Che cosa hanno in comune un'auto che percorre un'autostrada, un libro che cade a terra e un razzo lanciato nello spazio? Sono tutti oggetti in movimento e quindi dotati di energia cinetica.
Qualsiasi oggetto in movimento possiede energia cinetica. Il passeggero di un'auto che percorre l'autostrada si muove insieme all'auto perché l'auto in movimento esercita una forza sul passeggero, mettendolo in movimento.
In questo articolo definiremo l'energia cinetica e studieremo la sua relazione con il lavoro. Enunceremo il teorema dell'energia cinetica e illustreremo le differenze tra energia cinetica ed energia potenziale. Approfondiremo le nostre spiegazioni con applicazioni ed esercizi. Iniziamo!
Energia cinetica: definizione
L'uso della seconda legge di Newton con i vettori forza e accelerazione per descrivere il moto di un oggetto può talvolta risultare difficile. I vettori possono infatti complicare le equazioni, poiché dobbiamo considerare sia la loro grandezza che il loro verso e direzione.
Nei problemi di fisica difficili da risolvere con i vettori forza e accelerazione, è molto più facile usare l'energia.
L'energia cinetica è l'energia che un corpo ha dovuta al suo moto.
Esistono diversi tipi di energia, come l'energia termica ed elettrica, ma in questo articolo ci concentreremo sull'energia cinetica.
L'energia cinetica è una quantità scalare, che la rende più facile da trattare rispetto a un vettore. L'unità di misura dell'energia cinetica nel SI è il joule (\(1 \: \mathrm{J} = 1\, \mathrm{N} \, \mathrm{m}\)).
L'energia cinetica traslazionale di un oggetto dipende dalla massa e dalla velocità dell'oggetto ed è data dalla seguente formula:
\[ K = \frac {1} {2} m v^2 \,, \]
dove \(m\) è la massa del corpo e \(v\) il modulo della sua velocità.
In seguito discuteremo in modo più approfondito come siamo arrivati a questa equazione, ma possiamo subito notare che l'energia cinetica di un oggetto può essere solo una quantità positiva (o nulla, se l'oggetto non si muove e, quindi, \( v = 0\)) e non dipende dalla direzione del moto.
Rivediamo rapidamente cos'è il lavoro per comprendere meglio l'energia cinetica. In questo articolo ci concentreremo solo sulle forze costanti che agiscono sugli oggetti; le forze variabili saranno trattate in un altro articolo.
Il lavoro compiuto su un oggetto è il prodotto scalare del vettore forza che agisce sull'oggetto e del vettore spostamento.
Il lavoro è uguale al prodotto scalare del vettore forza che agisce sull'oggetto e del vettore spostamento.
Possiamo trovare il lavoro compiuto su un oggetto prendendo il prodotto scalare della forza \( \vec F \) e dello spostamento \( \vec d \):
\[ L = \vec F \cdot \vec d = F d \cos \theta\]
dove \( \theta \) è l'angolo tra i vettori. Si noti che il lavoro, come l'energia cinetica, è una quantità scalare.
Ora che abbiamo esaminato cos'è il lavoro, possiamo analizzare il rapporto tra energia cinetica e lavoro enunciando il teorema dell'energia cinetica.
Teorema dell'energia cinetica
Il teorema dell'energia cinetica afferma che
il lavoro della forza risultante compiuto su un corpo è pari alla variazione della sua energia cinetica:
\[ L = \Delta K = K_2 - K_1 \]
dove \( K_1 \) e \( K_2 \) rappresentano, rispettivamente, l'energia cinetica iniziale e l'energia cinetica finale del corpo.
Possiamo quindi pensare all'equazione dell'energia cinetica come al lavoro compiuto sul corpo per portare un oggetto da fermo alla sua velocità attuale \( v_2 = v \):
\[ L = K_2 - K_1 = \frac {1}{2} m v_2^2 - 0 = \frac {1}{2} m v^2 \,.\]
Dalla definizione di lavoro possiamo vedere come sia solo la componente della forza parallela al vettore spostamento (\( F \cos \theta \)) a modificare l'energia cinetica.
