Caduta dei gravi

Il paracadutismo è un noto esempio di caduta libera. Quando si fa paracadutismo, i paracadutisti si lanciano da aerei che si trovano a quote tra i \(1\, 000\, \mathrm{m}\)  e i \(4\, 500\, \mathrm{m}\) di altezza. Una volta in aria, i paracadutisti percorrono circa \(305\, \mathrm{m}\) ogni \(5 \, \mathrm{s}\) mentre sperimentano un effetto, noto agli appassionati come "vento relativo". Il vento relativo consente loro di evitare un forte impatto dell'aria sul proprio corpo e di controllare con estrema precisione le azioni che compiono in aria: salti mortali, rotazioni, ecc. I paracadutisti raggiungono infine una velocità massima di circa \(200 \, \mathrm{km}/\mathrm{h} \) prima di dover aprire il paracadute. 

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Indice

    Se hai vissuto questa esperienza in prima persona, molto probabilmente conoscerai già concetti come la resistenza dell'aria e la velocità terminale. In caso contrario, questo articolo ti aiuterà a capire i concetti di base attraverso definizioni, spiegazioni ed esempi. Iniziamo!

    Caduta dei gravi paracadutismo StudySmarter

    Fig. 1 - Il paracadutismo è un noto esempio di movimento in caduta libera.

    Legge di caduta dei gravi

    Di seguito definiamo e discutiamo il moto di caduta dei gravi e le sue caratteristiche.

    Per caduta dei gravi si intende il moto di un corpo in caduta libera che cade verticalmente. Tale moto avviene pertanto in una direzione.

    Quando gli oggetti sono in caduta libera, generalmente si assume trascurabile la resistenza dell'aria. Di conseguenza, questo moto è definito da due caratteristiche:

    • Gli oggetti non subiscono la resistenza dell'aria.

    • Gli oggetti accelerano verso la terra con un' accelerazione pari a \(g\).

    La resistenza dell'aria, nota anche come resistenza aerodinamica, è una forza che agisce su un oggetto in direzione opposta rispetto al moto del corpo.

    Quando un oggetto è in caduta libera e si trascura la resistenza dell'aria, la forza che agisce su di esso è quindi soltanto la forza peso, che agisce verticalmente:

    \[\vec F_p = m \vec g\,.\]

    Contrariamente al moto del proiettile, il moto del grave è considerato in una sola direzione. Inoltre, se il corpo viene lasciato cadere, la velocità iniziale \(v_0\) è nulla.

    Caduta dei gravi: formule

    Vediamo ora quali equazioni possiamo usare per descrivere il moto di caduta dei gravi. Probabilmente ricorderai queste equazioni dallo studio del sul moto uniformemente accelerato (su StudySmarter abbiamo un articolo dedicato!), ma rivediamole qui insieme!

    Nel caso della caduta dei gravi, all'accelerazione costante \(a\) dobbiamo sostituire l'accelerazione di gravità \(g\).

    Equazione per la velocità

    Dall'equazione per la velocità nel moto uniformemente accelerato possiamo scrivere

    \[v = g (t-t_0)\,,\]

    avendo posto \(a=g\) e \(v_0=0\).

    Occhio al sistema di riferimento! Poiché l'accelerazione di gravità è diretta verso il basso, dobbiamo tener conto dei segni quando andiamo a scrivere le equazioni e a risolvere gli esercizi. Se scegliamo un sistema di riferimento che ha verso positivo verso l'alto, l'equazione precedente diventa:

    \[v = - g (t-t_0)\,.\]

    Equazione per lo spostamento (legge oraria)

    La legge oraria per la caduta dei gravi si ricava dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato ponendo \(a=g\) e \(v_0=0\).

    In un sistema di riferimento che ha verso positivo verso il basso, la legge oraria diventa:

    \[y = y_0 + \frac{1}{2}g (t-t_0)^2\, , \]

    dove \(y_0\) è la posizione iniziale.

    In un sistema di riferimento che ha verso positivo verso l'alto, occorre invece usare la seguente equazione: \[y = y_0 - \frac{1}{2}g (t-t_0)^2\,.\]

    Accelerazione di un oggetto in caduta libera

    Abbiamo detto che l'accelerazione di un oggetto in caduta libera è uguale alla gravità. Dalla legge di Newton:

    \[a = \frac{F}{m}= \frac{F_p}{m} = \frac{mg}{m} = g\,.\]

    Questo implica che, quando si trascura la resistenza dell'aria, gli oggetti accelerano alla stessa velocità indipendentemente dalla loro forma, dimensione o massa. Quindi, se lasciamo cadere in assenza di attrito due oggetti di massa diversa dalla stessa altezza, il tempo di caduta sarà identico.

    Tuttavia, se non si trascurasse la resistenza dell'aria, una palla e un foglio di carta in caduta libera non accelererebbero alla stessa velocità! La palla raggiungerebbe infatti il suolo per prima.

