Relatività ristretta

La teoria della relatività ristretta è una teoria scientifica che si occupa delle relazioni tra tempo e spazio. In questo articolo esploreremo la teoria della relatività speciale di Einstein, l'esperimento di Michelson-Morley, il concetto di simultaneità, la dilatazione temporale, la contrazione delle lunghezze e alcuni esempi di relatività speciale.

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Indice

    Teoria della relatività ristretta (o speciale) di Einstein

    La teoria della relatività speciale di Albert Einstein, detta anche teoria della relatività ristretta, rappresenta uno degli sviluppi più importanti della fisica. In questa sezione vedremo come essa estenda e corregga la fisica classica.

    Relatività ristretta effetti relativistici velocità luceStudySmarterFig. 1 - Immagine della Terra ripresa durante la Spedizione 65 della ISS.

    L'esperimento di Michelson-Morley del 1889 aveva mostrato che la luce viaggia alla stessa velocità c in ogni sistema di riferimento. Questo fatto era inspiegabile secondo la fisica classica! Einstein superò questa difficoltà elaborando una nuova teoria basata su due postulati. Ma prima di studiare questi due postulati nel dettaglio, vale la pena fare un breve accenno all' esperimento di Michelson-Morley.

    Relatività speciale: Esperimento di Michelson-Morley

    L'esperimento di Michelson-Morley, condotto nel 1887, fu progettato per determinare la presenza dell'etere, un mezzo che, si presumeva, pervadesse lo spazio e trasportasse le onde luminose. Secondo la relatività galileiana, se nell'etere la luce si propagava a velocità \(c\), nei sistemi di riferimento inerziali in moto rispetto all'etere la luce si sarebbe propagata con velocità minore o maggiore di \(c\).

    L'esperimento consisteva nel misurare la velocità della luce in diverse direzioni utilizzando uno strumento che poi divenne noto come interferometro di Michelson. Per come l'esperimento era progettato, una diversa velocità nelle direzioni del fascio di luce avrebbe portato a uno spostamento delle frange di interferenza.

    Albert A. Michelson e Edward W. Morley non rilevarono tuttavia lo spostamento minimo previsto delle frange di interferenza. In altre parole, la velocità della luce non obbediva alle regole di composizione delle velocità galileiane!

    Questi risultati aprirono la strada all'elaborazione della teoria della relatività ristretta.

    Postulati relatività ristretta

    Vediamo ora più nel dettaglio i due famosi postulati introdotti da Einstein nel 1905, l'annus mirabilis per la fisica.

    Questi due postulati che stabiliscono che i) le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali; ii) la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore \(c = 299\,792\,458 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

    Primo postulato della relatività speciale

    Secondo il primo postulato della relatività speciale, le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

    In un sistema di riferimento inerziale, un corpo a riposo rimane a riposo e un corpo in movimento continua a muoversi di moto rettilineo uniforme a meno che non vengano sottoposti a una forza esterna.

    Il primo postulato è, in sostanza, il principio di relatività espresso da Galilei. La novità fu nell'averlo esteso a tutte le leggi della fisica (quindi anche all'elettromagnetismo) e nell'averlo accostato al secondo postulato, ovvero all'invarianza della velocità della luce nei sistemi di riferimento inerziali.

    Secondo postulato della relatività speciale

    Il secondo postulato della relatività speciale stabilisce che la luce si propaga nel vuoto a una velocità \(c = 299\,792\,458 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

    È importante notare che le leggi dell'elettromagnetismo ci dicono che nel vuoto la luce viaggia a circa \(3\times 10^8 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Tuttavia, non ci dicono se un osservatore che viaggia a una certa velocità osserverà la luce propagarsi a una velocità diversa da \(c\).

    Per capire il secondo postulato, consideriamo un passeggero di un autobus in moto a una certa velocità costante che lancia in avanti una palla. Per un osservatore fermo sul marciapiede, la velocità della palla sarà data dalla somma tra la velocità dell'autobus e la velocità con cui la palla è stata lanciata dal passeggero.

