Cosa dice la legge di Einstein?

La legge di Einstein E = mc 2 esprime la relazione tra massa ed energia.

Come si trasforma l'energia in massa?

La massa e l'energia sono equivalenti e possono essere convertite l'una nell'altra con la seguente formula: E = mc 2 .

Quale delle seguenti è la ragione per cui non notiamo un cambiamento di massa quando aumenta l'energia immagazzinata?

Non notiamo il cambiamento di massa perché di solito è estremamente piccolo per i livelli di energia cui abbiamo a che fare tutti i giorni.

Qual è la formula dell'energia cinetica relativistica?

\[ E_\mathrm{cin} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 \,. \]

E = mc2: equivalenza massa-energia

E = mc²: un nuovo concetto di energia

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo innanzitutto capire cosa sia effettivamente l'energia.

Nel 1905, il fisico Albert Einstein pubblicò un articolo, Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento, dove esponeva la sua teoria speciale della relatività. Tra le altre cose, il giovane Einstein ampliò il concetto di energia fino ad allora conosciuto.

Il concetto classico di energia

Nella fisica classica - meccanica, elettrodinamica e termodinamica - l'energia è strettamente legata al concetto di lavoro.

Per energia si intende la capacità di un sistema di compiere lavoro. Si distinguono diverse forme di energia, come l'energia potenziale, cinetica, termica e di radiazione.

Per questa spiegazione è utile avere delle conoscenze di base su energia e lavoro. Per saperne di più, consulta su StudySmarter gli articoli corrispondenti.

Un principio fondamentale della fisica è che l'energia non può essere né creata né distrutta. Può solo essere trasformata in altre forme di energia. Questo principio è noto come primo principio della termodinamica.

E = mc²: teoria della relatività speciale

Questo principio di conservazione dell'energia si applica anche alla relatività speciale, ma Einstein ha esteso il concetto di energia a un'altra forma: la massa.

Immagina una biglia che rotola giù da una piccola collina. Nel processo, converte l'energia potenziale in energia cinetica. Una parte di essa viene anche trasferita all'ambiente attraverso l'attrito. Ma anche quando la biglia è ferma, secondo Einstein possiede energia dovuta alla sua massa: la cosiddetta energia a riposo.

Si può quindi pensare alla massa come a un altro tipo di energia o come a un mezzo di immagazzinamento dell'energia.

Tutti gli oggetti possiedono la cosiddetta energia a riposo, che è espressa dalla loro massa \(m\). L'energia a riposo è l'energia che si misura nel sistema di riferimento in cui il corpo è in quiete.

Nella massa sono immagazzinate grandi quantità di energia. Secondo la legge di conservazione dell'energia, questa energia può essere convertita in altre forme.

E = mc²: significato

Questa relazione tra massa ed energia è espressa da quella che è probabilmente la formula più nota della fisica moderna:

La famosa formula di Einstein afferma che la massa e l'energia possono essere convertite l'una nell'altra da un certo fattore. Questo fattore è la velocità della luce \(c\) al quadrato:

\[ E_0 = m_0 c^2\,,\]

dove \(m_0\) è la massa a riposo del corpo.

Questo significa che ogni corpo dotato di massa possiede un'energia "a riposo", che può assumere valori molto elevati anche nel caso di piccole masse, dal momento che è moltiplicata per la velocità della luce al quadrato.

Per avere un'idea della quantità di energia in gioco, vediamo questo esempio.

Quanta energia è contenuta in una delle più piccole particelle conosciute, l'elettrone?

