Conosciamo tutti la famosa storia della mela che cade dall'albero, che ha dato origine al primo lavoro fondamentale di Isaac Newton sulla gravità. La curiosità e la volontà di Newton di comprendere questo tipo di moto, apparentemente poco interessante, hanno trasformato profondamente la nostra comprensione del mondo! In questo articolo studieremo il moto uniformemente accelerato e, più precisamente, il moto rettilineo uniformemente accelerato. Dopo aver dato la definizione di questo tipo di moto, introdurremo le formule da conoscere, vedremo come identificare ed esaminare i relativi grafici e svolgeremo insieme un paio di esercizi. Iniziamo!
Moto uniformemente accelerato: definizione
Il moto uniformemente accelerato è il moto di un oggetto sottoposto a un'accelerazione costante, ovvero, a un'accelerazione che non varia nel tempo. Se il moto avviene lungo una traiettoria rettilinea, si parla di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Nell'articolo sul moto rettilineo uniforme abbiamo incontrato alcune variabili ed equazioni per risolvere i problemi relativi a corpi in movimento a velocità costante. Abbiamo prestato attenzione allo spostamento e alla velocità, nonché alle variazioni di queste grandezze e al modo in cui le diverse condizioni iniziali influenzano il moto di un corpo. Ma che dire dell'accelerazione?
Osservare e comprendere l'accelerazione degli oggetti in movimento è altrettanto importante nel nostro studio della meccanica. Finora abbiamo esaminato il moto di corpi con accelerazione nulla. Il moto in cui l'accelerazione rimane costante è detto moto uniformemente accelerato.
In questo tipo di moto, la velocità di un oggetto in movimento cambia uniformemente nel tempo e l'accelerazione assume pertanto un valore costante. L'accelerazione dovuta alla gravità, come si vede nella caduta di un paracadutista, di una mela da un albero o di un telefono che cade a terra, è una delle forme più comuni di accelerazione costante che osserviamo nella nostra vita quotidiana. Matematicamente, possiamo quindi scrivere:
\[ a = \mathrm{costante}\,.\]
Accelerazione media e instantanea
Possiamo calcolare l'accelerazione di un oggetto in movimento se conosciamo i valori iniziali e finali della velocità nell'intervallo di tempo:
\[a_m = \frac{\mathrm{\Delta} v}{\mathrm{\Delta} t}= \frac{v_\mathrm{1} - v_\mathrm{0}}{t_\mathrm{1} - t_\mathrm{0}}\, , \]
dove \(\Delta v\) è la variazione di velocità nel tempo \(\Delta t\). Tuttavia, questa equazione ci fornisce l'accelerazione media nell'intervallo di tempo. Se invece vogliamo determinare l'accelerazione istantanea, dobbiamo utilizzare la seguente formula:
\[a_{ist}= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} \]
In altre parole, l'accelerazione instantanea è matematicamente definita come la derivata prima della velocità e la derivata seconda della posizione, entrambe rispetto al tempo.
Dalla definizione di moto uniformemente accelerato segue che l'accelerazione media coincide con l'accelerazione instantanea in qualunque istante di tempo:
\[ a_\mathrm{m} = a_{\mathrm{ist}}= \mathrm{costante} \,. \]
Nel moto uniformemente accelerato, l'accelerazione media coincide con l'accelerazione istantanea in qualsiasi istante di tempo.
Moto rettilineo uniformemente accelerato: formule
Indicando con \(v_0\) e \(t_0\), rispettivamente, la velocità e il tempo iniziale, il valore dell'accelerazione costante può essere calcolato con la seguente formula:
\[ a = \frac{v-v_0}{t-t_0} \,.\]
Da questa formula possiamo ricavare il valore della velocità:
\[ v = v_0 + a\, (t-t_0)\, .\]
La legge oraria rappresenta la posizione in funzione del tempo ed è espressa dalla seguente formula:
\[ s = s_0 + v_0 (t-t_0) + \frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \,, \]
dove \(s_0\) è la posizione iniziale.
Inserendo \(a=0\) nell'equazione precedente, otteniamo la legge oraria del moto rettilineo uniforme!
