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Moto armonico semplice

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Il moto armonico semplice è definito come il moto ripetitivo di una massa attorno a un punto di equilibrio. Il moto avviene tra due punti di spostamento massimo da entrambi i lati della posizione di equilibrio.

Caratteristiche del moto armonico semplice

  1. Il tempo impiegato per raggiungere i punti di spostamento massimo è sempre lo stesso.
  2. Il completamento di questo moto si chiama ciclo completo.
  3. Il tempo necessario per un ciclo completo è detto periodo \(T\).
  4. Perciò il moto armonico semplice si dice essere un'oscillazione periodica.

Durante il moto armonico semplice, una forza conosciuta come forza di ritorno si crea a causa dell'accelerazione del corpo che ne genera l'oscillazione. Questa forza è proporzionale allo spostamento, ma ha direzione opposta al movimento, causando un ritorno dell'oggetto alla posizione di equilibrio, come si può vedere da questa figura.

Moto armonico semplice Pendolo StudySmarterUn pendolo.

Si può ritenere che un oggetto oscilli di moto armonico semplice se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

  • Le oscillazioni sono periodiche. Ciò significa che l'oggetto ritorna alla sua posizione iniziale nello stesso intervallo di tempo per ogni ciclo.

  • L'accelerazione dell'oggetto che oscilla in un moto armonico semplice è proporzionale al suo spostamento, ma ha una direzione opposta.

Ecco alcuni esempi di moto armonico periodico.

  • Una sedia a dondolo che si muove avanti e indietro mentre ritorna alla posizione iniziale a intervalli di tempo uguali.

  • Una massa su una molla oscilla intorno alla posizione di equilibrio a intervalli di tempo uguali.

  • Una molla che oscilla longitudinalmente agli stessi intervalli di tempo.

Legge di Hooke e moto armonico semplice

Se una massa viene attaccata a una molla e poi spostata dalla sua posizione iniziale di riposo, oscillerà intorno alla posizione iniziale in moto armonico semplice.La legge di Hooke afferma che la forza di ritorno necessaria per estendere o comprimere la molla dalla sua posizione iniziale di riposo per una distanza \(x\), è proporzionale alla costante \(k\) della molla, che è una caratteristica della sua rigidità. Il segno negativo nella formula indica che la forza ha una direzione negativa rispetto allo spostamento. Il periodo di una molla oscillante può essere trovato anche con l'equazione seguente, dove \(T\) è il periodo e \(m\) è la massa della molla.

\[T[s] = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

La legge di Hooke ha la stessa forma della seconda legge di Newton, dove la massa è il reciproco della rigidità della molla e l'accelerazione è il reciproco dello spostamento negativo. Quindi, l'accelerazione nel moto armonico semplice è proporzionale allo spostamento e ha direzione opposta (vedi sotto; dove x è la distanza di una massa che oscilla dalla sua posizione di equilibrio).

\[ Legge \: di \: Hooke : F[N] = -k[N/m] \cdot x[m]\] \[Seconda \: legge \: di \: Newton : F[N] = m[kg] a[m/s^2]\]

Equazioni moto armonico semplice

Esistono diverse equazioni utilizzate per descrivere una massa che compie un moto armonico semplice.

Equazione periodo moto armonico semplice

Il periodo di tempo \(T\), di un oggetto che esegue un moto armonico semplice, è il tempo necessario a un sistema per compiere un'oscillazione completa e tornare alla posizione di equilibrio. Si presume che un'oscillazione completa sia completata quando un oggetto si è spostato dalla sua posizione iniziale, ha raggiunto i due punti di massimo spostamento e poi è tornato alla posizione iniziale. Il periodo di tempo può essere ricavato dall'equazione seguente, dove \(\omega\) è il tasso di variazione dello spostamento angolare rispetto al tempo, \(T\) è il periodo e \(f\) è il numero di oscillazioni complete completate in un secondo.

\[f[Hz]=1/T[s]\]

\[\omega[rad/s] = \frac{2\pi}{T[s]}=2\pi f\]

Accelerazione moto armonico semplice

L'accelerazione massima, \(a\), di un oggetto che oscilla in moto armonico semplice è proporzionale allo spostamento, \(x\), e alla frequenza angolare \(\omega\). La formula indica che l'accelerazione ha una direzione opposta allo spostamento indicato dal segno meno. Mostra anche che l'accelerazione raggiunge il suo massimo quando lo spostamento è alla massima ampiezza, cioè nel punto più lontano dall'equilibrio.

\[ a_{max} [m/s^2] = -\omega^2 [rad/s] \cdot x_0[m]\]

L'equazione data è descritta di seguito, dove un grafico dell'accelerazione rispetto alla posizione illustra che l'accelerazione è una funzione dello spostamento. La pendenza del grafico dato è uguale al quadrato negativo della frequenza angolare, come mostrato nell'equazione sottostante. Lo spostamento massimo e minimo sono quindi \(+x_0\) e \(-x_0\), come rispettivamente indicato.

Moto armonico semplice Accelerazione e spostamento StudySmarterGrafico accelerazione-spostamento.

\[pendenza = \frac{a}{x}=-\omega^2 [rad/s]\]

La posizione di un oggetto in moto armonico può essere trovata con l'equazione seguente se sono note la frequenza angolare e l'ampiezza in un dato momento.\[x(t) = x_0 sin(\omega t)\]

Questa equazione può essere utilizzata quando l'oggetto oscilla dalla posizione di equilibrio iniziale. Per descrivere questo moto si può utilizzare un grafico sinusoidale, come mostrato nella figura seguente, che illustra l'esempio di un pendolo che parte dalla posizione di equilibrio.

