Secoli fa, chi avrebbe pensato che le stesse leggi della meccanica che governano il moto degli oggetti qui sulla Terra descrivono anche il moto dei pianeti? Infatti, questo non è sempre stato ovvio.
Mentre gli oggetti sulla Terra tendono a cadere in linea retta verso il suo centro, la Luna ruota attorno alla Terra. Dobbiamo a Isaac Newton la comprensione del fatto che le stesse leggi della meccanica che regolano il moto degli oggetti qui sulla Terra si applicano anche alla Luna e ai pianeti!
Infatti, Newton mise in relazione il moto circolare con il moto dei pianeti quando scoprì la sua legge di gravitazione universale. Egli aveva intuito che esisteva una forza gravitazionale che faceva cadere gli oggetti verso la Terra, poiché questi acceleravano durante la discesa. Newton si chiese quindi cosa provocasse l'orbita della Luna intorno alla Terra e si rese conto che la gravità poteva estendersi oltre la superficie terrestre, fino a essere la forza che manteneva la Luna nella sua orbita.
Per comprendere meglio il moto dei pianeti, metteremo in relazione la gravitazione con un argomento che abbiamo già studiato: le leggi del moto circolare uniforme. Introdurremo quindi la legge di gravitazione universale e risolveremo insieme alcuni esercizi.
Sistema eliocentrico
Con sistema eliocentrico si indica il modello astronomico che pone il Sole al centro del sistema solare, con i pianeti che ruotano attorno a esso. L'eliocentrismo si oppone quindi al geocentrismo, che vedeva la Terra al centro dell'Universo, con tutti i corpi celesti che ruotano attorno a essa.
Fu Niccolò Copernico, nel 1543, a suggerire che il Sole si trovasse al centro delle orbite dei pianeti. Copernico gettò quindi le basi per il passaggio dal sistema tolemaico (o geocentrico) a quello eliocentrico.
Tra i protagonisti della rivoluzione scientifica vi furono Galileo, il quale confermò la validità della teoria copernicana, Keplero, il quale studiò il moto dei pianeti scoprendo che le orbite sono ellittiche, e Newton, il quale formulò la legge di gravitazione universale.
Fig. 1 - Rappresentazione del modello eliocentrico tratta dal "De Revolutionibus Orbium Coelestium" di Nicolaus Copernicus.
Gravitazione: definizione
Conoscere le leggi del moto circolare è di fondamentale importanza per studiare la gravitazione. Infatti, diversi oggetti nello spazio percorrono orbite circolari a causa della gravitazione.
La gravitazione, o forza gravitazionale, è la forza di attrazione che tutti gli oggetti dotati di massa esercitano gli uni sugli altri.
Poiché tutti gli oggetti dotati di massa sperimentano la forza di gravitazione, chiamiamo la forza gravitazionale una forza fondamentale. Altre forze fondamentali sono la forza elettromagnetica e le forze nucleari forte e debole.
La Figura 2 mostra due masse a distanza \( r\) l'una dall'altra. Ciascuna delle masse esercita una forza attrattiva sull'altra.
Ogni oggetto dotato di massa esercita una forza gravitazionale su altri oggetti, ma un oggetto deve avere una massa elevata per poterne misurare gli effetti. Per questo motivo si parla principalmente di gravitazione su scala di pianeti, stelle e galassie.
Fig. 2 - Due masse sono attratte dalla forza gravitazionale.
In prossimità della superficie terrestre, la gravitazione fa cadere tutti gli oggetti. Poiché tutti gli oggetti subiscono la stessa forza che punta nella stessa direzione, possiamo rappresentare localmente l'effetto della gravità per mezzo di un campo vettoriale.
Se invece ci spostiamo oltre la superficie terrestre e consideriamo l'effetto della sua attrazione gravitazionale sui satelliti artificiali e sulla Luna, scopriamo che la forza di gravità terrestre fa sì che questi oggetti orbitino di moto circolare.
