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Trigonometria

Immagina di essere nell'isola greca di Samo, circa duemilatrecento anni fa, e di avere una passione per l'astronomia. Un giorno ti metti in testa di calcolare le proporzioni tra distanza Terra-Sole e distanza Terra-Luna. Osservi attentamente le misure di un angolo, disegni dei triangoli, e infine con qualche calcolo hai risolto: la distanza Terra-Luna è un ventesimo della distanza tra Luna e Sole. Se ti sembra impossibile, è perché non hai studiato la trigonometria come Aristarco da Samo!

Trigonometria Calcolo distanze terra luna Aristarco StudysmarterFig. 1. Ragionamento di Aristarco.

Aristarco si rese conto che nella fase in cui la Luna è in quadratura, illuminata esattamente a metà, l'angolo tra Terra-Luna-Sole è precisamente di 90°. Misurò l'angolo Luna-Terra-Sole, stimandolo in 87°, e da questo passò alle proporzioni tra i due cateti: le distanze Terra-Luna e Luna-Sole.

Oggi che abbiamo strumenti più sofisticati sappiamo che Aristarco sbagliò a misurare l'angolo, che è di circa due gradi maggiore. Considerando che fece una stima a occhio nudo, è comunque un ottimo risultato! Il ragionamento sui triangoli è perfettamente valido: inserendo il valore giusto dell'angolo, la distanza tra Luna e Sole risulta 400 volte quella tra Terra e Luna, che è il risultato corretto.

Da più di duemila anni, l'obiettivo della trigonometria è quello di risolvere triangoli, ovvero di calcolarne i lati e gli angoli non noti. Le applicazioni pratiche sono tantissime: senza trigonometria non potremmo fare rilievi e disegnare mappe. Tutto sommato, gli strumenti che usa sono pochi: qualche teorema, ragionamenti geometrici, e alcune funzioni goniometriche come seno, coseno, e tangente.

Coseno e seno

In goniometria hai visto la definizione di seno e coseno di un angolo orientato. Per applicare le formule trigonometriche è fondamentale sapere i valori di coseni, seni e tangenti degli angoli di un triangolo: conviene quindi ripassare i valori più importanti prima di continuare.

Angolo in gradiAngolo in radiantiSenoCosenoTangente

\[ 30^{\circ} \]

\[ \frac{\pi}{6} \]

\[ \frac{1}{2} \]

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ 45^{\circ} \]

\[ \frac{\pi}{4} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ 1 \]

\[ 60^{\circ} \]

\[ \frac{\pi}{3} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \frac{1}{2} \]

\[ \sqrt{3} \]

\[ 90^{\circ} \]

\[ \frac{\pi}{2} \]

\[ 1 \]

\[ 0 \]

Non esiste!

\[ 120^{\circ} \]

\[ \frac{2\pi}{3} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ -\frac{1}{2} \]

\[- \sqrt{3} \]

\[ 135^{\circ} \]

\[ \frac{3\pi}{4} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ -1 \]

\[ 150^{\circ} \]

\[ \frac{5\pi}{6} \]

\[ \frac{1}{2} \]

\[- \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[- \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Tabella 1. Funzioni goniometriche di angoli noti.

Nota che nella tabella compaiono solo angoli compresi tra 0° e 180°: questa è una conseguenza del fatto di lavorare sui triangoli, invece che sugli angoli. In un triangolo gli angoli sono per forza compresi tra 0° e 180°!

Osserva la tabella e nota alcune caratteristiche dei valori:

  • Il seno è sempre positivo, perché gli angoli sono compresi tra 0° e 180°.
  • Il coseno è positivo nel caso di angoli acuti; è negativo per gli angoli ottusi. Fai attenzione a ricordarti anche il segno, altrimenti gli esercizi risulteranno sbagliati!
  • Come il coseno, la tangente è positiva per angoli acuti e negativa per ottusi: ricorda di considerare anche il segno. La tangente dell'angolo di 90° non esiste.

