Momento di inerzia

Momento di inerzia: definizione

Fig. 2 - Un punto materiale ruota attorno a un punto (disco nero) a una distanza r da esso.

Supponiamo di avere una particella di massa che ruota attorno a un punto a una distanza \(r\) da esso sotto l'effetto della forza \(F\), come mostrato in Figura 2. Poiché c'è una forza netta tangenziale, ci sarà un'accelerazione tangenziale che indichiamo come \( a_t \). La relazione tra la forza tangenziale netta e l'accelerazione tangenziale è la seguente:

\[ F = m a_t \]

Ricordiamo che il momento di una forza (o momento torcente) esprime l'effetto rotatorio generato da una forza applicata a un corpo ed è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza (che rappresenta la distanza tra il centro di rotazione e il punto di applicazione della forza) e la forza stessa:

\[ \vec M = \vec r \times \vec F\]

\( \vec M \) è perpendicolare al piano individuato da \(r\) e \(F\) e il suo modulo è pari a:

\[ \lvert \vec M \rvert = r F \sin (\theta) \]

Nel nostro caso, \( \vec F \) e \( \vec r \) sono perpendicolari (\( \theta = 90°\)), quindi l'intensità del momento \( M \) è pari a:

\[ M = \lvert \vec M \rvert = r F \sin(90°) = rF\]

Sostituendo \( F = m a_t \) nella formula per il momento, si ottiene:

\[ M = m a_t r\]

Poiché l'accelerazione tangenziale è legata all'accelerazione angolare dalla seguente relazione:

\[ a_t = r \alpha\]

possiamo scrivere

\[ M = m (r \alpha) r = (m r^2) \alpha\]

Ponendo \( I =m r^2 \), si ha

\[ M = I \alpha \]

Questa equazione ci dice che il momento che agisce sulla particella è proporzionale all'accelerazione angolare.

La grandezza \( I \) è chiamata momento di inerzia.

Il momento di inerzia può essere considerato un analogo rotazionale della massa, così come il momento è un analogo rotazionale della forza. Il momento d'inerzia crea una resistenza alla forza di rotazione.

Nota bene: il momento di inerzia dipende dalla massa e dalla sua distribuzione! Infatti, il valore sopra riportato vale solo per una particella puntiforme. In seguito esploreremo alcuni esempi più complessi.

Momento di inerzia: formula

Fig. 3 - Un oggetto rigido ruota attorno a un asse fisso attraverso un punto O. Nell'immagine, possiamo vedere la forza tangenziale che agisce su di esso.

Prendiamo in esame un corpo rigido he ruota attorno a un punto O come mostrato in Fugura 3. Consideriamo un elemento di massa \(m_i\) del corpo rigido, a una distanza \(r_i\), come mostrata nella figura. Questa massa avrà un'accelerazione tangenziale \( a_i\) perché è sotto l'effetto della forza \( F_i \):

\[ F_i = m_i a_i\]

Il momento della forza sarà:

\[ M_i = r_i F_i = r_i m_i a_i\]

Poiché \( a_i = r_i \alpha \), si ha:

\[ M_i = (m_i r_i^2) \alpha\]

Possiamo generalizzare queste equazioni per tutte le parti del corpo rigido, anche se l'oggetto ha una forma arbitraria, sommando tutte gli elementi di massa del corpo. Otteniamo così la rappresentazione matematica di un oggetto rigido sottoposto a un momento torcente netto:

\[ M = \bigl (\sum_{i} m_i r_i^2 \bigr ) \alpha \]

Anche in questo caso, possiamo indicare la quantità tra parentesi come \( I \).

\[ I = \bigl (\sum_{i} m_i r_i^2 \bigr )\]

Sappiamo che questa grandezza è chiamata momento d'inerzia. Dalla sua espressione matematica, vediamo che dipende dalla somma delle masse di ogni particella dell'oggetto e dal quadrato delle loro distanze dall'asse di rotazione.

Possiamo riscrivere la formula del momento d'inerzia come segue:

\[ I = \sum_{i} m_i r_i^2 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + ...\]

sommando sui vari contributi di ciascuna massa: \(m_1\), \(m_2\) ..., \(m_n\).

Momento di inerzia di corpi rigidi omogenei

I corpi rigidi possono essere omogenei, ovvero possono avere densità uniforme. In questo caso, il calcolo del momento di inerzia si semplifica. Ad esempio, il momento di inerzia di una sfera omogenea è pari a \( I = \frac {2}{5} M R^2 \).

In Figura 4 puoi vedere i momenti di inerzia di corpi rigidi omogenei di diverse geometrie.

Fig. 4 - Momenti d'inerzia di corpi rigidi omogenei di geometrie diverse.

Teorema di Huygens-Steiner

Il teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli) afferma che il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse è dato dalla somma tra il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse parallelo passante per il centro di massa, \(I_{CM}\), e il prodotto della massa \(M\) per il quadrato della distanza \(d\) tra i due assi:

\[ I = I_{CM} + M d^2\]

Momento di inerzia: unità di misura

Possiamo dedurre l'unità del momento d'inerzia dall'espressione \( I = mr^2\): \(m\) rappresenta la massa e, quindi, la sua unità SI è Kg, \(r\) rappresenta la distanza, quindi la sua unità SI è il metro. Inserendo queste unità nella formula per il momento d'inerzia, otterremo l'unità del momento d'inerzia nel SI: Kg m².

Momento di inerzia: esercizi