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Equilibrio

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Quando si parla di un corpo in equilibrio, occorre distinguere tra il caso in cui il corpo resta in quiete (equilibrio statico) e il caso in cui si muove di moto rettilineo uniforme (equilibrio dinamico).

Dopo aver illustrato la differenza tra equilibrio statico ed equilibrio dinamico, illustreremo le condizioni di equilibrio statico nei corpi rigidi disitnguendo tra punto materiale materiale e corpo rigido e introducendo il concetto di momento di una forza. Infine, enunceremo la condizione di equilibrio statico nei fluidi.

Equilibrio statico ed equilibrio dinamico

Se la risultante delle forze applicate a un punto materiale è nulla, per il primo principio della dinamica il sistema resta in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. La condizione di equilibrio per un punto materiale è pertanto la seguente:

\[ \vec F_{TOT} = 0 \]

In generale, se un corpo rimane in quiete, si dice che è in equilibrio statico. Un classico esempio è quello di un oggetto appoggiato su un tavolo. L'ggetto è in quiete in quanto la forza di gravità (diretta verso il basso) è bilanciata dalla reazione vincolare (diretta verso l'alto) del tavolo che sorregge l'oggetto.

Se anziché essere in quiete, il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, allora si parla di equilibrio dinamico. Dal punto di vista matematico, la trattazione è la medesima: la somma delle forze agenti sul sistema deve essere nulla.

Equilibrio dei solidi

Rienunciamo ora brevemente il concetto di equilibrio per un punto materiale prima di estendere il concetto di equilibrio ai corpi estesi.

Equilibrio di un punto materiale

Con il concetto di "punto materiale" si indica un punto dotato di massa ma privo di estenzione. Si tratta quindi di un puro modello teorico.

Un punto materiale è un punto dotato di massa ma privo di estenzione.

Un punto materiale è in equilibrio quando è nulla la risultante delle forze agenti su di esso:

\[ \vec F_{TOT} = 0 \]

Equilibrio di un corpo rigido

Il concetto di punto materiale, utile a effettuare un'analisi dinamica dei sistemi, non esiste tuttavia nella realtà. Vediamo quindi quali sono le condizioni di equilibrio per un corpo esteso.

Si definisce corpo rigido un oggetto esteso che non subisce deformazioni indipendentemente dalle forze che gli sono applicate. Lo studio dell'equilibrio nei corpi deformabili può diventare piuttosto complesso; ci limiteremo quindi al caso dei corpi rigidi.

Si definisce corpo rigido un oggetto esteso che sotto l'azione di forze non subisce deformazioni.

Un corpo rigido è in equilibrio statico quando non subisce né traslazioni né rotazioni. Questo si verifica quando la somma delle forze agenti di esso e la somma dei momenti delle singole forze sono entrambi uguali a zero.

Un corpo rigido è in equilibrio quando risultano nulle sia la risultante delle forze che quella dei momenti.

Condizione di equilibrio traslazionale

Affiché un corpo rigido non trasli, il suo centro di massa (ovvero il punto in cui si può considerare concentrata tutta la massa) deve rimanere fermo. Questo avviene quando la somma delle forze agenti sul corpo è pari a zero.

\[ \vec F_{TOT} = \sum_{i} F_i = 0 \]

Condizione di equilibrio rotazionale

Affinché il corpo rigido non ruoti, è necessario che la somma dei momenti delle forze sia nulla:

\[ \vec M_{TOT} = \sum_{i} M_i = 0 \]

Momento di una forza

Vediamo ora, più nel dettaglio, cos'è il momento di una forza. Il momento di una forza, detto anche momento torcente, è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza \( \vec r \) e la forza stessa \( \vec F \) :

\[ M = \vec r \times \vec F \]

L’unità di misura del momento torcente è il Newton per metro ( N m ).

Ricordandoci la definizione di prodotto vettoriale, la direzione di \( \vec M \) è perpendicolare al piano individuato da \( \vec r\) e \( \vec F\) e il suo modulo è

\[ \lvert \vec M \rvert = r F \sin(\theta) \]

dove \( \theta \) è l'angolo compreso tra \( \vec r \) e \( \vec F \) .

Equilibrio momento di una forza StudySmarterFigura 1. Momento di una forza: \( \tau = \vec r \times \vec F \). Fonte: Guy vandegrift and Jeffrey W. Schnick, Wikimedia Commons

È importante notare che il braccio non è fisso ma cambia a seconda del punto di applicazione della forza. Più nello specifico, il braccio è diretto dal centro di rotazione al punto in cui viene applicata la forza come mostrato in Figura 1.