Trigonometria: triangolo rettangolo

Risolvere un triangolo rettangolo significa avere alcuni valori di lati e angoli, e doverne trovare altri. Naturalmente bisogna assicurarsi di avere una quantità sufficiente di dati: conoscendo un solo cateto, ad esempio, non è possibile determinare il resto del triangolo!

Come prima cosa è bene rappresentare il triangolo. La convenzione è che \(\alpha\) è l'angolo nel vertice \(A\), ed è opposto al lato \(a\), \(\beta\) l'angolo in \(B\) opposto al lato \(b\) e \(\gamma\) l'angolo in \(C\) opposto al lato \(c\). Ricorda che il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa.

I vertici si numerano in senso antiorario. In questo articolo, \(\alpha\) sarà sempre l'angolo retto. Non è sempre così: quando confronti due formulari, ricordati di controllare sempre quale lettera viene usata per l'angolo retto, o rischi di confondere le formule!

Trigonometria Triangolo rettangolo StudysmarterFig. 2. Triangolo rettangolo etichettato correttamente

Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna trovarsi in uno dei seguenti casi:

  1. sono dati i due cateti;
  2. sono dati l'ipotenusa e un cateto;
  3. sono dati un cateto e un angolo acuto;
  4. sono dati l'ipotenusa e un angolo acuto.

Un altro punto fondamentale è capire sempre qual è il cateto adiacente all'angolo considerato e quale è opposto. Puoi ragionare sui termini: adiacente significa "che giace vicino", mentre opposto indica l'elemento "di fronte". Non è possibile parlare di cateto adiacente senza indicare a quale angolo acuto è adiacente: ogni cateto è adiacente a un angolo e opposto all'altro!

Trigonometria cateto adiacente e opposto StudysmarterFig. 3. Triangolo in cui è specificato quale cateto è adiacente e quale opposto a ogni angolo.

Quando si definiscono seno e coseno sulla circonferenza unitaria, si fanno delle considerazioni su un piccolo triangolo rettangolo in cui l'ipotenusa vale 1. Vedi anche l'articolo su goniometria e trigonometria! In un triangolo rettangolo generico, in cui l'ipotenusa non ha necessariamente valore 1, ci sono delle relazioni più generali che esprimono il legame molto stretto tra i lati e seno, coseno e tangente degli angoli acuti \(\beta\) e \(\gamma\):

Per \(\beta\) si ha

\[ \tan \beta = \frac{b}{c} \;\;\; \sin \beta = \frac{b}{a} \;\;\; \cos \beta = \frac{c}{a} \tag{1}\] e, per \(\gamma\) \[\tan \gamma = \frac{c}{b} \;\;\; \sin \gamma = \frac{c}{a} \;\;\; \cos \gamma = \frac{b}{a} \tag{2}\]

Queste relazioni sono fondamentali nella trigonometria!

1. Risolvere un triangolo rettangolo noti i cateti.

In questo caso puoi calcolare gli elementi mancanti nel modo seguente:

  • L'ipotenusa si calcola col teorema di Pitagora: \[a= \sqrt{b^2 +c^2}\]
  • L'angolo \(\beta\) si può calcolare a partire dalla sua tangente, oppure dal seno o dal coseno \[\tan \beta = \frac{b}{c} \;\;\; \sin \beta = \frac{b}{a} \;\;\; \cos \beta = \frac{c}{a}\]
  • A questo punto l'angolo \(\gamma\) è il complementare di \(\beta\): \[\gamma = 90°-\beta\]

Per trovare un angolo a partire da una funzione goniometrica, come prima cosa cerca se il valore è tra quelli notevoli. Ad esempio, se la tangente vale \(\sqrt{3}\) l'angolo è di 60°. In alternativa puoi usare una calcolatrice scientifica sfruttando i tasti \(\tan^{-1}, \, \sin^{-1}, \, \cos^{-1}\).