Quando, in un problema, conosciamo lo spazio percorso e la velocità ma non il tempo, possiamo ricavare l'accelerazione a partire dalla seguente equazione: \( v^2 = v_0^2 + 2 a (s-s_0)\). L'accelerazione sarà, pertanto,
\[ a = \frac{v^2 -v_0^2}{2 (s-s_0)}\, .\]
La seguente tabella riporta tutte le formule che abbiamo appena scritto.
| Variabile | Formula |
| Accelerazione | \[ a = \frac{v-v_0}{t-t_0} \] |
| Velocità | \[ v = v_\mathrm{0} + a\, (t-t_\mathrm{0})\] |
| Posizione | \[ s = s_\mathrm{0} + v_\mathrm{0} (t-t_\mathrm{0}) + \frac{1}{2}a(t-t_\mathrm{0})^2 \] |
| Velocità (senza tempo) | \[ v^2 = v_\mathrm{0}^2 + 2 a \, (s-s_\mathrm{0})\] |
| Accelerazione (senza tempo) | \[ a = \frac{v^2 -v_\mathrm{0}^2}{2 (s-s_\mathrm{0})}\] |
Moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente accelerato: differenze
È importante non confondere il moto rettilineo uniforme con il moto uniformemente accelerato. Ricordiamo cosa si intende per moto rettilineo uniforme.
Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme se, nel percorrere una traiettoria rettilinea, percorre spazi uguali in tempi uguali.
Se non ricordi le formule del moto rettilineo uniforme, qui su StudySmarter abbiamo un articolo dedicato!
Per un oggetto che si muove con velocità costante, l'accelerazione deve essere nulla. Pertanto, il moto rettilineo uniforme non implica un'accelerazione uniforme, poiché l'accelerazione è zero. D'altra parte, in un moto uniformemente accelerato, l'accelerazione è costante e la velocità, poiché vi è accelerazione, varia.
Moto rettilineo uniformemente accelerato: grafici
Prima di passare ai grafici per il moto uniformemente accelerato, rivediamo brevemente i grafici per il moto uniforme.
Fig. 1 - Grafici spazio-tempo, velocità-tempo e accelerazione-tempo nel caso di un oggetto fermo, in moto rettilineo uniforme, e in moto uniformemente accelerato.
Moto rettilineo uniforme
Abbiamo appena parlato della differenza tra moto rettilineo uniforme e moto uniformemente accelerato. In Figura 1 osserviamo una serie di tre grafici che rappresentano tre diverse variabili cinematiche per un oggetto in moto durante un certo lasso di tempo \(\mathrm{\Delta} t\): la posizione (nella figura rappresentata da \(x\)), la velocità e l'accelerazione.
Nel caso del moto rettilineo uniforme (seconda riga in Figura 1), osserviamo che lo spostamento, o la variazione di posizione rispetto al punto di partenza, aumenta linearmente con il tempo: il moto ha quindi una velocità costante nel tempo. Nel grafico velocità-tempo, il moto rettilineo uniforme è rappresentato una una retta con una pendenza pari a zero, in quanto la velocità non cambia. L'accelerazione rimane invece nulla in ogni istante, come ci aspetteremmo.
Un altro aspetto importante da notare è che l'area sotto il grafico velocità-tempo equivale allo spostamento. Infatti, prendendo come esempio l'area in blu sottesa alla retta nel grafico velocità-tempo in Figura 1, è facile vedere che, una volta fissati il tempo iniziale e finale, l'area sottesa al segmento è l'area di un rettangolo che ha come base l'intervallo di tempo e come altezza il valore della velocità: \( v \cdot \Delta t\). Dalla definizione di velocità nel moto rettilineo uniforme, è facile vedere che questo valore è uguale allo spostamento.
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Esaminiamo ora il grafico velocità-tempo nel caso di un moto uniformemente accelerato. In Figura 1 è possibile vedere che la posizione \(x\) varia quadraticamente con il tempo (come ci aspetteremmo dalla legge oraria), la velocità varia linearmente con il tempo e l'accelerazione, essendo costante, è rappresentata da una retta parallela all'asse delle x.
Vediamo ora un semplice sempio di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Consideriamo un corpo in moto con velocità data dalla funzione \(v(t) = 2t\).
Fig. 2 - Nel moto uniformemente accelerato, la velocità varia linearmente con il tempo.
La Figura 2 mostra la funzione \(v(t) = 2t\) da \(t_\mathrm{0}=0 \,\mathrm{s}\) a \(t_\mathrm{1}=5 \,\mathrm{s}\). Poiché la variazione di velocità non è nulla, sappiamo che vi è accelerazione. Dati \(v_0= 0 \, \mathrm{m/s}\), \(v_1= 10 \, \mathrm{m/s}\), e \(\mathrm{\Delta} t = 5 \, \mathrm{s}\), possiamo ricavare il valore dell'accelerazione con la seguente formula:
\[a = \frac{v_\mathrm{1}-v_\mathrm{0}}{\Delta t} = \frac{10 \, \mathrm{m/s} - 0}{5 \, \mathrm{s}} = 2 \, \mathrm{m/s^2} \, .\]
In un grafico accelerazione-tempo, l'accelerazione sarà rappresentata da una retta con pendenza nulla (ovvero, parallela all'asse x) che interseca l'asse y in corrispondenza del valore \(2 \, \mathrm{m/s^2}\).
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