Cos'hanno in comune i satelliti artificiali in orbita attorno al nostro pianeta e una giostra? Entrambi questi fenomeni sono caratterizzati da un oggetto che agisce sotto l'effetto di una forza centrale. Vediamo insieme di cosa si tratta e che proprietà hanno le forze centrali.
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Jetzt kostenlos anmeldenCos'hanno in comune i satelliti artificiali in orbita attorno al nostro pianeta e una giostra? Entrambi questi fenomeni sono caratterizzati da un oggetto che agisce sotto l'effetto di una forza centrale. Vediamo insieme di cosa si tratta e che proprietà hanno le forze centrali.
Vediamo la definizione di forza centrale:
Una forza centrale è forza che agisce sempre verso un punto chiamato centro e il cui modulo dipende solo dalla distanza dell'oggetto che la subisce dal centro.
Quando consideriamo un punto centrale soggetto a una forza centrale, esso può muoversi lungo una qualsiasi traiettoria, per semplicità vediamo il caso in cui un punto materiale di massa \(m\) si muove lungo la traiettoria circolare in figura 1 dal punto \(P\) al punto \(Q\), dove \(\vec{r}\) descrive il vettore che congiunge la massa al centro del moto \(O\).
Per definizione, la forza \(\vec{F}\) è sempre parallela al vettore posizione \(\vec{r}\), perché la forza è sempre orientata verso il centro. Questa proprietà ci dice immediatamente che deve valere
\[\vec{r}\times \vec{F}=0\,.\]
Questo prodotto vettoriale, però, è esattamente il momento della forza \(\vec{F}\), da cui
\[\vec{M} = 0\,.\]
Il teorema del momento angolare ci dice che il momento \(\vec{M}\) della forza equivale alla variazione del momento angolare \(\vec{L}\), ovvero
\[\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}=0\,.\]
Questa quantità è equivalente a dire che il momento angolare non cambia mai nel tempo, o, in altre parole, che il momento angolare è costante:
\[\vec{L} = \text{cost}\,.\]
Vediamo ora alcune delle importanti proprietà delle forze centrali.
Le forze centrali sono anche conservative per definizione. Possiamo verificarlo calcolando il lavoro tra due punti \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\) come
\[L_{\mathrm{AB}} = \int_\mathrm{A}^\mathrm{B} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}\,.\]
Siccome la forza è diretta verso il centro, \(\vec{F} = F(r)\, \hat{u}_r\), perciò, otteniamo
\[L_{\mathrm{AB}} = \int_\mathrm{A}^\mathrm{B} F(r) \,\hat{u}_r\cdot\mathrm{d}\vec{s} \,.\]
Ma \(\hat{u}_r \cdot \mathrm{d}s = \mathrm{d}r\), che possiamo usare per scrivere
\[L_{\mathrm{AB}} = \int_{r_\mathrm{A}}^{r_\mathrm{B}} F(r) \,\mathrm{d}r\,.\]
Calcolando l'integrale otteniamo
\[L_{\mathrm{AB}} = F(r_\mathrm{B}) - F(r_\mathrm{A})\,\]
che non dipende dal percorso, quindi la nostra forza centrale \(F\) è conservativa.
Un'altra proprietà delle forze centrali è quella di avere velocità areolare costante. Cosa vuol dire? Guardiamo la figura 1. Quando un punto materiale si muove dal punto \(P\) al punto \(Q\) sotto l'azione di una forza centrale, il vettore \(\vec{r}\) che ne descrive la posizione spazza un'area \(\mathrm{d}A\), descrivendo un angolo \(\mathrm{d}\theta\). Se questo angolo è piccolo, possiamo vedere l'area \(\mathrm{d}A\) come l'area di un triangolo di base \(r\mathrm{d}\theta\) e altezza \(r\). Possiamo quindi scrivere
\[\mathrm{d}A = \frac{1}{2}(r\mathrm{d}\theta)( r) = \frac{1}{2} r^2\mathrm{d}\theta\,.\]
La velocità areolare è la velocità con cui quest'area viene "spazzata" dal vettore \(\vec{r}\), ovvero la sua variazione temporale, che possiamo scrivere come
\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,.\]
Questa quantità non sembra dirci molto, però possiamo collegarla al momento angolare descritto dalla forma
\[L = mr^2 \omega = mr^2 \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}\,.\]
Possiamo quindi sfruttare il fatto che \(r^2 \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\) è presente in entrambe le equazioni per scrivere
\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{L}{2m}=\text{cost}\,.\]
E siccome sappiamo che il momento angolare è costante (e la massa assumiamo che lo sia), possiamo dire che la velocità areolare nei moti sottoposti a forza centrale è costante.
Alcuni tra i più importanti esempi di forza centrale sono la forza gravitazionale, la forza elettrostatica, la forza magnetica e la forza elastica. Vediamo insieme qualche esempio più specifico:
Una forza si dice centrale quanto agisce sempre diretta verso un punto chiamato centro e il suo modulo dipende solo dalla distanza del punto di applicazione dal centro.
Per forza centrale si intende una forza che agisce sempre verso un punto chiamato centro e il cui modulo dipende solo dalla distanza dell'oggetto che la subisce dal centro.
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