Un giocatore di baseball colpisce una palla da baseball con la mazza e la fa volare fuori dal campo. Home run ! In fisica, il concetto di urto anelastico descrive l'azione della mazza che colpisce la palla da baseball. Poiché la quantità di moto della palla da baseball e della mazza deve avere lo stesso valore prima dell'urto e dopo l'urto, la palla vola fuori dal campo dopo l'urto.
In questo articolo parleremo dei diversi tipi di urti e del loro rapporto con la conservazione della quantità di moto e dell'energia.
Urto: definizione
Gli urti (o collisioni) si verificano intorno a noi; un paio di esempi sono le collisioni tra automobili e la collisione tra una palla e una mazza. In fisica, quando due oggetti entrano in collisione, ciascuno di essi esercita una forza di contatto molto forte sull'altro in un breve lasso di tempo.
In genere, le forze che gli oggetti esercitano l'uno sull'altro sono molto forti rispetto a tutte le altre forze che agiscono sul sistema. Per questo motivo, possiamo ignorare le forze esterne e considerare solo le forze che gli oggetti esercitano l'uno sull'altro. Un buon esempio è dato dal fatto che, in una collisione tra auto, le forze che le auto esercitano l'una sull'altra sono molto maggiori della forza di attrito della strada sui pneumatici.
Un urto è un'interazione tra oggetti che esercitano forze di contatto molto forti l'uno sull'altro per un breve periodo di tempo.
Fig. 1 - Durante una collisione, le auto esercitano forti forze di contatto l'una sull'altra in un breve periodo di tempo.
L'energia meccanica di un sistema, ovvero la somma dell'energia cinetica e potenziale, si conserva quando sugli oggetti del sistema agiscono solo forze conservative. Se una forza non conservativa, come l'attrito, agisce su un oggetto, l'energia meccanica totale è diversa da quella iniziale. Le collisioni vengono classificate come elastiche o anelastiche in base alla conservazione o meno dell'energia meccanica durante la collisione.
Un urto elastico è una collisione in cui l'energia meccanica si conserva.
Un urto anelastico è una collisione in cui l'energia meccanica non si conserva.
Atomi e molecole subiscono spesso urti elastici. Le collisioni macroscopiche che vediamo ogni giorno sono anelastiche, poiché l'energia cinetica si converte in altre forme di energia (come l'energia termica) quando gli oggetti macroscopici si scontrano.
Possiamo, tuttavia, ipotizzare che alcune collisioni macroscopiche siano elastiche, come le collisioni tra palle da biliardo. Possiamo giustificare il fatto che una collisione sia elastica solo quando la perdita di energia è trascurabile e la deformazione durante l'urto è praticamente nulla.
Di solito, durante una collisione, gli oggetti che la subiscono si danneggiano a causa delle grandi forze che subiscono. Anche le forze subite dagli oggetti variano nella maggior parte delle collisioni. Se per descrivere l'urto utilizziamo la conservazione della quantità di moto e dell'energia invece delle leggi del moto di Newton, il problema diventa molto più semplice. Se si utilizza la conservazione della quantità di moto, non è necessario considerare la variazione delle forze o l'entità dei danni subiti da ciascun oggetto.
Urti e conservazione della quantità di moto
Quando non ci sono forze esterne che agiscono su un sistema, questo viene chiamato sistema isolato. Quando si verifica una collisione in un sistema isolato, la quantità di moto si conserva.
La legge di conservazione della quantità di moto ci dice che la quantità di moto è costante prima e dopo la collisione. Quindi, mentre l'energia meccanica non si conserva sempre durante una collisione, la quantità di moto in un sistema isolato si conserva sempre.
Come già detto, le forze esercitate dagli oggetti l'uno sull'altro sono molto più grandi delle forze esterne. Quindi, per gli esempi che considereremo, ignoreremo le forze esterne e considereremo il sistema come isolato.
Il principio di conservazione della quantità di moto afferma che in un sistema isolato la quantità di moto è costante durante una collisione.
