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"Faccio tardi a ripassare, o mi riposo prima dell'esame?""Se cerco un compagno di studio, mi aiuterà o mi rallenterà?"
Ogni giorno dobbiamo prendere decisioni con un certo grado di rischio. Purtroppo certe cose non si possono prevedere, ma altre possibilità si possono misurare per aiutarci a prendere la decisione giusta.
Il calcolo delle probabilità ci aiuta a determinare quantitativamente la possibilità che qualcosa si verifichi. Molte decisioni aziendali e comunitarie si basano proprio sul calcolo delle probabilità.
- In questo articolo esploreremo le basi del calcolo della probabilità, le formule e le proprietà principali di unione e intersezione, e faremo degli esempi per aiutarti a capire meglio.
Non dimenticare che ti puoi anche esercitare con le flashcards di StudySmarter!
Spiegazione semplice del calcolo delle probabilità
Il calcolo delle probabilità si occupa di assegnare dei valori numerici alla possibilità che una situazione si verifichi.
Se una situazione si verificherà per certo, la sua probabilità è pari a 1; se non può avvenire in nessun caso, ha valore 0. Tutte le altre situazioni avranno un grado di incertezza che si esprime con un valore compreso tra 0 e 1.
- La probabilità che tu abbia un cognome è pari a 1.
- La probabilità di ottenere il numero 7, lanciando un dado, è 0.
Distinzione tra probabilità teorica e sperimentale
Esistono due tipi principali di probabilità: la probabilità teorica e la probabilità sperimentale.
- La probabilità teorica sfrutta il ragionamento e la conoscenza teorica di una particolare situazione. Si basa su calcoli matematici e specifica che si presume la correttezza degli eventi, come per esempio che un mazzo di carte non sia truccato.
- La probabilità sperimentale utilizza i risultati di un esperimento per stimare la probabilità che un evento si verifichi in futuro.
Per lancio di un dado, possiamo usare entrambi gli approcci:
- calcolare matematicamente la probabilità che esca 6 in un lancio, o in un numero ripetuto di lanci. In questo caso staremmo usando la probabilità teorica, che approfondiremo nei prossimi paragrafi.
- oppure, potremmo effettivamente lanciare il dado e osservare quante volte esce il 6. In questo caso si tratta di probabilità sperimentale. Se il dado non è truccato, ci aspettiamo che il conteggio si avvicini molto al numero calcolato teoricamente.
La formula per calcolare la probabilità sperimentale di un evento \(E\) è dato dal numero di volte in cui l’evento \(E\) si verifica, fratto il numero di tentativi effettuati.
\[P(E) = \frac{\text{numero di successi}}{\text{numero di tentativi}}\]
Da questo punto in poi, quando parleremo di probabilità, ci riferiremo a quella teorica.
Come si calcola la probabilità di un evento
Supponiamo di aver lanciato un dado non truccato a 6 facce. Qual è la probabilità di lanciare un 6?
Ci sono 6 facce e quindi ci sono 6 possibili risultati: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. L’insieme \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) di tutti i possibili eventi viene chiamato spazio campionario.
Intuitivamente sappiamo che questi risultati sono tutti ugualmente probabili. Ci sono sei facce, quindi sei esiti di un lancio. C'è un solo modo di ottenere un 6. La probabilità di lanciare un 6 sarà data da \(\frac{1}{6}\).
Poiché tutti i risultati sono ugualmente probabili, anche la probabilità di lanciare un altro numero compreso tra 1 e 6 è pari a \(\frac{1}{6}\).
Possiamo generalizzare questo esempio utilizzando la seguente definizione.
La probabilità che si verifichi un evento \(E\) è :
\[P(E) = \frac{\text{numero di casi favorevoli}}{\text{numero di casi possibili}}\]
Nel nostro primo esempio il numero totale di casi possibili, o esiti di un lancio, era 6. Il caso favorevole era uno solo, quando esce un 6. Con due dadi sarebbe diverso: non ci sarebbe un solo modo di ottenere un 6, ma diversi, come lanciando un 2 e un 4, o due 3. Vediamo adesso un altro esempio.