2. Risolvere un triangolo rettangolo nota l'ipotenusa e un cateto.

Chiamiamo \(a\) l'ipotenusa e \(b\) il cateto noto. Procedi in questo modo:

  • Trova il cateto mancante con il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2}\]
  • Calcola l'angolo \(\beta\) come nel caso precedente.
  • Calcola l'angolo \(\gamma\) come nel caso precedente.

3. Risolvere un triangolo rettangolo noti un cateto e un angolo acuto.

Chiamiamo \(\beta\) l'angolo di cui conosciamo il valore.

  • L'angolo \(\gamma\) si trova come nei casi precedenti: \(\gamma = 90° - \beta\)

In questo caso i procedimenti sono diversi a seconda che il cateto noto sia opposto o adiacente all'angolo.

3.a. Noto il cateto opposto

Trigonometria Triangolo rettangolo dati un angolo e il cateto opposto Studysmarter Fig. 4. Triangolo rettangolo in cui sono evidenziati un angolo e il cateto opposto.

Il cateto opposto, seguendo l'etichettatura che abbiamo visto sopra, si indica con la lettera \(b\).

  • Il cateto \(c\) si trova come \[c = \frac{b}{\tan \beta} \]
  • L'ipotenusa si trova come \[a= \frac{b}{\sin \beta}\]

3.b. Noto il cateto adiacente

Trigonometria Triangolo rettangolo dati un angolo e il cateto adiacente StudysmarterFig. 5. Triangolo rettangolo in cui sono evidenziati un angolo e il cateto adiacente.

In questo caso, seguendo le convenzioni, il lato noto è \(c\).

  • Il cateto mancante \(b\) si trova come \[b=c \tan \beta\]
  • L'ipotenusa \(a\) si trova come \[ a =\frac{c}{\cos \beta}\]

4. Risolvere un triangolo rettangolo noti l'ipotenusa e un angolo acuto

Come nei casi precedenti, chiamiamo \(\beta\) l'angolo noto.

  • L'angolo \(\gamma\) si trova sempre come \(90°-\beta\).
  • Il lato \(b\) opposto all'angolo noto si trova come \(b = a \sin \beta\)
  • Il lato \(c\) adiacente all'angolo noto si trova come \(c = a \cos \beta\).

Se c'è un dato in più, non c'è problema: anzi, puoi scegliere di fare i calcoli con una formula piuttosto che con l'altra! In uno qualsiasi di questi casi, puoi calcolare tutti gli altri lati e angoli del triangolo. In altri casi, ad esempio se conosci solo i due angoli, non hai dati sufficienti e il problema non si può risolvere.

Due figure possono avere gli stessi angoli, ma lati di lunghezze diverse. Ne vedi un esempio nella figura sotto: ci sono due triangoli rettangoli con angoli di 45°, 45° e 90°, ma i lati dei due triangoli hanno lunghezze diverse. Ecco perché conoscere gli angoli non è sufficiente per determinare la figura: ti serve almeno un lato!

Quando due triangoli, o più in generale, due figure hanno gli angoli corrispondenti uguali, si dice che sono simili. Il concetto di similitudine è fondamentale in geometria!

Triangoli simili StudysmarterFig. 4. Triangoli simili

Risolvere il triangolo rettangolo con cateti di misura \(\sqrt{3}\) e \(1\).

Come prima cosa, nota che sei nel primo caso: assegna dei nomi ai cateti, ad esempio \(b = \sqrt{3}\) e \(c=1\). Ora devi trovare l'ipotenusa e i due angoli. Cominciando dall'ipotenusa, hai:

\[a=\sqrt{b^2 +c^2} = \sqrt{ \sqrt{3}^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\]

L'angolo \(\beta\) è quello opposto a \(b\): ha come tangente

\[\tan \beta = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\]

Come puoi verificare nella tabella degli angoli notevoli, questo è il valore dell'angolo di \(\frac{\pi}{3}\) . Questo significa che il secondo angolo misura \(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\).

Risolvi il triangolo rettangolo che ha l'ipotenusa di 5 cm e un angolo di 43°.