Utilizzando le leggi di conservazione della quantità di moto e dell'energia, possiamo scrivere le equazioni per descrivere il moto degli oggetti in collisione. In questa sede ci concentreremo sulla quantità di moto lineare, anche se questo concetto può essere applicato anche sotto forma di quantità di moto angolare.
Consideriamo separatamente i due tipi di urti di cui abbiamo parlato sopra: urti elastici e urti anelastici.
Urto elastico
Negli urti elastiche si conservano sia l'energia meccanica sia la quantità di moto. Abbiamo quindi un'equazione che possiamo scrivere per ciascuna di esse. La conservazione dell'energia meccanica ci dice che l'energia prima dell'urto, \(E_i\), deve essere uguale all'energia dopo l'urto, \(E_f\):
\[ E_i = E_f \,.\]
Fig. 2 - Le palle da biliardo che si scontrano sono un esempio di collisione elastica.
L'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica e potenziale del sistema ma, per ora consideriamo un sistema che ha solo energia cinetica, come una palla da biliardo che sta per scontrarsi con un'altra palla da biliardo. Assumiamo che entrambe le palle da biliardo si muovano in linea retta e che la collisione sia unidimensionale. L'energia totale prima della collisione è data da:
\[E_i = K_{1,i} + K_{2,i} = \frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2,i}^2 \,, \]
dove \(m_1\) e \(m_2\) sono le masse delle palle da biliardo e \(v_{1,i}\) e \(v_{2,i}\) sono le loro velocità iniziali.
Le palle da biliardo hanno tipicamente la stessa massa, ma al fine di rendere la nostra trattazione generale, assumeremo che siano leggermente diverse. L'energia totale dopo la collisione è data da
\[ E_f = K_{1,f} + K_{2,f} = \frac{1}{2} m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2\,,\]
dove \(v_{1,f}\) e \(v_{2,f}\) sono le velocità finali delle palle da biliardo.
Ponendo \(E_i\ = E_f\) si ha:
\[ \frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2 \,. \]
Dividendo entrambi i membri per il fattore \(\frac{1}{2}\), si ottiene:
\[ m_1 v_{1,i}^2 + m_2 v_{2,i}^2 = m_1 v_{1,f}^2 + m_2 v_{2,f}^2 \,. \]
Questa è l'equazione che abbiamo ottenuto utilizzando la conservazione dell'energia meccanica.
Esaminiamo ora l'equazione che possiamo ricavare dalla conservazione della quantità di moto. La quantità di moto iniziale, \(P_i\), deve essere uguale alla quantità di moto finale \(P_f\):
\[ P_i = P_f \,.\]
La quantità di moto prima della collisione è:
\[ P_{1,i} + P_{2,i} = m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i}\]
e dopo la collisione è:
\[ P_{1,f} + P_{2,f} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \,.\]
Otteniamo così la nostra equazione dalla conservazione della quantità di moto:
\[ m_1v_{1,i} + m_2 v_{2,i}= m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}\,.\]
Queste equazioni sembrano avere molte variabili incognite, ma la maggior parte dei problemi ci fornisce la massa e la velocità iniziale degli oggetti del sistema. Ricorda che ogni volta che abbiamo due equazioni, possiamo risolvere per un massimo di due variabili incognite! Possiamo quindi utilizzare sia l'equazione di conservazione dell'energia sia quella di conservazione della quantità di moto per risolvere la velocità finale di ciascuno dei due oggetti in collisione.
Le equazioni di conservazione della quantità di moto e dell'energia utilizzate in precedenza si applicano solo agli oggetti che viaggiano in una sola dimensione e che subiscono una collisione elastica. Se la collisione avviene con un certo angolo, dobbiamo considerare le componenti verticali e orizzontali delle velocità per trovare le componenti della quantità di moto.
Urto anelastico
Negli urti anelastici, l'energia meccanica non si conserva, quindi non possiamo uguagliare le energie meccaniche iniziali e finali. Possiamo però utilizzare la conservazione della quantità di moto.
Consideriamo una situazione unidimensionale simile all'esempio precedente ma, questa volta, quando le palline si scontrano, una parte dell'energia cinetica viene persa in altre forme di energia, come l'energia termica.
