Moto di puro rotolamento

Moto di puro rotolamento: dinamica

Per descrivere la dinamica di un oggetto in moto di puro rotolamento, prendiamo come esempio un disco di raggio \(R\) (e chiamiamo \(\vec{R}\) il vetto che connette il centro di massa del disco alla circonferenza esterna) e chiamiamo \(\mathrm{O}\) il punto di contatto tra il disco e il piano. In un corpo rigido possiamo sempre descrivere il moto di un punto qualsiasi come la composizione di un moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno all'asse che passa per il centro di massa. Se chiamiamo \(\vec{omega}\) la velocità angolare con cui il disco ruota, possiamo descrivere la velocità del punto di contatto \(O\) come:

\[\vec{v}_\mathrm{O} = \vec{v}_\mathrm{CM} + \vec{\omega} \times \vec{R}\,.\]

Dalla definizione di moto di puro rotolamento, vogliamo che questa velocità sia nulla, quindi otteniamo la condizione:

\[\vec{v}_\mathrm{CM} = -\vec{\omega} \times \vec{R}\,.\]

Se assumiamo che il corpo nella sua rotazione si muova come in figura 1, possiamo dire che la velocità del centro di massa vale, in modulo:

\[v_\mathrm{CM} = \omega R\,.\]

Se questo moto è accelerato, si può trovare una relazione anche tra l'accelerazione angolare e l'accelerazione del centro di massa:

\[|a_\mathrm{CM}| = |\alpha| R\,.\]

Moto di puro rotolamento: energia

Un'importante caratteristica del moto di puro rotolamento è la trattazione dell'energia cinetica del sistema. Infatti, dalle formule sull'energia cinetica, se il corpo ruota con velocità angolare \(\omega\), e se il momento di interzia del corpo attorno al punto di contatto è \(I_\mathrm{O}\), possiamo ricavare che l'energia cinetica rotazionale del sistema vale

\[E_\mathrm{K} = \frac{1}{2} I_\mathrm{O} \omega^2\,.\]

Se il nostro corpo è simmetrico per rotazione (come nel caso di un disco) e ha massa \(M\), possiamo applicare il teorema di Huygens-Steiner e trovare la relazione che collera il momento di inerzia calcolato rispetto al centro di massa \(I\) a quello calcolato rispetto al punto di contatto \(I_\mathrm{O}\). In questo modo troviamo

\[I_\mathrm{O} = I + MR^2\,.\]

In questo modo possiamo riscrivere l'equazione dell'energia cinetica come

\[E_\mathrm{K} = \frac{1}{2} I\omega^2 +\frac{1}{2}M\omega^2R^2\,.\]

Ma dalle equazioni del moto di puro rotolamento che abbiamo visto poco fa, \(\omega R = v_\mathrm{C} \implies \omega^2 R^2 = v_\mathrm{C}^2\), da cui otteniamo

\[E_\mathrm{K} = \frac{1}{2} I \omega^2 +\frac{1}{2}Mv_\mathrm{C}^2\,.\]

Ma questa formula rappresenta esattamente la combinazione dell'energia cinetica di un moto rotatorio e uno traslatorio del centro di massa, da cui possiamo ottenere che, nel moto di puro rotolamento, vale

\[E_\mathrm{K} = E_{\mathrm{KR}} + E_{\mathrm{KT}}\,, \]

dove con \(E_{\mathrm{KR}}\) indichiamo l'energia cinetica di rotazione del centro di massa e con \(E_{\mathrm{KT}} \) quella di traslazione del centro di massa.