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Pendolo semplice

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Un bambino che oscilla su un'altalena, una palla da demolizione che penzola all'estremità di una gru, il braccio di una persona che oscilla per lanciare una palla da bowling: che cosa hanno in comune tutti questi scenari? Il moto periodico di una massa oscillante è una componente fondamentale del moto armonico semplice e delle oscillazioni. In questo articolo illustreremo la definizione di pendolo semplice, le formule che utilizziamo per risolvere i problemi sul pendolo semplice e come le troviamo, alcune applicazioni reali ed esempi di problemi.

Definizione pendolo semplice

Durante i tuoi studi di fisica, è probabile che tu abbia già incontrato il concetto di pendolo: rivediamo cosa intendiamo con questo termine.

Un pendolo è un peso collegato a un punto fisso e oscilla liberamente sotto la forza di gravità.

Simple Pendulum Classic clocks like grandfather clocks obey simple harmonic motion StudySmarter

Fig. 1 - Un esempio di pendolo è il peso di un orologio a pendolo.

I pendoli sono generalmente fissati con un'asta rigida, come il peso sospeso nell'orologio qui sopra. Il peso oscilla tra due punti massimi. Sappiamo cos'è un pendolo, ma cos'è un pendolo semplice?

Un pendolo semplice è un pendolo ideale in cui tutta la massa si trova nel punto materiale all'estremità. La linea che collega il punto materiale al punto fisso non può allungarsi e non ha massa.

In altre parole, un pendolo semplice è composto da una massa concentrata all'estremità di una corda anelastica e priva di massa. Naturalmente si tratta di un'ipotesi idealizzata: oggetti fisici privi di massa non possono esistere nella vita reale, ma molti esempi di pendoli possono essere modellati come pendoli semplici con un sufficiente grado di precisione.

Moto del pendolo semplice

Per molti argomenti diversi, è spesso utile identificare una versione semplificata di una forma di moto più complessa, sia per comprendere il sistema che per risolvere i problemi. Quindi, come possiamo analizzare il moto di un pendolo semplice? Sarebbe difficile basarsi solo su ciò che sappiamo dalla cinematica. Tuttavia, se riusciamo a dimostrare che i pendoli semplici presentano un moto armonico semplice, possiamo applicare gli stessi strumenti che abbiamo imparato dal moto armonico semplice.

Cominciamo a considerare il caso in cui un pendolo semplice presenta un moto armonico semplice. Ciò significa che la forza \( F_r \) di per riportarlo in una posizione di riposo deve essere proporzionale allo spostamento. Matematicamente, possiamo scrivere questa relazione come:

\[ F_r \propto d. \]

Un pendolo semplice presenta un moto rotatorio. Nel nostro caso, ciò significa che lo spostamento è uguale all'angolo, o \( \theta \), moltiplicato per il raggio. Per il nostro pendolo semplice, il raggio è semplicemente la lunghezza \( L \) del filo:

\[ F_r \propto L \theta . \]

Tuttavia, poiché la lunghezza della corda è costante, siamo interessati solo alla dipendenza da theta del nostro pendolo. Pertanto, possiamo eliminare il termine di lunghezza dalla proporzionalità, poiché siamo solo interessati a cosa è proporzionale questa forza:

\[ F_r \propto \theta . \]

Ora dovremmo avere abbastanza informazioni per disegnare un diagramma di corpo libero e determinare se la nostra forza mostra questa relazione con l'angolo. Le uniche forze che agiscono sul nostro pendolo semplice sono la forza di gravità che agisce verso il basso e la tensione della corda che mantiene il pendolo nel suo movimento rotatorio.

Simple Pendulum Free-body diagram of idealized pendulum under the forces of tension and gravity StudySmarter

Diagramma di corpo libero di un pendolo semplice.

Possiamo dividere la forza di gravità nelle sue componenti x e y per ottenere la nostra forza di ritorno della nostra massa. La gravità fornisce la forza di ritorno perché, ancora una volta, la tensione della corda mantiene il moto rotatorio della nostra massa.

Simple Pendulum Free body diagram with x and y components of gravitational force and theta component of tension StudySmarterDiagramma di corpo libero di un pendolo semplice in cui le forze sono state divise nelle componenti x e y.

In questo caso, la gravità nella direzione x è la forza di ritorno, la forza che agisce contro la direzione del moto. Si noti che, indipendentemente dalla posizione della massa nell'arco del pendolo, la tensione è perpendicolare al movimento. Per questo motivo è la gravità a fornire la forza di ritorno e non la tensione. Ora dobbiamo risolvere per \(F_{g_x} \) in termini di \( \theta \):

\[ sin(\theta) = \frac{F_{g_x}}{F_g} \] \[ F_{g_x} = F_g sin(\theta) \] \[ F_{g_x} = -mg sin(\theta) \]

Dove, \( m \) è la massa e \( g \) è l'aggelerazione dovuta alla gravità. Quindi, la nostra forza è proporzionale a \(sin(\theta)\) e non a \(\theta\)!