L'equazione per descrivere la conservazione della quantità di moto è la stessa di prima:
\[ P_i = P_f\]
\[ m_1v_{1,i} + m_2 v_{2,i}= m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}\,.\]
Poiché abbiamo una sola equazione, possiamo risolvere per una sola variabile. Possiamo farlo se il problema ci fornisce i valori delle altre variabili, oppure possiamo risolvere per il rapporto tra le velocità finali quando vengono dati i valori delle masse e delle velocità iniziali.
Un caso particolare di collisione anelastica è quello in cui gli oggetti rimangono uniti dopo l'urto. Si tratta di una collisione perfettamente anelastica. In questo caso, gli oggetti condividono la stessa velocità finale \(v_f\).
Immaginiamo che una delle palline dell'esempio precedente sia appiccicosa e si attacchi all'altra pallina dopo l'urto. L'uguaglianza tra la quantità di moto iniziale e la quantità di moto finale dà come risultato:
\[ P_i = P_f\]
\[ m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i}= (m_1 + m_2) v_{f} \,.\]
Per una collisione perfettamente anelastica, c'è solo una velocità finale da trovare, cosa che possiamo fare se ci vengono fornite le altre variabili.
Urti: esempi
Poiché le collisioni si verificano spesso nella nostra vita quotidiana, dobbiamo essere in grado di impostare le equazioni di conservazione dell'energia e della quantità di moto in base a ogni situazione. Di seguito sono riportati un paio di esempi che vi aiuteranno a fare pratica.
Un grande blocco di massa \(m_1\) si scontra con un blocco più piccolo di massa \(m_2\) che inizialmente è a riposo. Dopo la collisione, i blocchi si muovono insieme. Qual è il rapporto tra la velocità iniziali e quella finali?
Fig. 3 - Urto completamente anelastico tra due blocchi.
L'urto tra i blocchi è un urto perfettamente anelastico perché l'energia cinetica viene persa durante l'urto e i blocchi si muovono insieme dopo l'urto. Utilizzeremo la conservazione della quantità di moto per trovare il rapporto tra le velocità. La quantità di moto iniziale del blocco più grande è:
\[P_{1,i}= m_1 v_i \,.\]
Il blocco più piccolo è a riposo prima dell'urto e quindi ha una quantità di moto iniziale nulla:
\[ P_{2,i}= 0 \,. \]
Quindi la quantità di moto totale iniziale è
\[ P_i = P_{1,i} + P_{2,i} = m_1 v_i \,.\]
Troviamo la quantità di moto finale del sistema prendendo la somma delle masse moltiplicata per la velocità finale in modo che
\[ P_f = (m_1 + m_2) v_f \,.\]
Ponendo \(P_i = P_f\) otteniamo:
\[ m_1 v_i = (m_1 + m_2) v_f\,.\]
Dividendo entrambi i membri dell'equazione per la somma delle masse \(m_1 + m_2\) si ricava \(v_f\):
\[ v_f = \frac{m_1}{(m_1 + m_2)} v_i \]
e, quindi, il rapporto tra le velocità sarà:
\[ \frac{v_f}{v_i} = \frac{m_1}{(m_1 + m_2)}\,.\]
Una palla da biliardo urta un'altra palla che inizialmente si muove con velocità \(v_{2,i} = 1 \,\mathrm m \, \mathrm s^{-1}\). Dopo l'urto, le due palle da biliardo si allontanano con un angolo \(\theta= 30°\). La velocità iniziale della prima palla da biliardo è \(v_{1,i} = 4 \, \mathrm m \, \mathrm s^{-1}\), e le due palle hanno masse uguali. Trovare le velocità finali di entrambe le palle da biliardo.
Fig. 4 - Urto bidimensionale tra palle da biliardo.
Utilizziamo la conservazione della quantità di moto per trovare le velocità finali delle palle da biliardo. Poiché dopo l'urto le palle da biliardo si allontanano con un certo angolo, dobbiamo dividere la quantità di moto iniziale e finale nelle componenti verticale e orizzontale. Inizieremo con la componente orizzontale.
