Il moto parabolico è il moto di un oggetto che percorre una traiettoria parabolica. Questo tipo di moto è anche noto come "moto del proiettile" perché descrive il moto di un corpo sotto l'influenza della gravità.
Immagina di colpire un pallone con un certo angolo rispetto all'orizzontale. Il pallone lanciato in aria percorrerà una certa distanza in verticale prima di colpire il suolo a una certa distanza da dove ti trovi. Il pallone segue una traiettoria parabolica, come puoi vedere in Figura 1.
Fig. 1 - La palla di cannone segue una traiettoria parabolica.
Dopo aver introdotto le equazioni che governano il moto parabolico (o moto del proiettile), analizzeremo alcuni scenari tipici attraverso esempi ed esercizi svolti.
Moto parabolico: componente orizzontale e verticale
Il moto parabolico è composto da una componente verticale e una orizzontale, indipendenti tra loro. In altre parole, il moto lungo la direzione verticale è indipendente da quello lungo la direzione orizzontale. Di conseguenza, quando si risolvono i quesiti associati al moto del proiettile, è possibile scrivere le equazioni del moto per la componente orizzontale e verticale separatamente.
Per comprendere meglio questa idea, osserva la Figura 2. Considera due biglie della stessa dimensione e dello stesso peso. Si rilascia una biglia da un'altezza specifica e si lancia l'altra in orizzontale dalla stessa altezza. Se non si tiene conto della resistenza dell'aria, entrambe le biglie colpiranno il suolo nello stesso momento poiché la componente orizzontale non influenza il moto verticale della biglia.
Fig. 2 - Il tempo impiegato dalla palla per raggiungere il suolo è lo stesso, a condizione che la resistenza dell'aria sia trascurabile.
La distinzione tra il moto nelle direzioni x e y è importante perché ci mostra che possiamo applicare le equazioni del moto rettilineo uniforme e del moto uniformemente accelerato alle direzioni x e y, rispettivamente. Ma prima di svolgere alcuni esercizi (che serviranno a illustrare ulteriormente questo concetto), dobbiamo scrivere le equazioni che ci occorrono per studiare questo moto!
Moto parabolico: formule
Nel caso di un corpo lanciato lungo l'orizzontale (quindi, a un angolo \(\theta=0°\) con l'orizzontale),
Quando lanciamo un oggetto in aria, dobbiamo considerare le seguenti equazioni (che scriveremo successivamente per ciascuna componente):
\[ \vec s = \vec s_0 +\vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec a t^2\]
\[\vec v = \vec v_0 + \vec a t\]
dove \(\vec s\) è lo spazio percorso, \(\vec v\) la velocità, \(\vec a\) l'accelerazione, \(t\) il tempo, \(\vec s_0\) è la posizione iniziale e \(\vec v_0\) la velocità iniziale.
Scomponendo le due equazioni nelle due componenti orizzontale e verticale e tenendo presente che l'unica accelerazione presente è \(\vec g\), diretta lungo la verticale (verso il basso), si ottengono le equazioni riportate di seguito.
Per il moto lungo x si ha:
\[ x = x_0 + v_{0x}t \]
\[v_x = v_{0x}\]
mentre per la componente del moto lungo y si ha:
\[ y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2 }g t^2 \]
\[v_y = v_{0y} - g t\,.\]
Notiamo subito che lungo x il moto è rettilineo uniforme. Infatti, poiché l'accelerazione di gravità è diretta lungo la verticale e sul corpo non agiscono altre forze, la velocità lungo x è costante (\(v_x= v_{0x}= costante\)). Il moto lungo y è invece uniformemente accelerato, con accelerazione pari a \(g= 9,81 \space ms^{-2}\).
Moto parabolico: gittata e tempo di volo
Si definisce gittata la massima distanza sull'asse x raggiunta dal corpo prima che tocchi terra.
Si definisce tempo di volo il tempo che il corpo impiega a percorrere l'arco di parabola.
Per trovare la formula per la gittata, dobbiamo porre \(y=0\) nella legge oraria per il moto lungo y e risolvere il seguente sistema:
\[ \begin{cases} x= v_{0x}t \\ 0= v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \]
dove abbiamo assunto, per semplicità, \(y_0=0\).
Dalla seconda equazione ricaviamo il tempo di volo, ovvero il tempo impiegato per percorrere l'intera traiettoria:
\[ t \space ( \frac{1}{2} gt - v_{0y}) =0\]
che ha le seguenti soluzioni:
\[ t_1 =0; \space t_2 = \frac{2 v_{0y}}{g}\]
Scartando la soluzione \(t=0\) (che corrisponde alla posizione iniziale), il tempo trascorso prima di toccare terra è dato da \(t_2\). Inserendo questo valore nella prima equazione, otteniamo la gittata:
\[x_G = v_{0x} t_2 = \frac{2 v_{0x}v_{0y}}{g} \]
Moto parabolico: esercizi
Vediamo ora alcuni esercizi che ci permetteranno di applicare (e, quindi, di capire meglio) le formule che abbiamo scritto.