L'approssimazione per angoli piccoli è una regola che afferma che per angoli sufficientemente piccoli espressi in radianti, il valore di \(sin (\theta)\) è approssimativamente uguale all'angolo, ovvero:

\[ sin (\theta) \approx \theta \]

In altre parole, questo significa che non dobbiamo calcolare \( sin(\theta)\) fintantoché \(\theta\) è piccolo. Pertanto, per angoli piccoli, un pendolo semplice presenta effettivamente un moto armonico semplice! Vediamo un esempio che utilizza l'approssimazione per piccoli angoli per vedere questo strumento in azione.

Consideriamo un pendolo con un angolo di 10 gradi. Calcolare la differenza percentuale tra il valore effettivo della forza di ripristino e il valore stimato utilizzando l'approssimazione del piccolo angolo.Per risolvere questo problema, dobbiamo confrontare la nostra forza di ritorno approssimata con la forza di ritorno effettiva. Partendo dalla nostra forza di ritorno effettiva, non faremo alcuna approssimazione:

\[ F_{g_x} = -m g sin(\theta) \] \[F_{g_x} = -m g sin (10°)\] \[F_{g_x} = -m g sin (\pi / 18) = -m g \cdot 0,1736\]

Ora, possiamo provare a fare lo stesso conto con l'approssimazione per angoli piccoli!\[ F_{g_x} = -m g \theta \] \[F_{g_x} = -m g (10°) \] \[ F_{g_x} = -m g (\pi / 18) = -m g \cdot 0,1745\]

Dobbiamo trovare la differenza percentuale tra questi due calcoli, l'errore percentuale ci è dato da questa formula:

\[Errore \: in \: \% = \frac{| valore\: approssimativo - valore\: esatto | }{valore\: esatto} \cdot 100 \]

Perciò, se inseriamo i nostri valori approssimativi ed esatti:

\[Errore \: in \: \% = \frac{|-mg\cdot 0,1736 - (-mg)\cdot 0,1745|}{-mg \cdot 0,1736}\cdot 100 \]

\[Errore \: in \: \% = \frac{|0,1736 - 0,1745|}{0,1736}\cdot 100 \]

\[Errore \: in \: \% = 0,5184 \% \]

L'errore percentuale è solo di circa mezzo punto percentuale. Convenzionalmente, l'approssimazione per piccoli angoli è valida per angoli inferiori a circa quindici gradi.

Vediamo le formule più importanti da conoscere per lavorare con i pendoli semplici.

Formule pendolo semplice

Ora che abbiamo dimostrato che l'approssimazione per piccoli angoli è valida per i pendoli semplici, purché l'angolo non sia troppo grande, possiamo mettere in relazione i pendoli semplici con il moto armonico semplice, esplorando alcune delle loro proprietà. Consideriamo innanzitutto la nostra nuova forza di ritorno, assumendo l'approssimazione per angoli piccoli:

\[ F_{g_x} \approx -mg\theta\] \[ F_{g_x} \approx -mg \left(\frac{x}{L}\right)\] \[F_{g_x} \approx - \left(\frac{mg}{L}\right) x\]

Ricordiamo che il moto armonico semplice obbedisce alla legge di Hooke, la teoria che afferma che esiste una proporzionalità lineare tra lo spostamento e un fattore costante (come la rigidità) con la forza:

\[F = -kx\]

Perciò, comparanto queste due equazioni, possiamo vedere che la nostra costante \(k\) è:

\[k = \frac{mg}{L}\]

Ora, possiamo applicare le nostre formule per il moto armonico semplice al pendolo semplice. Iniziamo a considerare il periodo, il tempo che si impiega a compiere un ciclo completo del moto. Il periodo \(T\) è dato da:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Il periodo è misurato in unità di tempo, come i secondi \(s\). Se inseriamo i valori per la nostra costante \(k\) in questa equazione, otteniamo il periodo per il pendolo semplice:

\[T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{L}} } = 2\pi \sqrt{ \frac{L}{g}}\]

La frequenza, o il numero di oscillazioni di un evento periodico nell'unità di tempo è semplicemente l'inverso del periodo:

\[ f=\frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}\]

La frequenza si misura in unità di tempo inverse, come \(1/s\), anche noto come hertz (Hz). Ora, possiamo usare la formula per il periodo di un pendolo semplice per ricavare la frequenza angolare \(\omega\). Ricordiamo che la formula del periodo di un moto circolare può essere scritta come:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Perciò, possiamo trovare che la frequenza angolare è

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] \[\omega = \frac{2\pi}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{L}} \]

La frequenza angolare di solito viene misurata in radianti al secondo (\(rad /s)\). Una cosa interessante da notare è che nessuna di queste formule si basa sull'angolo di spostamento o sulla massa del pendolo. Entro i limiti dell'approssimazione per angoli piccoli, non importa quanto grande sia l'ampiezza che diamo ai nostri pendoli, il periodo e la frequenza rimangono gli stessi, finché la lunghezza del pendolo rimane costante!Per riassumere, ecco le formule che dovreste essere pronti a utilizzare per affrontare semplici problemi di pendolo:

