Quando un oggetto rotola, come una palla da bowling, una macina per farina, le ruote di un auto, come un moto di rotolamento. Nel caso ideal, questo moto viene detto moto di puro rotolamento e ha delle precise caratteristiche fisiche. Vediamole insieme in questo articolo!

Moto di puro rotolamento: condizione

Quando parliamo di moto di puro rotolamento, intendiamo il moto di rotolamento in cui un corpo rigido ruota senza strisciare. Esiste una condizione fondamentale per avere moto di puro rotolamento, ovvero il punto di contatto del corpo in rotazione con il piano su cui ruota ha velocità nulla. Infatti, se questo avesse velocità diversa da zero, il corpo striscerebbe e si avrebbe un moto di rotolamento più complesso.

Per semplicità vedremo il caso di un disco che rotola, perché la sue simmetria rende molto più semplice lo studio della dinamica del corpo rigido. È importante capire, però, che questa simmetria non è una condizione necessaria, esistono oggetti asimmetrici e di forme geometriche anche molto complesse che possono rotolare.

Fig. 1 - Un punto di un oggetto in moto di puro rotolamento descrive, nel suo moto, una curva chiamata cicloide.

Moto di puro rotolamento: dinamica

Per descrivere la dinamica di un oggetto in moto di puro rotolamento, prendiamo come esempio un disco di raggio \(R\) (e chiamiamo \(\vec{R}\) il vetto che connette il centro di massa del disco alla circonferenza esterna) e chiamiamo \(\mathrm{O}\) il punto di contatto tra il disco e il piano. In un corpo rigido possiamo sempre descrivere il moto di un punto qualsiasi come la composizione di un moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno all'asse che passa per il centro di massa. Se chiamiamo \(\vec{omega}\) la velocità angolare con cui il disco ruota, possiamo descrivere la velocità del punto di contatto \(O\) come:

\[\vec{v}_\mathrm{O} = \vec{v}_\mathrm{CM} + \vec{\omega} \times \vec{R}\,.\]

Dalla definizione di moto di puro rotolamento, vogliamo che questa velocità sia nulla, quindi otteniamo la condizione:

\[\vec{v}_\mathrm{CM} = -\vec{\omega} \times \vec{R}\,.\]

Se assumiamo che il corpo nella sua rotazione si muova come in figura 1, possiamo dire che la velocità del centro di massa vale, in modulo:

\[v_\mathrm{CM} = \omega R\,.\]

Se questo moto è accelerato, si può trovare una relazione anche tra l'accelerazione angolare e l'accelerazione del centro di massa:

\[|a_\mathrm{CM}| = |\alpha| R\,.\]

Moto di puro rotolamento: energia

Un'importante caratteristica del moto di puro rotolamento è la trattazione dell'energia cinetica del sistema. Infatti, dalle formule sull'energia cinetica, se il corpo ruota con velocità angolare \(\omega\), e se il momento di interzia del corpo attorno al punto di contatto è \(I_\mathrm{O}\), possiamo ricavare che l'energia cinetica rotazionale del sistema vale

\[E_\mathrm{K} = \frac{1}{2} I_\mathrm{O} \omega^2\,.\]

Se il nostro corpo è simmetrico per rotazione (come nel caso di un disco) e ha massa \(M\), possiamo applicare il teorema di Huygens-Steiner e trovare la relazione che collera il momento di inerzia calcolato rispetto al centro di massa \(I\) a quello calcolato rispetto al punto di contatto \(I_\mathrm{O}\). In questo modo troviamo

\[I_\mathrm{O} = I + MR^2\,.\]

In questo modo possiamo riscrivere l'equazione dell'energia cinetica come

\[E_\mathrm{K} = \frac{1}{2} I\omega^2 +\frac{1}{2}M\omega^2R^2\,.\]

Ma dalle equazioni del moto di puro rotolamento che abbiamo visto poco fa, \(\omega R = v_\mathrm{C} \implies \omega^2 R^2 = v_\mathrm{C}^2\), da cui otteniamo

\[E_\mathrm{K} = \frac{1}{2} I \omega^2 +\frac{1}{2}Mv_\mathrm{C}^2\,.\]

Ma questa formula rappresenta esattamente la combinazione dell'energia cinetica di un moto rotatorio e uno traslatorio del centro di massa, da cui possiamo ottenere che, nel moto di puro rotolamento, vale

\[E_\mathrm{K} = E_{\mathrm{KR}} + E_{\mathrm{KT}}\,, \]

dove con \(E_{\mathrm{KR}}\) indichiamo l'energia cinetica di rotazione del centro di massa e con \(E_{\mathrm{KT}} \) quella di traslazione del centro di massa.