Supponi di aver selezionato una biglia a caso da una scatola in cui ci sono 8 biglie blu, 1 biglia rossa, 2 biglie verdi e 5 biglie nere. Qual è la probabilità di aver selezionato la biglia rossa?
L'evento \(E\) è selezionare una biglia rossa.
Lo spazio campionario è composto da tutti gli esiti possibili, che nel nostro caso sono tutte le biglie nella scatola.
La cardinalità del nostro spazio campionario (cioè il numero totale di elementi in esso) è \(8+1+2+5=16\). Questo numero equivale al numero di casi possibili.
Qual è il numero di casi favorevoli? Ricorda che selezioni una biglia una sola volta, non puoi ripescare. Siccome di biglie rosse ce ne è una sola, c'è un solo modo di prendere la biglia rossa: pescandola la prima volta!
\[P(E) = \frac{\text{numero di casi favorevoli}}{\text{numero di casi possibili}}=\frac{1}{16}\]
Eventi certi
Si definisce evento certo un evento che si verificherà di sicuro, a prescindere da altri fattori.
Si definisce evento certo un evento che si verificherà di sicuro, a prescindere da altri fattori.
Come abbiamo detto sopra, l’evento certo ha probabilità pari a 1. Infatti, i casi favorevoli sono tutti i casi possibili, quindi nella formula principale del calcolo delle probabilità, la frazione si riduce a 1.
Un caso interessante di evento certo è quello dello spazio campionario, cioè dell'insieme di tutti i casi possibili di una situazione. Poiché uno di questi eventi accadrà di sicuro, l'evento \(E\)=un caso dello spazio campionario si verifica ha sempre probabilità pari a 1.
L'evento \(E\) di ottenere un numero qualsiasi tra 1 e 6 col lancio di un dado è una certezza, poiché queste sono le uniche opzioni disponibili.
Se usiamo la formula,
\[P(E) = \frac{\text{lanciare un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6}}{\text{numero totale di lanci possibili}}\]
si ha \[P(E) = \frac{1+1+1+1+1+1}{6} = \frac{6}{6} =1 \]
Come ci aspettavamo, essendo un evento certo, la probabilità è 1.
Eventi contrari
Se conosciamo la probabilità che un evento si verifichi, possiamo anche calcolare la probabilità che non si verifichi.
Si dice evento contrario a un evento \(E\) e si indica con \(\bar{E]\), ciò che avviene se non si verifica E.
Se \(E\) = l’Italia vincerà i mondiali, il contrario di \(E\) = l’Italia non vincerà i mondiali.
Ci sono solo due possibilità, o che l'Italia vinca, o che perda. Uno dei due eventi si verificherà per certo.
Considerati insieme un evento e il suo contrario, uno dei due si verificherà sicuramente. La probabilità di un evento o il suo contrario sarà quella dell'evento certo, quindi avranno probabilità 1. \[P(E \text{ o } \bar{E})=1 \]
Approfondiremo quest'argomento nel paragrafo sull'unione di eventi incompatibili.
Dalla formula precedente, puoi ricavare la probabilità che un evento \(E\) non si verifichi:
\[P(\bar{E}) = 1-P(E)\]
Questa formula ti servirà per calcolare la probabilità che qualcosa non accada.
La probabilità di \(E\) = non lanciare un 3, è uguale alla probabilità di lanciare 1, 2, 4, 5, oppure 6. Usando la formula fondamentale del calcolo delle probabilità,
\[P(E) = \frac{\text{lanciare un 1, un 2, un 4, un 5 o un 6}}{\text{numero totale di lanci possibili}}\]
\[\frac{1+1+1+1+1}{6}=\frac{5}{6}\]
Alternativamente, avremmo potuto più semplicemente sottrarre a 1 la probabilità di fallimento:
\[P(E) = 1-P(\text{lanciare un 3})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\]
In termini di logica, se A è l’insieme di tutti i casi possibili, l'evento che ha come esito l'opposto dell'esito di \(E\) prende il nome di evento complementare \(E^c\): \(E \cup E^c\ = A\)
Figura 2. Se \(A\) è lo spazio campionario, il complementare dell'evento \(E\) è \(E^c\).
