I corpi hanno proprietà come il peso, la carica, la densità, ecc. Il loro peso è legato alla loro massa e al modo in cui questa viene influenzata da una forza gravitazionale. In molti casi, per semplificare le cose, la massa può essere concentrata in un unico punto, soprattutto quando si tratta di particelle o di piccoli corpi. Tuttavia, i corpi possono anche essere irregolari o di grandi dimensioni, nel qual caso potrebbe essere necessario un altro mezzo di semplificazione. In questo caso può essere utile il concetto di centro di massa.
Il centro di massa e il baricentro fisico sono spesso confusi. Mentre il centro di massa è il punto corrispondente al valor medio della distribuzione di massa di un sistema, il baricentro (in fisica) è definito come quel punto nel quale possiamo considerare applicata la forza peso totale del sistema. Il baricentro coincide con il centro di massa se il campo gravitazionale è uniforme su tutto il corpo.
In questa sezione illustreremo i concetti di centro di massa e baricentro attraverso spiegazioni, rappresentazioni grafiche ed esempi pratici.
Cos'è il centro di massa?
Il centro di massa è il punto corrispondente al valor medio della distribuzione della massa del sistema.
In altre parole, nel caso di un corpo solido, il centro di massa
è il punto in cui si presume si concentri tutta la massa del corpo. Il concetto di centro di massa semplifica quindi i problemi in due modi principali:
Fornisce un punto di riferimento per lo studio delle interazioni corpo-forza.
Semplifica le traiettorie degli oggetti rappresentando il loro movimento con l'aiuto della traiettoria del centro di massa.
Forze
Quando si utilizza il centro di massa per studiare le interazioni corpo-forza, le forze non agiscono sul punto di contatto ma sul centro di massa.
Fig. 1 - Il centro di massa può aiutare a semplificare il calcolo delle forze che agiscono su un corpo. Nei corpi irregolari, le forze che agiscono sulla superficie (a sinistra) possono essere semplificate in forze che agiscono sul centro di massa o "CM" (a destra).
Concentrando tutte le forze nel centro di massa, le leggi di Newton e la sovrapposizione delle forze possono essere utilizzate per trovare la forza netta agente su un corpo, l'accelerazione e altre variabili.
Movimento
Se le forze che agiscono su un oggetto causano un movimento, questo può essere semplificato con lo spostamento del suo centro di massa. In questi casi, il centro di massa può essere analizzato utilizzando le leggi di Newton sul centro di massa o le equazioni cinematiche per ottenere lo spostamento, la velocità e l'accelerazione.
Fig. 2 - Quando una forza F agisce su un corpo, il movimento può essere rappresentato come il movimento del suo centro di massa o "CM". In questo caso, il corpo che si muove dal tempo T1 al tempo T2 segue un percorso indotto dalla forza "F". Il movimento del corpo può essere rappresentato dal punto "CM", che è il suo centro di massa.
Centro di massa di un quadrato o di un rettangolo
Alcuni centri di massa possono essere determinati più facilmente di altri, a seconda della densità, della forma e dello spessore dell'oggetto. Si veda il seguente esempio:
Supponiamo di voler ottenere il centro di massa di un corpo regolare e simmetrico, come un quadrato. Se avete mai giocato con un pezzo quadrato di metallo o di legno, sapete che potete metterlo in equilibrio sul vostro dito posizionandolo al centro del quadrato.
Fig. 3 - Il centro di massa in un quadrato con densità regolare è al centro.
L'equilibrio è possibile perché se la densità è uniforme, il suo peso è lo stesso in ogni punto del quadrato. Anche la forza che lo trascina verso il basso (gravità) è uguale in tutti i punti.
Il centro di massa degli oggetti regolari, come un quadrato, un rettangolo, un cerchio o un triangolo equilatero, si trova al centro della forma geometrica, come mostrato di seguito:
Fig. 4 - Il centro di massa in un cerchio con raggio r arbitrario, un triangolo equilatero con lato l arbitrario, un rettangolo con lati l e L arbitrari, un anello con raggi interni ed esterni arbitrari (r1 e r2).
