Immagina di essere nell'isola greca di Samo, circa duemilatrecento anni fa, e di avere una passione per l'astronomia. Un giorno ti metti in testa di calcolare le proporzioni tra distanza Terra-Sole e distanza Terra-Luna. Osservi attentamente le misure di un angolo, disegni dei triangoli, e infine con qualche calcolo hai risolto: la distanza Terra-Luna è un ventesimo della distanza tra Luna e Sole. Se ti sembra impossibile, è perché non hai studiato la trigonometria come Aristarco da Samo!
Fig. 1. Ragionamento di Aristarco.
Aristarco si rese conto che nella fase in cui la Luna è in quadratura, illuminata esattamente a metà, l'angolo tra Terra-Luna-Sole è precisamente di 90°. Misurò l'angolo Luna-Terra-Sole, stimandolo in 87°, e da questo passò alle proporzioni tra i due cateti: le distanze Terra-Luna e Luna-Sole.
Oggi che abbiamo strumenti più sofisticati sappiamo che Aristarco sbagliò a misurare l'angolo, che è di circa due gradi maggiore. Considerando che fece una stima a occhio nudo, è comunque un ottimo risultato! Il ragionamento sui triangoli è perfettamente valido: inserendo il valore giusto dell'angolo, la distanza tra Luna e Sole risulta 400 volte quella tra Terra e Luna, che è il risultato corretto.
Da più di duemila anni, l'obiettivo della trigonometria è quello di risolvere triangoli, ovvero di calcolarne i lati e gli angoli non noti. Le applicazioni pratiche sono tantissime: senza trigonometria non potremmo fare rilievi e disegnare mappe. Tutto sommato, gli strumenti che usa sono pochi: qualche teorema, ragionamenti geometrici, e alcune funzioni goniometriche come seno, coseno, e tangente.
Coseno e seno
In goniometria hai visto la definizione di seno e coseno di un angolo orientato. Per applicare le formule trigonometriche è fondamentale sapere i valori di coseni, seni e tangenti degli angoli di un triangolo: conviene quindi ripassare i valori più importanti prima di continuare.
| Angolo in gradi | Angolo in radianti | Seno | Coseno | Tangente |
\[ 30^{\circ} \] | \[ \frac{\pi}{6} \] | \[ \frac{1}{2} \] | \[\frac{\sqrt{3}}{2} \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{3} \] |
\[ 45^{\circ} \] | \[ \frac{\pi}{4} \] | \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] | \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] | \[ 1 \] |
\[ 60^{\circ} \] | \[ \frac{\pi}{3} \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \] | \[ \frac{1}{2} \] | \[ \sqrt{3} \] |
\[ 90^{\circ} \] | \[ \frac{\pi}{2} \] | \[ 1 \] | \[ 0 \] | Non esiste! |
\[ 120^{\circ} \] | \[ \frac{2\pi}{3} \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \] | \[ -\frac{1}{2} \] | \[- \sqrt{3} \] |
\[ 135^{\circ} \] | \[ \frac{3\pi}{4} \] | \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] | \[ -\frac{\sqrt{2}}{2} \] | \[ -1 \] |
\[ 150^{\circ} \] | \[ \frac{5\pi}{6} \] | \[ \frac{1}{2} \] | \[- \frac{\sqrt{3}}{2} \] | \[- \frac{\sqrt{3}}{3} \] |
Tabella 1. Funzioni goniometriche di angoli noti.
Nota che nella tabella compaiono solo angoli compresi tra 0° e 180°: questa è una conseguenza del fatto di lavorare sui triangoli, invece che sugli angoli. In un triangolo gli angoli sono per forza compresi tra 0° e 180°!
Osserva la tabella e nota alcune caratteristiche dei valori:
- Il seno è sempre positivo, perché gli angoli sono compresi tra 0° e 180°.
- Il coseno è positivo nel caso di angoli acuti; è negativo per gli angoli ottusi. Fai attenzione a ricordarti anche il segno, altrimenti gli esercizi risulteranno sbagliati!
- Come il coseno, la tangente è positiva per angoli acuti e negativa per ottusi: ricorda di considerare anche il segno. La tangente dell'angolo di 90° non esiste.
Trigonometria: triangolo rettangolo
Risolvere un triangolo rettangolo significa avere alcuni valori di lati e angoli, e doverne trovare altri. Naturalmente bisogna assicurarsi di avere una quantità sufficiente di dati: conoscendo un solo cateto, ad esempio, non è possibile determinare il resto del triangolo!