Qui sei nell'ultimo caso: devi calcolare le misure dei due cateti \(b, c\) e dell'altro angolo acuto. Chiamiamo \(\beta\) l'angolo di 43° noto.

Puoi cominciare dall'altro angolo \(\gamma =90°-43°=47°\).

Ora, il cateto adiacente all'angolo \(\beta\) si troverà moltiplicando l'ipotenusa \(a\) per il coseno di \(\beta\). Per calcolare il coseno usa una calcolatrice scientifica: approssimando ai millesimi, otterrai \(\cos 43° = 0,731\).

\[ c= a \cdot \cos \beta = 5 \cdot 0,731 =3,657 cm\]

Il cateto opposto all'angolo \(\beta\) si trova moltiplicando l'ipotenusa per il seno di \(\beta\):

\[b = a \cdot \sin \beta = 5 \cdot 0,682 = 3,410 cm\]

Fai attenzione a impostare la calcolatrice con l'unità di misura che ti serve. Se hai gli angoli in radianti, nella calcolatrice dovresti vedere la scritta RAD, mentre per lavorare con i gradi devi avere DEG. Solitamente c'è un unico tasto da premere per passare da un'unità all'altra. Attenzione ad evitare GRAD: questo indica generalmente i gradi centesimali, un'unità di misura che non si usa mai in matematica!

Trigonometria: triangoli qualunque

Non tutti i triangoli sono rettangoli, purtroppo: è necessario quindi trovare formule generali, che permettano di trovare i lati e gli angoli non noti in qualunque tipo di triangolo. Un'idea è "riciclare" i ragionamenti fatti sul triangolo rettangolo: puoi farlo se disegni un'altezza. Ora il triangolo risulta diviso in due triangoli rettangoli. Nel triangolo dell'illustrazione puoi vedere l'altezza \(\overline{CH}\) relativa al lato \(c\).

Trigonometria Triangolo qualunque Teorema delle proiezioni StudysmarterFig. 5. Triangolo qualunque con altezza relativa al lato c.

Il punto \(H\) divide il lato in due segmenti, \(\overline{AH}\) e \(\overline{HB}\): la loro somma dà \(c\):

\[\overline{AH} + \overline{HB}=c\]

Considera \(AHC\): è un triangolo rettangolo, quindi applicando le formule che hai visto nella sezione precedente puoi trovare \(\overline{AH}\). Si tratta del cateto adiacente all'angolo \(\alpha\): la sua misura quindi è

\[\overline{AH} = b \cos \alpha \] In modo analogo puoi trovare che

\[\overline{HB} = a \cos \beta\]

Mettendo assieme queste ultime tre equazioni, trovi che

\[b \cos \alpha + a \cos \beta =c\]

Questo risultato vale anche se cambi lato: si chiama teorema delle proiezioni e prevede tre versioni per i lati \(a, b, c\).

\[b \cos \alpha + a \cos \beta =c, \phantom{spa} a \cos \gamma + c \cos \alpha = b, \phantom{spa} b \cos \gamma + c \cos \beta =a \]

C'è un altro ragionamento che puoi fare sul triangolo in figura 4. L'area di questo triangolo si trova con la solita formula "base per altezza diviso due", che in questo caso diventa

\[ A_{\triangle} = \frac{c \cdot h}{2}\]

Ora, considerando il triangolo rettangolo \(AHC\), puoi notare come l'altezza \(h\) si possa trovare di nuovo con le formule trigonometriche dei triangoli rettangoli: è uguale a \(b \sin \alpha\)! Sostituendo questo valore di \(h\) nella formula, puoi trovare l'area come

\[ A_{\triangle} = \frac{c \cdot b \sin \alpha}{2}\]

Anche questa è una formula generale: puoi applicarla ogni volta che conosci le lunghezze di due lati e l'angolo compreso.

