Caduta dei gravi

Il paracadutismo è un noto esempio di caduta libera. Quando si fa paracadutismo, i paracadutisti si lanciano da aerei che si trovano a quote tra i \(1\, 000\, \mathrm{m}\) e i \(4\, 500\, \mathrm{m}\) di altezza. Una volta in aria, i paracadutisti percorrono circa \(305\, \mathrm{m}\) ogni \(5 \, \mathrm{s}\) mentre sperimentano un effetto, noto agli appassionati come "vento relativo". Il vento relativo consente loro di evitare un forte impatto dell'aria sul proprio corpo e di controllare con estrema precisione le azioni che compiono in aria: salti mortali, rotazioni, ecc. I paracadutisti raggiungono infine una velocità massima di circa \(200 \, \mathrm{km}/\mathrm{h} \) prima di dover aprire il paracadute.

Se hai vissuto questa esperienza in prima persona, molto probabilmente conoscerai già concetti come la resistenza dell'aria e la velocità terminale. In caso contrario, questo articolo ti aiuterà a capire i concetti di base attraverso definizioni, spiegazioni ed esempi. Iniziamo!

Fig. 1 - Il paracadutismo è un noto esempio di movimento in caduta libera.

Legge di caduta dei gravi

Di seguito definiamo e discutiamo il moto di caduta dei gravi e le sue caratteristiche.

Quando gli oggetti sono in caduta libera, generalmente si assume trascurabile la resistenza dell'aria. Di conseguenza, questo moto è definito da due caratteristiche:

• Gli oggetti non subiscono la resistenza dell'aria.

• Gli oggetti accelerano verso la terra con un' accelerazione pari a \(g\).

Quando un oggetto è in caduta libera e si trascura la resistenza dell'aria, la forza che agisce su di esso è quindi soltanto la forza peso, che agisce verticalmente:

\[\vec F_p = m \vec g\,.\]

Contrariamente al moto del proiettile, il moto del grave è considerato in una sola direzione. Inoltre, se il corpo viene lasciato cadere, la velocità iniziale \(v_0\) è nulla.

Caduta dei gravi: formule

Vediamo ora quali equazioni possiamo usare per descrivere il moto di caduta dei gravi. Probabilmente ricorderai queste equazioni dallo studio del sul moto uniformemente accelerato (su StudySmarter abbiamo un articolo dedicato!), ma rivediamole qui insieme!

Equazione per la velocità

Dall'equazione per la velocità nel moto uniformemente accelerato possiamo scrivere

\[v = g (t-t_0)\,,\]

avendo posto \(a=g\) e \(v_0=0\).

Occhio al sistema di riferimento! Poiché l'accelerazione di gravità è diretta verso il basso, dobbiamo tener conto dei segni quando andiamo a scrivere le equazioni e a risolvere gli esercizi. Se scegliamo un sistema di riferimento che ha verso positivo verso l'alto, l'equazione precedente diventa:

\[v = - g (t-t_0)\,.\]

Equazione per lo spostamento (legge oraria)

La legge oraria per la caduta dei gravi si ricava dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato ponendo \(a=g\) e \(v_0=0\).

In un sistema di riferimento che ha verso positivo verso il basso, la legge oraria diventa:

\[y = y_0 + \frac{1}{2}g (t-t_0)^2\, , \]

dove \(y_0\) è la posizione iniziale.

In un sistema di riferimento che ha verso positivo verso l'alto, occorre invece usare la seguente equazione: \[y = y_0 - \frac{1}{2}g (t-t_0)^2\,.\]

Accelerazione di un oggetto in caduta libera

Abbiamo detto che l'accelerazione di un oggetto in caduta libera è uguale alla gravità. Dalla legge di Newton:

\[a = \frac{F}{m}= \frac{F_p}{m} = \frac{mg}{m} = g\,.\]

Questo implica che, quando si trascura la resistenza dell'aria, gli oggetti accelerano alla stessa velocità indipendentemente dalla loro forma, dimensione o massa. Quindi, se lasciamo cadere –in assenza di attrito– due oggetti di massa diversa dalla stessa altezza, il tempo di caduta sarà identico.

Tuttavia, se non si trascurasse la resistenza dell'aria, una palla e un foglio di carta in caduta libera non accelererebbero alla stessa velocità! La palla raggiungerebbe infatti il suolo per prima.

Velocità di impatto e tempo di caduta

Per trovare la velocità finale di impatto, occorre risolvere il seguente sistema (per comodità, consideriamo un sistema di riferimento con verso positivo verso il basso):

\begin{cases} y-y_0= \frac{1}{2} gt^2 \\ v = g t \end{cases}

se il corpo cade da un'altezza \(h\), si ha \(y-y_0=h\) e, quindi, possiamo scrivere:

\begin{cases} h= \frac{1}{2} gt^2 \\ v = g t \end{cases}

Dalla prima equazione ricaviamo il tempo di caduta:

\[ t_f= \sqrt{\frac{2h}{g}}\,.\]

Sostituendo \(t_f\) nella seconda equazione, troviamo la velocità d'impatto:

\[ v_f= g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}\,.\]

Caduta dei gravi e velocità limite

Quando un oggetto viene lasciato cadere da fermo, l'unica forza che agisce su di esso è il suo peso. Nell'accelerare verso il basso, il corpo inizia a subire gli effetti della resistenza dell'aria. La resistenza dell'aria si oppone alla forza del peso, ma essendo il peso dell'oggetto è maggiore, quest'ultimo continua ad accelerare. Tuttavia, la resistenza aumenta all'aumentare della velocità del corpo. A un certo punto, la forza peso e la resistenza dell'aria avranno la stessa intensità: l'oggetto raggiunge così la sua velocità limite, ovvero, la sua velocità massima. Il diagramma riportato nella figura seguente mostra le tre situazioni che abbiamo appena descritto.

Fig. 2 - Diagramma a corpo libero di un oggetto in caduta libera.

Caduta dei gravi: esercizi

Applichiamo ora i concetti che abbiamo imparato per risolvere i seguenti esercizi!