Come prima cosa è bene rappresentare il triangolo. La convenzione è che \(\alpha\) è l'angolo nel vertice \(A\), ed è opposto al lato \(a\), \(\beta\) l'angolo in \(B\) opposto al lato \(b\) e \(\gamma\) l'angolo in \(C\) opposto al lato \(c\). Ricorda che il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa.
I vertici si numerano in senso antiorario. In questo articolo, \(\alpha\) sarà sempre l'angolo retto. Non è sempre così: quando confronti due formulari, ricordati di controllare sempre quale lettera viene usata per l'angolo retto, o rischi di confondere le formule!
Fig. 2. Triangolo rettangolo etichettato correttamente
Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna trovarsi in uno dei seguenti casi:
- sono dati i due cateti;
- sono dati l'ipotenusa e un cateto;
- sono dati un cateto e un angolo acuto;
- sono dati l'ipotenusa e un angolo acuto.
Un altro punto fondamentale è capire sempre qual è il cateto adiacente all'angolo considerato e quale è opposto. Puoi ragionare sui termini: adiacente significa "che giace vicino", mentre opposto indica l'elemento "di fronte". Non è possibile parlare di cateto adiacente senza indicare a quale angolo acuto è adiacente: ogni cateto è adiacente a un angolo e opposto all'altro!
Fig. 3. Triangolo in cui è specificato quale cateto è adiacente e quale opposto a ogni angolo.
Quando si definiscono seno e coseno sulla circonferenza unitaria, si fanno delle considerazioni su un piccolo triangolo rettangolo in cui l'ipotenusa vale 1. Vedi anche l'articolo su goniometria e trigonometria! In un triangolo rettangolo generico, in cui l'ipotenusa non ha necessariamente valore 1, ci sono delle relazioni più generali che esprimono il legame molto stretto tra i lati e seno, coseno e tangente degli angoli acuti \(\beta\) e \(\gamma\):
Per \(\beta\) si ha
\[ \tan \beta = \frac{b}{c} \;\;\; \sin \beta = \frac{b}{a} \;\;\; \cos \beta = \frac{c}{a} \tag{1}\] e, per \(\gamma\) \[\tan \gamma = \frac{c}{b} \;\;\; \sin \gamma = \frac{c}{a} \;\;\; \cos \gamma = \frac{b}{a} \tag{2}\]
Queste relazioni sono fondamentali nella trigonometria!
1. Risolvere un triangolo rettangolo noti i cateti.
In questo caso puoi calcolare gli elementi mancanti nel modo seguente:
- L'ipotenusa si calcola col teorema di Pitagora: \[a= \sqrt{b^2 +c^2}\]
- L'angolo \(\beta\) si può calcolare a partire dalla sua tangente, oppure dal seno o dal coseno \[\tan \beta = \frac{b}{c} \;\;\; \sin \beta = \frac{b}{a} \;\;\; \cos \beta = \frac{c}{a}\]
- A questo punto l'angolo \(\gamma\) è il complementare di \(\beta\): \[\gamma = 90°-\beta\]
Per trovare un angolo a partire da una funzione goniometrica, come prima cosa cerca se il valore è tra quelli notevoli. Ad esempio, se la tangente vale \(\sqrt{3}\) l'angolo è di 60°. In alternativa puoi usare una calcolatrice scientifica sfruttando i tasti \(\tan^{-1}, \, \sin^{-1}, \, \cos^{-1}\).
2. Risolvere un triangolo rettangolo nota l'ipotenusa e un cateto.
Chiamiamo \(a\) l'ipotenusa e \(b\) il cateto noto. Procedi in questo modo:
- Trova il cateto mancante con il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2}\]
- Calcola l'angolo \(\beta\) come nel caso precedente.
- Calcola l'angolo \(\gamma\) come nel caso precedente.
3. Risolvere un triangolo rettangolo noti un cateto e un angolo acuto.
Chiamiamo \(\beta\) l'angolo di cui conosciamo il valore.
- L'angolo \(\gamma\) si trova come nei casi precedenti: \(\gamma = 90° - \beta\)
In questo caso i procedimenti sono diversi a seconda che il cateto noto sia opposto o adiacente all'angolo.
3.a. Noto il cateto opposto
Fig. 4. Triangolo rettangolo in cui sono evidenziati un angolo e il cateto opposto.
Il cateto opposto, seguendo l'etichettatura che abbiamo visto sopra, si indica con la lettera \(b\).
