Moto circolare

Moto circolare uniforme

Un esempio particolare di moto circolare è il moto circolare uniforme, ovvero un moto circolare in cui la velocità angolare risulta essere costante.

Moto circolare uniforme: velocità angolare

La velocità angolare è una misura dell'arco di circonferenza percorso dal punto materiale in un certo lasso di tempo. Può essere una quantità sia vettoriale, se è specificato il verso di rotazione che scalare, se si intende la velocità numerica senza alcun verso.

Ricordiamo che un radiante equivale all'angolo che si crea al centro di un cerchio quando sulla sua circonferenza si crea un arco di lunghezza uguale al suo raggio. Questo significa che all'interno della circonferenza si possono individuare \(2\pi\) radianti e questa quantità indica il giro completo.

Per ottenere la velocità angolare, è sufficiente dividere lo spostamento angolare in radianti per il tempo impiegato per percorrerlo:

\[\omega=\frac{spostamento \: angolare}{tempo \: impiegato} = \frac{\theta}{t}\]

dove \(\omega\) è la velocità angolare misurata in \(rad/s\), \(t\) è il tempo impiegato (da non confondersi con il periodo \(T\)) e \(\theta\) è lo spostamento angolare nel periodo di tempo (può essere anche maggiore di \(360^{\circ}\) o \(2\pi\)).

In alternativa, essendo il moto uniforme e la velocità costante, possiamo misurare il tempo che il punto materiale impiega a compiere una rotazione completa per calcolare la velocità.

Moto circolare uniforme: periodo

Il periodo, indicato con \(T\), nel moto circolare uniforme è il tempo impiegato dal punto materiale a compiere un giro completo della circonferenza che traccia.

Questo ci permette di scrivere una relazione tra il periodo e la velocità angolare:

\[\omega = \frac{2\pi}{T} \Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}\]

dove \(\omega\) è la velocità angolare che abbiamo già visto e \(T\) è il periodo del moto.

Moto circolare uniforme: frequenza

Parallelamente al periodo del moto, possiamo definire la frequenza del moto come l'inverso del periodo. La frequenza indica quanti "giri" completi della circonferenza vengono effettuati per ogni unità di tempo trascorsa. Possiamo ovviamente legare questa quantità alla velocità angolare a sua volta.

\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi}\]

Moto circolare uniforme: velocità tangenziale

La velocità tangenziale è diversa da quella angolare che abbiamo visto. Essendo sempre tangente alla circonferenza percorsa, questa non è costante in verso, ma solo in modulo.

Per calcolarla, dobbiamo pensare che la velocità rappresenta lo spazio percorso in un certo tempo. Quindi, per una circonferenza, possiamo pensare che questa sia \(2\pi r\), ovvero la lunghezza della circonferenza, divisa per il periodo \(T\) che serve per percorrerla, ovvero

\[v_t = \frac{2\pi r}{T}\]

Moto circolare uniforme: accelerazione

Il costante cambiamento di direzione di un oggetto significa che il vettore velocità cambia continuamente, il che significa che anche l'accelerazione che lo causa cambia continuamente.

Non ricaveremo formalmente l'accelerazione centripeta, ma con un po' di considerazioni geometriche si può ottenere che questa vale:

\[a_c = \frac{v_t^2}{r}\,.\]Questo ci dice che l'accelerazione centripeta è legata alla velocità tangenziale e al raggio della circonferenza percorsa.

Questo ci permette anche di definire la forza centripeta usando la seconda legge di Newton:

\[F_c = m a_c = \frac{m v_t^2}{r}\]

Data questa relazione, possiamo determinare l'accelerazione di un oggetto in moto circolare se conosciamo valori come la forza centripeta, il raggio dell'orbita, la massa e la velocità dell'oggetto. Vediamo il seguente esempio.

Moto circolare uniforme: forza centrifuga

La forza centripeta è un concetto chiave del moto circolare. Non va confusa con la forza centrifuga, che ha un nome simile. La forza centripeta mantiene l'accelerazione angolare, mentre la forza centrifuga è una forza apparente e non è una forza effettivamente applicata al corpo. Questo significa che viene solo percepita solo dall'oggetto che descrive il percorso circolare. La forza centrifuga agisce in direzione opposta a quella centripeta, cioè verso l'esterno.

Fig. 2 - La forza centrifuga, in blu, è opposta alla forza centripeta, in verde.

Moto circolare uniforme: legge oraria

Abbiamo visto quali sono le grandezze del moto circolare uniforme, ma dobbiamo ancora definire la legge oraria del moto. Non la verificheremo analiticamente, ma si può dimostrare che la legge oraria del moto circolare uniforme è data da:

\[\theta(t) = \theta_0 + \omega t\]

dove \(\theta\) è l'angolo descritto dal punto materiale nel suo moto.

Se osserviamo bene la legge del moto orario, possiamo vedere delle somiglianze con il moto rettilineo uniforme. Vediamo le due equazioni affiancate:

\[\theta(t) = \theta_0 + \omega t\ \qquad x(t) = x_0 + v t\]

Questa similitudine è dovuta al fatto che una circonferenza può essere descritta come una retta se la "srotoliamo" e immaginiamo il punto materiale che si muove lungo questo percorso.

Moto circolare uniforme: formule

Ora che abbiamo visto tutte le formule del moto circolare uniforme, possiamo raccoglierle in un'utile tabella, legando le varie quantità tra loro.

Moto circolare uniformemente accelerato

Tuttavia, il moto circolare non ha sempre velocità angolare uniforme. Esattamente come per il moto rettilineo, si può pensare a introdurre una quantità chiamata accelerazione angolare e indicata con \(\alpha\) e introdurla nelle equazioni che abbiamo visto.

Come per il moto rettilineo possiamo pensare all'accelerazione angolare media come

\[\langle \alpha \rangle = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_f - \omega_i}{t_f - t_i}\]

dove \(\Delta \omega\) rappresenta la differenza di velocità angolare tra un istante iniziale \(t_i\) e un istante finale \(t_f\).

Come per la legge oraria del moto circolare uniforme, possiamo immaginare che la legge del moto circolare uniformemente accelerato ricalchi quella del motto rettilineo uniformemente accelerato. Non lo dimostreremo, ma, effettivamente, si può ricavare che la legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato vale

\[\theta (t)= \theta_0 + \omega t + \frac{1}{2} \alpha t^2\]

Analogamente, la velocità angolare varierà come:

\[\omega = \omega_0+\alpha t\]

dove, in tutte queste equazioni, il pedice "0" indica la quantità all'istante iniziale.