La componente orizzontale della quantità di moto iniziale è data da
\[P_{ix}= m v_{1,i} + m v_{2,i}\]
Poiché non c'è velocità iniziale lungo la componente verticale (lungo y), si ha:
\[ P_{iy} = 0\]
Per trovare la componente orizzontale della quantità di moto finale, dobbiamo dividere la velocità in componenti verticali e orizzontali.
Le componenti verticali di ciascuna velocità sono:
\[v_{1,fy}= v_{1,f} \sin(\theta)\]
\[v_{2,fy}= v_{2,f} \sin(-\theta)= - v_{2,f}\sin(\theta)\,.\]
La funzione seno è dispari, quindi si ha: \(\sin(-\theta) = - \sin(\theta) \)
Le componenti orizzontali sono:
\[v_{1,fx}= v_{1,f} \cos(\theta)\]
\[v_{2,fx}= v_{2,f} \cos(-\theta)= v_{2,f}\cos(\theta)\,.\]
La funzione coseno è pari, quindi si ha: \(\cos(-\theta) = \cos(\theta) \)
La componente orizzontale della quantità di moto finale è quindi:
\[P_{fx}= mv_{1,fx} + m v_{2,fx} = m(v_{1f} \cos(\theta) + v_{2,f}\cos(\theta)) \]
e la componente verticale finale della quantità di moto è:
\[P_{fy}= m v_{1,fy} + m_2 v_{2,fy} = m (v_{1,f} \sin(\theta) - v_{2,f} \sin(\theta))\,.\]
Ora possiamo uguagliare le componenti iniziale e finale della quantità di moto:
\[P_{ix} = P_{fx}\]
\[mv_{1,i} + mv_{2,i} = m (v_{1,f} \cos(\theta) + v_{2,f} \cos(\theta))\]
\[P_{iy} = P_{fy}\]
\[0 = m(v_{1,f} \sin(\theta) - v_{2,f} \sin(\theta))\,.\]
Poiché né \(m\) né \(\sin(\theta)\) sono nulli, dall'equazione precedente ricaviamo:
\[v_{1,f}= v_{2,f} \,.\]
Abbiamo scoperto che l'entità della velocità delle palle da biliardo è la stessa, che chiameremo \(v_f = v_{1,f}=v_{2,f}\). Possiamo utilizzare questo dato nell'equazione della componente orizzontale della quantità di moto:
\[ mv_{1,i} +mv_{2,i}= m( v_f \cos(\theta) + v_f \cos(\theta))\,.\]
Dividendo entrambi i membri per \(m\) si ottiene:
\[ v_{1,i} +v_{2,i}= v_f\cos(\theta) + v_f \cos(\theta)\]
da cui si ricava \(v_f\):
\[ v_f = \frac{v_{1,i} + v_{2,i}}{2 \cos (\theta)} \,.\]
Inserendo i dati delle velocità iniziali e l'angolo \(\theta= 30°\) nella formula si ottiene:
\[v_f= 2{,}89 \, \mathrm m \, \mathrm s^{-1}\,.\]
Le palle da biliardo partono entrambe con un angolo \(\theta= 30°\) con una velocità di \(2{,}89 \, \mathrm m \, \mathrm s^{-1}\).
Urto- Punti chiave
- In fisica, un urto (o collisione) è un'interazione tra oggetti che esercitano forze molto forti a contatto tra loro in un breve periodo di tempo.
- La quantità di moto si conserva sempre quando si verifica una collisione in un sistema isolato.
- L'energia meccanica non si conserva sempre durante una collisione.
- Un urto elastico è una collisione in cui l'energia meccanica e la quantità di moto si conservano.
- Un urto anelastico è quello in cui l'energia meccanica non si conserva e si verifica una diminuzione dell'energia cinetica.
Spiegazioni Accedi ai contenuti gratuiti creati dai nostri esperti.
Esami Preparati al meglio per la Scuola e l'Università.
Magazine Trucchi e consigli per studiare meglio e in poco tempo.