- Il cateto \(c\) si trova come \[c = \frac{b}{\tan \beta} \]
- L'ipotenusa si trova come \[a= \frac{b}{\sin \beta}\]
3.b. Noto il cateto adiacente
Fig. 5. Triangolo rettangolo in cui sono evidenziati un angolo e il cateto adiacente.
In questo caso, seguendo le convenzioni, il lato noto è \(c\).
- Il cateto mancante \(b\) si trova come \[b=c \tan \beta\]
- L'ipotenusa \(a\) si trova come \[ a =\frac{c}{\cos \beta}\]
4. Risolvere un triangolo rettangolo noti l'ipotenusa e un angolo acuto
Come nei casi precedenti, chiamiamo \(\beta\) l'angolo noto.
- L'angolo \(\gamma\) si trova sempre come \(90°-\beta\).
- Il lato \(b\) opposto all'angolo noto si trova come \(b = a \sin \beta\)
- Il lato \(c\) adiacente all'angolo noto si trova come \(c = a \cos \beta\).
Se c'è un dato in più, non c'è problema: anzi, puoi scegliere di fare i calcoli con una formula piuttosto che con l'altra! In uno qualsiasi di questi casi, puoi calcolare tutti gli altri lati e angoli del triangolo. In altri casi, ad esempio se conosci solo i due angoli, non hai dati sufficienti e il problema non si può risolvere.
Due figure possono avere gli stessi angoli, ma lati di lunghezze diverse. Ne vedi un esempio nella figura sotto: ci sono due triangoli rettangoli con angoli di 45°, 45° e 90°, ma i lati dei due triangoli hanno lunghezze diverse. Ecco perché conoscere gli angoli non è sufficiente per determinare la figura: ti serve almeno un lato!
Quando due triangoli, o più in generale, due figure hanno gli angoli corrispondenti uguali, si dice che sono simili. Il concetto di similitudine è fondamentale in geometria!
Fig. 4. Triangoli simili
Risolvere il triangolo rettangolo con cateti di misura \(\sqrt{3}\) e \(1\).
Come prima cosa, nota che sei nel primo caso: assegna dei nomi ai cateti, ad esempio \(b = \sqrt{3}\) e \(c=1\). Ora devi trovare l'ipotenusa e i due angoli. Cominciando dall'ipotenusa, hai:
\[a=\sqrt{b^2 +c^2} = \sqrt{ \sqrt{3}^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\]
L'angolo \(\beta\) è quello opposto a \(b\): ha come tangente
\[\tan \beta = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\]
Come puoi verificare nella tabella degli angoli notevoli, questo è il valore dell'angolo di \(\frac{\pi}{3}\) . Questo significa che il secondo angolo misura \(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\).
Risolvi il triangolo rettangolo che ha l'ipotenusa di 5 cm e un angolo di 43°.
Qui sei nell'ultimo caso: devi calcolare le misure dei due cateti \(b, c\) e dell'altro angolo acuto. Chiamiamo \(\beta\) l'angolo di 43° noto.
Puoi cominciare dall'altro angolo \(\gamma =90°-43°=47°\).
Ora, il cateto adiacente all'angolo \(\beta\) si troverà moltiplicando l'ipotenusa \(a\) per il coseno di \(\beta\). Per calcolare il coseno usa una calcolatrice scientifica: approssimando ai millesimi, otterrai \(\cos 43° = 0,731\).
\[ c= a \cdot \cos \beta = 5 \cdot 0,731 =3,657 cm\]
Il cateto opposto all'angolo \(\beta\) si trova moltiplicando l'ipotenusa per il seno di \(\beta\):
\[b = a \cdot \sin \beta = 5 \cdot 0,682 = 3,410 cm\]
Fai attenzione a impostare la calcolatrice con l'unità di misura che ti serve. Se hai gli angoli in radianti, nella calcolatrice dovresti vedere la scritta RAD, mentre per lavorare con i gradi devi avere DEG. Solitamente c'è un unico tasto da premere per passare da un'unità all'altra. Attenzione ad evitare GRAD: questo indica generalmente i gradi centesimali, un'unità di misura che non si usa mai in matematica!
Trigonometria: triangoli qualunque
Non tutti i triangoli sono rettangoli, purtroppo: è necessario quindi trovare formule generali, che permettano di trovare i lati e gli angoli non noti in qualunque tipo di triangolo. Un'idea è "riciclare" i ragionamenti fatti sul triangolo rettangolo: puoi farlo se disegni un'altezza. Ora il triangolo risulta diviso in due triangoli rettangoli. Nel triangolo dell'illustrazione puoi vedere l'altezza \(\overline{CH}\) relativa al lato \(c\).