Vedi se riesci a calcolare adesso la probabilità di ottenere un 1, 2, 3 o 6?
Poiché ciò equivale a chiedersi quale sia la probabilità di non lanciare un 4 o un 5, puoi procedere come segue:
Calcola prima \(P(\text{lanciare un } 4 \text{ o un } 5) = \frac{1+1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
Poi utilizza la formula \(P(\bar{E}) = 1-P(E)\), e ottieni
\[ P( \mathbf{non}\text{ lanciare un } 4 \text{ o un }5) = 1 - \frac{1}{3} =\frac{2}{3} \]
Eventi composti
La probabilità non si limita a valutare eventi singoli, ma si può estendere anche a due o più eventi. Si chiamano eventi composti due eventi che accadono uno dopo l’altro, oppure contemporaneamente. Si possono distinguere due casi:
- Il verificarsi di un evento non influisce sulla probabilità dell'altro. Allora si dicono indipendenti.
- Il primo evento ha un effetto sul secondo. Allora si dicono dipendenti.
- Due eventi indipendenti: \(E_1=\) lanciare un dado e ottenere 4, e \(E_2=\) rilanciarlo e ottenere di nuovo 4. Questo esperimento non cambierebbe se lanciassimo due dadi contemporaneamente e ottenessimo due 4. Il primo dado è indipendente dal secondo, così come il secondo lancio non è influenzato dal primo.
- Due eventi dipendenti: dato un comune mazzo di 40 carte e quattro semi, sia \(E_1=\) pescare dal mazzo un re e poi scartare la carta, \(E_2=\) ripescare un re. La prima volta ci saranno 4 re nel mazzo, e \(P(E_1) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}\). Se non rimetti la carta nel mazzo, stavolta ci sarà una carta in meno, quindi 39 carte, e in particolare ci saranno solo 3 re rimasti nel mazzo, quindi \(P(E_1) = \frac{3}{39} \neq \frac{1}{10}\). Le condizioni cambiano a causa del primo evento \(E_1\).
Se due eventi sono dipendenti, possono accadere due cose:
- Uno dei due esclude la possibilità del verificarsi dell’altro. Allora gli eventi si dicono incompatibili.
- Possono accadere entrambi, allora si dicono compatibili.
- \(E_1 =\) pescare un re (K) da un mazzo con sole quattro carte da gioco: J, Q, K, A, e scartare la carta.\(E_2 =\) ripescare un re.Non è possibile che si verifichi \(E_2\). I due eventi sono incompatibili: il primo esclude la possibilità di verificarsi dell’altro.
- Se invece rimettiamo dentro il mazzo il re, allora è possibile pescare due volte il re? Sì! I due eventi saranno compatibili.
Probabilità dell’intersezione di eventi: \(E_1\) e \(E_2\)
La prossima domanda è: qual è la probabilità che due eventi, \(E_1\) ed \(E_2\), si verificano entrambi (contemporaneamente o uno dopo l’altro), cioè \(P (E_1 \text{ ed }E_2)\)?
Per rispondere a questa domanda, dobbiamo limitarci per ora al caso più semplice che i due eventi siano indipendenti.
Nella teoria degli insiemi, capire se due insiemi \(E_1\) ed \(E_2\) possono avere elementi in comune, o accadere contemporaneamente, viene rappresentato dall'intersezione. Il simbolo è \(E_1 \cap E_2\).
Se \(E_1=\) "esce un 4 al primo lancio" ed \(E_2=\) "esce un 4 al secondo lancio", vediamo di calcolare la probabilità che si verifichino entrambi.
