Immagina di essere in viaggio con un amico. Tu dici che ti mancano 20 \(\mathrm{km}\) all'arrivo, mentre il tuo amico dice che te ne mancano 30. Potreste non essere d'accordo, ma il disaccordo può essere risolto misurando la distanza davanti a voi. Almeno, questo è il caso quando si viaggia alla velocità di tutti i giorni.
Tuttavia, quando si viaggia a velocità relativistiche, cioè a velocità prossime alla velocità della luce, il disaccordo tra due osservatori in sistemi di riferimento diversi può essere significativo.
Fig. 1 - A velocità relativistiche le distanze misurate sono veramente diverse.
Contrazione delle lunghezze: definizione
La contrazione delle lunghezze è quel fenomeno che si manifesta quando la lunghezza misurata varia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore. Nello specifico, la distanza tra due punti misurata da un osservatore in quiete rispetto a entrambi i punti risulta maggiore della distanza misurata da un osservatore in un sistema di riferimento in moto rispetto ai due punti.
La lunghezza propria, che indichiamo con \(L_0\), è la distanza tra due punti misurata da un osservatore in quiete rispetto a entrambi i punti.
La contrazione delle lunghezze è un fenomeno secondo il quale la lunghezza misurata varia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore.
Contrazione delle lunghezze: formula
Dopo aver discusso cosa si intende per contrazione della lunghezza, esaminiamo un esempio per capire come effettuare i calcoli.
Supponiamo che un'astronave si muova a una velocità \(v\) prossima a quella della luce. Un osservatore A sulla terra e un osservatore B nell'astronave misureranno lunghezze diverse per la distanza percorsa dall'astronave.
Fig. 2 - Un osservatore A sulla terra e un osservatore B nell'astronave misurano lunghezze diverse per la distanza percorsa dall'astronave.
Sappiamo che la velocità dell'astronave è la stessa per tutti gli osservatori. Se calcoliamo la velocità \(v\) relativa all'osservatore terrestre A, otteniamo:
\[ v = \frac{L_0}{\Delta t}\,.\]
Qui, \(L_0\) è la lunghezza propria osservata dall'osservatore terrestre A, mentre \(\Delta t\) è il tempo misurato dall'osservatore terrestre A.
La velocità relativa all'osservatore in movimento B è:
\[ v = \frac{L}{\Delta t_0}\,.\]
Qui, \(\Delta t_0\) è il tempo proprio osservato dall'osservatore B in movimento, mentre \(L\) è la distanza osservata dall'osservatore B in movimento.
Poiché le due velocità sono uguali deve valere la seguente relazione:
\[\frac {L_0}{\Delta t} = \frac{L}{\Delta t_0} \]
Sappiamo dallo studio del fenomeno della dilatazione dei tempi che \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\), dove \( \gamma \) è il fattore di Lorentz. Sostituendo \(\Delta t\) nell'equazione precedente otteniamo:
\[ L = \frac{L_0}{\gamma}\,.\]
Poiché \(\gamma \gt 1\) , si ha \( L \lt L_0\). Quindi, l'osservatore B in movimento vedrà una distanza più corta di quella osservata da A.
Sostituendo l'espressione per \(\gamma\), otteniamo:
\[ L= L_0 \: {\sqrt{1- \frac {v^2}{c^2}} }\,.\]
Contrazione delle lunghezze: esempi
Una delle conseguenze della contrazione delle lunghezze è che se un oggetto si muove a una velocità prossima a quella della luce, la sua lunghezza può essere osservata come inferiore alla sua lunghezza propria da un osservatore fermo rispetto al moto. Consideriamo il seguente esempio.
Fig. 3 - Gli osservatori misureranno una diversa lunghezza dell'asta.
Prendi un'asta di 10 \(\mathrm{cm}\). Questo valore (che è misurato nel sistema di riferimento in quiete rispetto all'asta) sarà diverso rispetto a quello misurato da un osservatore che viaggia a una velocità prossima a quella della luce.
La lunghezza dell'asta misurata in sistema di riferimento in quiete rispetto a esso è detta lunghezza propria. Quando l'asta si muove a velocità relativistiche, la lunghezza misurata da un osservatore esterno sarà sempre inferiore alla lunghezza propria.
Un classico esempio di contrazione della lunghezza si ha quando un oggetto viaggia nello spazio, come nell'esempio seguente.
Immaginiamo un osservatore in viaggio dal pianeta blu a quello rosso alla velocità di \( 0{,}1 \, c\). La distanza tra i due pianeti è di 1000 anni luce, misurata da un osservatore terrestre. Qual è la distanza relativa all'osservatore sull'astronave in chilometri?
Fig. 4 - L'osservatore sull'astronave misurerà una distanza inferiore rispetto a quella misurata dall'osservatore sulla Terra.
Se 1000 anni luce è la distanza misurata dall'osservatore sulla Terra, allora questa è la lunghezza propria \(L_0\). Come abbiamo detto, la relazione tra la lunghezza propria \(L_0\) e la lunghezza osservata dall'osservatore in movimento rispetto ai due punti è:
\[ L = \frac{L_0}{\gamma}\,.\]
Inserendo i dati otteniamo:
\[ L = \frac{1 \:000 \: al}{1{,}005} \approx 995 \, al\,.\]
Contrazione delle lunghezze - Punti chiave
- La contrazione della lunghezza è il fenomeno che si verifica quando la lunghezza di un oggetto che viaggia a una certa velocità viene misurata come inferiore alla sua lunghezza propria.
- La lunghezza propria (\(L_0\)) è la distanza tra due punti osservati da un osservatore fermo rispetto a entrambi i punti.
- Se un oggetto si muove a una velocità prossima a quella della luce, la sua lunghezza sarà osservata come inferiore alla sua lunghezza propria da un osservatore a riposo rispetto all'oggetto in movimento.
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