Quindi, se l'oggetto ha una componente della forza che è perpendicolare al vettore spostamento, quella componente della forza può cambiare la direzione del moto senza però compiere lavoro sull'oggetto (ad esempio, nel caso di un oggetto in moto circolare uniforme, l'energia cinetica è costante e la forza centripeta perpendicolare alla direzione del moto mantiene l'oggetto in moto circolare uniforme).
Un blocco di \(12\: \mathrm{kg}\) viene spinto con forza costante a una distanza di \(10 \: \mathrm{m} \) con un angolo \( \theta = 35^{\circ}\) rispetto all'orizzontale. Qual è la variazione di energia cinetica del blocco? La forza con cui viene spinto ha intensità pari a \(50\: \mathrm{N}\) e la forza di attrito ha intensità \(25\: \mathrm{N}\).
Fig. 1 - Un blocco viene spinto lungo una superficie.
Poiché variazione di energia cinetica è uguale al lavoro compiuto sull'oggetto, possiamo usare le forze per trovare il lavoro.
La forza normale al piano \( \vec F_\mathrm{n} \) e la forza di gravità \( \vec F_\mathrm{g} \) in Figura 1 sono perpendicolari al vettore spostamento, quindi il lavoro compiuto da queste forze è nullo.
Il lavoro \(L_\mathrm{f}\) compiuto dalla forza di attrito \( \vec F_\mathrm{f} \) è nella direzione opposta a quella del vettore spostamento ( \( \theta = 180° \)) ed è quindi negativo:
\[ L_\mathrm{f} = \vec F_\mathrm{f} \cdot \vec d = (25 \, \mathrm{N}) (10 \, \mathrm{m} ) (\cos (180°) ) = -250 \, \mathrm{J} \]
La componente del vettore forza di spinta \( \vec F_\mathrm{p} \) perpendicolare al vettore spostamento non agisce sul blocco, mentre la componente parallela al vettore spostamento agisce positivamente sul blocco:
\[ L_\mathrm{p} = \vec F_\mathrm{p} \cdot \vec d = (50 \, \mathrm{N} ) (10 \, \mathrm{m} ) ( \cos (35°) ) = 410 \, \mathrm{J} \]
Quindi, la variazione di energia cinetica è:
\[ \Delta K = L_\mathrm{f} + L_\mathrm{p} + L_\mathrm{n} + L_\mathrm{g} = (-250 + 410 + 0 +0 ) J = 160 \, \mathrm{J} \,.\]
Energia cinetica: formula
Come siamo arrivati alla formula che mette in relazione l'energia cinetica con il lavoro? Consideriamo un oggetto che si muove orizzontalmente (lungo l'asse x) a cui è applicata una forza costante. Se l'accelerazione è costante possiamo scrivere:
\[ v_2^2 = v_1^2 + 2 a_x d\]
\[ a_x = \frac {v_2^2 - v_1^2} {2d}\,. \]
In questa equazione, \(v_1\) e \(v_2\) sono, rispettivamente, le velocità iniziale e finale, \(d\) è la distanza percorsa e \(a_x\) è l'accelerazione nella direzione dello spostamento.
Ora possiamo moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per la massa dell'oggetto:
\[ m a_x = m \frac {v_2^2 - v_1^2} {2d} \]
Il membro sinistro di questa equazione è la forza netta nella direzione dello spostamento. Quindi, moltiplicando entrambi i membri per lo spostamento otteniamo:
\[ \vec F \cdot \vec d = m \frac {v_2^2 - v_1^2}{2} = \frac {1}{2} m v_2^2 - \frac {1}{2} m v_1^2 \,,\]
da cui troviamo che il lavoro compiuto su un oggetto è uguale alla variazione di energia cinetica che esso subisce:
\[ L = K_2 - K_1 \,. \]
Finora abbiamo analizzato la relazione tra energia cinetica e lavoro quando all'oggetto viene applicata una forza costante. Studieremo la loro relazione nel caso di una forza non costante in un articolo successivo.
Tipi di energia cinetica
In questo articolo abbiamo parlato dell'energia cinetica traslazionale. Altri due tipi di energia cinetica sono l'energia cinetica rotazionale e l'energia cinetica vibrazionale. Per ora non dobbiamo preoccuparci dell'energia cinetica vibrazionale, ma parleremo brevemente dell'energia cinetica rotazionale.
