Per millenni l'umanità è stata affascinata dalle stelle e dai pianeti che vagano nel cielo notturno senza riuscire a comprenderne i movimenti. Quando Johannes Kepler spiegò come i pianeti girano intorno al sole, la nostra comprensione dell'universo cambiò e si aprì la strada all'astronomia moderna.Le leggi di Keplero sono un insieme di tre teoremi che descrivono il moto dei pianeti e altri oggetti in orbita nel nostro sistema solare. Possiamo usare le definizioni delle leggi di Keplero per spiegare le forme dei percorsi orbitali, capire le variazioni di velocità dei pianeti in movimento e calcolare proprietà come il periodo orbitale e la distanza media di un pianeta da una stella.
Prima legge di Keplero
La prima legge di Keplero, detta anche legge delle ellissi, dice che la forma dell'orbita di un pianeta è ellittica. Un percorso ellittico significa che l'orbita ha un'eccentricità maggiore di zero e che il sole è posizionato in uno dei due fuochi, i punti fissi sul suo semiasse maggiore.
La prima legge di Keplero afferma che i pianeti si muovono su un'orbita ellittica, con il sole situato in un punto fisso del semiasse maggiore.
Vediamo un esempio della prima legge di Keplero con il diagramma dell'orbita di un pianeta.
Fig. 1 - Orbite ellittiche con ellitticità diverse e il Sole in uno dei due fuochi.
In questo diagramma abbiamo due ellissi che rappresentano il percorso di un pianeta in orbita attorno al Sole. L'ellisse A appare molto più piatta e allungata, mentre l'ellisse B è quasi circolare. Il sole non è fissato direttamente al centro per le orbite che non sono circolari, il che significa che ci sono momenti in cui un pianeta sarà sensibilmente più vicino o più lontano dal sole. Il punto più vicino è chiamato perielio, mentre il punto più lontano è chiamato afelio.
L'orbita del nostro pianeta natale ha un'eccentricità \(e = 0,0167\). Il periodo di viaggio della Terra intorno al Sole dura 365,256 giorni, che comunemente chiamiamo anno. Quel quarto di giorno in più in ogni orbita è il motivo per cui aggiungiamo un giorno in più al calendario durante gli anni bisestili.
In realtà, la maggior parte dei pianeti del nostro sistema solare ha orbite più vicine a un cerchio, con piccole variazioni di eccentricità che si verificano in lunghi periodi di tempo. Schemi di percorsi "a forma di uovo" esagerando l'eccentricità, come quello qui sopra, aiutano a mettere in evidenza la prima legge e ci permettono di vedere le piccole differenze di forma. Altri oggetti, come le comete, possono avere orbite con un'eccentricità molto più elevata.
Le orbite possono essere anche altre sezioni coniche, come le parabole e le iperboli. Un'orbita parabolica o iperbolica significa che la velocità orbitale è uguale o superiore alla velocità necessaria a un oggetto per sfuggire alla sua orbita. In questo caso, un oggetto viene essenzialmente "fiondato" attorno al corpo centrale e continua a viaggiare nello spazio senza tornare indietro.
L'orbita terrestre passa da un'orbita quasi circolare \(e = 0,0034\) a una leggermente allungata \(e = 0,058\) in un periodo di circa 100.000 anni. Anche se le variazioni di eccentricità possono sembrare piccole, la forma variabile del nostro percorso orbitale spiega perché le stagioni non hanno sempre la stessa lunghezza e perché la Terra riceve più luce solare totale nei mesi in cui siamo più vicini al Sole.
Seconda legge di Keplero
La seconda legge di Keplero, nota anche come legge delle aree, descrive l'area coperta da un pianeta in movimento data una certa quantità di tempo.
La seconda legge di Keplero afferma per una linea che collega un pianeta al Sole (chiamato raggiovettore), spazza aree uguali in quantità di tempo uguali.
In altre parole, finché il tempo trascorso tra i due punti scelti rimane lo stesso, anche l'area spazzata dal raggiovettore sarà la stessa, indipendentemente da quanto il pianeta sia vicino o lontano dal sole durante quel periodo.