Inserendo la massa dell'elettrone, \(m_e = 9{,}1 \times 10^{-31} \, \mathrm{kg}\), nella formula di Einsten per l'energia a riposo si ottiene:

\[ E_0 = m_e c^2 = 9,81 \cdot 10^{-31} \, \mathrm{ kg} \space (299\,792\,458 \, \mathrm{m}/\mathrm{s})^2 \approx 8{,}179 \cdot 10^{-14} \, \mathrm{J} \]

Convertendo joule in elettronvolt (\(1\, \mathrm{ J} = 6{,}24 \cdot 10^{18}\: \mathrm{eV}\)), si ottiene

\[E_0 = (8{,}179 \times 10^{-14}) ( 6,24 \times10^{18} ) \approx 0{,}511 \, \mathrm{ MeV} \]

Questa energia può sembrare un po' piccola a prima vista. Ma se si pensa a quanti elettroni (e protoni e neutroni) ci sono in un solo grammo di materia, questo numero non sembra più così piccolo.

L'energia sprigionata dalla completa conversione di soli \(0,60\) grammi di materia equivale all'energia liberata dalla bomba di Hiroshima (13 kilotoni).

Questo mostra l'enorme importanza della velocità della luce nella conversione di massa in energia!

Velocità della luce

L'enorme concentrazione di energia nella massa di un oggetto non è l'unica conseguenza che si può trarre dalla teoria della relatività speciale.

La velocità \(c\) della luce rappresenta un limite superiore per la velocità di qualsiasi oggetto nell'universo. In altre parole, "nulla è più veloce della luce".

Il valore della velocità della luce nel vuoto è:

\[ c = 299 \, 792 \space 458 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\,.\]

Qui si assume sempre la velocità della luce nel vuoto. In un mezzo (ad esempio aria o acqua), la luce si muove più lentamente.

Ma perché la veloce della luce non può essere superata?

Per accelerare qualcosa, ad esempio una biglia, si aggiunge energia. Se si accelera una biglia dalla sua posizione di riposo, la sua velocità v crescente le conferisce sempre più energia cinetica. Lo si può vedere nella formula:

\[ E_{cin} = \frac{1}{2} m v^2\,.\]

Dalla formula per l'energia cinetica vediamo che una velocità maggiore (o una massa maggiore) significa più energia. A questo punto Einstein afferma che massa ed energia possono essere convertite l'una nell'altra:

\[E = mc^2 \]

\[ m = \frac{E}{c^2}\,.\]

Quindi, all'aumentare dell'energia aumenta la massa, anche se non ce ne accorgiamo perché la massa aumenta solo in minima parte, tanto da non poter essere misurata o quasi.

Il motivo è ancora una volta la velocità della luce e il suo valore elevato. Quando si calcola la massa, la velocità della luce si trova al denominatore della frazione. Quindi l'energia viene divisa per un numero enormemente grande e il risultato (la massa) risulta essere corrispondentemente piccolo.

Questo è esattamente il motivo per cui nulla che abbia una massa può essere accelerato alla velocità della luce. Perché più si vuole accelerare qualcosa, più energia cinetica bisogna fornirgli, e più la sua massa aumenta. E per accelerare oggetti più massicci è necessaria più energia.

Lo vediamo nella vita di tutti i giorni: è facile mettere in movimento una piccola biglia, ma è estremamente difficile spingere una macchina con la sola forza fisica.

Allora perché la luce può muoversi con velocità \(c\)?

Il motivo è che la luce è costituita da fotoni, ovvero da particelle prive di massa.

Il fattore di Lorentz

Vi sono altre conseguenze della teoria della relatività speciale di Einstein! Nei limiti di alte velocità, si osservano due importanti fenomeni: la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze. Per saperne di più, consulta gli articoli corrispondenti.

È importante rendersi conto che gli oggetti si comportano in modo diverso all'aumentare della velocità. Ad esempio, più un corpo accelera, più la sua massa aumenta. È necessario tenerne conto nei calcoli.

Il fattore di Lorentz serve proprio a questo.

Il fattore di Lorentz è una quantità che tiene conto delle variazioni di alcune grandezze (massa, lunghezza, tempo) in sistemi di riferimento in moto tra loro:

\[ \gamma = \sqrt{\frac{1}{1- \frac {v^2}{c^2}}}\,,\]

dove \(v\) è la velocità relativa tra i sistemi di riferimento inerziali.