Se applichi questa formula in un triangolo rettangolo in cui \(\alpha\) è l'angolo di \(90°\), gli altri due lati che compaiono nella formula sono i cateti: dato che il seno di \(90°\) vale 1, la formula si riconduce a

\[ \begin{align}A_{\triangle} = \frac{c \cdot b \sin \alpha}{2} &=\\ \frac{c \cdot b \cdot 1}{2} &= \frac{c \cdot b }{2}\end{align}\]

Altri risultati importanti sui triangoli qualunque sono il teorema dei seni e il teorema del coseno, che vedrai in modo più approfondito con un altro articolo.

Esercizi di trigonometria

Per affrontare gli esercizi di trigonometria è importante scriverti le formule principali su un formulario e tenerlo sottomano. Le formule sono tante e memorizzarle tutte è complicato: se le rileggi mano a mano che fai esercizi diventa più semplice ricordarle! Altro punto importante è fare sempre attenzione alla lettura del testo per capire se gli angoli vanno calcolati in gradi o in radianti, con quale precisione approssimare i risultati, e l'unità di misura per i lati (metri, centimetri, etc)

Trova l'area del triangolo di cui sono noti due lati, di 12 cm e 15 cm, e l'angolo compreso che misura 70°.

Trigonometria triangolo in cui sono noti due lati e angolo compreso Studysmarter

Fig. 6. Triangolo in cui sono noti due lati e l'angolo compreso

Dato che hai due lati e l'angolo compreso, conviene usare la formula dell'area appena vista: basta calcolare il seno di 70°. Con una calcolatrice scientifica trovi \(\sin 70° = 0,93969... \approx 0,94\); ora puoi sostituire i valori nella formula, trovando

\[ A_{\triangle} = \frac{a \cdot b \sin (70°)}{2} = \frac{12 \cdot 15 \cdot 0,94}{2} \approx 80,57 cm^2 \]

Risolvere il triangolo rettangolo di cui sono noti un cateto di misura 16 cm e l'angolo opposto di 55°.

Trigonometria triangolo rettangolo noto cateto e angolo opposto StudysmarterFig. 7. Triangolo rettangolo di cui sono noti un cateto e l'angolo opposto

Siamo nel caso di un triangolo rettangolo in cui sono noti un cateto \(b\) e l'angolo opposto \(\beta\). Come prima cosa puoi calcolare l'angolo restante: basta calcolare \(90°-55°=35°\). Per trovare il cateto mancante, devi calcolare la tangente di \(\beta\) che risulta circa \(1,428\): ora puoi inserirla nella formula

\[c = \frac{b}{\tan \beta } = \frac{16 cm}{\tan 55°} \approx \frac{16 cm}{1,428} \approx 11,203 cm \]

Infine, ti resta l'ipotenusa \(x\): per questa ti serve \(\sin 55°\approx 0,819\), che si sostituisce nella formula:

\[ x = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{16 cm}{\sin 55°} \approx \frac{16 cm}{0,819} \approx 19,532 cm \]

Risolvere il triangolo rettangolo \(ABC\) sapendo che la sua area è di \(72\sqrt{3} \, m^2\) e uno degli angoli acuti è il doppio dell'altro.

In questo caso il problema sembra molto più complicato: non ci sono lati o angoli nominati esplicitamente! Ragionaci: un angolo è 90°. Gli altri due sono uno il doppio dell'altro: chiama \(\beta\) quello più piccolo e \(\gamma\) quello più grande. Allora sai che

\[\gamma = 2 \beta, \phantom{sp} \gamma + \beta = 90°\]

Se sostituisci \(\gamma\) nella seconda equazione trovi \[\gamma + \beta = 2 \beta + \beta = 3 \beta = 90°\]

Da cui trovi \(\beta = \frac{90°}{3} =30°\). Quindi \(\gamma = 2\beta = 2 \cdot 30° =60°\). A questo punto hai tutti gli angoli!