Fig. 2 - I triangoli descritti da un pianeta in orbita attorno al Sole hanno aree uguali se il tempo di percorrenza viene mantenuto uguale.
La seconda legge di Keplero si riferisce anche alla variazione di velocità di un pianeta in movimento. Prendiamo due segmenti qualsiasi della figura 2: per due punti più vicini al Sole, il percorso effettuato è molto più lungo rispetto a due punti più lontani dal Sole. Sappiamo che \(\Delta t\) è uguale per entrambi, quindi il pianeta deve essersi mosso più velocemente vicino al perielio e più lentamente vicino all'afelio per coprire distanze così diverse.
Le variazioni di velocità sono inversamente proporzionali alle variazioni di distanza dal sole. Questo non è solo il ragionamento per aree uguali coperte in quantità uguali di tempo, ma è anche un esempio di conservazione del momento angolare per il moto planetario.
Il momento angolare \(L\) è una qualità di un corpo in rotazione, come i pianeti e altri oggetti orbitanti. Per sistemi come un oggetto che orbita intorno a un corpo centrale come il sole, è il prodotto della massa \(m\), della velocità \(v\) e della distanza \(r\) dal centro di massa, con unità di misura di \(kg \: m^2 s^{-1}\).
\[L = mvr\]
Più in generale, il momento angolare \(L\) è il prodotto del momento d'inerzia \(I\) e della velocità angolare \(\omega\):
\[L=I\omega\]
La conservazione del momento angolare significa che il momento angolare totale nel nostro sistema non può essere perso. Se la distanza di un pianeta dal Sole aumenta, la velocità del pianeta orbitante deve diminuire, altrimenti il momento angolare totale sarà cambiato, violando la legge di conservazione.
Una persona che ruota su uno sgabello con le braccia aperte può aumentare la velocità di rotazione utilizzando la conservazione del momento angolare. Avvicinando le braccia al corpo, il centro di massa cambia e l'inerzia rotazionale diminuisce. La velocità di rotazione aumenta di conseguenza, ma il momento angolare totale rimane invariato.
Guardiamo la questione da un altro punto di vista: la forza gravitazionale tra il Sole e un pianeta dipende sia dalla massa di ciascun oggetto sia dalla distanza tra i due. A causa di questa dipendenza da (che ricordiamo variare come \(M\: r^{-2}\), dove \(M\) è la massa del sole e \(r\) la distanza del pianeta), l'attrazione gravitazionale diminuisce rapidamente con la distanza, risultando in una forza gravitazionale più debole sperimentata sul lato opposto del sole. Dalla seconda legge di Newton sappiamo che le forze sono legate a una variazione della velocità, quindi una diminuzione della forza gravitazionale deve comportare anche una diminuzione della velocità.
Terza legge di Keplero
La terza legge di Keplero è chiamata anche legge dei periodi. Questo teorema descrive una relazione tra il periodo orbitale e il semiasse maggiore di un'orbita ellittica.
La terza legge di Keplero afferma che il periodo orbitale di un pianeta al quadrato è proporzionale al semiasse maggiore al cubo.
Si può scrivere matematicamente la terza legge di Keplero come:
\[T^2 \propto a^3\] \[T^2 = ka^3\]
dove \(T\) è il periodo, \(a\) è il semiasse maggiore dell'ellisse e \(k\) la costante di proporzionalià che lega i due. Quando scriviamo la legge dei periodi in questa forma, c'è in realtà una costante di proporzionalità invisibile: per gli oggetti che orbitano intorno al nostro sole, con i periodi in unità di anni e il semiasse maggiore in unità astronomiche (UA), questa costante risulta convenientemente essere pari a 1.
Per questo motivo, si può anche vedere la legge dei periodi scritta in modo molto diverso, come ad esempio:
Vediamo come sono ricavate queste equazioni.
1. Immaginiamo un satellite artificiale che orbita circolarmente intorno alla Terra con una massa di m. Il centro di questa orbita circolare è il centro della Terra, quindi misureremo il raggio \(r\) da questo punto. Cominciamo con la formula dell'accelerazione centripeta:
\[a_c = \frac{v^2}{r}\]
e la forza gravitazionale netta per il satellite
\[F_g = \frac{GM_{\oplus} m}{r^2}\]
dove \(G\) è la costante gravitazionale e \(M_{\oplus}\) è la massa della Terra. Mettendo insieme questo dato con la seconda legge di Newton si ottiene:
\[\frac{GM_{\oplus} m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v_{sat} = \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}}\]
Che è la velocità di un satellite che orbita la Terra.
