Un pendolo che oscilla e una molla che si contrae e si allunga sono solo un paio di esempi di oscillatore armonico, eppure non sono gli unici, anche i legami tra alcuni atomi, la corrente in determinati circuiti e moltissime altre cose possono essere descritte con un modello di oscillatore armonico. Vediamo insieme di cosa si tratta!
Oscillatore armonico classico
Con il termine oscillatore armonico si definisce qualunque modello fisico che può essere descritto tramite il moto armonico. Nella forma più semplice, un oscillatore armonico si muove quindi di moto armonico semplice, ma esistono sistemi complessi che richiedono di aggiungere ulteriori parametri, come un coefficiente di smorzamento (nel caso, ad esempio siano presenti delle forze di attrito viscoso).
Fig. 1 - Un esempio di oscillatore armonico è una massa collegata a una molla che oscilla attorno al punto di equilibrio.
L'oscillatore armonico è quindi un modello fisico importantissimo e che si può usare per descrivere moltissimi sistemi fisici semplici e complessi. Quando si parla di oscillatori armonici semplici, gli esempi più semplici sono una molla attaccata a una massa e il pendolo semplice, mentre oscillatori armonici più complessi sono quelli che si usano per descrivere ad esempio i circuiti RLC in elettromagnetismo. Quasi tutti i sistemi fisici, quando approssimati attorno ad un punto di equilibrio possono essere descritti come un oscillatore armonico.
Oscillatore armonico: formule
Nell'articolo sul moto armonico semplice, abbiamo visto che la legge oraria del moto armonico semplice può essere descritta dall'equazione
\[x(t) = A\:cos(\omega t + \phi)\]
dove \(A\) rappresenta l'ampiezza del moto, \(\omega\) è detta pulsazione del moto e \(\phi\) è detta fase (o sfasamento) del moto armonico.
Questa equazione, però, non è sufficiente a spiegare la dinamica, ad esempio, di un oggetto di massa \(m\) collegato a una molla. In generale nello studiare l'oscillatore armonico, vogliamo studiare gli effetti di una forza di ripristino che agisce su un corpo che è proporzionale e contraria in verso allo spostamento subito.
Ricordiamo un paio di formule del moto armonico semplice che ci torneranno utili:
| Quantità descritta | Formula |
| Legge oraria | \(x(t) = A \:cos(\omega t + \phi)\) |
| Pulsazione | \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\) |
| Periodo | \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}\) |
Oscillatore armonico: equazione differenziale
Per studiare la dinamica dell'oscillatore armonico, è necessario ricavare l'equazione differenziale che lo descrive. Nessuna paura, però! È più facile di quanto non sembri ricavare l'equazione differenziale che cerchiamo, non servono strumenti super complicati di matematica e ci basta ricordare che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione (ovvero, l'accelerazione è la derivata della velocità che a sua volta è la derivata della posizione).
Partiamo dalla seconda equazione della dinamica:
\[\vec{F}=m\vec{a}\]
Per semplicità, lavoreremo considerando le quantità scalari, perché siamo interessati solo ai moduli delle grandezze in gioco. Quindi, possiamo riscrivere
\[F = ma\]
Come detto poco fa, vogliamo studiare gli effetti di una forza di ripristino che agisce su un corpo che è proporzionale e contraria in verso allo spostamento subito. Noi conosciamo una forza così! Si tratta della forza elastica, che ricordiamo essere descritta da
\[F = -kx\]
dove \(k\) è la costante elastica della molla, ovvero la resistenza di una molla alla contrazione o all'allungamento.
Se uniamo queste due formule, troviamo
\[-kx = ma\]
e siamo praticamente arrivati all'equazione differenziale che cercavamo! Infatti, se ora sostituiamo all'accelerazione \(a\) la derivata seconda della posizione, otteniamo
\[-kx = m\: \frac{d^2 x}{dt^2}\]
Facendo un po' di ordine, dividendo per \(m\) e portando a destra dell'uguale anche la derivata, troviamo l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico semplice:
\[\frac{d^2 x}{dt^2} -\frac{k}{m}\: x = 0\]
Se vogliamo risolvere questa equazione differenziale, ci basterà sostituire la legge oraria al posto della \(x\), questo ci permette di ottenere una formula più precisa per la pulsazione del moto.