Ti mancano i lati. Nei dati hai l'area del triangolo: di questa sai che si può calcolare come prodotto dei cateti diviso due, e quindi

\[A_{\triangle} = \frac{b\cdot c}{2} = 72 \sqrt{3} \]

Controlla le equazioni \((1)\) e \((2)\): invertire le formule ti permette di esprimere uno dei due cateti in funzione dell'altro e di un angolo. Ad esempio, nota che \(c = \frac{b}{\tan \beta}\). Sostituendolo nella formula dell'area allora hai

\[\frac{b\cdot c}{2} = \frac{b \cdot \frac{b}{\tan \beta}}{2} = \frac{b^2}{2 \tan \beta} \]

Ma tu conosci \(\beta\), e quindi puoi calcolarne la tangente! Dato che è un angolo notevole, il valore si trova nella tabella ed è \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\). A questo punto puoi trovare \(b^2\):

\[b^2 = 72 \sqrt{3} \cdot 2 \tan \beta = 72 \sqrt{3}\cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{3} = 72 \cdot 2 \cdot \frac{3}{3} = 72 \cdot 2 = 144 \, m^2\]

Perfetto! Allora \(b=12 \, m\). Questo ti consente di trovare anche l'altro cateto:

\[c=\frac{b}{\tan \beta} = \frac{12}{ \frac{ \sqrt{3}}{3} } = \frac{12\cdot 3}{\sqrt{3}} =12 \sqrt{3} \, cm \]

A questo punto puoi trovare l'ipotenusa con il solito teorema di Pitagora:

\[ \begin{align} a&=\sqrt{b^2+c^2} = \sqrt{12^2 + 12^2\sqrt{3}^2} = \\ &\sqrt{12^2(1+3)} = \sqrt{12^2\cdot 2^2} = 12\cdot 2 = 24 \, cm \end{align}\]

Trigonometria - Key takeaways

  • La trigonometria cerca metodi per calcolare lati e angoli mancanti di un triangolo sfruttando le funzioni goniometriche.
  • Gli angoli in un triangolo sono sempre compresi tra 0° e 180° (o tra \(0\) e \(\pi\) in radianti) quindi ci si concentra sui valori di seno e coseno corrispondenti a questi valori.
  • In un triangolo rettangolo, per determinare tutti i lati e gli angoli è sufficiente conoscere due lati, oppure un lato e un angolo acuto.
  • Per risolvere un triangolo qualunque servono sempre tre elementi: due lati e un angolo, un lato e due angoli, oppure tre lati.
  • Uno dei risultati che aiuta nella risoluzione dei triangoli qualunque è il teorema delle proiezioni: consente di calcolare la misura di un lato \(c\) se sono noti i due angoli adiacenti \(\alpha, \beta\) e gli altri due lati \(a, b\).\[b \cos \alpha + a \cos \beta =c \]
  • L'area di un triangolo qualunque può essere calcolata se sono noti due lati \(b, c\) e l'angolo compreso \(\alpha\): in questo caso \(A_{\triangle} = \frac{c \cdot b \sin \alpha}{2}\)

Domande frequenti riguardo Trigonometria

La trigonometria ha origini antichissime. Già dal III secolo a.C. i greci fanno ragionamenti sugli angoli e lati dei triangoli. Le nozioni moderne di seno e coseno nascono in India nel V secolo e vengono poi approfondite e sistematizzate dai matematici arabi nei secoli successivi.

La goniometria studia gli angoli, mentre la trigonometria si occupa dei triangoli. Non c'è una separazione netta: seno e coseno si definiscono in base agli angoli, ma servono poi anche per calcolare lati all'interno di un triangolo.

Seno e coseno sono due funzioni che dipendono da un angolo \(\alpha\). Se si disegna un triangolo rettangolo in cui \(\alpha\) è un angolo acuto, si può calcolarne il seno e il coseno conoscendo i lati. Il seno di \(\alpha\) è uguale al rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa. Il coseno di \(\alpha\) è uguale al rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa.

La trigonometria è la disciplina che studia come risolvere i triangoli, cioè come trovarne lati e angoli mancanti. Ha moltissime applicazioni pratiche in fisica, in ingegneria, in topografia, e in generale in tutte le discipline in cui è necessario misurare distanze. Non sempre una distanza si può misurare direttamente: in questo caso la trigonometria aiuta a trovare metodi per calcolarla.