Si può pensare al fattore di Lorentz come a un fattore di conversione che può essere trascurato per basse velocità (\(v <<c\)) e che diventa rilevante man mano che ci si avvicina a velocità della luce.

Se vuoi saperne di più sul fattore di Lorentz, consulta l'articolo sulle trafsormazioni di Lorentz qui su StudySmarter!

Energia totale

L'energia di un oggetto ha due componenti:

La prima componente è la sua energia a riposo, cioè l'energia che possiede grazie alla sua sola massa.
La seconda è l'energia cinetica dovuta al suo movimento. A riposo, questa energia è pari a zero.

L'insieme di questi due elementi è chiamato energia totale.

L'energia totale di un oggetto si calcola come somma della sua energia a riposo \(E_0\) e della sua energia cinetica \(E_{cin}\):

\[ E_{TOT} = E_{cin} + E_{0}\,.\]

Conoscete già la formula per entrambi i componenti. Tuttavia, se un oggetto si muove a una velocità molto elevata, subisce un corrispondente aumento di massa, che non viene ancora preso in considerazione nella formula generale dell'energia cinetica. Si ottiene quindi una nuova formula per l'energia cinetica!

Energia cinetica relativistica

L'energia cinetica di un oggetto a velocità molto elevate si calcola a partire dalla sua massa a riposo, dal fattore di Lorentz e dalla velocità della luce al quadrato:

\[E_{cin} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 \,, \]

dove \( \gamma m_0 \) è detta massa relativistica.

Questa formula viene sempre utilizzata quando si ha a che fare con velocità che sono una percentuale considerevole della velocità della luce. Potete leggere la derivazione della formula nella sezione di approfondimento.

L'energia cinetica si ottiene dalla differenza tra l'energia totale e l'energia a riposo:

\[ E_{cin} = E_{TOT} - E_{0}\,.\]

L'energia a riposo è:

\[ E_0 = m_0 c^2\,.\]

Si calcola l'energia totale con la stessa formula, ma tenendo presente che ora si tratta della massa in movimento, quindi occorre aggiungere il fattore di Lorentz:

\[ E_{TOT} = \gamma m_0 c^2\,.\]

Sostituendo \(E_{TOT}\) e \(E_0\) nella formula per l'energia cinetica si ottiene:

\[E_{cin} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 \,. \]

Aumento della massa

Abbiamo già calcolato l'energia a riposo dalla massa di un elettrone. Con il fattore di Lorentz, ora si ha tutto ciò che serve per determinare l'aumento della massa a una certa velocità.

L'elettrone viene accelerato a una velocità pari al 99% della velocità della luce. Calcolare l'aumento di massa.

L'aumento di massa si può calcolare dalla differenza tra la massa totale e la massa a riposo:

\[\Delta m = \gamma m_0 - m_0 \]

\[ \gamma = \sqrt{ \frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \sqrt { \frac{1} {1 - (0{,}99)^2} } \approx 7{,}09 \]

\[ \gamma m_0 = 7{,}09 \: ( 9,1 \times 10^{-31} \, \mathrm{kg}) = 64{,}5 \times 10^{-31} \, \mathrm{ kg} \]

\[\Delta m = (64{,}5 - 9{,}1) \times 10^{-31} \, \mathrm{ kg} \approx 55{,}4 \times 10^{-31} \, \mathrm{kg}\,.\]

E = mc²: esempi e applicazioni

Nella vita di tutti i giorni non si avvertono le conseguenze della relatività speciale. Le velocità sperimentate non sono sufficientemente elevate per questo. Gli effetti relativistici si verificano solo a partire da circa il 10% della velocità della luce. Più si va veloci, più questi effetti relativistici diventano forti.