Guarda la seguente tabella. Queste sono tutte le combinazioni possibili lanciando un dado due volte (o lanciando due dadi contemporaneamente).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1, 1 | 2, 1 | 3, 1 | 4, 1 | 5, 1 | 6, 1 |
2 | 1, 2 | 2, 2 | 3, 2 | 4, 2 | 5, 2 | 6, 2 |
3 | 1, 3 | 2, 3 | 3, 3 | 4, 3 | 5, 3 | 6, 3 |
4 | 1, 4 | 2, 4 | 3, 4 | 4, 4 | 5, 4 | 6, 4 |
5 | 1, 5 | 2, 5 | 3, 5 | 4, 5 | 5, 5 | 6, 5 |
6 | 1, 6 | 2, 6 | 3, 6 | 4, 6 | 5, 6 | 6, 6 |
Ci sono 36 combinazioni, ma solo 1 su 36 risultati possibili è un doppio 4.
Sappiamo già che la probabilità matematica di lanciare un 4 su un dado è di \(\frac{1}{6}\).Se vogliamo un doppio 4, moltiplichiamo le probabilità di entrambi i dadi:
\[P(\text{lanciare un doppio 4 con dadi equi}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\]
Per calcolare la probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti si usa il seguente teorema del prodotto per due eventi: \[ P(E_1 \cap E_2)= P(E_1) \cdot P(E_2) \]
Potrebbe benissimo capitare che due eventi indipendenti siano anche incompatibili, cioè non possono accadere entrambi. Uno esclude l'altro. Allora: \[P(E_1 \text{ ed } E_2)=0\]
In termini di insiemi equivale a dire che \[E_1 \cap E_2=\emptyset\]
Se \(E_1=\) lanciare un 3 ed \(E_2=\) esce un numero dispari, questi due eventi sono compatibili. Se \(E_2=\) esce un numero pari, allora sono incompatibili.
Probabilità dell’unione di due eventi: \(E_1\) o \(E_2\)
Nel caso di due eventi \(E_1\) ed \(E_2\), potremmo chiederci quale sia la probabilità che si verifichi uno dei due, cioè \(P(E_1 \text{ o } E_2)\).
Nella teoria degli insiemi, capire se un elemento appartiene ad almeno uno di due insiemi \(E_1\) ed \(E_2\) equivale a considerarne l'unione. Il simbolo è \(E_1 \cup E_2\) .
Per l'unione il simbolo è una U, per esclusione puoi ricordarti che l'intersezione è rappresentato dall'altro simbolo, \(\cap\).
Se uno dei due eventi è possibile, allora l'unione non sarà l'insieme vuoto.
Per calcolare la probabilità dell'unione di due eventi, si usa il seguente teorema della somma per due eventi: \[P(E_1 \cup E_2) = P(E_1)+P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)\]
\[P(\text{ esce un 2 o esce un numero pari} ) = \frac{1}{6}+ \frac{3}{6}-\frac{1}{6} =\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
Visto che l'unione comprende entrambi gli insiemi, non dovrebbe sorprenderti che usiamo una somma per il calcolo della probabilità. Forse ti chiedi però perché nella formula c'è anche l'intersezione.
Se consideri gli eventi come insiemi, l'intersezione è un sottoinsieme di entrambi. Quindi, se sommiamo al primo insieme il secondo, staremmo contando l'intersezione due volte. Per questo occorre sottrarlo una volta.
Unione di due eventi incompatibili
Se due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) sono incompatibili, non possono avvenire allo stesso tempo. Abbiamo visto che il caso più semplice si ha quando abbiamo un evento e il suo contrario. In questo caso, non avranno alcun caso in comune, che in termini di insiemi, si traduce nel fatto che l'intersezione è vuota: \(P(E_1 \cap E_2) =\emptyset\).