Una palla rotola giù da una scogliera alta \(30 \space m\) con una velocità di \(5 \space m s^{-1}\). La palla colpisce il suolo a una distanza \(d\) dalla base di una scogliera. La Figura 3 mostra il moto del proiettile nel caso di un corpo lanciato in orizzontale. Calcola la distanza \(d\).
Fig. 3 - Moto parabolico nel caso di un oggetto lanciato orizzontalmente.
Per calcolare \(d\), la distanza tra il punto in cui la palla atterra e la base della scogliera, dobbiamo analizzare il moto nelle direzioni x e y.
Supponendo che non ci sia resistenza dell'aria e che agisca solo la forza gravitazionale, la velocità nella direzione x sarà costante e pari a \(5 \space ms^{-1}\) fino a quando la palla non toccherà il suolo. Nella direzione y, la palla ha un'accelerazione costante di \(9,81 \space ms^{-2}\) , causata dalla forza di gravità.
Ma qual è la velocità iniziale nella direzione y?
Come già detto, poiché il moto nelle direzioni x e y è indipendente l'uno dall'altro, la velocità di \( 5 \space ms^{-1}\) nella direzione x non ha alcun impatto sul movimento nella direzione y. Di conseguenza, la palla rotola giù dalla scogliera con una velocità iniziale nulla lungo la direzione verticale (\(v_{0y}=0\)).
Fig. 4 - La componente della velocità nella direzione y aumenta a causa dell'accelerazione di gravità. La componente della velocità nella direzione x rimane costante.
Vediamo ora il moto nelle due direzioni.
Per la direzione x:
Velocità iniziale: \(v_{0x} = 5 \space m s^{-1}\)
Distanza percorsa nella direzione x: \(d = \) ?
Per la direzione y:
Velocità iniziale: \(v_{0y} = 0 \space m s^{-1}\)
Posizione iniziale: \(y_0 = 30 \space m \)
Accelerazione dovuta alla caduta libera: \(a_y = -9,81 \space m s^{-2}\)
Dal moto nella direzione y, possiamo calcolare il tempo di caduta \(t\). Utilizzando la legge oraria per la direzione y e inserendo i valori, si ottiene:
\[ y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2 }g t^2 \]
\[ 0 = 30 \space m + 0 \cdot t - \frac{1}{2} (9,81 \space ms^{-2}) t^2 \]
\[30 \space m = \frac{1}{2} (9,81 \space m s^{-2}) t^2\]
\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot (30 \space m)}{9,81 \space m s^{-2}}} \approx 2,47 \space s\]
Pertanto, il tempo impiegato dalla palla per raggiungere il suolo da un'altezza di \(30 \space m\) è di circa \(2,47 \space s\).
Per calcolare la distanza percorsa dalla base della scogliera \(d\), usiamo di nuovo la legge oraria (ma questa volta per il movimento in direzione x) e al posto di \(t\) inseriamo il tempo di caduta \(t=2,47 \space s\):
\[x = v_{0x}t \]
\[d= x= 5 \space m s^{-1} (2,47 \space s)= 12,35 \space m\]
La distanza percorsa dalla palla nella direzione x è, quindi, di \(12,35 \space m\).
Finora abbiamo studiato il moto parabolico nel caso di oggetto lanciato in orizzontale. Nel caso di un proiettile lanciato a un dato angolo il principio è lo stesso, ma dobbiamo tener presente che l'angolo \(\theta\) a cui il corpo è lanciato rispetto all'orizzontale influisce sulle velocità iniziali. Il seguente esempio mostra risolvere un esercizio nel caso di un corpo lanciato a un dato angolo rispetto all'orizzontale.
Osserva la figura seguente. Una palla di cannone viene lanciata da una scogliera con una velocità iniziale di \(90 \space ms^{-1}\) da un'altezza di \(25 \space m\) dal suolo con un angolo di \(53°\). Calcola la distanza percorsa dalla palla di cannone nella direzione x.
Fig. 5 - Moto parabolico nel caos di un oggetto lanciato con un certo angolo (qui, \(53°\)) rispetto all'orizzontale.
Come si può vedere in Figura 5, il terreno è sollevato di \(9 \space m\) dalla base della scogliera dove atterrerà la palla di cannone. Ciò significa che lo spostamento in direzione y non sarà di \(25 \space m\), ma di \(16 \space m\).
Scomponiamo innanzitutto il vettore velocità nelle sue componenti lungo x e lungo y.
Fig.6 - Scomposizione della velocità nelle componenti orizzontale e verticale.
Velocità iniziale in direzione x: \(v_{0x}= (90 \space ms^{-1})cos (53°)\)
Velocità iniziale in direzione y: \(v_{0y}= (90 \space ms^{-1})sin (53°)\)
Fig. 7 - Moto parabolico nel caos di un oggetto lanciato con un certo angolo (qui, \(53°\)) rispetto all'orizzontale. Il corpo atterra a \(9 \space m\) da terra.
