Moto rettilineo uniforme

Un auto percorre, a velocità costante, una strada rettilinea lunga \(20 \, \mathrm{km}\) in \(15 \, \mathrm{min}\). Calcola la velocità in \(\mathrm{m}/\mathrm{s}\).

Quanta strada risuscirebbe a percorrere con la stessa velocità in mezz'ora?

Per rispondere alla prima domanda, dobbiamo innanzitutto trasformare \(\mathrm{km}\) in \(\mathrm{m}\) e \(\mathrm{min} \) in \(\mathrm{s}\):

\[20 \, \mathrm{km} = 20 \times 10^3 \, \mathrm{m}\]

\[15 \, \mathrm{min} = (15 \times 60) \, \mathrm{s} = 900 \, \mathrm{s}\]

Applicando la formula per la velocità, si ottiene:

\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t}= \frac{20 \times 10^3 \, \mathrm{m}}{900 \space s} \approx 22{,}2 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\]

Per rispondere alla seconda domanda, dobbiamo calcolare lo spazio percorso alla stessa velocità in \(30 \, \mathrm{min}\).

Trasformiamo \(\mathrm{min}\) in \(\mathrm{s}\):

\[ 30 \, \mathrm{min} = (30 \times 60) \, \mathrm{s} = 1800 \, \mathrm{s}\]

\[ \Delta s' = v \, \Delta t' = (22{,}2 \, \mathrm{m}/\mathrm{s} ) \, 1800 \, \mathrm{s} = 39\,960 \,\mathrm{m}\,. \]

L'auto risuscirebbe quindi a percorrere \(39\,960 \, \mathrm{m}\).

Due corridori partono dagli estremi di una strada rettilinea lunga \( 10 \, \mathrm{km}\). Il primo (corridore A) corre a una velocità costante di \( 15 \, \mathrm{km}/\mathrm{h} \), il secondo (corridore B) corre a una velocità di \( 18 \, \mathrm{km}/\mathrm{h}\) . Dopo quanto tempo i corridori si incontrano e a quale distanza rispetto al punto di partenza del corridore A?

Scegliamo come verso positivo quello che va dal corridore A al corridore B e fissiamo l'origine nel punto di partenza del corridore A. La posizione iniziale del corridore A sarà, pertanto, \( s_{0A}= 0 \, \mathrm{km}\) . La posizione iniziale del corridore B sarà, quindi, \( s_{0B}= 10 \, \mathrm{km}\).

Le leggi del moto per i due corridori sono le seguenti.

\[ s_A = s_{0A} + v_A t \]

\[ s_B = s_{0B} - v_B t \]

Inserendo \( s_{0A}= 0 \) nella prima equazione e uguagliando i due membri a destra dell'uguale poiché siamo interessati al momento in cui i due corridori si incontrano (ovvero, al momento in cui \(s_A = s_B\)), si ha:

\[ v_A t = s_{0B} - v_B t \]

\[t (v_A + v_B) = s_{0B} \]

\[ t = \frac{s_{0B}}{v_A + v_B} \]

Inserendo i valori, si ottiene:

\[ t = \frac{10 \, \mathrm{km}} {15 \, \mathrm{km}/\mathrm{h}+ 18 \, \mathrm{km}/\mathrm{h}}= 0{,}3 \, \mathrm{h} \approx 18 \, \mathrm{min}\]

I due corridori si incontreranno dopo circa \(18 \, \mathrm{min}\). Per trovare a quale distanza rispetto al punto di partenza del corridore A i due corridori si incontrano, basterà sostituire il tempo a cui si incontrano nella legge oraria per il corridore A. Chiamando \(t^* = 0,3 \space h\), si ha:

\[ s(t^*)= v_A t^* = (15 \, \mathrm{km}/\mathrm{h}) \, (0,3 \, \mathrm{h} )= 4{,}5 \, \mathrm{km}\]

I due corridori si incontrano quindi a \(4{,}5 \, \mathrm{km}\) dal punto di partenza del corridore A.