punto dato e tangenti alla curva.

Domande frequenti riguardo Equazione della retta

Una maniera molto diretta per trovare la retta passante per due punti \(P_1\) di coordinate \((x_1,y_1)\) e \(P_2\) di coordinate \((x_2,y_2)\), è usare la seguente formula 

\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\), in cui basta sostituire le coordinate dei punti \(P_1\) e \(P_2\).

Se sono noti il coefficiente angolare \(m\) e l'intercetta \(q\) della retta, basta scrivere \(y=mx+q\). Se sono noti due punti \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\) della retta, l'equazione si può scrivere \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\). Se sono noti un punto \((x_1,y_1)\) e il coefficiente angolare \(m\) della retta, la sua equazione è: \( y-y_1 = m(x-x_1) \).

L'equazione di una retta sul piano in forma implicita si presenta nella seguente forma: \( ax + by + c = 0 \). Assegnando un valore preciso ad \(a, b\) e \(c\), si ottiene l'equazione di una particolare retta del piano. Ad esempio, per \(a=2, b=1, c=-1\), l'equazione sarà \(2x + y - 1 = 0\).

Se l'equazione della retta è già in forma esplicita, quindi nella forma \( y = mx + q\), allora il coefficiente angolare (o pendenza) della retta è proprio il coefficiente della variabile \(x\). Se l'equazione della retta si trova in forma implicita \( ax + by + c = 0 \), il coefficiente angolare sarà dato da \(-\frac{a}{b}\).

Il coefficiente angolare di una retta, solitamente indicata con la lettera \(m\) è un valore numerico che appare nella sua equazione \(y=mx+q\). Corrisponde alla pendenza del grafico rispetto all'asse \(x\). Dati due punti della retta \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\), il coefficiente angolare corrisponde a \( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \).

Quiz Finale Equazione della retta

Domanda

La forma esplicita dell’equazione di una retta è

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Risposta

\(y=mx+q\)

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Domanda

Nella forma esplicita dell’equazione di una retta \(y=mx+q\), il coefficiente angolare è rappresentato da

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Risposta

\(m\)

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Domanda

Il coefficiente angolare è uno l'antireciproco dell'altro per due rette

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Risposta

Perpendicolari

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Domanda

Il coefficiente angolare di una retta ci indica

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Risposta

quanto è inclinata rispetto all’asse delle x

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Domanda

Quanti punti servono per determinare una e una sola retta?

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Risposta

Una

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Domanda

Le rette di un fascio di rette parallele hanno

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Risposta

lo stesso coefficiente angolare

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Domanda

La formula per una retta per due punti è

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Risposta

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

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Domanda

Scrivi l'equazione della retta passante per l’origine e avente coefficiente angolare 2:

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Risposta

\(y-0=2(x-0)\), cioè \(y=2x\)

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Domanda

Le rette \(y=3x+1\) e \(y=3x-\frac{7}{2}\) sono

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Risposta

parallele

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Domanda

Il punto di ascissa 1 (\(x=1\)) della retta \(y=3x+7\) avrà ordinata \(y\) pari a

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Risposta

10

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Domanda

Nella prima bisettrice (\(x=y\)), qual è l’intercetta?

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Risposta

L’origine

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Domanda

Quale di queste equazioni non è l’equazione di una retta?

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Risposta

\(x^2+3y+4=0\)

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Domanda

Nella retta di equazione \(2x-y-6=0\) qual è l'intercetta?


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Risposta

2

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