Quiz Finale Trigonometria

Domanda

Come trovare l'ipotenusa \(a\) di un triangolo rettangolo, dati un cateto \(b\) e l'angolo adiacente \(\gamma\)?

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Risposta

\[ a = \frac{b}{\cos \gamma}\]

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Domanda

Dato un cateto \(b\) di un triangolo rettangolo e l'angolo opposto \(\beta\), come puoi trovare l'ipotenusa \(a\)?

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Risposta

\[a = \frac{b}{\sin \beta}\]

Visualizza la domanda

Domanda

Calcola l'area di un triangolo rettangolo in cui un cateto misura \(\sqrt{3}\) e l'angolo adiacente a esso è di 30°.

Visualizza la risposta

Risposta

Puoi trovare l'altro cateto con la formula:
\[c= \sqrt{3} \cdot \tan 30° = \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1\]
A questo punto l'area si trova facendo il prodotto tra i cateti e dividendo per due:
\[A_{\triangle} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{ \sqrt{3}}{2}\]

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Domanda

Perché in trigonometria si considerano solo angoli compresi tra 0° e 180°?

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Risposta

Perché gli angoli in trigonometria sono sempre angoli interni di un triangolo. Nessun triangolo può avere angoli di 180° o oltre, e nemmeno angoli negativi o nulli!

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Domanda

Calcola l'area di un triangolo sapendo che un lato misura 10 cm, il secondo misura 14 cm e l'angolo compreso misura 30°.

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Risposta

L'area si trova con la formula

\[A_{\triangle} = \frac{10 \, cm \cdot 14 \, cm \cdot  \sin 30° }{2} = 5 \, cm \cdot 14 \, cm \cdot \frac{1 }{2} = 5 \, cm \cdot 7 \, cm = 35 \, cm^2\]

Visualizza la domanda

Domanda

Come puoi capire se un triangolo è ottusangolo dal valore del coseno dei suoi angoli?

Visualizza la risposta

Risposta

Un angolo ottuso ha il coseno negativo. Quindi, se il coseno di uno dei tre angoli è negativo, il triangolo è ottusangolo.

Visualizza la domanda

Domanda

In un triangolo qualunque sono noti due angoli di 45° e 75°. Quali altri dati puoi calcolare?

Visualizza la risposta

Risposta

Si può calcolare solo l'angolo mancante: \(180°-45°-75°=60°\). Non è possibile calcolare nessun lato.

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Domanda

Cosa significa "risolvere un triangolo"?

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Risposta

Significa calcolarne i lati e gli angoli mancanti.

Visualizza la domanda

Domanda

Risolvi il triangolo rettangolo che ha un cateto di 30 cm e l'angolo opposto di 45°.

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Risposta

Comincia calcolando l'angolo mancante: misura 90°-45° =45°. Questo vuol dire che il triangolo è anche isoscele! I due cateti sono uguali. L'ipotenusa si può calcolare dividendo un cateto per il seno dell'angolo adiacente:

\[\frac{30 \, cm }{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 30 \sqrt{2} \, cm\]

Visualizza la domanda

Domanda

È possibile risolvere un triangolo conoscendo solo un lato e un angolo?

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Risposta

Solo se il triangolo è rettangolo.

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Domanda

È possibile risolvere un triangolo rettangolo conoscendo l'ipotenusa e l'angolo retto?

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Risposta

No: è necessario conoscere l'ipotenusa e un angolo acuto. Sentendo che il triangolo è rettangolo, sai già che un angolo è retto!

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Domanda

Calcola l'area del triangolo che ha lati 4 m e 8 m e angolo compreso 50°.

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Risposta

Uso la formula 

\[A_{triangle} = \frac{4 \, m \cdot 8\, m  \cdot \sin 50°}{2} = 16 \, m^2 \cdot 0,766 \ldots \approx 12,26 \, m^2 \]

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