Per un oggetto in orbita, la forza gravitazionale agisce come forza centripeta. La forza è diretta verso la massa al centro del percorso circolare (nel nostro caso, verso la Terra), facendo sì che la velocità dell'oggetto in orbita cambi direzione per mantenere l'oggetto in movimento circolare.
La velocità dell'oggetto in orbita è tale da mantenerlo in equilibrio tra caduta e fuga.
La grande scoperta di Keplero fu che le orbite dei pianeti intorno al Sole non sono esattamente circolari. Si tratta piuttosto di ellissi.Un numero che utilizziamo per caratterizzare le ellissi è la loro eccentricità \(\epsilon\), che è una misura di quanto la loro forma si discosta da quella di un cerchio. Più precisamente, le ellissi con un'eccentricità \(\epsilon = 0\) sono cerchi.
Nel caso specifico, l'eccentricità dell'orbita della Terra intorno al Sole è pari a
\[ \epsilon_ {Terra}\approx 0,01671 \]
mentre l'eccentricità dell'orbita della Luna intorno alla Terra è pari a
\[ \epsilon_ {Luna}\approx 0,0549 \]
Poiché questi valori sono molto piccoli, in questi casi possiamo trattare la forza gravitazionale come una forza centripeta uniforme con sufficiente precisione.
Gravitazione e moto dei pianeti e satelliti
Alcuni esempi di gravitazione e moto di pianeti e satelliti sono i seguenti:
L'attrazione gravitazionale della Terra mantiene la Luna in orbita attorno ad essa.
I satelliti orbitano intorno alla Terra a una velocità costante.
Tutti i pianeti del nostro sistema solare ruotano attorno al Sole in un'orbita ellittica.
Osserviamo nuovamente l'esempio della Luna in orbita attorno alla Terra e supponiamo, per semplicità, che l'orbita sia circolare come mostrato nell'immagine seguente:
Fig. 3 - La Luna in orbita intorno alla Terra. Fonte: Vecteezy
La velocità della Luna è sempre diretta tangenzialmente all'orbita o perpendicolare alla forza centripeta e all'accelerazione (la velocità è indicata dalla freccia rossa).Se la gravità terrestre dovesse cessare improvvisamente, la Luna uscirebbe dall'orbita direttamente dal punto in cui è stata rilasciata, proprio come avverrebbe nel caso
di una palla attaccata ad una corda che viene lasciata. Moto circolare uniforme
Il moto circolare si riferisce a qualsiasi tipo di moto che segue un percorso circolare, ma esiste un tipo specifico di moto circolare chiamato moto circolare uniforme.
Il moto circolare uniforme è il moto di un corpo che si muove con velocità costante lungo una circonferenza di raggio fisso.
Quando un oggetto si muove di moto circolare uniforme, come mostrato in Figura 4, la sua velocità è sempre tangente al cerchio, come indicato dalla freccia rossa. Ciò significa che mentre il modulo della velocità è costante, la sua direzione e verso cambiano continuamente mentre l'oggetto si muove lungo la circonferenza.
Moto circolare uniforme: velocità
Nel moto circolare, la formula per la velocità \(v\) è pari alla lunghezza della circonferenza, \( 2 \pi r\), divisa per il tempo che l'oggetto impiega a compiere un giro, \(T\):
\[ v= \frac {2 \pi r}{T}\]
L'unità di misura è metri al secondo (m/s).
Moto circolare uniforme: accelerazione centripeta
La formula per l'accelerazione centripeta \(a_c\) è la seguente:
\[ a_c = \frac {v^2}{r}\]
dove \(r\) è il raggio della circonferenza.
L'accelerazione centripeta è l'accelerazione di un oggetto che si muove di moto circolare.
Fig. 4 - Diagramma del moto circolare uniforme che mostra le direzioni di velocità e accelerazione.
Moto circolare uniforme: forza centripeta
Dalla seconda legge di Newton sappiamo che deve esserci una forza che agisce su un oggetto se questo ha un'accelerazione. Chiamiamo forze centripete le forze che causano un'accelerazione centripeta.