Fig. 5. Triangolo qualunque con altezza relativa al lato c.
Il punto \(H\) divide il lato in due segmenti, \(\overline{AH}\) e \(\overline{HB}\): la loro somma dà \(c\):
\[\overline{AH} + \overline{HB}=c\]
Considera \(AHC\): è un triangolo rettangolo, quindi applicando le formule che hai visto nella sezione precedente puoi trovare \(\overline{AH}\). Si tratta del cateto adiacente all'angolo \(\alpha\): la sua misura quindi è
\[\overline{AH} = b \cos \alpha \] In modo analogo puoi trovare che
\[\overline{HB} = a \cos \beta\]
Mettendo assieme queste ultime tre equazioni, trovi che
\[b \cos \alpha + a \cos \beta =c\]
Questo risultato vale anche se cambi lato: si chiama teorema delle proiezioni e prevede tre versioni per i lati \(a, b, c\).
\[b \cos \alpha + a \cos \beta =c, \phantom{spa} a \cos \gamma + c \cos \alpha = b, \phantom{spa} b \cos \gamma + c \cos \beta =a \]
C'è un altro ragionamento che puoi fare sul triangolo in figura 4. L'area di questo triangolo si trova con la solita formula "base per altezza diviso due", che in questo caso diventa
\[ A_{\triangle} = \frac{c \cdot h}{2}\]
Ora, considerando il triangolo rettangolo \(AHC\), puoi notare come l'altezza \(h\) si possa trovare di nuovo con le formule trigonometriche dei triangoli rettangoli: è uguale a \(b \sin \alpha\)! Sostituendo questo valore di \(h\) nella formula, puoi trovare l'area come
\[ A_{\triangle} = \frac{c \cdot b \sin \alpha}{2}\]
Anche questa è una formula generale: puoi applicarla ogni volta che conosci le lunghezze di due lati e l'angolo compreso.
Se applichi questa formula in un triangolo rettangolo in cui \(\alpha\) è l'angolo di \(90°\), gli altri due lati che compaiono nella formula sono i cateti: dato che il seno di \(90°\) vale 1, la formula si riconduce a
\[ \begin{align}A_{\triangle} = \frac{c \cdot b \sin \alpha}{2} &=\\ \frac{c \cdot b \cdot 1}{2} &= \frac{c \cdot b }{2}\end{align}\]
Altri risultati importanti sui triangoli qualunque sono il teorema dei seni e il teorema del coseno, che vedrai in modo più approfondito con un altro articolo.
Esercizi di trigonometria
Per affrontare gli esercizi di trigonometria è importante scriverti le formule principali su un formulario e tenerlo sottomano. Le formule sono tante e memorizzarle tutte è complicato: se le rileggi mano a mano che fai esercizi diventa più semplice ricordarle! Altro punto importante è fare sempre attenzione alla lettura del testo per capire se gli angoli vanno calcolati in gradi o in radianti, con quale precisione approssimare i risultati, e l'unità di misura per i lati (metri, centimetri, etc)
Trova l'area del triangolo di cui sono noti due lati, di 12 cm e 15 cm, e l'angolo compreso che misura 70°.
Fig. 6. Triangolo in cui sono noti due lati e l'angolo compreso
Dato che hai due lati e l'angolo compreso, conviene usare la formula dell'area appena vista: basta calcolare il seno di 70°. Con una calcolatrice scientifica trovi \(\sin 70° = 0,93969... \approx 0,94\); ora puoi sostituire i valori nella formula, trovando
\[ A_{\triangle} = \frac{a \cdot b \sin (70°)}{2} = \frac{12 \cdot 15 \cdot 0,94}{2} \approx 80,57 cm^2 \]
Risolvere il triangolo rettangolo di cui sono noti un cateto di misura 16 cm e l'angolo opposto di 55°.
