Supponiamo di avere una sfera cava, una sfera solida, un anello e un disco. Hanno tutti la stessa massa e vengono fatti rotolare lungo un piano inclinato. Quale pensi che raggiunga il pavimento più velocemente?
Fig. 1 - Confronto tra diversi oggetti che rotolano su un piano inclinato.
La sfera solida arriva prima, seguita dal disco, poi dalla sfera cava e infine dall'anello! Perché questo avviene se hanno la stessa massa? La spiegazione risiede nel concetto di inerzia rotazionale.
In questo articolo analizzeremo una parte specifica del moto rotatorio: il momento d'inerzia. Vedremo come rappresentare matematicamente il momento d'inerzia e approfondiremo le nostre spiegazioni con degli esempi.
Momento di inerzia: definizione
Fig. 2 - Un punto materiale ruota attorno a un punto (disco nero) a una distanza r da esso.
Supponiamo di avere una particella di massa che ruota attorno a un punto a una distanza \(r\) da esso sotto l'effetto della forza \(F\), come mostrato in Figura 2. Poiché c'è una forza netta tangenziale, ci sarà un'accelerazione tangenziale che indichiamo come \( a_t \). La relazione tra la forza tangenziale netta e l'accelerazione tangenziale è la seguente:
\[ F = m a_t \]
Ricordiamo che il momento di una forza (o momento torcente) esprime l'effetto rotatorio generato da una forza applicata a un corpo ed è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza (che rappresenta la distanza tra il centro di rotazione e il punto di applicazione della forza) e la forza stessa:
\[ \vec M = \vec r \times \vec F\]
\( \vec M \) è perpendicolare al piano individuato da \(r\) e \(F\) e il suo modulo è pari a:
\[ \lvert \vec M \rvert = r F \sin (\theta) \]
Nel nostro caso, \( \vec F \) e \( \vec r \) sono perpendicolari (\( \theta = 90°\)), quindi l'intensità del momento \( M \) è pari a:
\[ M = \lvert \vec M \rvert = r F \sin(90°) = rF\]
Sostituendo \( F = m a_t \) nella formula per il momento, si ottiene:
\[ M = m a_t r\]
Poiché l'accelerazione tangenziale è legata all'accelerazione angolare dalla seguente relazione:
\[ a_t = r \alpha\]
possiamo scrivere
\[ M = m (r \alpha) r = (m r^2) \alpha\]
Ponendo \( I =m r^2 \), si ha
\[ M = I \alpha \]
Questa equazione ci dice che il momento che agisce sulla particella è proporzionale all'accelerazione angolare.
La grandezza \( I \) è chiamata momento di inerzia.
Il momento d'inerzia indica la resistenza di un corpo a ruotare rispetto a un asse di riferimento.
Il momento di inerzia può essere considerato un analogo rotazionale della massa, così come il momento è un analogo rotazionale della forza. Il momento d'inerzia crea una resistenza alla forza di rotazione.
Nota bene: il momento di inerzia dipende dalla massa e dalla sua distribuzione! Infatti, il valore sopra riportato vale solo per una particella puntiforme. In seguito esploreremo alcuni esempi più complessi.
Momento di inerzia: formula
Fig. 3 - Un oggetto rigido ruota attorno a un asse fisso attraverso un punto O. Nell'immagine, possiamo vedere la forza tangenziale che agisce su di esso.
Prendiamo in esame un corpo rigido he ruota attorno a un punto O come mostrato in Fugura 3. Consideriamo un elemento di massa \(m_i\) del corpo rigido, a una distanza \(r_i\), come mostrata nella figura. Questa massa avrà un'accelerazione tangenziale \( a_i\) perché è sotto l'effetto della forza \( F_i \):
\[ F_i = m_i a_i\]
Il momento della forza sarà:
\[ M_i = r_i F_i = r_i m_i a_i\]
Poiché \( a_i = r_i \alpha \), si ha:
\[ M_i = (m_i r_i^2) \alpha\]
Devi sapere che, anche se le particelle possono avere accelerazioni tangenziali diverse \( a_i\), hanno la stessa accelerazione angolare \( \alpha \).
Possiamo generalizzare queste equazioni per tutte le parti del corpo rigido, anche se l'oggetto ha una forma arbitraria, sommando tutte gli elementi di massa del corpo. Otteniamo così la rappresentazione matematica di un oggetto rigido sottoposto a un momento torcente netto:
\[ M = \bigl (\sum_{i} m_i r_i^2 \bigr ) \alpha \]
Anche in questo caso, possiamo indicare la quantità tra parentesi come \( I \).
\[ I = \bigl (\sum_{i} m_i r_i^2 \bigr )\]
Sappiamo che questa grandezza è chiamata momento d'inerzia. Dalla sua espressione matematica, vediamo che dipende dalla somma delle masse di ogni particella dell'oggetto e dal quadrato delle loro distanze dall'asse di rotazione.