Se utilizziamo questa informazione nella formula dell'unione, vediamo che si semplifica così: \[P(E_1 \cap E_2) =P(E_1)+P(E_2)\]
\[ P(\text{esce un 2 o un 3} ) = \frac{1}{6}+ \frac{1}{6} =\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] perché questi due eventi non possono verificarsi contemporaneamente, se esce un due, non sarà un tre, e viceversa.
\[ P(\text{esce un numero pari o un numero dispari} ) = \frac{3}{6}+ \frac{3}{6} =\frac{6}{6} = 1 \]
Formule alla base del calcolo delle probabilità
| Proprietà | Descrizione | Formula |
|---|---|---|
| Valore della probabilità | La probabilità che un evento si verifichi è compresa tra 0 e 1 | \[ 0 \leq P(E) \leq 1 \] |
| Somma delle probabilità | La somma delle probabilità di tutti i risultati possibili nello spazio campionario S è uguale a \(1\) | \[ P(S) = 1 \] |
| Regola del complemento | La probabilità che un evento si verifichi è uguale a \(1\) meno la probabilità che l'evento non si verifichi | \[ P(E) = 1 - P(\bar{E})\] |
| Somma logica di eventi | La probabilità che si verifichi \(A\) o \(B\) è uguale alla probabilità di \(A\) più la probabilità di \(B\) meno la probabilità che \(A\) e \(B\) si verifichino contemporaneamente | \[ P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)\] |
| Somma logica di eventi incompatibili | Per calcolare la probabilità che \(A\) o \(B\) si verifichino in questo caso, utilizziamo la regola dell’addizione* | \[ P(A \cup B) = P(A)+P(B)\] |
| Prodotto logico di eventi indipendenti | Se \(A\) e \(B\) sono indipendenti, la probabilità che \(A\) e \(B\) si verifichino contemporaneamente è uguale alla probabilità di \(A\) moltiplicata per la probabilità di \(B\) | \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\] |
* La regola cambia perché per gli eventi incompatibili \(P(A \cap B)=0\).
Calcolo delle probabilità - Key takeaways
- Se una situazione si verificherà per certo, si assegna il valore 1, se non avverrà mai, il valore 0. Tutte le altre situazioni avranno un grado di incertezza che si esprime con un valore compreso tra 0 e 1.
- Lo spazio campionario è l'insieme di tutti i casi possibili di una situazione. Poiché uno di questi eventi accadrà di sicuro, l'insieme ha sempre probabilità pari a 1.
- L'evento contrario a un evento \(E\) si indica con \(\bar{E}\), ed è ciò che avviene se non si verifica E.
- Se il primo di due eventi ha un effetto sul secondo, allora i due eventi si dicono dipendenti. Altrimenti, si dicono indipendenti.
Se due eventi sono dipendenti, e uno dei due esclude la possibilità di verificarsi dell’altro, allora gli eventi si dicono incompatibili. Altrimenti, si dicono compatibili.
La probabilità che si verifichino due eventi, cioè \(P(E_1 \text{ ed }E_2 )\) si esprime tramite l'intersezione.
La probabilità dell' intersezione di due eventi incompatibili è pari a zero.
La formula di moltiplicazione dell'intersezione è \[P(E_1 \cap E_2) =P(E_1)\cdot P(E_2)\]
Dati due eventi \(E_1\) ed \(E_2\), la probabilità che si verifichi uno dei due, cioè \(P(E_1 \text{o } E_2)\) equivale a considerarne l'unione.
Per calcolare la probabilità dell'unione di due eventi, \(E_1\) ed \(E_2\), si usa la seguente formula di addizione: \(P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)- P(E_1 \cap E_2 )\).
Se due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) sono incompatibili, la precedente formula si semplifica in \(P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)\).
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Domande frequenti riguardo Calcolo delle probabilità
Come fare il calcolo delle probabilità?
La probabilità che si verifichi un evento \(E\) si calcola tramite la seguente formula:
\[P(E) = \frac{\text{numero di casi favorevoli}}{\text{numero di casi possibili}}\]. Per esempio, lanciando un dado, la probabilità di lanciare un numero scelto tra 1 e 6 è \(\frac{1}{6}\). Ci sono sei casi, uno per ogni faccia del dado, ma solo un caso in cui si possa lanciare un 6, per esempio.
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