Dinamica del corpo rigido

In fisica, spesso, si studiano i problemi o i sistemi fisici usando il punto materiale come tassello fondamentale. Non sempre però la massa di un corpo può essere ridotta a un singolo punto, e bisogna trattare i corpi in maniera più complessa e realistica. Il corpo rigido è un passo in questa direzione, vediamo di cosa si tratta!

Corpo rigido: definizione

Prima di iniziare a descriverne le proprietà, è bene capire cosa è un corpo rigido. Vediamo la definizione formale.

Questa definizione ci permette di ampliare il nostro studio della fisica per includere anche oggetti che non sono solamente punti materiali. Questo è importantissimo perché nella maggior parte dei casi di studio reali, non abbiamo a che fare con corpi infinitamente piccoli, ma dobbiamo poterci basare su modelli fisici di oggetti in più dimensioni che (per quanto semplificati) riescano a descrivere le forze applicate ai casi reali.

Fig. 1 - Esempio di studio delle forze su un corpo rigido che ruota attorno a un polo \(\mathrm{O}\).

Nonostante qeusti oggetti abbiano proprietà nuove che vedremo tra poco, è importante ricordare che anche i corpi rigidi rispettano le equazioni cardinali della dinamica:

\[\begin{cases}\vec{F}_{\text{est.}}=\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{\mathrm{CM}}}{\mathrm{d}t}} = m\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{\mathrm{CM}}}{\mathrm{d}t }\\[4pt]\vec{M}_{\text{est.}}=\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{dt} \, ,}\end{cases}\]

dove \(\vec{F}_{\text{est.}} \) e \(\vec{M}_{\text{est.}} \) indicano i vettori delle forze e dei momenti delle forze esterne rispettivamente, mentre \(\vec{p}_{\mathrm{CM}} \) è la quantità di moto del centro di massa e \(\vec{L}\) è il momento angolare del corpo.

Dinamica del corpo rigido: momento di inerzia

Quando parliamo di inerzia, intendiamo la resistenza di un oggetto a muoversi. Quando parliamo di momento di inerzia, ci riferiamo sempre alla resistenza di un corpo a muoversi, ma in questo caso ci si riferisce specificatamente al moto di rotazione.

Ma come facciamo a tradurre questo concetto in termini fisici? Per una trattazione completa, su StudySmarter abbiamo un articolo dedicato al momento di inerzia, vediamo per ora due formulette generali.

Per un sistema di punti materiali, il momento di inerzia rispetto a un asse \(\hat{z}\) è dato da

\[ I_{\hat{z}} = \sum_{i=1}^n m_i r^2_i\, ,\]

dove \(m_i\) è la massa dell'i-esima particella e \(r_i\) è il suo raggio posizione dall'asse di rotazione.

Per i corpi rigidi compatti e omogenei, invece, ci conviene sfruttare le proprietà generali del corpo e passare allo studio delle proprietà integrali del corpo. Se al posto della massa usiamo la densità del corpo \(\rho\), possiamo integrare su tutto il volume e ottenere il momento d'inerzia del nostro corpo con la formula

\[I = \int_V \rho\, r^2 \, dV.\]

Fig. 2 - Esempio di momenti di inerzia di vari corpi

Dinamica del corpo rigido: teorema di Huygens-Steiner

Quando studiamo il momento di inerzia di un corpo rigido, non sempre ci è possibile usare il caso più semplice in cui il corpo ruota attorno al proprio centro di massa, in questi casi ci viene in soccorso il teorema di Huygens-Steiner!

Il teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli) afferma che il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse è dato dalla somma tra il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse parallelo passante per il centro di massa, \(I_{CM}\), e il prodotto della massa \(M\) per il quadrato della distanza \(d\) tra i due assi:

\[ I = I_{CM} + M d^2\]

Dinamica del corpo rigido: moto di puro rotolamento

Uno dei più semplici esempi di moto di un oggetto che rotola su una superficie (come ad esempio una ruota di raggio \(R\) o un disco) è dato dal moto di puro rotolamento.

Le condizioni per avere moto di puro rotolamento sono date da:

\[x = R\theta; \quad v_{\text{CM}}=\frac{\mathrm{d}x}{dt}=R\omega; \quad a_{\text{CM}} = \frac{\mathrm{d}v_{\text{CM}}}{dt}=R\alpha\, ,\]

dove con \(x\) indichiamo la posizione lineare sulla superficie, con \(R\) il raggio del disco che ruota, con \(\theta\) l'angolo di rotazione che questo compie nel suo moto, con \(\omega\) indichiamo la velocità angolare con cui il corpo ruota e con \(\alpha\) indichiamo l'accelerazione angolare del corpo, con i pedici \(\text{CM}\) indichiamo le quantità relative al centro di massa.

Fig. 3 - La cicloide è la curva descritta da un punto se viene seguito durante il moto di puro rotolamento.

Dinamica del corpo rigido: attrito volvente

Quando un oggetto ruota su un piano, in condizioni ideali possiamo studiarlo senza considerare gli effetti dell'attrito tra il piano e il corpo. Quando queste condizioni ideali non possono essere considerate e bisogna tener conto delle forze di attrito di un oggetto che rotola (senza strisciare, è una premessa importante!) su un piano, si devono usare le formule relative all'attrito volvente.

Non vediamo nel dettaglio i conti, ma la formulazione della forza di attrito volvente più semplice è data da

\[F_\mathrm{v} = \frac{\mu_\mathrm{v} F_\perp}{r}\, ,\]

dove \(F_\mathrm{v} \) è il modulo della forza di attrito volvente, \(\mu_\mathrm{v} \) è detto coefficiente di attrito volvente e varia per ogni superficie, \(F_\perp \) è la forza normale al piano esercitata dal corpo nel suo moto di rotolamento e \(r\) è il raggio del corpo che rotola senza strisciare.

Dinamica del corpo rigido: pendolo composto

Un pendolo composto (o pendolo fisico) è un qualunque corpo rigido in grado di ruotare liberamente attorno a un punto fisso diverso dal baricentro. L'oggetto in figura 1 è un esempio di pendolo composto, infatti il corpo dell'immagine ruota attorno al polo \(\mathrm{O}\) con velocità angolare \(\omega\).

Questi corpi hanno un moto molto simile a quello di un oscillatore armonico e si possono studiare con le stesse equazioni. Nell'articolo dedicato al pendolo composto vedremo come calcolare l'equazione differenziale che ne governa il moto, l'equazione oraria e vedremo come si può calcolare l'energia totale di un pendolo fisico.