Utilizzando la legge oraria per il moto lungo y e inserendo i dati possiamo calcolare il tempo \(t\) impiegato dalla palla di cannone per colpire il suolo dopo il lancio.
\[ y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2 }g t^2 \]
\[ 9 \space m - 25 \space m = (90 \space ms^{-1} \sin(53°)) t - \frac{1}{2} (9,81 m s^{-2}) t^2 \]
Questa è una equazione di secondo grado nella variabile \(t\), che possiamo riscrivere nella seguente forma più familiare:
\[ a t^2 + bt + c=0 \]
dove \(a= \frac{1}{2} (9,81 \space m s^{-2})= 4,905 \space m s^{-2}\), \(b= - 90 \space m s^{-1} \sin (53°) \approx - 71, 9 \space ms^{-1} \) e \(c = - 16 \space m \).
\[t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[t_{1,2}= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{71,9 \pm 74}{9,81} \space s \]
Escludendo la soluzione con il segno \(-\) poiché darebbe un valore del tempo negativo, si ha
\[t= \frac{71,9 + 74}{9,81} \space s \approx 14,9 \space s \,.\]
Poiché trascuriamo la resistenza dell'aria, la velocità nella direzione x sarà costante, cioè sarà di \((90 \space \mathrm{m}/\mathrm{s}) \cos(53°)\) per tutta la durata del movimento. Possiamo calcolare la distanza percorsa moltiplicando la velocità nella direzione x per il tempo impiegato. Si ha, quindi:
\[ d=x = v_{0x}t \]
\[ d = 90 \space ms^{-1} \cos(53°) (14,9 s) \approx 807 \space m\]
La distanza orizzontale percorsa dalla palla di cannone è di circa \( 807 \space m\).
Fattori che influenzano il moto del proiettile
Nei due scenari precedenti abbiamo ipotizzato che la resistenza dell'aria fosse trascurabile. In pratica, però, non possiamo ignorare la resistenza dell'aria. Allo stesso modo, vari altri fattori influenzano il moto di un proiettile. Vediamo brevemente quelli principali.
La gravità
Anche se la gravità non influisce direttamente sul moto orizzontale, il tempo di caduta dell'oggetto diminuisce se la gravità è maggiore. L'oggetto rimarrà in aria per un tempo inferiore e la distanza percorsa in direzione x sarà quindi minore.
Resistenza dell'aria
La resistenza dell'aria è influenzata da diversi fattori. Ad esempio, è influenzata dal rapporto superficie/volume: un oggetto con una superficie maggiore è soggetto a una maggiore resistenza dell'aria. Un altro fattore è la superficie dell'oggetto: una superficie ruvida risente maggiormente della resistenza dell'aria. La resistenza dipende anche dalla velocità: se la velocità di un oggetto aumenta, aumenta anche la resistenza dell'aria.
La resistenza dell'aria influisce sempre sul proiettile, indipendentemente dall'angolo o dall'altezza da cui viene lanciato.
L'angolo di lancio
Trascurando la resistenza dell'aria, nel caso in cui i punti di lancio e di atterraggio si trovino alla stessa altezza, l'angolo ottimale per una gittata massima è di \(45°\).
Se l'angolo di lancio è superiore o inferiore a \(45°\) , l'oggetto coprirà una distanza minore sull'asse orizzontale. La Figura 8 illustra un oggetto lanciato a diverse angolazioni e la distanza percorsa.
Nel grafico la velocità di lancio è di \(10 \space ms^{-1}\) e si ipotizza che non vi sia resistenza dell'aria. \(T\) è il tempo di volo, \(t\) è il tempo dal lancio, \(R\) è la distanza e \(H\) è il punto più alto della traiettoria. La lunghezza rappresenta la velocità ad ogni istante del grafico.
Fig. 8 - La traiettoria varia a seconda dell'angolo a cui il corpo viene lanciato.
Moto parabolico - Punti chiave
- Il moto parabolico è il moto di un oggetto lungo una traiettoria parabolica sotto l'influenza della gravità.
- Il moto di un proiettile avviene in due dimensioni, cioè lungo la direzione orizzontale e verticale.
Per risolvere gli esercizi è utile scomporre il vettore velocità nelle sue componenti x e y. Trascurando la resistenza dell'aria, lungo x il moto è rettilineo uniforme, mentre lungo y è uniformemente accelerato a causa della gravità.
La gittata la massima distanza sull'asse x raggiunta dal corpo prima che tocchi terra.
Il tempo di volo il tempo che il corpo impiega per percorrere l'arco di parabola.
Trascurando la resistenza dell'aria, nel caso in cui i punti di lancio e di atterraggio si trovino alla stessa altezza, l'angolo ottimale per una gittata massima è di \(45°\).
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