Pendolo composto

Abbiamo visto il pendolo semplice, sappiamo come descriverlo e dove trovarlo, ma sappiamo anche che è un modello molto limitato. Vediamo il pendolo composto e come questo può darci una visione di sistemi fisici più realistici!

Pendolo composto: definizione

Un pendolo composto (o pendolo fisico) è un qualunque corpo rigido in grado di ruotare liberamente attorno a un punto fisso diverso dal baricentro. È in qualche modo la generalizzazione reale del pendolo semplice: infatti, se nel pendolo semplice avevamo assunto che la corda fosse priva di massa e la massa del corpo oscillante fosse tutta contenuta all'interno di un punto all'estremità della corda, nel pendolo composto si ha un corpo rigido, che può avere qualunque forma.

Fig. 1 - Esempio di pendolo composto

Se osserviamo la figura 1, possiamo vedere un esempio di pendolo composto. In questo caso, un corpo con momento di inerzia \(I\) viene fatto oscillare attorno a un punto a una distanza \(L\) dal baricentro. Nel caso che studieremo, vedremo pendoli che sono sottoposti esclusivamente alla forza peso e ignoreremo ogni tipo di attrito.

Pendolo composto: equazione

Per lo studio dell'equazione del pendolo composto, dobbiamo partire dalla legge fondamentale della dinamica di rotazione:

\[M = I \alpha\]

dove ricordiamo che \(M\) è il momento della forza che agisce sul corpo, \(I\) è il suo momento di inerzia e \(\alpha\) è la sua accelerazione angolare. Abbiamo quindi bisogno di considerare il momento che la forza peso applica sul corpo. Ricordiamo che la formula per il momento di una forza è data da

\[\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}\]

dove \(\vec{F}\) è la forza di cui ci interessa calcolare il momento e \(\vec{r}\) il vettore che descrive la distanza di applicazione della forza. Nel nostro caso, vogliamo calcolare il momento della forza peso \(F_p = mg\) applicata a una distanza \(L\) dal punto di rotazione. Possiamo quindi sostituire nella formula del momento e dire che il modulo del momento vale

\[M = -F_p L\:sin\theta = -mgL\:sin\theta\]

Quindi, se lo inseriamo nellla nostra legge fondamentale della dinamica rotazionale, otteniamo

\[-mgL \:sin\theta=I\alpha\]

Ricordiamo che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione (in questo caso angolare, attenzione), da cui

\[-mgL \:sin\theta=I\frac{d^2 \theta}{dt^2}\]

Quando un angolo è piccolo (indicativamente meno di \(10^\circ\)), si può fare un'approssimazione per angoli piccoli e si può sostituire alla funzione \(sin\theta\) l'angolo stesso.

Se eseguiamo questa appossimazione, otteniamo

\[-mgL\theta = I \frac{d^2\theta}{dt^2}\]

Facciamo un po' di ordine e riorganizziamo i termini a sinistra dell'uguale e dividiamo per \(I\):

\[\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgL}{I} \theta\]

Questa è l'equazione differenziale del pendolo composto!

Pendolo composto: legge oraria

Per ottenere la legge oraria, bisognerebbe risolvere l'equazione differenziale appena vista, ma possiamo evitarci i conti vedendo che quest'equazione è identica a quella dell'oscillatore armonico! L'unica differenza è la variabile che consideriamo, se nell'oscillatore armonico consideriamo la variabile lineare \(x\), nel pendolo composto, consideriamo la variabile angolare \(\theta\).

Vediamo le due equazioni vicine, per fare un confronto:

\[\begin{align} \frac{d^2x}{dt^2} &+ \omega^2 x = 0\\\frac{d^2 \theta}{dt^2} &+ \frac{mgL}{I}\theta = 0\end{align}\]

Se le guardiamo così vicine, possiamo vedere che

\[\frac{mgL}{I} = \omega^2\Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{mgL}{I}}\]

Se l'equazione differenziale ha la stessa forma, anche le soluzioni avranno la stessa forma, con l'unica differenza che al posto di \(x\) avremo \(\theta\). Non lo dimostriamo formalmente, ma si può vedere che la legge del moto orario per un pendolo composto è data da

\[\theta(t) = A \: cos(\omega t + \phi) = A\: cos\left(\sqrt{\frac{mgL}{I}} \:t +\phi\right)\]

Usando la formula per la pulsazione \(\omega\), possiamo anche ricavare il periodo di oscillazione:

\[T = \frac{2\pi}{\omega} =2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\]