Teoria degli insiemi

Un insieme è una collezione di oggetti: può contenere qualunque cosa, numeri, giorni della settimana, frutta e altro. Ma come si definisce, più precisamente, un insieme? E per cosa si usa nella pratica matematica?

Insiemi: definizione

Nell'articolo sulla logica matematica hai visto che un insieme si può definire grazie a una proprietà espressa da una proposizione logica. Intuitivamente, un insieme è una collezione di oggetti che si chiamano elementi: Nella pratica matematica moltissimi concetti formano insiemi: le figure piane, i poligoni, i numeri reali, le soluzioni di un'equazione, etc.

Nella matematica moderna gli insiemi non vengono definiti in modo preciso, così come succede ai concetti di punto, retta e piano in geometria piana. Invece di dare una definizione, si fanno una lista delle proprietà che gli insiemi devono rispettare: in questo caso sono gli assiomi della teoria degli insiemi. Ci sono varie liste di assiomi, e tutti sono decisamente troppo complicati per studiarle in un programma scolastico!

Riassumendone un po' il senso, questi assiomi stabiliscono l'esistenza dell'insieme vuoto e di (almeno) un insieme infinito, evitano che un sottoinsieme sia anche un elemento di sé stesso, e permettono di decidere se due insiemi sono uguali tra loro, di formare nuovi insiemi attraverso varie operazioni, e danno come regola che nessun insieme sia un elemento di sé stesso.

Insiemi numerici

I numeri, che vengono raggruppati in vari insiemi: ognuno ha un simbolo specifico.

• I numeri naturali sono indicati dal simbolo \(\mathbb{N}\). Sono i numeri che esprimono una quantità e che usiamo per contare: \( 0, 1, 2, 3, 4, \dots\)

• I numeri interi sono indicati dal simbolo \(\mathbb{Z}\). Oltre ai naturali, questo insieme contiene i numeri che si ottengono mettendo un segno - davanti a ogni numero naturale: \(0, 1, -1, 2, -2, \dots\)

• I numeri razionali sono indicati dal simbolo \(\mathbb{Q}\). Sono tutti i numeri che si possono ottenere da una divisione tra interi: \(0, 1, -1, \frac{1}{2}, -\frac{4}{5}, 137, -\frac{822}{321}\dots\)

• I numeri reali sono indicati dal simbolo \(\mathbb{R}\): si ottengono aggiungendo ai razionali tutti i numeri irrazionali, ovvero quelli con infinite cifre decimali dopo la virgola che non si ripetono in modo regolare.

Simboli dell'insiemistica

Per descrivere insiemi ed elementi si usano simboli specifici. Nella tabella trovi una lista dei simboli più comuni e del loro significato: proseguendo con l'articolo vedrai come usarli.

Tabella 1: simboli usati in insiemistica

Rappresentazione di insiemi

Puoi pensare a un insieme come a un contenitore di oggetti: gli oggetti si chiamano elementi. In genere gli insiemi si indicano con una lettera latina maiuscola e gli elementi con una lettera minuscola. Per dire che l'elemento \(a\) appartiene all'insieme \(A\) si scrive \(a \in A\). Mettendo una barra sopra il simbolo, in questo modo: \(a \not\in A\) invece si dice che \(a\) non appartiene ad \(A\).

Gli insiemi possono essere rappresentati in vario modo: la rappresentazione più semplice è quella tabulare o per elencazione, con gli elementi in lista tra parentesi graffe. Gli elementi vengono inseriti una volta sola, e l'ordine in cui sono elencati non conta! Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali dispari minori di 10 si può rappresentare come \[A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\]Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Se \(B= \{3,1,9, 1, 5,7\}\), allora si può scrivere \(A = B\): gli elementi sono gli stessi, solo in ordine diverso.

Cosa succede se un insieme non contiene nessun elemento? In questo caso si chiama insieme vuoto. Visto che due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, allora due insiemi senza elementi sono uguali tra loro. Quindi esiste un solo insieme vuoto!

Se gli elementi sono tanti, è più comodo rappresentare un insieme tramite una proprietà caratteristica. Ad esempio, per rappresentare l'insieme dei numeri dispari, si può scrivere \[ D = \{x : x \text{ è dispari} \}\]In genere si cerca di esprimere la proprietà nel modo più preciso possibile, scrivendola con simboli matematici: dato che spesso i numeri dispari vengono indicati come \(2k+1\) per \(k \in \mathbb{N}\), si può rappresentare l'insieme dei numeri dispari come segue. \[ D = \{x : x =2k+1 \text{ per } k \in \mathbb{N}\}\]

Un altro modo di rappresentare gli insiemi è tramite i diagrammi di Venn: un insieme è rappresentato con un cerchio, al cui interno si indicano gli elementi. Questi diagrammi possono sembrare banali, ma sono un ottimo aiuto per ragionare e capire come svolgere le operazioni! Nel disegno seguente è rappresentato un insieme \(A\), un suo elemento (\(x \in A\)) e un elemento che non gli appartiene (\(y \not\in A\)).

Figura 1. Diagramma di Venn che esprime le relazioni \(x \in A, y \not\in A\).