Fig. 7. Triangolo rettangolo di cui sono noti un cateto e l'angolo opposto
Siamo nel caso di un triangolo rettangolo in cui sono noti un cateto \(b\) e l'angolo opposto \(\beta\). Come prima cosa puoi calcolare l'angolo restante: basta calcolare \(90°-55°=35°\). Per trovare il cateto mancante, devi calcolare la tangente di \(\beta\) che risulta circa \(1,428\): ora puoi inserirla nella formula
\[c = \frac{b}{\tan \beta } = \frac{16 cm}{\tan 55°} \approx \frac{16 cm}{1,428} \approx 11,203 cm \]
Infine, ti resta l'ipotenusa \(x\): per questa ti serve \(\sin 55°\approx 0,819\), che si sostituisce nella formula:
\[ x = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{16 cm}{\sin 55°} \approx \frac{16 cm}{0,819} \approx 19,532 cm \]
Risolvere il triangolo rettangolo \(ABC\) sapendo che la sua area è di \(72\sqrt{3} \, m^2\) e uno degli angoli acuti è il doppio dell'altro.
In questo caso il problema sembra molto più complicato: non ci sono lati o angoli nominati esplicitamente! Ragionaci: un angolo è 90°. Gli altri due sono uno il doppio dell'altro: chiama \(\beta\) quello più piccolo e \(\gamma\) quello più grande. Allora sai che
\[\gamma = 2 \beta, \phantom{sp} \gamma + \beta = 90°\]
Se sostituisci \(\gamma\) nella seconda equazione trovi \[\gamma + \beta = 2 \beta + \beta = 3 \beta = 90°\]
Da cui trovi \(\beta = \frac{90°}{3} =30°\). Quindi \(\gamma = 2\beta = 2 \cdot 30° =60°\). A questo punto hai tutti gli angoli!
Ti mancano i lati. Nei dati hai l'area del triangolo: di questa sai che si può calcolare come prodotto dei cateti diviso due, e quindi
\[A_{\triangle} = \frac{b\cdot c}{2} = 72 \sqrt{3} \]
Controlla le equazioni \((1)\) e \((2)\): invertire le formule ti permette di esprimere uno dei due cateti in funzione dell'altro e di un angolo. Ad esempio, nota che \(c = \frac{b}{\tan \beta}\). Sostituendolo nella formula dell'area allora hai
\[\frac{b\cdot c}{2} = \frac{b \cdot \frac{b}{\tan \beta}}{2} = \frac{b^2}{2 \tan \beta} \]
Ma tu conosci \(\beta\), e quindi puoi calcolarne la tangente! Dato che è un angolo notevole, il valore si trova nella tabella ed è \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\). A questo punto puoi trovare \(b^2\):
\[b^2 = 72 \sqrt{3} \cdot 2 \tan \beta = 72 \sqrt{3}\cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{3} = 72 \cdot 2 \cdot \frac{3}{3} = 72 \cdot 2 = 144 \, m^2\]
Perfetto! Allora \(b=12 \, m\). Questo ti consente di trovare anche l'altro cateto:
\[c=\frac{b}{\tan \beta} = \frac{12}{ \frac{ \sqrt{3}}{3} } = \frac{12\cdot 3}{\sqrt{3}} =12 \sqrt{3} \, cm \]
A questo punto puoi trovare l'ipotenusa con il solito teorema di Pitagora:
\[ \begin{align} a&=\sqrt{b^2+c^2} = \sqrt{12^2 + 12^2\sqrt{3}^2} = \\ &\sqrt{12^2(1+3)} = \sqrt{12^2\cdot 2^2} = 12\cdot 2 = 24 \, cm \end{align}\]
Trigonometria - Key takeaways
- La trigonometria cerca metodi per calcolare lati e angoli mancanti di un triangolo sfruttando le funzioni goniometriche.
- Gli angoli in un triangolo sono sempre compresi tra 0° e 180° (o tra \(0\) e \(\pi\) in radianti) quindi ci si concentra sui valori di seno e coseno corrispondenti a questi valori.
- In un triangolo rettangolo, per determinare tutti i lati e gli angoli è sufficiente conoscere due lati, oppure un lato e un angolo acuto.
- Per risolvere un triangolo qualunque servono sempre tre elementi: due lati e un angolo, un lato e due angoli, oppure tre lati.
- Uno dei risultati che aiuta nella risoluzione dei triangoli qualunque è il teorema delle proiezioni: consente di calcolare la misura di un lato \(c\) se sono noti i due angoli adiacenti \(\alpha, \beta\) e gli altri due lati \(a, b\).\[b \cos \alpha + a \cos \beta =c \]
- L'area di un triangolo qualunque può essere calcolata se sono noti due lati \(b, c\) e l'angolo compreso \(\alpha\): in questo caso \(A_{\triangle} = \frac{c \cdot b \sin \alpha}{2}\)
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