Urti, moto rettilineo uniforme, quantità di moto e conservazione dell'energia meccanica sono tutti concetti importanti studiati in fisica. Il pendolo balistico è uno strumento che unisce tutti questi concetti per calcolare la velocità di un proiettile. Vediamolo insieme!
Pendolo balistico: definizione
Prima di vedere le formule che caratterizzano il pendolo balistico, cerchiamo di capire di cosa si tratta e a cosa serve.
Un pendolo balistico è un sistema fisico in cui un proiettile impatta la massa ferma di un pendolo. Questo strumento può essere usato per calcolare la velocità dei proiettili.
Quindi il pendolo balistico è un sistema in cui un macchinario spara un proiettile e, sfruttando il moto del pendolo che ne risulta, si può calcolare la velocità del proiettile. Il principio fisico che ci permette di studiare questo sistema è quello degli urti. In particolare, per l'esempio che prenderemo in considerazione, assumeremo che l'urto sia completamente anelastico, ovvero che, una volta che il proiettile impatta sulla massa del pendolo, il proiettile si "fonda" a questa, diventando un oggetto unico.
Fig. 1 - Schema di funzionamento di un pendolo balistico.
Pendolo balistico: formule
Per derivare le formule del pendolo balistico, ci avvarremo di due principi molto importanti: la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell'energia del sistema.
Il primo passo consiste nell'usare le formule per la conservazione quantità di moto per derivare a quale velocità finale il blocco si muove, in relazione alla velocità iniziale del proiettile. Per fare questo, dobbiamo ricordare che la quantità di moto \(\vec{p}\) è data da
\[\vec{p} = m\vec{v}\]
Siccome il moto è completamente in una dimensione (ci interessiamo al proiettile come se si muovesse di moto rettilineo uniforme con velocità iniziale \(v_\mathrm{i}\)) possiamo usare le quantità scalari.
La conservazione della quantità di moto ci dice che
\[m_\mathrm{i} v_\mathrm{i} = m_\mathrm{f} v_\mathrm{f}\, ,\]
dove con i pedici \(\mathrm{i}\) e \(\mathrm{f}\) indichiamo le quantità iniziali e finali. In questo caso, la massa iniziale è data solo dalla massa \(m\) del proiettile, mentre la massa finale è data dalla somma della massa del proiettile con quella del blocco, che indichiamo con \(M\). Essendo il blocco inizialmente a riposo, l'unica velocità che ci interessa è quella del proiettile \(v_\mathrm{i}\). Se sostituiamo queste quantità nell'equazione della conservazione della quantità di moto, otteniamo
\[mv_\mathrm{i} = (m+M)v_\mathrm{f}\, .\]
Se esplicitiamo la velocità finale del blocco, otteniamo la velocità finale in funzione delle masse e della velocità iniziale
\[v_\mathrm{f} = \frac{m}{m+M}\,v_\mathrm{i}\, .\]
Possiamo ora usare la conservazione dell'energia del sistema, ma come?
Dobbiamo pensare che quando avviene l'urto tra il proiettile e il blocco in fondo al pendolo, tutta l'energia cinetica del sistema (che ricordiamo essere data da \(\frac{1}{2} m v^2\)) viene tradotta in energia potenziale, perché il pendolo si solleva nella sua oscillazione. Se chiamiamo l'altezza massima che il blocco raggiunge \(h\), l'energia potenziale al punto più alto del moto del blocco, ovvero quando la velocità sarà nulla, sarà dato da \(E_\mathrm{p}=mgh\).
Possiamo quindi dire che l'energia del blocco quando viene impattato e inizia a muoversi con la velocità \(v_\mathrm{f}\) deve essere uguale a \(mgh\) per conservare l'energia del sistema. In formule, possiamo scrivere
\[\frac{1}{2} mv_\mathrm{f}^2 = mgh\,.\]
Se in questa equazione sostituiamo la formula che abbiamo trovato prima per la velocità finale, otteniamo
\[\frac{1}{2}(m+M) \left( \frac{m}{m+M}\,v_\mathrm{i} \right)^2 = (m+M)gh\, .\]
E possiamo ricavare, infine, la velocità iniziale del proiettile esplicitando \(v_\mathrm{i}\):
\[v_\mathrm{i} = \frac{m+M}{m} \sqrt{2gh}\, .\]
Pendolo balistico: esercizi
Un proiettile di massa \(m = 4{,}5\,\mathrm{kg}\) impatta su un blocco di un pendolo balistico di massa \(M=7{,}3\,\mathrm{kg}\) e lo solleva di \(0{,}03\,\mathrm{m}\).
Calcolare la velocità iniziale del proiettile.
Possiamo applicare direttamente la formula che abbiamo ricavato per la velocità iniziale del proiettile:
\[v_\mathrm{i}=\frac{m+M}{m} \sqrt{2gh} = \frac{(4{,}5+7{,}3)\,\mathrm{kg}}{4{,}5\, \mathrm{kg}}\sqrt{2(9{,}81 \, \mathrm(m/s^2)) (0{,}03\,\mathrm{m})}\, .\]
Se svolgiamo i calcoli, otterremo
\[v_\mathrm{i} = 1{,}5\, \mathrm{m/s^2}\, .\]
Un proiettile di massa \(3{,} 0\times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\) colpisce un blocco di legno appeso a un pendolo balistico con una velocità iniziale di \(500 \,\mathrm{m/s}\), e lo alza di un'altezza \(h=0{,}03\,\mathrm{m}\)
Determinare la massa del blocco
In questo caso, l'incognita è la massa \(M\) del blocco. Per ricavarla, dobbiamo riordinare la formula per la velocità iniziale del proiettile, esplicitando \(M\).
\[\begin{align*}v_\mathrm{i} &= \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}\\m\, v_\mathrm{i} &= (m+M)\sqrt{2gh}\\[6pt]\frac{m\,v_\mathrm{i}}{\sqrt{2gh}} &= m+M\\M&= \frac{m\,v_\mathrm{i}}{\sqrt{2gh}} -m\end{align*}\]
Da cui, se inseriamo i dati, otteniamo
\[M = \frac{(3{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{kg})(500\,\mathrm{m/s})}{\sqrt{2(9{,}81\,\mathrm{m/s}^2)(0{,}03\,\mathrm{m})}}-(3{,} 0\times10^{-3}\, kg)\, .\]
Svolgendo i calcoli, otteniamo
\[M = 2{,}5\,\mathrm{kg}\, .\]
Pendolo balistico - Punti chiave
- Un pendolo balistico è un sistema fisico in cui un proiettile impatta la massa ferma di un pendolo.
- Il pendolo balistico può essere usato per calcolare la velocità dei proiettili.
- La veloctià iniziale di un proiettile può essere calcolata con la formula \(v_\mathrm{i} = \frac{m+M}{m} \sqrt{2gh} \), dove \(m\) è la massa del proiettile, \(M\) è la massa del blocco e \(h\) l'altezza di cui si alza il blocco dopo l'impatto con il proiettile.
References
- Fig. 1 - Sketch of a ballistic pendulum.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sketch_of_a_ballistic_pendulum.svg) by MikeRun is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
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