    Ora supponiamo che il passeggero non lanci una palla, ma che punti una torcia davanti a sé. Per il passeggero, la luce si muove con velocità \(c\) ma per l'osservatore a terra? Secondo la composizione delle velocità galileiana, l'osservatore fermo sul marciapiede dovrebbe vedere la luce propagarsi con velocità data dalla somma tra c e la velocità dell'autobus. Questo, tuttavia, non avviene nel caso della luce!

    Einstein affermò che la luce nel vuoto deve viaggiare alla velocità \(c\) rispetto a qualsiasi osservatore. In altre parole, la velocità della luce \(c\) è una costante ed è indipendente dal moto relativo della sorgente.

    Di conseguenza, le trasformazioni di Galileo dovevano essere riviste.

    Le trasformazioni di Lorentz

    Le trasformazioni di Lorentz estendono le trasformazioni di Galileo e si riducono a esse nel limite classico \(v \ll c\).

    Consideriamo due sistemi di riferimento \(S\) di coordinate \((t, x, y, z)\) e \(S'\) di coordinate \((t', x', y', z')\) con assi \(x\) e \(x' \) coincidenti.

    Se S' si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v lungo la direzione x, le trasformazioni di Lorentz sono le seguenti:

    \[\begin{cases}t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\x' =\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\y' = y \\ z' =z\end{cases}\]

    A partire da queste equazioni si può facilmente mostrare come la velocità della luce rimanga la stessa e come le leggi della fisica siano invarianti nei due sistemi di riferimento inerziali, come stabilito dai due postulati.

    Nota bene: a differenza delle trasformazioni di Galileo, nelle trasformazioni di Lorentz la coordinata \(t\) non è più assoluta! L'evento che l'osservatore solidale a \(S\) osserva al tempo \(t\), è visto dall'osservatore solidale a \(S' \) al tempo \(t'\) . È importante notare che \(t'\) che dipende anche dalla coordinata \(x\), ovvero dalla posizione in \(S\).

    Per velocità molto inferiori a quella della luce ( \(v \ll c\)), il termine \(v/c\) può essere trascurato (\(v/c \ll 1\)) e le equazioni di Lorentz si riducono alle trafsormazioni di Galileo:

    \[\begin{cases}t' = t \\x' = x-vt \\y' = y \\z' =z\end{cases}\]

    Relatività speciale: Simultaneità e dilatazione temporale

    Possono gli intervalli di tempo essere diversi se misurati da diversi osservatori? Intuitivamente, pensiamo allo scorrere del tempo come a un processo uguale per tutti. Tuttavia, vedremo che la misura del tempo è determinata dal movimento relativo dell'osservatore rispetto all'evento da misurare.

    relatività ristretta tempo trascorso StudySmarterFig. 2 - Il tempo trascorso in una gara è lo stesso per tutti gli osservatori, ma è influenzato dalla velocità relativa dell'osservatore.

    Simultaneità

    Quando si parla di simultaneità, pensiamo immediatamente alla relazione tra due eventi che si suppone avvengano nello stesso momento. Tuttavia, poiché abbiamo visto che il tempo non è più assoluto, se due eventi avvengono nello stesso istante in un sistema di riferimento, non è detto che lo avvengano nello stesso istante in un altro sistema di riferimento inerziale.

    Si veda il seguente esempio:

    Uno spettacolo pirotecnico a Parigi e un altro a New York sembrano accadere nello stesso momento. Tuttavia, questi due eventi saranno osservati in momenti diversi da un osservatore sulla Terra e da un altro che si sposta da New York a Parigi a una velocità prossima a quella della luce. Infatti, il secondo osservatore vedrà i fuochi d'artificio di Parigi prima di quelli di New York, mentre l'osservatore sulla terra vedrà i due eventi accadere contemporaneamente.