La forza centripeta è una forza che fa sì che un oggetto segua una traiettoria circolare.
La forza centripeta ha la stessa direzione dell'accelerazione centripeta: è diretta verso il centro del percorso circolare (il nome "centripeta" significa letteralmente "che cerca il centro"). La forza centripeta non è un tipo specifico di forza; usiamo il termine forza centripeta per descrivere qualsiasi forza che mantiene un oggetto in un moto circolare.
È tuttavia importante notare che, nel moto circolare uniforme, la forza centripeta non causa uno spostamento del corpo verso il centro del cerchio. Infatti, a causa del suo movimento, l'oggetto continua a muoversi lungo la traiettoria circolare.
Poiché la forza è uguale alla massa per l'accelerazione, possiamo semplicemente moltiplicare la formula dell'accelerazione centripeta per la massa \(m\) per ottenere l'equazione della forza centripeta:
\[F_c=m a_c = m \frac {v^2}{r} \]
dove \(F_c\) rappresenta la forza centripeta in newton (N), \(m\) è la massa dell'oggetto in orbita in chilogrammi (Kg), \(v\) è la velocità dell'oggetto in metri al secondo (m/s) e \(r\) è il raggio dell'orbita dell'oggetto in metri (m).
Per modificare la direzione, è necessaria quindi un'accelerazione. Questa accelerazione, indicata dalla freccia gialla, punta verso il centro del cerchio ed è chiamata accelerazione centripeta.
Se si attaccasse una palla a una corda e la si facesse ruotare a velocità costante, la palla si muoverebbe lungo una circonferenza. La tensione della corda \(F_T\), in questo caso, costituirebbe la forza centripeta \(F_c\). Di conseguenza, la forza netta nel piano del cerchio è
\[ F_{net}= F_c = F_T\]
La forza centripeta fa sì che la pallina cambi direzione e continui a percorrere la traiettoria circolare.
Immaginate ora di lasciare la corda. Nell'istante in cui si lascia la corda, la forza netta sul piano della circonferenza diventa zero,
\[ F_{net} = 0\]
In base alla prima legge di Newton, la pallina continuerebbe a muoversi con la velocità che aveva in quel momento. Come nella figura precedente, questo sarebbe un vettore tangente alla circonferenza nel punto di rilascio.
Legge di gravitazione universale
Siamo ora pronti per enunciare la legge di gravitazione universale formulata da Isaac Newton e pubblicata nel 1687 nell'opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ("Principia").
Date due masse \( m_1\) e \(m_2\) a distanza \(r\), la legge di gravitazione universale descrive l'equazione per la forza gravitazionale tra due masse:
\[ F_g = G \frac {m_1 m_2}{ r^2}\]
dove \(G\) è la costante gravitazionale, pari a \(6,67 \times 10^{-11} N m^2 Kg^{-2}\).
Nota bene: per semplicità, abbiamo indicato con \(F_g\) il modulo della forza, \(\lvert \vec F_g \rvert \), e con \(r\) il modulo del vettore \(\lvert \vec r \rvert \). Non dimenticarti che sia \(r\) che \(F_g\) sono vettori!
Questa formula è particolarmente importante a grandi distanze; sulla superficie del pianeta possiamo infatti usare l'equazione
\[ F_g = m g \]
con \( g = costante= 9,81 m s^{-2}\) per descrivere la forza gravitazionale.
Gravitazione: esercizi
Un satellite di 200 Kg si trova in un'orbita circolare a 30000 Km dalla superficie terrestre. Qual è la velocità del satellite? Utilizza \(R_{Terra} = 6371 Km \) per il raggio della Terra e \(M_{Terra}=5,98 \times 10^{24} Kg \) per la sua massa.