L’effetto del momento è di produrre una rotazione attorno al centro di rotazione, come mostrato in Figura 2 nel caso di un momento generato applicando una forza a una chiave inglese.

Equilibrio esempio momento torcente StudySmarterFigura 2. Una chiave inglese può essere usata per applicare un momento a un altro oggetto. Fonte: dreamstime

Dalla definizione di momento di una forza è facile notare che, a parità di forza applicata, il modulo del momento aumenta all'aumentare del braccio. Inoltre, puoi notare che il momento è nullo per \(\theta = 0°\) (o \(\theta = 180°\)) e massimo per \(\theta = 90°\) (o \(\theta = 270°\)) . In altre parole, se \( \vec r \) e \( \vec F \) sono paralleli, il momento torcente è nullo e, quindi, non ci può essere rotazione. Se, viceversa, \( \vec r \) e \( \vec F \) sono perpendicolari, a parità di intensità della forza e braccio, il valore del momento torcente è massimo.

Su un estremo di un'asta lunga 5m è applicata una forza di 5 N perpendicolarmente alla sbarra. L'asta è libera di ruotare attorno all'altro estremo. Quale forza occorrerebbe applicare se l'asta fosse lunga il doppio per ottenere lo stesso momento?

Inserendo \( \theta = 90° \) (forza applicata perpendicolarmente alla sbarra), F= 5 N e r = 5m nella formula per calcolare l'intensità del momento si ottiene:

\[ \lvert \vec M \rvert = r F \sin(\theta) = 5 m \cdot 5 N \cdot 1 = 25 N m\]

Se l'asta fosse lunga il doppio (r = 10m), per ottenere lo stesso momento occorrerà applicare una forza F data dalla seguente relazione:

\[ F = \frac{M}{r} = \frac {25 Nm}{10 m} = 2,5 N \]

ovvero, se il braccio aumenta, occorre applicare una forza di intensità minore per ottenere lo stesso momento.

Momento di una coppia di forze

Nel caso di due forze \( \vec F \) e \( - \vec F \) aventi uguale intensità, stessa direzione e verso opposto si parla di "coppia di forze". Questo sistema causa una rotazione come mostrato in Figura 3.

Equilibrio momento torcente coppia di forze StudySmarterFigura 3. Momento torcente di una coppia di forze. Fonte: Paulatto, Wikimedia Commons

Il momento risultante \( \vec M \) è perpendicolare al piano dove si trovano le due forze e si trova applicando la stessa formula vista nel caso del momento di una forza, \( \vec M = \vec r \times \vec F \), con la differenza che \( \vec r \), in questo caso, è il vettore che congiunge i punti di applicazione delle due forze.

Una coppia di forze ha intensità 10 N e braccio (distanza tra i due punti di applicazione) pari a 2m. Quale deve essere il braccio di una coppia di forze di intensità 4N che genera lo stesso momento?

Il momento della coppia di forze di intensità 10 N e braccio 2m è pari a

\[ M = r F = 2 m \cdot 10 N= 20 Nm\]

Se la coppia di forze ha intensità 4N, per avere lo stesso momento il braccio della coppia dovrà essere

\[ r = \frac{M}{F} = \frac {20 Nm}{4 N} = 5 m \]

ovvero, se l'intensità della forza diminuisce, la lunghezza del braccio deve aumentare per ottenere lo stesso momento.

Equilibrio dei fluidi

In questa sezione vedremo brevemente come il concetto di equilibrio può essere applicato ai fluidi.

I fluidi sono sostanze che comprendono sia liquidi che gas e sono caratterizzati dal fatto che le particelle che li costituiscono possono scorrere le une sulle altre (liquidi) o muoversi indipendentemente le une dalle altre (gas).

Analogamente al caso dei solidi, un fluido è in equilibrio statico se è in quiete e vi rimane nel tempo. Ricordati, tuttavia, che dal punto di vista microscopico le singole particelle sono in continuo movimento! Pertanto, quando parliamo di fluido in equilibrio statico, ci riferiamo a uno stato di quiete dal punto di vista macroscopico.

Pressione in un fluido

Prima di enunciare la condizione di equilibrio statico nei fluidi dobbiamo capire quali forze agiscono in un fluido.

In un fluido si distinguono forze di volume, ovvero quelle forze esercitate sul volume dell'elemento di fluido (come, ad esempio, la forza peso) e le forze di superficie, ovvero quelle forze esercitate sulla superficie dell'elemento di fluido.

Più nello specifico, un fluido esercita una pressione sia sulle pareti del recipiente che lo contiene che su un qualunque corpo immerso. Inoltre, ogni elemento di fluido esercita una pressione sugli altri elementi.