    Dilatazione dei tempi

    La dilatazione temporale è un fenomeno secondo il quale il tempo misurato cambia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore.

    Supponiamo di trovarci su un'astronave a velocità prossime a quelle della luce (sistema \(S'\) ) e di misurare l'intervallo di tempo \(\Delta t_0\) tra due eventi che accadono sull'astronave (gli eventi accadono nello stesso luogo \(x'_1 = x'_2\)). Applicando le trasformazioni di Lorentz, un osservatore esterno che si trova nel sistema \(S\) misurerà un tempo

    \[ \Delta t = \frac {\Delta t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0\]

    \[ \gamma = \frac{1} {\sqrt{1- \frac {v^2}{c^2}} }\]

    Poiché \( v < c\), si ha \( \gamma >1 \) e, quindi, \(\Delta t > \Delta t_0\). In altre parole, l'intervallo di tempo misurato dall'osservatore in \(S\) è maggiore dell'intervallo di tempo che misura l'osservatore sull'astronave, ovvero l'osservatore solidale con il sistema di riferimento in moto \(S'\).

    Relatività speciale: Contrazione delle lunghezze

    La contrazione delle lunghezze è un fenomeno secondo il quale la lunghezza misurata varia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore.

    Supponiamo di voler misurare la lunghezza di un'asta solidale con il sistema di riferimento in moto \(S'\). L'asta è quindi in quiete rispetto a \(S'\) e la sua lunghezza propria \(L_0\) sarà data dalla distanza tra le posizioni delle sue estremità misurate in \(S': x_2' -x_1'\).

    Applicando le trasformazioni di Lorentz, la lunghezza misurata dall'osservatore in S sarà data da:

    \[ L = \frac{L_0}{\gamma}\]

    Poiché \(\gamma \gt 1\) , si ha \( L \lt L_0\). Quindi, un osservatore esterno vedrà l'asta in movimento più corta di quanto sarebbe se la misurasse in un sistema di riferimento solidale al moto dell'asta.

    Esempio

    Supponiamo che, per un osservatore sulla Terra, un muone viaggi a una velocità \(v = 0,950 \:c\) per \(\Delta t= 7,05 \mu s\) dal momento in cui viene osservato fino alla sua scomparsa. Per l'osservatore sulla Terra, il muone percorre una distanza di:

    \[L_0 = v \Delta t = (0,95) (3\cdot 10^8 \: m/s) (7,05 \cdot 10^{-6} \: m = 2,01 \: km\]

    Una volta trovato il valore di \(\gamma\):

    \[\gamma = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{(0,95\:c)^2}{c^2}} = 3,203\]

    possiamo calcolare il tempo proprio \(\Delta t_0\) nel sistema di riferimento del muone:

    \[\Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = 2,2\:\mu s\]

    La distanza misurata nel sistema di riferimento del muone sarà quindi

    \[L = v \Delta t_0 = (0,95)(3\cdot 10^8\:m/s)(2,2\cdot 10^{-6}m) = 0,627\:km \]

    In conclusione, la distanza tra la comparsa e la scomparsa del muone dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata.

    Relatività ristretta contrazione lunghezze StudySmarterFig. 3 - Gli osservatori possono misurare distanze diverse; a velocità relativistiche, sono davvero diverse.

    Che cos'è l'energia cinetica relativistica?

    La legge della conservazione dell'energia afferma che l'energia ha molte forme e ogni forma può essere convertita in un'altra senza essere distrutta; l'energia in un sistema rimane costante.

    L'energia si conserva ancora in modo relativistico se la sua definizione viene modificata per includere la possibilità che la massa si converta in energia. Einstein ha dimostrato che la legge di conservazione dell'energia può essere applicata in modo relativistico. Questo ha portato all'elaborazione dei concetti di energia totale ed energia di riposo.