Cardinalità di un insieme

In molti casi è utile contare il numero di elementi di un insieme \(A\): questo numero si indica con lo stesso simbolo del valore assoluto, \(|A|\) e si legge cardinalità di A. Per trovare la cardinalità di un insieme espresso per elencazione basta contare i suoi elementi: se \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) allora la cardinalità di \(A\) è \(|A| = 5\). Quando la cardinalità è un numero naturale, come in questo esempio, l'insieme è finito.

Per esprimere il fatto che due insiemi hanno la stessa cardinalità si scrive \(|A|=|B|\) e si dice che i due insiemi sono equipotenti. Nella pratica matematica moltissimi insiemi sono infiniti: \(|\mathbb{N}|\) ad esempio non si può esprimere con nessun numero!

Operazioni tra insiemi

Tra gli insiemi è possibile svolgere varie operazioni: unione, intersezione, differenza insiemistica, complementare, prodotto cartesiano. Così come nelle operazioni tra numeri il risultato è un numero, nelle operazioni tra insiemi il risultato è un nuovo insieme.

Unione di insiemi

L'unione di due insiemi \(A\) e \(B\), che si indica con il simbolo \(A \cup B\), contiene sia gli elementi che appartengono ad \(A\), sia gli elementi che appartengono a \(B\). In altre parole, un elemento si trova nell'unione di due insiemi se appartiene ad almeno uno dei due. Se \( A = \{1, 2, 3, 4\}\) e \( B = \{3, 4, 5, 6\}\) allora \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

Intersezione di insiemi

L'intersezione di due insiemi \(A\) e \(B\) si indica con il simbolo \(A \cap B\) e contiene gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi \(A\) e \(B\). Ad esempio, se \( A = \{1, 2, 3, 4\}\) e \( B = \{3, 4, 5, 6\}\) allora \(A \cap B = \{3, 4\}\).

Proprietà dell'unione e dell'intersezione

Ti sembrerà forse strano ma anche unione e intersezione hanno proprietà simili a quelle delle operazioni tra numeri! L'unione si comporta in modo simile alla somma, l'intersezione in modo simile al prodotto.

Vale la proprietà associativa: quando si fa un'operazione tra più insiemi, non è importante come questi insiemi si raggruppano tra loro! Sia l'unione che l'intersezione hanno questa proprietà. In modo più formale, si esprime così:

• Unione: \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\).
• Intersezione: \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\).

Unione e intersezione hanno anche la proprietà commutativa: non è importante in quale ordine scrivi gli insiemi con cui stai operando. Scrivendolo in simboli:

• Unione: \(A\cup B = B \cup A\).
• Intersezione. \(A \cap B = B \cap A\).

Le due operazioni sono legate assieme dalla proprietà distributiva:

\begin{align} & A \cup (B \cap C ) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ & A \cap (B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{align}

L'insieme vuoto si comporta in modo simile allo zero con la somma e il prodotto tra numeri. Unendo l'insieme vuoto a un insieme \(A\) ottengo l'insieme \(A\), perché sto aggiungendo ad \(A\) nessun altro elemento! \[A \cup \emptyset =A\] L'intersezione con il vuoto, invece, dà l'insieme vuoto. \[A \cap \emptyset = \emptyset \]

Differenza insiemistica

La differenza tra due insiemi \(A\) e \(B\) si indica con il segno \(\setminus\): \(A \setminus B\) indica l'insieme formato dagli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\). Stavolta non vale la proprietà commutativa, quindi \(A \setminus B\) e \(B \setminus A\) danno risultati diversi. Se \( A = \{1, 2, 3, 4\}\) e \( B = \{3, 4, 5, 6\}\) allora \(A \setminus B = \{ 1, 2\}\) e \(B \setminus A = \{5, 6\}\).

Sottoinsiemi e complementari

Un altro modo di creare nuovi insiemi è quello di partire da un insieme fissato, che fa da universo, e considerare altri insiemi fatti solo da questi elementi. Studiando matematica lo fai molto spesso: quando consideri gli insiemi delle soluzioni di qualche equazione, ti muovi sempre nei numeri reali. L'universo della gran parte della tua pratica matematica è \(\mathbb{R}\).

In generale, \(B\) è un sottoinsieme di un insieme \(A\) se tutti gli elementi di \(B\) sono anche elementi di \(A\): in questo caso si scrive \(B \subseteq A\). Si parla di sottoinsieme proprio se \(B\) è non vuoto e se \(B \neq A\), cioè se c'è almeno un elemento di \(A\) che non appartiene a \(B\). Nota che l'insieme vuoto \(\emptyset\) è sottoinsieme di qualunque altro insieme: tutti i suoi elementi (e cioè, nessuno) sono contenuti in qualunque altro insieme! \(\emptyset\) e \(A\) sono chiamati i sottoinsiemi impropri di \(A\).

Fissato \(A\) e un suo sottoinsieme \(B\) si può anche definire il complementare di \(B\): è l'insieme \(B^C\) formato da tutti gli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\). Si può riscrivere dome differenza insiemistica: \(B^C = A \setminus B\).