2. Il tempo necessario al satellite per compiere un giro intorno alla Terra è legato alla circonferenza dell'orbita e alla velocità del satellite:
\[T=\frac{2\pi r}{v}\]
Inserendo l'espressione di \(v\) sopra e semplificandola si ottiene
\[ T = \frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM_{\oplus}}}\]
che è il periodo per un'orbita circolare intorno alla Terra.
3. Se state pensando: "Ma non stavamo parlando di orbite ellittiche?", è una bella osservazione. Sebbene abbiamo iniziato con la derivazione per un'orbita circolare, la stessa equazione è vera per quelle ellittiche. I cerchi sono solo un caso di ellisse in cui l'eccentricità è zero. Per generalizzare, basta cambiare il raggio \(r\) con il semiasse maggiore, \(a\), e la massa della Terra \(M_{\oplus}\) con la massa totale \(M_{TOT}\):
\[T=\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM_{TOT}}}\]
Se l'assenza di dipendenza dall'eccentricità dell'ellisse vi sembra problematico, ripensate alla seconda legge di Keplero: un oggetto con un'orbita circolare ha una velocità costante, ma un oggetto con un'orbita ellittica subisce variazioni di velocità in diversi punti della sua orbita. Questo fa sì che il periodo orbitale sia uguale per due oggetti con lo stesso semiasse maggiore (o raggio) ma con eccentricità completamente diverse.
4. Possiamo semplificare l'equazione precedente per ottenere una forma più ordinata e semplificata della legge dei periodi corretta di Newton:
\[T^2 = \left( \frac{2 \pi a^{3/2}}{\sqrt{GM_{TOT}}}\right)^2 \Rightarrow \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_{TOT}} \Rightarrow T^2 = a^3 \cdot cost\]
Quando si usano gli anni per il periodo e le unità astronomiche per il semiasse maggiore, la costante si semplifica in \(1/M_{TOT}\). Per i problemi che riguardano il nostro sole, questo fattore finisce per essere uguale a 1 se misurato in unità di massa solare.
Se non sapete quale forma usare, ricordate questi suggerimenti per risolvere i problemi della terza legge di Keplero.
- Se un problema prevede la ricerca di un periodo orbitale o di una distanza intorno al Sole, utilizzare la forma semplificata della legge dei periodi \(T^2 =a^3\). Ricordate di utilizzare o convertire in unità di anni e UA.
- Per altre stelle o sistemi orbitali, utilizzare la versione semplificata della terza legge di Newton, \(\frac{a^3}{T^2}=M_{TOT}\), sempre con unità di anni e UA. Ricordate che le unità di massa saranno in masse solari, non in chilogrammi.
- Se non si utilizzano le unità di misura degli anni e delle UA, è necessario utilizzare la versione completa della terza legge di Newton.
Le leggi di Keplero: esempi
Vediamo un esempio che utilizza la terza legge di Keplero per trovare la distanza media di un corpo orbitante dal Sole.
Il pianeta Venere ha un periodo orbitale di 225 giorni. Trovare la distanza media di Venere dal Sole.
Inizieremo con l'equazione della terza legge di Keplero:
\[\frac{a^3}{T^2}=1\]
Dobbiamo convertire i giorni in anni prima di utilizzare la nostra equazione:
\[\frac{225 giorni}{365 \: giorni/anno} = 0,616 \: anni\]
Ora dobbiamo solo inserire il nostro valore di \(T\) e risolvere per \(a\):
\[a = T^{2/3}=0,616^{2/3} \Rightarrow a=0,724 \: AU\]
che corrisponde al valore accettato per la distanza media di Venere dal Sole.
Possiamo usare questa relazione per trovare il periodo orbitale o la distanza media dal Sole se conosciamo una di queste due variabili. Vediamo un altro esempio della terza legge di Keplero, questa volta con un esopianeta.
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