    Si può dimostrare che la formula per l'energia cinetica relativistica è la seguente:

    \[E = m_0 c^2 (\gamma -1) = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2\,,\]

    dove il primo termine, \(E = \gamma m_0 c^2\), è detto energia totale e il secondo termine, \(E = m_0 c^2\), è detto energia a riposo. In altre parole, l'energia totale è data dalla somma dell'energia cinetica relativistica e dell'energia a riposo.

    Da questa formula notiamo subito che mentre il primo termine dipende anche dalla velocità (tramite \(\gamma\) ), il secondo dipende solo dalla massa a riposo e dalla velocità della luce. Questo significa che ogni corpo possiede un'energia a riposo che può assumere valori molto alti, visto che è moltiplicata per la velocità della luce al quadrato!

    Relatività ristretta e generale

    Il termine "ristretta" deriva dal fatto che questa teoria è valida nei sistemi di riferimento inerziali, ovvero quei sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. Successivamente Einstein formulò la teoria della relatività generale, valida anche per i sistemi non inerziali.

    Relatività ristretta - Punti chiave

    • La relatività speciale rappresenta uno degli sviluppi più importanti nella storia della fisica, poiché ha cambiato il modo in cui percepiamo il tempo e lo spazio.
    • La teoria della relatività speciale di Einstein si basa su due postulati. Il primo afferma che le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali . Il secondo afferma che la luce si propaga nel vuoto a una velocità \(c = 299\,792\,458 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) che è indipendente dal moto relativo della sorgente.
    • La dilatazione di tempi è un fenomeno secondo il quale il tempo misurato cambia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore.
    • La contrazione delle lunghezze è un fenomeno secondo il quale la lunghezza misurata cambia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore. Nello specifico, la lunghezza di un oggetto in movimento risulta 'contratta' alla sua lunghezza propria misurata nel sistema di riferimento solidale con l'oggetto.
    • Ogni corpo possiede un'energia a riposo \(E = m_0 c^2\) che dipende solo dalla massa e dalla velocità della luce al quadrato.

    References

    1. Fig. 1 - HP10s scientific calculator.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:HP10s_scientific_calculator.jpg) by Mr Yukio is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
    2. Fig. 2 - Runners at Mile 19 Boston Marathon 2021.agr.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Runners_at_Mile_19_Boston_Marathon_2021.agr.jpg) by ArnoldReinhold (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:ArnoldReinhold) is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
    3. Fig. 3 - Autumn Road - panoramio.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Autumn_Road_-_panoramio.jpg) by idawriter (https://web.archive.org/web/20161024113603/http://www.panoramio.com/user/1238588?with_photo_id=81828972) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
    Domande frequenti riguardo Relatività ristretta

    In che anno venne formulata la teoria relatività ristretta Albert Einstein?


    Nel 1905.

    Che cos'è la relatività generale e ristretta? 

    La teoria della relatività ristretta è una teoria scientifica che si occupa delle relazioni tra tempo e spazio. Il termine "ristretta" deriva dal fatto che questa teoria è valida nei sistemi di riferimento inerziali, ovvero quei sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. Successivamente Einstein formulò la teoria della relatività generale, valida anche per i sistemi non inerziali.  

    Dove è applicata la relatività ristretta? 

    La teoria dellaa relatività ristretta è applicata ai sistemi di riferimento inerziali, ovvero quei sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro.

    Quali sono i postulati della teoria della relatività ristretta? 

    I due postulati della teoria della relatività ristretta stabiliscono che i) le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali; ii) la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c= 299.792.458 m s-1  in tutti i sistemi di riferimento inerziali. 

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    Il tempo proprio è il tempo che l'osservatore misura in un sistema di riferimento solidale con l'evento osservato. 

    Un muone viene osservato da un osservatore sulla Terra e viaggia a una velocità di 0,620 c per 10,0s dal momento in cui viene individuato fino alla sua scomparsa. Trova la distanza percorsa rispetto all'osservatore.

    Quale delle seguenti affermazioni è vera?

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