Moto armonico semplice Esempio e grafico sinusoidate StudySmarterEsempio di pendolo e grafico sinusoidale.

Se un oggetto oscilla dalla sua posizione di massimo spostamento, dove l'ampiezza è uguale a \(-x0\) o \(x0\), si può utilizzare l'equazione seguente.

\[ x(t) = x_0 cos(\omega t) \]

Un esempio di pendolo che inizia a oscillare nella sua posizione di massima ampiezza può essere descritto da un grafico e da un'equazione del coseno, come mostrato di seguito.

Questi due grafici rappresentano lo stesso moto con l'unica differenza che iniziano in momenti diversi

Moto armonico semplice Grafico coseno StudySmarterEsempio di pendolo e grafico del coseno.

Equazione velocità moto armonico semplice

La velocità di un oggetto che oscilla in moto armonico semplice in un dato momento può essere trovata utilizzando l'equazione seguente dove \(v_{max}\) è la velocità massima, \(t\) è il tempo e \(\omega\) è la frequenza angolare.

\[v(t) = v_{max}cos(\omega t)\] \[v_{max} = \omega x_0\]

Questa equazione può anche essere derivata dall'equazione della posizione in termini di tempo; ricordiamo che la velocità è la derivata della posizione nel tempo. Un'altra equazione viene utilizzata per descrivere il comportamento della velocità rispetto allo spostamento e alla frequenza dell'oscillatore armonico mostrato di seguito, dove \(x_0\) è l'ampiezza e \(x\) è lo spostamento.

\[v=\pm \omega \sqrt{x_0^2 -x^2}\]

Equazione accelerazione moto armonico semplice

L'accelerazione di un oggetto che oscilla in moto armonico semplice in un dato momento può essere trovata utilizzando l'equazione seguente, dove \(a_{max}\) è l'accelerazione massima, \(t\) è il tempo e \(\omega\) è la frequenza angolare. Questa equazione può anche essere derivata dall'equazione della velocità in termini di tempo, poiché l'accelerazione è la derivata della velocità nel tempo

\[ a(t) = - a_{max} cos(\omega t)\] \[a_{max} = \omega^2 x\]

Una forza di \(200 N\) è necessaria per estendere una molla di \(5 kg\) di massa di \(0,5 m\). Trovare la costante della molla e la sua frequenza di oscillazione.

Soluzione:

Usiamo la legge di Hooke. Usando i dati e inserendoli nell'equazione, otteniamo.

\[ F=k\cdot x\] \[k=\frac{F}{x} = \frac{200 N}{0,5 m} = 400\frac{N}{m} = 400 \frac{kg}{s^2}\]

La frequenza si può trovare usando l'equazione per il periodo. \(T=2\pi\sqrt{m/k}\).

\[T=2\pi \sqrt{\frac{5kg}{400kg/s^2}} = 0,7s\] \[F=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,7s}=1,42 Hz\]

Angolo di fase e sfasamento

Quando la posizione iniziale della massa oscillante \(m\) al momento iniziale non è uguale all'ampiezza e la velocità iniziale non è zero, la funzione coseno risultante che rappresenta il moto della massa apparirà leggermente spostata.

Questo fenomeno è noto come sfasamento e può essere misurato in termini di angolo di fase \(\phi\), misurato in rad. In presenza di uno sfasamento, le equazioni del moto armonico semplice introdotte come funzione del tempo possono essere scritte anche come funzione dell'angolo di fase.

\[x(t) = x_0 cost(\omega t + \phi)\] \[v(t) = v_{max} sin(\omega t + \phi)\] \[ a(t) = - a_{max} cos(\omega t + \phi) \]

L'angolo di fase può essere determinato dalla posizione della massa \(m\) oscillante o dal suo grafico. Questo sfasamento può essere descritto come un angolo misurato in radianti usando l'equazione qua sotto, dove \(\omega\) è la frequenza angolare, \(t\) il tempo e \(\phi_0\) lo sfasamento iniziale.

\[\phi = \omega t + \phi_0 \]

Moto armonico semplice - Key takeaways

  • Il moto armonico semplice è un movimento ripetitivo avanti e indietro di una massa su ciascun lato di una posizione di equilibrio.
  • Quando un oggetto oscilla in moto armonico semplice, le oscillazioni sono periodiche e l'accelerazione è proporzionale allo spostamento.
  • La forza di ritorno di un'oscillazione può essere descritta usando la legge di Hooke.

Domande frequenti riguardo Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice è un movimento ripetitivo avanti e indietro di una massa su ciascun lato di una posizione di equilibrio.

Si parla di moto armonico quando un oggetto oscilla ripetitivamente avanti e indietro attorno una posizione di equilibrio.

La velocità in un moto armonico è al centro del moto, mentre ai punti estremi la velocità raggiunge zero.

L'accelerazione nel moto armonico ha verso contrario a quello di movimento.

Quiz Finale Moto armonico semplice

Come è definito il moto armonico semplice?

Il moto armonico semplice è definito come il moto ripetitivo di una massa attorno a un punto di equilibrio.

Cos'è il periodo?

È il tempo per completare un ciclo.

Il moto armonico semplice è un'oscillazione...

Periodica.

Cosa vuol dire che un'oscillazione è periodica?

Che l'oggetto ritorna al punto iniziale alla fine di ogni ciclo.

Vero o Falso: l'accelerazione nel moto armonico semplice è nella stessa direzione del moto.

Falso

Cosa dice la legge di Hooke?

Che la forza di ritorno necessaria per estendere o comprimere una molla dalla sua posizione iniziale per una distanza x è proporzionale ad una costante k ed è contraria alla direzione del moto.

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