  • Possiamo trovare il periodo di un pendolo semplice usando la formula \( T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)
  • Possiamo trovare la frequenza di un pendolo semplice usando l'inverso della formula precedente, \( f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}\), oppure più semplicemente prendendo l'inverso del risultato per il periodo
  • Possiamo trovare la frequenza angolare per un pendolo semplice usando la formula \( \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\)

Applicazioni pendolo semplice

Le applicazioni dei pendoli semplici sono più comuni nella vita quotidiana di quanto si possa pensare! Abbiamo già visto che i vecchi orologi, in particolare quelli "a pendolo", sono una classica applicazione del pendolo in azione. Abbiamo anche considerato brevemente che il movimento avanti e indietro su un'altalena, una palla da demolizione o il lancio di una palla da bowling possono essere approssimati come semplici pendoli. Ognuno di questi movimenti comporta un fissaggio approssimativamente rigido a un punto fisso e un'oscillazione ripetitiva.Quali sono le altre applicazioni? Consideriamo la classica giostra del parco divertimenti, una nave pirata che oscilla:

Simple Pendulum Swinging boat ride at amusement park acts as a simple pendulum StudySmarterLa nave pirata oscillante è un esempio di pendolo semplice.

In questa giostra, la barca mostra un moto armonico semplice mentre oscilla avanti e indietro tra due altezze estreme attorno al suo rigido attacco metallico. Anche il metronomo, lo strumento che i musicisti usano per tenere un ritmo e un tempo precisi mentre suonano uno strumento, obbedisce al comportamento di un pendolo semplice, con la gravità che agisce sui contrappesi per la forza di richiamo.

Esercizi pendolo semplice

Usiamo un esercizio come esempio per mettere in pratica le formule che abbiamo ricavato.

Trova il periodo e la frequenza per un pendolo semplice lungo \(2,0 m\).

In questo problema, dobbiamo applicare le nostre formule per il periodo e la frequenza del pendolo. Iniziamo dal periodo:

\[ T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

\[ T=2\pi \sqrt{ \frac{2,0m}{9,8m/s^2}}\]

\[T=2,8 s\]

Sapendo che la frequenza è semplicemente l'inverso del periodo, troviamo:

\[f=\frac{1}{T}\] \[f=\frac{1}{2,8s}\] \[f=0,36 Hz\]

La nostra unità di misura è l'hertz, ovvero l'inverso del secondo, che rappresenta il numero di oscillazioni del pendolo al secondo.

I pendoli semplici sono solo un'altra forma di moto armonico semplice, un moto periodico che si può trovare in molti scenari quotidiani. Anche se facciamo delle approssimazioni per analizzare questi sistemi, i nostri calcoli semplificati sono comunque utili per comprendere questo tipo di moto.

Pendolo semplice - Key takeaways

  • Un pendolo semplice può essere analizzato utilizzando il moto armonico semplice se l'angolo di oscillazione del pendolo è sufficientemente piccolo.
  • La gravità fornisce la forza di ritorno per un pendolo semplice.
  • Tutte le formule applicabili al moto armonico semplice sono applicabili ai pendoli semplici.
  • Il periodo e la frequenza di un pendolo semplice sono indipendenti dalla massa e dall'angolo iniziale del pendolo.

References

  1. Fig. 1: Junghans pendulum wall clock.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Junghans_pendulum_wall_clock.jpg) by Megatherium (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Megatherium) licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)

Domande frequenti riguardo Pendolo semplice

Un pendolo semplice è un pendolo ideale in cui tutta la massa si trova nel punto materiale all'estremità. La linea che collega il punto materiale al punto fisso non può allungarsi e non ha massa.

Le uniche forze che agiscono sul pendolo è la forza di gravità.

Il moto del pendolo è un moto armonico semplice.

Il periodo del pendolo semplice è calcolabile come T = 2 pi * sqrt(L/g).

Quiz Finale Pendolo semplice

Cos'è un pendolo?

Un pendolo è un peso collegato a un punto fisso e oscilla liberamente sotto la forza di gravità.


Cos'è un pendolo semplice?

Un pendolo semplice è un pendolo ideale in cui tutta la massa si trova nel punto materiale all'estremità. La linea che collega il punto materiale al punto fisso non può allungarsi e non ha massa.

Quando si può usare l'approssimazione per angoli piccoli?

Convenzionalmente, quando l'angolo è minore di 15°.

Vero o Falso: il periodo è l'inverso della frequenza.

Vero

Qual è un'applicazione del pendolo semplice?

La giostra della nave pirata, un'altalena, un metronomo, una palla da demolizione...

Vero o Falso: la forza di ritorno è proporzionale alla massa.

Vero

Cosa misura la frequenza?

La frequenza misura il numero di oscillazioni di un evento periodico in un'unità di tempo.


Cosa misura il periodo?

Il tempo che si impiega a compiere un ciclo completo del moto.

A quale tipo di moto è paragonabile quello del pendolo semplice?

Al moto armonico semplice.

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