Ricordiamo che la legge del moto orario è
\[x(t) = A \:cos (\omega t + \phi)\]
Se la sostituiamo nell'equazione differenziale otteniamo
\[ \frac{d^2}{dt^2} \left( A\: cos(\omega t + \phi)\right) + \frac{k}{m} A\:cos(\omega t + \phi) = 0 \]
\[\frac{d}{dt} (-A\:\omega (sin(\omega t + \phi))+\frac{k}{m} A\:cos(\omega t + \phi) = 0 \]
\[-A\:\omega^2cos(\omega t + \phi) + \frac{k}{m}A\:cos(\omega t+\phi) = 0\]
Possiamo semplificare dividendo tutto per \(A\:cos(\omega t+ \phi)\), da cui
\[-\omega^2 + \frac{k}{m} = 0 \Rightarrow \omega^2 = \frac{k}{m}\]
Che ci permette di tirare fuori un'espressione per la pulsazione che dipende solo dalla massa dell'oggetto e dalla costante della molla:
\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
Se inseriamo questo nella nostra legge oraria, possiamo ricavare una soluzione per l'equazione differenziale:
\[x(t) = A\: cos\left( \sqrt{\frac{k}{m}} \: t +\phi\right)\]
Oscillatore armonico: energia meccanica
L'energia meccanica di un sistema sappiamo essere la somma dell'energia potenziale e cinetica del dato sistema fisico. Per trovare l'energia meccanica dell'oscillatore armonico, dobbiamo quindi prima trovare quali sono la sua energia potenziale e la sua energia cinetica in una data situazione.
Per l'energia potenziale non dimostreremo rigorosamente come si deriva, bisogna ricordare che per una forza conservativa (come la forza elastica), la differenza (cambiata di segno) di energia potenziale in due punti equivale al lavoro compiuto per compiere quello spostamento. Se svolgessimo tutti i conti, troveremmo che l'energia potenziale della forza elastica vale
\[E_p = \frac{1}{2}\:kx^2 = \frac{1}{2}\:k A^2cos^2(\omega t + \phi)\]
Essendo più semplice e più breve, vediamo come si deriva l'energia cinetica nell'oscillatore armonico. Ricordiamo che l'energia cinetica ci è data dalla formula
\[E_k = \frac{1}{2} \: mv^2\]
ricordando, di nuovo, che la velocità è la derivata della posizione e usando la legge oraria per il moto armonico semplice, otteniamo
\[v=\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (A\:cos(\omega t+\phi) = -A\omega \:sin(\omega t + \phi)\]
Se la inseriamo nella formula dell'energia cinetica, troviamo
\[E_k = \frac{1}{2}\:mA^2\omega^2sin^2(\omega t + \phi)\]
Se ricoridamo la formula della pulsazione (\(\omega^2=k/ m\)) e la invertiamo, otteniamo (\(m\omega^2 = k\)), che possiamo sostituire nella nostra formula, ottenendo
\[E_k = \frac{1}{2} k A^2 sin^2 (\omega t + \phi)\]
Siamo quindi pronti per calcolare l'energia meccanica!
\[E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 sin^2 (\omega t + \phi) + \frac{1}{2} kA^2 cos^2(\omega t+ \phi)\]
Raccogliendo \(\frac{1}{2}kA^2\), otteniamo
\[E = \frac{1}{2}kA^2 (sin^2(\omega t+ \phi) + cos^2 (\omega t + \phi))\]
Il termine tra parentesi è la somma dei quadrati di seno e coseno. Dalle formule trigonometriche, sappiamo che
\[sin^2(x)+cos^2(x) = 1\]
Quindi, otteniamo che l'energia meccanica totale dell'oscillatore armonico è data da
\[E = \frac{1}{2}kA^2\]
Oscillatore armonico - Punti chiave
- Con il termine oscillatore armonico si definisce qualunque modello fisico che può essere descritto tramite il moto armonico.
- Esempi di oscillatore armonico sono il pendolo semplice, una massa attaccata ad una molla, un circuito RLC.
- Quasi tutti i sistemi fisici, quando approssimati attorno ad un punto di equilibrio possono essere descritti come un oscillatore armonico.
- L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico è \(\frac{d^2 x}{dt^2} -\frac{k}{m}\: x = 0\).
- L'energia potenziale nell'oscillatore armonico è \(E_p = \frac{1}{2}\:kx^2 = \frac{1}{2}\:k A^2cos^2(\omega t + \phi)\).
- L'energia cinetica è data, invece, da \(E_k = \frac{1}{2} k A^2 sin^2 (\omega t + \phi) \).
- L'energia meccanica è \(E =E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2\).
References
- Fig. 1 - Easy harmonic oscillator.gif (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Easy_harmonic_oscillator.gif) by Ivan Airola (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Ivan_Airola) is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
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