Per molte figure regolari, il loro centro di massa si sovrappone al centro geometrico.
Il centro geometrico di una figura è la "posizione media" di tutti i suoi punti.
Centro geometrico
Quando la densità e la forma di un oggetto sono regolari, il centro di massa si trova nel centro geometrico o centroide.
Fig. 5 - Centri geometrici di figure 3D regolari. Se la densità è uniforme, il centro di massa coincide con il centro geometrico.
Centro di un sistema di particelle
Il centro di massa può essere definito anche per un sistema composto da diverse particelle, come nel caso dell'analisi di cariche o di masse puntiformi. Se gli oggetti hanno una densità regolare, il centro di massa può essere trovato utilizzando la seguente formula (per 3 particelle):
\[ CM = \frac {m_1 \vec {r_1} + m_2 \vec {r_2} + m_3 \vec {r_3} } { m_1 + m_2 + m_3 }\]
dove i vettori \( \vec r \) sono le coordinate \(x\), \(y\) e \(z\) misurate dall'origine. La formula è suddivisa in tre formule per le posizioni \(x\), \(y\) e \(z\), come segue:
\[ CM_x = \frac {m_1 x+ m_2 x + m_3 x } { m_1 + m_2 + m_3 }\]
\[ CM_y = \frac {m_1 y + m_2 y + m_3 y } { m_1 + m_2 + m_3 }\]
\[ CM_z = \frac {m_1 z + m_2 z + m_3 z } { m_1 + m_2 + m_3 }\]
Vediamo un esempio.
Un sistema di tre particelle ha la configurazione mostrata nella Figura 6. Le particelle sono collegate da forze che le tengono bloccate in una posizione triangolare. Un'altra forza le fa muovere tutte nel piano \((x,z)\).
Determina il centro di massa che può essere utilizzato per semplificare il loro movimento se le loro singole masse sono \(m1=100\, \mathrm g\), \(m2=50\, \mathrm g\), e \(m3=64\, \mathrm g\).
Fig. 6 - Sistema di particelle con coordinate x, y e z. Le particelle si trovano tutte nel piano (x,z), quindi la loro seconda coordinata è 0.
Innanzitutto, è necessario ottenere la coordinata di ogni particella del sistema. In questo caso, per tutte le particelle si ha \(y=0\). Il problema sarà semplificato per trovare le coordinate in \(x\) e in \(z\):
\[ CM_x = \frac {m_1 x+ m_2 x + m_3 x } { m_1 + m_2 + m_3 } = \frac { (100 \cdot 3)+(50 \cdot 2,5)+(64 \cdot 1,6) } { 100 + 50 + 64} = 2,46 \approx 2,5 \]
\[ CM_z = \frac {m_1 z+ m_2 z+ m_3 z } { m_1 + m_2 + m_3 } = \frac { (100 \cdot 2,3)+(50 \cdot 3,5)+(64 \cdot 2,7) } { 100 + 50 + 64} = 2,7 \]
È quindi possibile semplificare il movimento delle tre particelle come un unico punto in movimento nel piano (x,z) con le seguenti coordinate:
\[ CM_{x,z} = (2,5 ; 2,7 ) \]
Fig. 7 - Il centro di massa (rosa) è il punto che può essere utilizzato per descrivere la traiettoria delle tre particelle in movimento.
Se il sistema è costituito da oggetti simmetrici con densità uniforme, come cerchi, quadrati o anelli, le coordinate del loro centro di massa sono fornite dai loro centri geometrici. Ottenute le coordinate del centro geometrico, queste possono essere utilizzate per ottenere il centro di massa dell'intero sistema.
Baricentro
Il baricentro è il luogo geometrico in cui agisce la forza di gravità in un corpo o in un sistema di corpi.
Il baricentro è un concetto utile che ci aiuta a semplificare l'analisi delle forze che agiscono su un singolo corpo o su un sistema composto da diversi corpi collegati fisicamente o da una forza. Se la massa è uniforme, possiamo facilmente semplificare il sistema di forze quando analizziamo un corpo in movimento. In questi casi, l'intera massa può essere collocata nel baricentro, poiché la forza di gravità agisce su questo punto.
