Il momento angolare (\(L\)) è l'equivalente rotazionale della quantità di moto. È una quantità vettoriale che descrive il momento rotatorio di un oggetto in rotazione. Matematicamente, il momento angolare può essere espresso come il prodotto del momento d'inerzia di un oggetto rispetto all'asse di rotazione e della velocità angolare.
Il momento angolare può essere applicato non solo ai moti circolari, ma anche a moti non circolari in determinate condizioni.
Momento angolare: direzione
La direzione del momento angolare può essere determinata utilizzando la regola della mano destra, dove le quattro dita rappresentano la direzione del moto mentre il pollice rappresenta la direzione del momento angolare.
Fig. 1 - La regola della mano destra usata per trovare la direzione del momento angolare.
Se la direzione del moto è antioraria, il momento angolare è positivo.
Se la direzione del moto è oraria, il momento angolare è negativo.
Momento angolare: formula
Prendiamo l'esempio in figura 2, dove una particella puntiforme di massa \(m\) si muove di moto circolare attorno a un asse. Se \(\vec{v}\) è la velocità lineare (o tangenziale) della particella e \(\vec{r}\) la distanza della particella da un polo di rotazione, il modulo del momento angolare è dato dal prodotto tra la massa della particella, la distanza di rotazione dall'asse e la sua velocità. In questo senso, il modulo del momento angolare è nient'altro che il prodotto della quantità di moto lineare di una particella per la sua distanza di rotazione da un polo.
Fig. 2 - Definizione del momento angolare per una particella in moto circolare attorno ad un asse.
Per essere più precisi, il momento angolare è una quantità vettoriale e il prodotto tra la distanza e la quantità di moto è in realtà il prodotto vettoriale tra il raggiovettore che connette il polo alla particella e la sua quantità di moto. In questo modo otteniamo:
\[\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m \vec{v}\,.\]
Ovviamente, la velocità lineare di una particella crea un angolo \(\theta\) con il raggiovettore \(r\), quindi il modulo va più correttamente riscritto con:
\[ ||\vec{L}|| = ||\vec{r}|| \cdot ||\vec{p}|| sin\theta \]
Le unità di misura del momento angolare sono \(\mathrm{kg}\, \mathrm m^2 \, \mathrm s^{-1}\).
Momento angolare: corpi rigidi
È importante ricordare che il momento angolare è legato ai moti rotatori e quindi possiamo riscriverlo in funzione delle velocità angolari! Questo approccio è particolarmente efficace per i corpi rigidi. Quando abbiamo un corpo rigido che ruota con una certa velocità angolare \(\omega\), possiamo usare questa velocità per calcolare il suo momento angolare. Non solo si tratta di un modo di semplificare i problemi, ma ci permette anche di trattare il momento angolare in termini del momento di inerzia.
Ci sono molti modi di arrivare al risultato che lega il momento di inerzia alla velocità angolare, tuttavia, per semplicità, possiamo ricordare che nei sistemi in rotazione, la velocità tangenziale e quella angolare sono legati da
\[v=r\omega \,.\]
Possiamo quindi sostituire \(v\) nell'equazione del momento angolare per ottenere
\[L= mrv = mr(r\omega) = mr^2\omega \,.\]
Per corpi in rotazione con simmetria di rotazione attorno all'asse di rotazione che stiamo considerando, la quantità \(mr^2\) è il momento di inerzia del corpo!
Possiamo quindi scrivere
\[\vec{L} = I \vec{\omega}\,.\]
Momento angolare e momento meccanico
La seconda legge della dinamica di Newton ci dice che il modulo dell'accelerazione totale \(a_{TOT}\) che un corpo subisce quando sottoposto ad una o più forze è proporzionale alla forza netta totale che esso subisce, ovvero
\[F_{TOT} = m a_{TOT}\] \[a_{TOT} = \frac{F_{TOT}}{m}\]
Questo si può applicare anche al caso di moti rotazionali e può essere espresso in termini del momento angolare.
Nel caso di moti rotazionali, la seconda legge di Newton afferma che il modulo dell'accelerazione \(\alpha\) di un oggetto in rotazione è direttamente proporzionale al momento meccanico totale (\(M_{TOT}\)) applicato al corpo.
Sappiamo anche che l'accelerazione angolare di un corpo è inversamente proporzionale al suo momento di inerzia (\(I\)) (con le giuste precauzioni nel prendere l'asse di rotazione). Questa relazione può essere riscritta con le equazioni:
\[M_{TOT} = I \alpha\] \[\alpha = \frac{M_{TOT}}{I}\]
Leggi di Newton generalizzate per il momento angolare
Analogamente a quanto avviene per il moto rettilineo, le equazioni della dinamica possono essere riscritte per il caso di moti di rotazione! Se nel caso delle equazioni per il moto rettilineo si considera la massa costante, per il moto di rotazione si considera il momento di inerzia costante.