L'energia cinetica rotazionale di un corpo rigido in rotazione è data da:
\[ K = \frac {1}{2} I \omega^2 \,,\]
dove \( I \) il momento d'inerzia del corpo rigido e \( \omega \) è la sua velocità angolare.
Ora sappiamo che la variazione di energia cinetica rotazionale è il lavoro compiuto sull'oggetto. Quest'ultimo si ottiene moltiplicando lo spostamento angolare, \( \Delta \theta \), per il momento \( M \). Si ottiene, quindi,
\[ L = \Delta K = M \Delta \theta \,.\]
Energia cinetica ed energia potenziale
Abbiamo visto come l'energia cinetica dipenda solo dalla massa dell'oggetto e dalla sua velocità. L'energia potenziale è invece l'energia legata alla posizione del sistema e alla sua configurazione interna.
L'energia meccanica totale di un sistema si ottiene dalla somma delle energie cinetica e potenziale. Se su un sistema agiscono solo forze conservative, l'energia meccanica totale si conserva.
Un esempio piuttosto semplice è rappresentato da una palla in caduta libera da una certa altezza h, come mostrato in Figura 2.
Ignoriamo la resistenza dell'aria e consideriamo la gravità come unica forza agente sulla palla. All'altezza h, la palla possiede energia potenziale gravitazionale. Man mano che la palla cade, l'energia potenziale gravitazionale diminuisce fino a zero (ovvero, quando la palla tocca il suolo).
L'energia cinetica della palla aumenta durante la caduta perché la sua velocità aumenta, mentre l'energia meccanica totale del sistema rimane la stessa in qualsiasi punto.
Fig. 2 - Energia meccanica totale di una palla in caduta libera.
Energia cinetica: esempi
Un'auto di massa \(m= 1000\, \mathrm{kg}\) viaggia a una velocità di \(15 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Quanto lavoro è necessario compiere affinché l'auto acceleri raggiungendo una velocità di \(40 \: \mathrm{m}/\mathrm{s}\) ?
\[ K_1 = \frac {1}{2} m v_1^2 = (0,5) (1000 \, \mathrm{kg}) (15 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2) = 1{,}3 \times 10^5 \mathrm J \]
\[ K_2 = \frac {1}{2} m v_2^2 = (0,5) (1000 \, \mathrm{kg}) (40 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 )= 8 \times 10^5 \mathrm{J} \]
Il lavoro richiesto sarà quindi dato dalla differenza tra l'energia cinetica iniziale e quella finale:
\[ L = K_2 - K_1 =(8-{1,}3) \times 10^5 \mathrm J= 6{,}87 \times 10^5 \, \mathrm J \,.\]
Due slitte identiche percorrono la stessa distanza su ghiaccio in assenza di attrito. Una slitta viaggia con una velocità doppia rispetto all'altra come mostrato in Figura 3. Di quanto è maggiore l'energia cinetica della slitta che viaggia più velocemente rispetto a quella della slitta che viaggia più lentamente?
Fig. 3 - Slitte identiche che viaggiano con una velocità doppia l'una rispetto all'altra.
L'energia cinetica della slitta più lenta è data da \(K_a = \frac {1}{2} m v^2 \) , e quella della slitta più veloce è \(K_b = \frac {1}{2} m (2v)^2 = 2 m v^2\) . Facendo il rapporto tra queste, troviamo:
\[ \frac {K_b}{K_a} = \frac {2 m v^2}{\frac {1}{2} m v^2} = 4 \,. \]
Quindi \( K_b = 4 K_a \), ovvero l'energia cinetica della slitta più veloce è quattro volte superiore a quella della slitta più lenta.
Energia cinetica - Punti chiave
- L'energia cinetica è l'energia che un corpo possiede dovuta al suo movimento.
- La formula dell'energia cinetica di un oggetto è data da \( K = \frac {1}{2} m v^2 \).
- Il lavoro compiuto su un oggetto uguaglia la variazione della sua energia cinetica. Il lavoro di ogni forza può essere trovato prendendo il prodotto scalare del vettore forza e del vettore spostamento.
- L'energia traslazionale, rotazionale e vibrazionale sono tutti tipi di energia cinetica.
- L'energia potenziale è l'energia legata alla posizione e alla configurazione interna del sistema.
- La somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale fornisce l'energia meccanica totale di un sistema.
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