L'unica forza che agisce sul satellite è la forza gravitazionale, quindi la forza gravitazionale sarà uguale alla massa del satellite, \(m_s\), per la sua accelerazione centripeta:
\[ F_g = m_s a_c\]
Per la forza gravitazionale dobbiamo utilizzare la legge di gravitazione universale (non \(mg\), poiché il satellite è lontano dalla superficie terrestre):
\[ F_g = G \frac {m_s M_{Terra}}{ r^2}\]
Inserendo nell'equazione precedente l'espressione per l'accelerazione centripeta
\[ a_c = \frac {v^2}{r}\]
si ottiene
\[ G \frac {m_s M_{Terra}}{r^2} = m_s \frac {v^2}{r}\]
Semplificando e risolvendo per \(v\) otteniamo:
\[v = \sqrt {\frac {G M_{Terra}}{r} } \]
Possiamo quindi inserire i valori all'interno dell'espressione per \(v\). Prima di farlo, è importante notare che il valore da utilizzare per \(r\) non è semplicemente la distanza del satellite dalla Terra! Si tratta piuttosto della somma del raggio terrestre e di questa distanza. Il motivo per cui dobbiamo tenerne conto è che la legge di gravitazione universale di Newton richiede che si utilizzi la distanza tra i centri delle masse. Tenendo conto di questo, abbiamo:
\[ v = \sqrt{ \frac { (6,67 \times 10^{-11} N m^2 Kg^{-2}) (5,98 \times 10^{24}Kg) }{ (30 \times 10^6 m + 6,371 \times 10^6 m) } } = 3275 m/s\]
Consideriamo un esempio simile, con la differenza che il satellite, invece di orbitare intorno alla Terra, orbita intorno alla Luna.
Un satellite di 200 Kg si trova in un'orbita circolare a 30000 Km dalla superficie lunare. Qual è la velocità del satellite? Utilizza \(R_{Luna} = 1737 Km \) per il raggio della Luna e \(M_{Luna}=7,35 \times 10^{22} Kg \) per la sua massa.
Poiché la situazione è quasi identica a quella dell'esempio precedente, possiamo procedere subito utilizzando l'equazione che abbiamo ricavato prima per la velocità del satellite:
\[v = \sqrt {\frac {G M_{Luna}}{r} } \]
Inserendo nell'espressione precedente i valori per la Luna invece di quelli della Terra, si ottiene:
\[ v = \sqrt{ \frac { (6,67 \times 10^{-11} N m^2 Kg^{-2}) (7,35 \times 10^{22}Kg) }{ (30 \times 10^6 m + 1,737 \times 10^6 m) } } = 393 m/s\]
Gravitazione - Punti chiave
- Il moto circolare uniforme è il moto di un oggetto che si muove con velocità costante lungo una circonferenza.
- L'accelerazione centripeta è l'accelerazione di un oggetto che si muove di moto circolare ed è diretta verso il centro.
- La forza centripeta è una forza, puntando verso il centro, che fa sì che un oggetto segua un percorso circolare.
Le equazioni per la velocità e accelerazione nel moto circolare uniforme sono le seguenti:
\(v= \frac {2 \pi r}{T}\); \( a_c = \frac {v^2}{r}\)
L'equazione per la forza centripeta è la seguente: \(F_c=m \frac {v^2}{r} \).
La gravitazione, o forza gravitazionale, è la forza di attrazione che tutti gli oggetti dotati di massa esercitano l'uno sull'altro.
La forza gravitazionale agisce come forza centripeta per gli oggetti in orbita.
L'equazione della forza gravitazionale tra due corpi di massa \(m_1\) e \(m_2\) è la seguente: \( F_g = G \frac {m_1 m_2}{ r^2}\).
References
- Fig. 2 - Newtons-law-of-universal-gravitation-two-masses.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Newtons-law-of-universal-gravitation-two-masses.svg) by MikeRun is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
Spiegazioni Accedi ai contenuti gratuiti creati dai nostri esperti.
Esami Preparati al meglio per la Scuola e l'Università.
Magazine Trucchi e consigli per studiare meglio e in poco tempo.