In caso di momento di inerzia costante, si può scrivere che la variazione di momento angolare di un corpo rispetto ad un polo è uguale alla somma dei momenti meccanici applicati al corpo (e aventi come punto di rotazione il polo considerato).
\[M_{TOT} = \frac{\Delta L}{\Delta t}\]
Un disco metallico sta ruotando con una velocità angolare di \(18 \, \mathrm{ rad}/\mathrm s\). Il disco ha un momento d'inerzia di \(0{,}05\, \mathrm { kg}\, \mathrm m^2\). Calcolare il momento angolare.
Utilizzando la formula del momento angolare e sostituendo le variabili date per la velocità angolare e il momento d'inerzia, si ottiene:
\[ L = I \omega = 0{,}05 \, \mathrm{ kg}\, \mathrm m^2 \times 18 \, \mathrm{ rad}/\mathrm s = 0{,}9 \, \mathrm{kg}\, \mathrm m^2 \, \mathrm s^{-1}\,.\]
Una pallina del peso di \(0{,}3\, \mathrm{kg}\) ruota intorno a un asse situato a \(0{,}2\, \mathrm m\) di distanza alla velocità di \(5\, \mathrm{rad}/\mathrm s\). Determinare il momento angolare della pallina.
Il momento angolare è il prodotto del momento d'inerzia e della velocità angolare. Questo ci dà:
\[I = mr^2 = 0{,}3 \, \mathrm{ kg} \times (0{,}2 \, \mathrm m)^2 = 0{,}012 \, \mathrm{ kg} \, \mathrm m^2\,.\]
Sostituiamo la velocità angolare data per determinare il momento angolare.
\[L = I \omega = 0{,}012 \, \mathrm{ kg} \, \mathrm m^2 \times 5 \, \mathrm s^{-1} = 0,06 \, \mathrm{kg}\, \mathrm m^2 \, \mathrm s^{-1}\,.\]
Momento angolare: conservazione
Se la somma delle forze esterne che agiscono su un corpo o un sistema rispetto a un punto nello spazio è pari a zero, la conservazione del momento angolare afferma che il momento angolare totale di un corpo rispetto a quel punto si conserva e rimane costante, questo perché, come abbiamo visto, il tasso di variazione del momento angolare è determinato dal momento meccanico. Questo può essere espresso matematicamente come segue:
\[M_{TOT} = \frac{\Delta L}{\Delta t} = 0 \Rightarrow \Delta L = 0\] \[L_i = L_f\]
dove \(L_i\) è il momento angolare iniziale e \(L_f\) è il momento angolare finale.
Un disco con un momento d'inerzia di \(0{,}02 \, \mathrm{kg}\, \mathrm m^2\) sta ruotando, senza forze esterne, alla velocità di \(5\, \mathrm{rad}/\mathrm s\). Improvvisamente, una moneta viene fatta cadere sul disco, facendo aumentare il suo momento d'inerzia a \(0{,}025 \, \mathrm{kg}\, \mathrm m^2\). Determinare la velocità angolare dopo l'impatto.
Iniziamo usando la conservazione del momento angolare:
\[M_{TOT} = \frac{\Delta L}{\Delta t} = 0 \Rightarrow L_i = L_f\]
Possiamo quindi trovare il momento angolare prima e dopo l'impatto:
\[L_{prima} = I_1 \omega_1 = (0{,}02 \, \mathrm{ kg} \, \mathrm m^2 ) \,(5 \, \mathrm s^{-1}) =0{,}1 \, \mathrm {kg} \, \mathrm m^2 \, \mathrm s^{-1}\,.\]
Eguagliando il momento angolare prima e dopo, possiamo rovare la velocità angolare finale
\[L_{prima}=L_{dopo} \Rightarrow 0{,}1 \, \mathrm{kg}\, \mathrm m^2s^{-1} = I_2 \omega_2\]
\[0{,}025 \, \mathrm{kg}\, m^2 \times \omega_2 = 0{,}1 \, \mathrm{ kg} \, \mathrm m^2 \, \mathrm{ s}^{-1} \Rightarrow \omega_2 = \frac{0{,}1 \: \mathrm{kg}\, \mathrm m^2s^{-1}}{0{,}025 \, \mathrm{kg}\, \mathrm m^2}\] \[\omega_2 = 4 \: \mathrm{rad}/\mathrm s \,.\]
Momento angolare - Punti chiave
Il momento angolare è l'analogo della quantità di moto per il moto di rotazione.
Il momento angolare ha la stessa forma del momento lineare, dove il momento d'inerzia è l'analogo della massa e la velocità angolare è l'analogo dell'accelerazione lineare.
La legge di Newton sul moto può essere espressa anche in termini di momento d'inerzia e generalizzata per il moto rotazionale.
Quando su un corpo non agiscono forze esterne, il momento angolare rimane costante.
References
- Fig. 2 - Momento angolare.jpg (https://it.wikipedia.org/wiki/File:Momento_angolare.jpg) by Marc Lagrange (https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Marc_Lagrange) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
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