In generale, si definisce pressione il rapporto tra la forza agente sulla superficie e l'area della superficie.

La pressione P è data dal rapporto tra l'intensità della forza F che agisce perpendicolarmente alla superficie e l'area A della superficie:

\[ P = \frac {F_{\perp}}{A} \]

Nel SI si misura in Pascal (1 Pa = 1 Nm-2).

Equilibrio definizione di pressione StudySmarterFigura 4. La pressione è data dal rapporto tra la forza premente F e l'area della superficie A. Fonte: Keller, Wikimedia Commons.

La pressione è inversamente proporzionale all'area della superficie su cui è esercitata. Questo significa che, a parità di forza applicata, la pressione aumenta al diminuire dell'area della superficie su cui è esercitata.

In un fluido, si definisce pressione interna nel punto P la pressione esercitata sulla superficie \( \Delta A \) centrata in P. Se \( \Delta F \) è l'intensità della forza perpendicolare alla superficie \( \Delta A \) , agente sulla superficie stessa, la pressione è:

\[P = \lim _{ \Delta A \to 0 } \frac { \Delta F}{ \Delta A} \]

Condizione di equilibrio nei fluidi

Affinché il fluido sia in quiete, la somma delle forze deve essere nulla. Indicando con \( F_V \) le forze di volume e con \( F_S \) le forze di superficie, la condizione di equilibrio è la seguente:

\[ \vec F_V + \vec F_S = 0 \]

Si può dimostrare che questa condizione si traduce nella seguente relazione:

\[ \nabla P = \rho \vec a\]

dove \( \nabla P \) è il gradiente della pressione, \( \rho \) è la densità del fluido e \( \vec a \) è l'accelerazione dovuta alla forze di volume.

Come vedremo più nel dettaglio negli articoli di questa sezione, se il fluido ha densità costante e l'unica forza di volume è la forza peso, questa condizione di equilibrio si traduce nella legge di Stevino.

Equilibrio - Key takeaways

  • Se un corpo rimane in quiete, si dice che è in equilibrio statico. Se anziché essere in quiete, il corpo si muove con velocità costante, allora si parla di equilibrio dinamico.
  • Un punto materiale è in equilibrio quando è nulla la risultante delle forze agenti su di esso.
  • Un corpo rigido è in equilibrio quando la somma delle forze agenti di esso e la somma dei momenti delle singole forze sono entrambi uguali a zero.
  • Il momento di una forza, detto anche momento torcente, è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza \( \vec r \) e la forza stessa \( \vec F \) : \( M = \vec r \times \vec F \) )
  • Il momento di una coppia di forze di uguale intensità \( \lvert \vec F \rvert \), parallele e di verso opposto è perpendicolare al piano dove si trovano le due forze ed è dato dalla seguente relazione: \( \vec M = \vec r \times \vec F \), dove \( \vec r \), in questo caso, è il vettore che congiunge i punti di applicazione delle due forze.
  • La condizione di equilibrio statico nei fluidi è la seguente: \( \nabla P = \rho \vec a\).

Domande frequenti riguardo Equilibrio

L'equilibrio di un punto materiale si calcola imponendo la risultante delle forze agenti su di esso uguale a zero.

L'equilibrio di un corpo rigido si trova imponendo che sia la risultante delle forze che la risultante dei momenti delle singole forze siano uguali a zero.

Quando si parla di un corpo in equilibrio, si distingue tra il caso in cui il corpo resta in quiete (equilibrio statico) e il caso in cui si muove di moto rettilineo uniforme (equilibrio dinamico). 

Quiz Finale Equilibrio

Un corpo rigido è in equilibrio quando ___

La somma delle forze agenti su di esso è nulla. 

Se il braccio della forza e la forza sono paralleli, il momento torcente è ___

Nullo.

Una coppia di forze è costituita da due forze che hanno ___

Stessa intensità, stessa direzione e verso opposto e diverso punto di applicazione.

Una coppia di forze genera una traslazione.

Falso.

Un corpo è in equilibrio statico quando ___

rimane in uno stato di quiete.

Se la risultante delle forze applicate a un corpo è nulla e il corpo è in movimento, il corpo è in equilibrio statico?

No, il corpo è in equilibrio dinamico.

Mantenendo l'intensità della forza costante aumentando il braccio, cosa succede al momento torcente?

Aumenta.

Quali forze agiscono in un fluido?

Le forze di volume e le forze di superficie.

Qual è l'unità di misura della pressione nel SI?

Il Pascal (1 Pa = 1 N/m2)

Il momento di una coppia di forze è una grandezza ___

Vettoriale.

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