Campo gravitazionale

Rappresentazione vettoriale dei campi di forza

I campi di forza causano un'interazione tra oggetti senza che questi ultimi si tocchino. Nel caso della gravità, questa interazione avviene tra masse: qualsiasi oggetto sperimenta una forza attrattiva se viene posto nel campo gravitazionale di un altro oggetto.

I campi di forza possono essere rappresentati come un sistema di vettori, come illustrato nella figura sottostante, in cui le frecce rappresentano le linee del campo gravitazionale terrestre.

Fig. 1 - Linee del campo gravitazionale terrestre.

Come mostrato nella Figura 1, le linee di campo puntano verso il centro, sono più vicine tra loro in prossimità della superficie della Terra (dove il campo è più intenso) e si allontanano l'una dall'altra all’aumentare della distanza dalla Terra (dove il campo è più debole).

Come si calcola la forza di gravitazione?

Consideriamo due corpi di massa \(m_1\) e \(m_2\). La seguente equazione rappresenta la legge di gravitazione universale in forma vettoriale:

\[\vec{F}_{12} = - G \: \frac{m_1 \: m_2}{|\vec{r}|^2} \: \hat{u}_r \,,\]

dove

• \(\vec{F}_{12}\) è la forza applicata sul corpo 2 dovuta al corpo 1.

• \(G\) è la costante gravitazionale.

• \(m_1\) è la massa del corpo 1.

• \(m_2\) è la massa del corpo 2.

• \(|\vec{r}| = |\vec{r_2}-\vec{r_1}\) è la distanza tra i due corpi.

• \(\hat{u}_r\) è il versore dal corpo 1 al corpo 2 ed è pari a \(\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{|\vec{r_2} - \vec{r_1}|}\).

Dalla formula si può vedere che che \(\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}\).

La costante di gravitazione \(G\) non dipende dalle masse \(m_1\) e \(m_2\) prese in esame, né dal luogo considerato. Il suo valore (approssimato) è pari a \(6{,}67 \times 10^{-11} \, \mathrm N \, \mathrm m^2 \, \mathrm {kg}^{-2}\).

Fig. 2 - Forza che agisce su \(m_2\) a causa di \(m_1\).

Formula del campo gravitazionale

La formula del campo gravitazionale generato nel punto \(r\) dello spazio dalla massa \(M\) è dato da:

\[\vec{g}(\vec{r}) = -G \: \frac{M}{|\vec{r}|^2} \: \hat{u}_r \,.\]

Il segno meno è dovuto al fatto che le linee di campo sono dirette verso il centro del corpo che genera il campo. Nel SI l’unità di misura del campo \(g\) è \(\mathrm N\, \mathrm{kg}^{-1}\), ovvero \(\mathrm m\, \mathrm s^{-2}\).

La forza esercitata su una massa di prova \(m\) è legata al campo dalla seguente relazione:

\[\vec{F}(\vec{r}) = m \: \vec{g}(\vec{r})\]

Campo gravitazionale terrestre

Nel caso del campo gravitazionale terrestre, \(M\) è la massa della Terra. In prossimità della superficie terrestre, il campo assume un valore pari a circa \(9{,}81 \, \mathrm m\, \mathrm s^{-2}\), noto come accelerazione di gravità.

È importante notare che anche la massa di prova \(m\) (ad esempio, la nostra massa) genera un campo gravitazionale cui è soggetta la massa \(M\) della Terra. Tieni però presente che la nostra massa è trascurabile rispetto a quella della Terra!

Campo Gravitazionale di Giove

La forza gravitazionale dipende dalla massa del pianeta. Giove è il più grande pianeta del sistema solare e il quinto in ordine di distanza dal Sole. La massa di Giove è pari a circa 318 volte la massa terrestre e in prossimità della superficie l’accelerazione di gravità è pari a circa 2,5 volte l’accelerazione di gravità terrestre.

Il campo gravitazionale è conservativo

La forza definita dalla legge di gravitazione universale è conservativa e, quindi, il lavoro compiuto dalla forza per portare una massa dalla posizione A e la posizione B non dipende dal percorso effettuato. Questo significa che si può definire un’energia potenziale associata alla forza di attrazione gravitazionale.

In prossimità della superficie terrestre, \(g\) può essere considerata costante e sappiamo che l’energia potenziale di una massa \(m\) a distanza \(h\) dalla superficie terrestre è

\[U = mgh \,.\]

Il caso generale è più complicato. Si deve infatti calcolare il lavoro \(L_{AB}\) compiuto dalla forza gravitazionale per spostare la massa dal punto A al punto B:

\[L_{AB} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{r} \,,\]

dove \(\vec{r}\) è diretto lungo la direzione radiale e verso uscente dalla massa \(M\).

Risolvendo l’integrale si ottiene

\[L_{AB} = G\:M\:m \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right) \,.\]

Poiché la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza per portare la massa da A a B, possiamo scrivere

\[\Delta U = -L_{AB}\]

e, quindi,

\[\Delta U = U_B - U_A = G\:M\:m \left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right)\]

Abbiamo quindi trovato la formula per la variazione di energia potenziale. Fissando \(U(\infty) = 0\) (ovvero, energia potenziale nulla quando le due masse sono a distanza infinita), si ottiene l’energia potenziale in funzione della distanza \(r\) tra \(m\) e \(M\):

\[U(\infty) - U(r) = G\:M\:m \left(\frac{1}{r} - 0\right)\]

e, quindi,

\[U(r) = - G\:M\:m \:\frac{1}{r} \,.\]

L’energia potenziale è quindi negativa e si avvicina a zero al tendere della distanza \(r\) all’infinito.

Campo Gravitazionale e campo elettrico

In analogia con quanto accade nel caso del campo gravitazionale, anche la presenza di una carica elettrica produce un campo. Nel caso del campo gravitazionale la sorgente è la massa, mentre nel caso del campo elettrico la sorgente è la carica elettrica.

Nel caso del campo gravitazionale abbiamo introdotto la massa di prova \(m\) e definito il campo gravitazionale come il rapporto tra la forza esercitata su di essa e la massa di prova:

\[\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}\,.\]

Nel caso del campo elettrico si introduce una carica di prova \(q\) soggetta alla forza di Coulomb \(F_C\). Il campo elettrico è quindi dato dal rapporto tra la forza esercitata su di essa e il valore della carica di prova:

\[\vec{E} = \frac{\vec{F_C}}{q} = k\: \frac{Q}{|\vec{r}|^2} \: \hat{u}_r\]

dove \(k\) è la costante di Coulomb.

Si possono dunque notare le seguenti somiglianze: in entrambe le equazioni vi è una costante (\(G\) nel caso del campo gravitazionale e \(k\) nel caso del campo elettrico), entrambi i campi sono direttamente proporzionali alla grandezza che genera il campo (\(M\) nel caso del campo gravitazionale e \(Q\) nel caso del campo elettrico), ed entrambi i campi sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza.

Tuttavia, mentre nel caso del campo gravitazionale si è in presenza di forze attrattive, nel caso del campo elettrico vi sono forze sia attrattive che repulsive a seconda del segno della carica.

Fig. 3 - Linee del campo elettrico che rappresentano il campo elettrico creato da una carica positiva (a sinistra), una carica negativa (al centro) e un oggetto privo di carica (a destra).

Come mostrato in Figura 3, anche il campo elettrico ha simmetria radiale. È tuttavia importante notare che le linee di campo prodotte da una carica positiva sono uscenti, mentre le linee di campo prodotte da una carica negativa puntano verso di essa.