Il concetto di baricentro si applica anche ai corpi in rotazione. In alcuni di questi casi, vedremo che le forze agenti possono formare una coppia e indurre così una rotazione. Un esempio classico è la sfera.
Se la palla ha densità uniforme, centro geometrico, centro di massa e baricentro coincidono (avendo considerato costante il campo gravitazionale). Supponiamo la palla sia soggetta a una forza \(F\). Oltre a questa forza, sulla palla agiranno anche la forza di gravità e l'attrito, come mostrato in Figura 9.
La forza di attrito agisce perpendicolarmente alla superficie di contatto e in verso contrario al movimento della sfera. Questa forza agisce a una distanza \(^"d^"\) dal centro della sfera, provocando una coppia che è responsabile della rotazione della sfera.
Fig. 8 - Il punto in cui è stata applicata la forza F e la gravità possono essere semplificati come agenti sul centro di massa (x rossa).
Fig. 9 - Una palla da biliardo ruota a causa della forza di attrito "f", che si produce a una distanza "d" dal suo centro di massa quando la palla è soggetta alla forza "F".
Baricentro vs centro di massa
Il baricentro e il centro di massa non devono essere confusi. Il secondo dipende dalla distribuzione della massa di un corpo, mentre il primo dipende dalla forza di gravità che agisce sul corpo. Essi quindi non coincidono se il campo gravitazionale non è uniforme. Si veda il seguente esempio.
Una barra lunga 10 chilometri si estende verticalmente sulla superficie terrestre. La sua forma è cilindrica con uno spessore A. Il vento non soffia e non c'è altra forza oltre alla gravità.
In questo caso, il centro di massa si trova esattamente al centro della barra, poiché la densità è uniforme. Tuttavia, il baricentro non lo è. Ricordiamo la formula della forza di gravità sulla superficie della terra.
\[ F = G \frac {M_{Terra} m_{cilindro}}{r^2} \,,\]
dove \(G\) è la costante di gravitazione universale, pari a \(6{,}67 \times 10^{-11} \, \mathrm N \, \mathrm m^2/\mathrm {kg}^2\), \(r\) è la distanza del centro di massa terrestre da ciascuna parte del cilindro, misurata in metri. \(M_{Terra}\) e \(m_{cilindro}\) sono le masse dei corpi misurate in chilogrammi.
La forza diminuisce man mano che ci si allontana dalla superficie terrestre. Se si divide la barra in piccoli cilindri con un'altezza di \(10\, \mathrm {cm}\) e una massa di \(1 \mathrm {kg}\), gli ultimi cilindri di questa lunga barra sentono una forza gravitazionale minore rispetto a quelli in superficie se tutti i valori sono uguali e solo r cambia.
Ciò significa che la parte superiore della barra pesa meno e il suo baricentro si sposta verso il basso.
Di seguito sono elencate alcune differenze fondamentali tra il centro di massa e il baricentro.
| Centro di massa | Baricentro |
| Utile per analizzare il movimento di un oggetto. | Utile per analizzare la stabilità di un oggetto soggetto a forze gravitazionali. |
| Dipende dalla massa dell'oggetto. | Dipende dalla gravità. |
| Può coincidere con il centro geometrico in oggetti simmetrici con densità uniforme. | Può non coincidere con il centro geometrico in oggetti simmetrici con densità uniforme perché dipende dal campo gravitazionale. |
Centro di massa - Punti chiave
- Il centro di massa è il punto in cui si può supporre che tutta la massa sia concentrata in un corpo.
- Il centro di massa è utile per semplificare le forze che agiscono su un corpo o il suo moto.
- Il centro di massa e il centro geometrico coincidono per i corpi con simmetria regolare e densità uniforme.
- In fisica il baricentro è definito come quel punto nel quale possiamo considerare applicata la forza peso totale di un sistema materiale
- Il baricentro e il centro di massa non sono la stessa cosa. Una caratteristica distintiva è che il baricentro dipende dalla forza di gravità, mentre il centro di massa non dipende da essa.
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