CERN, antimateria e annichilazione

Un esempio è il Large Hadron Collider (LHC) del CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire), una struttura internazionale di ricerca sulla fisica delle particelle in Svizzera. In un acceleratore ad anello lungo \(27 \,,\mathrm{km}\), i protoni vengono accelerati a circa il 99,9% della velocità della luce.

I protoni accelerati si scontrano tra loro. A volte questo porta alla creazione dei cosiddetti positroni. Si tratta di particelle di antimateria.

Si può pensare all'antimateria come a un'immagine speculare della materia cui siamo abituati. I positroni (indicati con \(e^+\)) sono la controparte degli elettroni. Hanno la stessa massa e carica uguale e opposta all'elettrone.

Quando le particelle di antimateria incontrano la materia ordinaria, si verifica un processo chiamato annichilazione.

L'annichilazione di due particelle sprigiona energia sotto forma di fotoni.

E= mc2 annichilazione elettrone-positrone StudySmarter Fig. 1 - Annichilazione elettrone-positrone

A prima vista, sembra la fonte di energia sostenibile e inesauribile che l'umanità sta cercando. Al momento, però, i ricercatori non conoscono un modo per produrre antimateria in grandi quantità. Attualmente, infatti, la produzione e lo stoccaggio consumano tanta energia quanta ne viene rilasciata durante l'annichilazione e sono anche enormemente costosi.

Fissione e fusione nucleare

Nel processo di fissione, i nuclei atomici pesanti si dividono in nuclei atomici più piccoli. La massa delle particelle risultanti è più piccola di quella del nucleo originale. Si tratta di un difetto di massa. La massa mancante viene rilasciata durante la fissione sotto forma di energia.

In questo caso, però, la massa non viene convertita direttamente in energia. L'energia rilasciata proviene dall'energia di legame nucleare.

Il processo inverso, la fusione nucleare, avviene in ogni istante all'interno del Sole. Qui i nuclei atomici più piccoli si fondono per formare nuclei atomici più grandi.

E=mc2 fusione nucleare StudySmarter Fig. 2 - La fusione nucleare di deuterio e trizio produce elio ed emissione di energia.

Nel processo, i due isotopi dell'idrogeno, il deuterio e il trizio, vengono fusi per formare l'elio. Anche in questo caso, l'energia viene rilasciata sotto forma di radiazione, che è ciò che rende possibile la vita sulla Terra.

Il sole perde massa durante questo processo. Ogni secondo, 4,5 milioni di tonnellate vengono convertite in radiazione!

Massa e energia relativistica - Punti chiave

L'energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Vi sono diverse forme di energia, come l'energia potenziale, cinetica, termica e di radiazione.
Secondo la legge di conservazione dell'energia, l'energia non può essere né creata né distrutta, ma solo convertita in altre forme di energia.
Secondo la teoria della relatività speciale di Einstein, tutti gli oggetti hanno una cosiddetta energia a riposo, espressa dalla loro massa.
La massa e l'energia possono essere convertite l'una nell'altra con la seguente formula: \(E = mc^2\).
La velocità della luce non può essere superata da nessun corpo.
Più un oggetto si muove velocemente, maggiore è la sua massa. È possibile tenere conto degli effetti relativistici nel calcolo utilizzando il fattore di Lorentz:
\( \gamma = \sqrt{\frac{1}{1- \frac {v^2}{c^2}}}\).
Si calcola l'energia totale a partire dall'energia a riposo e dall'energia cinetica:
\( E_{TOT} = E_{cin} + E_{0}\). Ne consegue la seguente formula per l'energia cinetica:
\( E_{cin} = E_{TOT} - E_{0}\).
La formula di Einstein è importante per spiegare l'annichilazione, la fusione nucleare e la fissione nucleare.

References

Fig. 1 - Pair Annihilation.png (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pair_Annihilation.png) by Iamion is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
Fig. 2 - FusionFL.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FusionFL.jpg) by Lamiot is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)

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