Forza centrale

Forza centrale: momento angolare

Fig. 1 - Schema del percorso di una massa sottoposta a forza centrale.

Quando consideriamo un punto centrale soggetto a una forza centrale, esso può muoversi lungo una qualsiasi traiettoria, per semplicità vediamo il caso in cui un punto materiale di massa \(m\) si muove lungo la traiettoria circolare in figura 1 dal punto \(P\) al punto \(Q\), dove \(\vec{r}\) descrive il vettore che congiunge la massa al centro del moto \(O\).

Per definizione, la forza \(\vec{F}\) è sempre parallela al vettore posizione \(\vec{r}\), perché la forza è sempre orientata verso il centro. Questa proprietà ci dice immediatamente che deve valere

\[\vec{r}\times \vec{F}=0\,.\]

Questo prodotto vettoriale, però, è esattamente il momento della forza \(\vec{F}\), da cui

\[\vec{M} = 0\,.\]

Il teorema del momento angolare ci dice che il momento \(\vec{M}\) della forza equivale alla variazione del momento angolare \(\vec{L}\), ovvero

\[\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}=0\,.\]

Questa quantità è equivalente a dire che il momento angolare non cambia mai nel tempo, o, in altre parole, che il momento angolare è costante:

\[\vec{L} = \text{cost}\,.\]

Forza centrale: proprietà

Vediamo ora alcune delle importanti proprietà delle forze centrali.

Conservatività delle forze centrali

Le forze centrali sono anche conservative per definizione. Possiamo verificarlo calcolando il lavoro tra due punti \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\) come

\[L_{\mathrm{AB}} = \int_\mathrm{A}^\mathrm{B} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}\,.\]

Siccome la forza è diretta verso il centro, \(\vec{F} = F(r)\, \hat{u}_r\), perciò, otteniamo

\[L_{\mathrm{AB}} = \int_\mathrm{A}^\mathrm{B} F(r) \,\hat{u}_r\cdot\mathrm{d}\vec{s} \,.\]

Ma \(\hat{u}_r \cdot \mathrm{d}s = \mathrm{d}r\), che possiamo usare per scrivere

\[L_{\mathrm{AB}} = \int_{r_\mathrm{A}}^{r_\mathrm{B}} F(r) \,\mathrm{d}r\,.\]

Calcolando l'integrale otteniamo

\[L_{\mathrm{AB}} = F(r_\mathrm{B}) - F(r_\mathrm{A})\,\]

che non dipende dal percorso, quindi la nostra forza centrale \(F\) è conservativa.

Velocità areolare

Un'altra proprietà delle forze centrali è quella di avere velocità areolare costante. Cosa vuol dire? Guardiamo la figura 1. Quando un punto materiale si muove dal punto \(P\) al punto \(Q\) sotto l'azione di una forza centrale, il vettore \(\vec{r}\) che ne descrive la posizione spazza un'area \(\mathrm{d}A\), descrivendo un angolo \(\mathrm{d}\theta\). Se questo angolo è piccolo, possiamo vedere l'area \(\mathrm{d}A\) come l'area di un triangolo di base \(r\mathrm{d}\theta\) e altezza \(r\). Possiamo quindi scrivere

\[\mathrm{d}A = \frac{1}{2}(r\mathrm{d}\theta)( r) = \frac{1}{2} r^2\mathrm{d}\theta\,.\]

La velocità areolare è la velocità con cui quest'area viene "spazzata" dal vettore \(\vec{r}\), ovvero la sua variazione temporale, che possiamo scrivere come

\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,.\]

Questa quantità non sembra dirci molto, però possiamo collegarla al momento angolare descritto dalla forma

\[L = mr^2 \omega = mr^2 \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}\,.\]

Possiamo quindi sfruttare il fatto che \(r^2 \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\) è presente in entrambe le equazioni per scrivere

\[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{L}{2m}=\text{cost}\,.\]

E siccome sappiamo che il momento angolare è costante (e la massa assumiamo che lo sia), possiamo dire che la velocità areolare nei moti sottoposti a forza centrale è costante.

Forza centrale: esempi

Alcuni tra i più importanti esempi di forza centrale sono la forza gravitazionale, la forza elettrostatica, la forza magnetica e la forza elastica. Vediamo insieme qualche esempio più specifico:

• Un satellite che orbita intorno alla Terra è sottoposto ad una forza centrale. L'unica forza che lo influenza, infatti, è la forza di gravità che lo attrae alla Terra.
• I seggiolini volanti delle giostre sono un altro esempio di oggetto sottoposto a una forza centrale, in questo caso la tensione della fune che li collega al corpo della giostra.