Possiamo riscrivere la formula del momento d'inerzia come segue:
\[ I = \sum_{i} m_i r_i^2 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + ...\]
sommando sui vari contributi di ciascuna massa: \(m_1\), \(m_2\) ..., \(m_n\).
Momento di inerzia di corpi rigidi omogenei
I corpi rigidi possono essere omogenei, ovvero possono avere densità uniforme. In questo caso, il calcolo del momento di inerzia si semplifica. Ad esempio, il momento di inerzia di una sfera omogenea è pari a \( I = \frac {2}{5} M R^2 \).
In Figura 4 puoi vedere i momenti di inerzia di corpi rigidi omogenei di diverse geometrie.
Fig. 4 - Momenti d'inerzia di corpi rigidi omogenei di geometrie diverse.
Teorema di Huygens-Steiner
Il teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli) afferma che il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse è dato dalla somma tra il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse parallelo passante per il centro di massa, \(I_{CM}\), e il prodotto della massa \(M\) per il quadrato della distanza \(d\) tra i due assi:
\[ I = I_{CM} + M d^2\]
Momento di inerzia: unità di misura
Possiamo dedurre l'unità del momento d'inerzia dall'espressione \( I = mr^2\): \(m\) rappresenta la massa e, quindi, la sua unità SI è Kg, \(r\) rappresenta la distanza, quindi la sua unità SI è il metro. Inserendo queste unità nella formula per il momento d'inerzia, otterremo l'unità del momento d'inerzia nel SI: Kg m2.
Momento di inerzia: esercizi
Di seguito analizzeremo alcuni esempi che riguardano il momento d'inerzia.
Fig. 5 - Due piccoli pesi ruotano attorno a un asse posto al centro della distanza tra loro. La distanza tra gli oggetti di massa 8 kg e 9 kg è di 8 m.
Due piccoli pesi di massa 8 Kg e 9 Kg sono montati su un'asta leggera, separati da una distanza di 8 m come mostrato in Figura 5. Calcola il momento d'inerzia del sistema quando viene ruotato attorno a un asse posto al centro della distanza tra i due pesi. Ignora la massadell'asta.
Entrambi i pesi si trovano alla stessa distanza dall'asse di rotazione. Possiamo calcolare il momento d'inerzia del sistema come:
\[ I = \sum_{i} m_i r_i^2 \]
\[I = (8 Kg) (4m)^2 + (9 Kg) (4 m)^2 \]
\[ I = 128 \space Kg \space m^2 + 144 \space Kg \space m^2 = 272 \space Kg \space m^2\]
Trova il momento d'inerzia di un disco di massa 1 Kg e raggio 2 m che ruota attorno a un asse che tocca il bordo del disco ed è perpendicolare al piano del disco.
Il momento di inerzia di un disco è
\[ I = \frac{1}{2} M R^2 \]
Secondo il teorema degli assi paralleli, il momento d'inerzia di un corpo attorno a un asse è uguale alla somma tra il momento d'inerzia del corpo attorno all'asse parallelo che passa per il centro di massa e il prodotto della massa del corpo per il quadrato della distanza tra i due assi, quindi:
\[ I = \frac {1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac {3} {2} M R^2 \]
\[ I = \frac {3}{2} (1 Kg ) (2 m)^2 = 6 Kg \space m^2\]
Fig. 6 - Due pesi ruotano attorno a un asse posto a sinistra di uno dei pesi. L'oggetto con una massa di 8 kg si trova a 1 m dall'asse e gli oggetti si trovano a una distanza di 8 m l'uno dall'altro.
Due pesi di massa 8 Kg e 9 Kg sono montati su un'asta leggera separati da una distanza di 8 m come riportato nella Figura 6. Calcola il momento d'inerzia del sistema quando viene fatto ruotare attorno a un asse distante 1 m dal peso a sinistra Ignora la massa dell'asta.
La massa di 8 Kg è a 1 m dall'asse e la massa di 9 Kg è a 9 m dall'asse. Si può quindi calcolare il momento d'inerzia del sistema come segue:
\[ I = \sum_i m_i r_i^2 \]
\[ I = (8 Kg ) (1 m)^2 + ( 9 Kg) (9 m)^2 \]
\[ I = 8 kg \space m^2 + 729 Kg \space m^2 = 737 Kg \space m^2\]
Momento di inerzia - Punti chiave
- Il momento d'inerzia di un corpo rigido si calcola prendendo la somma degli elementi di massa \(m_i\) moltiplicati per il quadrato delle loro distanze dall'asse di rotazione: \( I = \sum_i m_i r_i^2\).
- Nel caso di corpi rigidi omogenei, ovvero nel caso di corpi caratterizzati da densità costante, il calcolo del momento di inerzia si semplifica. Ad esempio, per una sfera omogenea, il momento d'inerzia è pari a \( I = \frac {2}{5} M R^2 \).
- L'unità di misura del momento d'inerzia nel SI è Kg m2.
- Il teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli) afferma che il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse è dato dalla somma tra il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse parallelo passante per il centro di massa e il prodotto della massa per il quadrato della distanza tra i due assi.
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