    Velocità di impatto e tempo di caduta

    Per trovare la velocità finale di impatto, occorre risolvere il seguente sistema (per comodità, consideriamo un sistema di riferimento con verso positivo verso il basso):

    \begin{cases} y-y_0= \frac{1}{2} gt^2 \\ v = g t \end{cases}

    se il corpo cade da un'altezza \(h\), si ha \(y-y_0=h\) e, quindi, possiamo scrivere:

    \begin{cases} h= \frac{1}{2} gt^2 \\ v = g t \end{cases}

    Dalla prima equazione ricaviamo il tempo di caduta:

    \[ t_f= \sqrt{\frac{2h}{g}}\,.\]

    Sostituendo \(t_f\) nella seconda equazione, troviamo la velocità d'impatto:

    \[ v_f= g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}\,.\]

    Caduta dei gravi e velocità limite

    Quando un oggetto viene lasciato cadere da fermo, l'unica forza che agisce su di esso è il suo peso. Nell'accelerare verso il basso, il corpo inizia a subire gli effetti della resistenza dell'aria. La resistenza dell'aria si oppone alla forza del peso, ma essendo il peso dell'oggetto è maggiore, quest'ultimo continua ad accelerare. Tuttavia, la resistenza aumenta all'aumentare della velocità del corpo. A un certo punto, la forza peso e la resistenza dell'aria avranno la stessa intensità: l'oggetto raggiunge così la sua velocità limite, ovvero, la sua velocità massima. Il diagramma riportato nella figura seguente mostra le tre situazioni che abbiamo appena descritto.

    Caduta dei gravi velocità limite StudySmarter

    Fig. 2 - Diagramma a corpo libero di un oggetto in caduta libera.

    Si può dimostrare che la velocità limite (in questo caso, detta anche velocità terminale di caduta) è pari a:

    \[v_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{mg}{k}}\,, \]

    dove \(k\), detto coefficiente di resistenza idraulica, è dato dalla seguente relazione:

    \[k= \frac{\rho A C_\mathrm{d}}{2}\,,\]

    dove \(\rho\) è la densità del fluido, \(A\) è l'area della sezione dell'oggetto ortogonale alla direzione del moto e \(C_\mathrm{d}\) è il coefficiente di resistenza aerodinamica.

    Caduta dei gravi: esercizi

    Applichiamo ora i concetti che abbiamo imparato per risolvere i seguenti esercizi!

    Una palla viene fatta cadere dalla finestra di un edificio. Qual è lo spostamento della palla dopo \(2\, \mathrm{s}\)?

    Caduta dei gravi spazio percorso StudySmarter

    Fig. 3 - Calcolo dello spostamento della palla in un moto di caduta libera.

    Poiché ci viene chiesto di calcolare lo spostamento della palla, utilizziamo la seguente equazione:

    \[y = y_0 - \frac{1}{2}g (t-t_0)^2\,.\]

    Inserendo i dati e ponendo \(y-y_0 = \Delta y\) e \(t_0=0\), otteniamo:

    \[y = \frac{1}{2} \, (9,81 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2) \, (2\, \mathrm{s})^2\ = 19{,}6 \, \mathrm{m}\,.\]

    Lo spostamento della palla dopo \(2\, \mathrm{s}\) è \(19{,}6\, \mathrm{m}\).

    Un sasso, inizialmente fermo, viene fatto cadere da una scogliera di \(85\,\mathrm{m}\). Qual è la velocità finale del sasso?

    Caduta dei gravi velocità impatto StudySmarterFig. 4 - Calcolo della velocità finale di una roccia in caduta libera.

    Per trovare la velocità con cui il sasso impatta con il suolo, utilizziamo la seguente formula:

    \[ v_f= g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}\,.\]

    Inserendo i dati otteniamo:

    \[ v_f= \sqrt{2 \, (85\, \mathrm{m} ) (9,81\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2)} = 40{,}8\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\,.\]

    La velocità finale del sasso è \(40{,}8 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\).

    Caduta dei gravi - Punti chiave

    • Per caduta dei gravi si intende il moto di un corpo in caduta libera che cade verticalmente. Tale moto avviene pertanto in una direzione.
    • Trascurando la resistenza dell'aria, l'unica forza agente su un corpo in caduta libera è la forza peso.
    • Le equazioni per il moto di caduta dei gravi si ricavano sostituendo \(v_0=0\) e \(a = g\) nelle equazioni per il moto uniformemente accelerato.
    • Trascurando la resistenza dell'aria, gli oggetti accelerano alla stessa velocità indipendentemente dalla loro forma, dimensione o massa.

    • Un oggetto in caduta libera raggiunge la velocità limite (o velocità terminale di caduta) quando la resistenza dell'aria diventa uguale al peso dell'oggetto.


    References

    1. Fig. 1 - Skydiving (https://www.pexels.com/photo/parachuters-on-air-70361/) by Pexel (www.pexel.com) is licensed by CC0 1.0 Universal.

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    Domande frequenti riguardo Caduta dei gravi

    Cosa dice la legge di caduta dei gravi? 

    Per caduta dei gravi si intende il moto di un corpo in caduta libera che cade verticalmente. Tale moto avviene in una direzione. 

    Quale peso cade prima? 

    Questo implica che, quando si trascura la resistenza dell'aria, gli oggetti accelerano alla stessa velocità indipendentemente dalla loro forma, dimensione o massa. Quindi, se lasciamo cadere in assenza di attrito due oggetti di massa diversa dalla stessa altezza, il tempo di caduta sarà identico.

    Come si calcola il tempo di caduta di un oggetto? 

    Dalla legge oraria y-y0 = 1/2 g t2 e ponendo y-y0=h (altezza dalla quale il corpo viene lasciato cadere), si ricava il tempo di caduta: tf= (2h/g)1/2.

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    Quale delle seguenti variabili corrisponde alla definizione "____ è la variazione di velocità di un oggetto rispetto al tempo"?

    Le leggi usate per descrivere la caduta dei gravi sono:

    Gli oggett in caduta libera hanno un'accelerazione diretta:

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