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Campo elettrico

Campo elettrico

Una particella elettricamente carica genera un campo elettrico. Protoni ed elettroni producono quindi campi elettrici e, entro una certa distanza, attraggono o respingono altre particelle cariche.

Definizione di campo elettrico

Il campo elettrico è un vettore e si misura in Newton/Coulomb o in Volt/m.

Consideriamo il campo elettrico generato da una carica \(Q\) e introduciamo una carica di prova \(q\). Quest’ultima sarà soggetta alla forza di Coulomb \(\vec{F_C}\), che sarà attrattiva o repulsiva a seconda dei segni delle due cariche.

Il campo elettrico è definito come la forza per unità di carica elettrica (positiva) esercitata sulla carica di prova \(q\):

\[\vec{E}=\frac{\vec{F_C}}{q}\]

Esprimendo la forza in termini di campo elettrico abbiamo quindi:

\[\vec{F_C} = q \, \vec{E}\]

campo elettrico linee del campo elettrico StudySmarterFig. 1 - Linee del campo elettrico creato da una carica positiva (a sinistra), una carica negativa (al centro) e un oggetto privo di carica (a destra).

Come mostrato in Figura 1, il campo elettrico ha simmetria radiale. Le linee di campo prodotte da una carica positiva sono uscenti, mentre le linee di campo prodotte da una carica negativa puntano verso di essa.

Formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme

Il campo elettrico più semplice è quello generato da una carica puntiforme.

Sostituendo la forza di Coulomb:

\[\vec{F_C} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \, \frac{q \, Q}{|\vec{r}|^2} \, \hat{u}_r \]

dove

  • \(\epsilon_0\) è una costante chiamata permittività del vuoto e ha un valore di circa \(8,85 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2} \, \mathrm{N^{-1}} \, \mathrm{m^{-2}}\).

  • \(|\vec{r}| = |\vec{r_Q}-\vec{r_q}|\) è la distanza tra le due cariche.

  • \(\hat{u}_r\) è il versore dalla carica \(Q\) a \(q\).

nell’espressione per il campo elettrico, si ottiene

\[\vec{E} = k \frac{Q}{|\vec{r}|^2} \hat{u}_r\]

dove la costante k è detta costante di Coulomb ed è pari a circa \(9 \times 10^9 \, \mathrm{N} \, \mathrm{m^2} \, \mathrm{C^{-2}}\).

campo elettrico campo elettrico carica puntiforme StudySmarterFig. 2 - Campo elettrico di una carica puntiforme.

Il campo elettrico è quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza del punto dalla carica sorgente e non dipende dalla carica di prova \(q\).

Calcola l’intensità del campo elettrico generato da una carica \(Q= 25\, \mathrm{\mu C}\) in un punto posto a \(5\, \mathrm{m}\) dalla carica.

Svolgimento

\[|\vec{E}| = k \frac{Q}{|\vec{r}|^2}= (9 \times 10^9 \, \mathrm{N} \, \mathrm{m^2} \, \mathrm{ c^{-2}}) (25 \times 10^{-6} \, \mathrm{C})/ (25\, \mathrm{ m^2}) = 9000 \, \mathrm{N} \, \mathrm{C^{-1}}\]

Campo elettrico generato da cariche multiple

Con un'adeguata correzione dei termini, la formula utilizzata per descrivere una singola carica può essere utilizzata anche per calcolare casi più complessi. Nel caso di cariche multiple, dobbiamo considerare il loro effetto sul punto di applicazione. Questo viene calcolato sommando il contributo di ciascuna carica:

\[\vec{E} = k \sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{|\vec{r_i}|^2}\: \hat{u}_i\]

Come si può notare, l’unica differenza rispetto al caso precedente è che è necessario sommare i contributi relativi a tutte le \(N\) cariche.

campo elettrico campo elettrico distribuzione cariche StudySmarterFig. 3 - Il campo di due particelle in un dato punto è dato dalla somma dei contributi di ciascuna delle due cariche.

Campo elettrico di una distribuzione di cariche

Consideriamo ora una situazione leggermente più complessa, ovvero, una sostanza continua caratterizzata da una densità (volumetrica) invece di cariche puntiformi.

Cominciamo con il considerare il caso di una densità omogenea di cariche ρ. Per calcolare il campo elettrico occorrerà calcolare il seguente integrale su tutto il volume dell’oggetto:

\[\vec{E} = k\int_V \frac{\rho \:dV}{|\vec{r}|^2} \: \hat{u}_r\]

dove \(dV = dx\: dy\: dz\) contiene contiene la carica \(dq =\rho \: dV\).

Da questa definizione è possibile spingersi oltre e considerare, ad esempio, una densità di carica non omogenea. Prendiamo una sorgente la cui carica varia lungo una o più dimensioni nello spazio. Per definire questa densità, aggiungiamo tra parentesi le dimensioni da cui dipende. Ad esempio, il caso di una densità di carica che varia sulla dimensione \(x\) è rappresentato da \(\rho (x)\). Il calcolo dell’integrale sarà più complesso senza tuttavia alcuna differenza nel concetto.

Campo elettrico uniforme

Il campo elettrico è una grandezza vettoriale. Si dice uniforme quando assume in ogni punto lo stesso modulo, direzione e verso.

Potenziale elettrico

Torniamo a considerare la carica di prova q immersa in un campo elettrico generato da \(Q\). Quando la carica \(q\) si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza esercitata dalla carica \(Q\) compie un lavoro \(L_{AB}\).

Poiché siamo in presenza di una forza conservativa, la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza per portare la carica da A a B. Possiamo quindi scrivere:

\[\Delta U = - L_{AB}\]

Poiché la variazione di energia potenziale dipende dalla carica di prova q, è più comodo utilizzare una grandezza che non dipende dalla carica di prova. Si introduce quindi la differenza di potenziale elettrico \(\Delta V\) che, a differenza di \(\Delta U\), non dipende da \(q\):

\[\Delta V = \frac{\Delta U}{q}\]

L’unità di misura della differenza di potenziale è il Volt ( \(1 \, \mathrm{V} = 1\, \mathrm{ J} \, \mathrm{C^{-1}}\) ).

Poiché \(\Delta U = - L_{AB}\), si ha:

\[\Delta V = -\frac{L_{AB}}{q}\]

Partendo dalla definizione di lavoro:

\[ L_{AB} = \int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{s}\]

e sostituendo nell’integrale

\[\vec{F_C} = q\vec{E}\]

si ottiene:

\[L_{AB} = k \: Q\: q \left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right) \]

Si arriva quindi alla seguente espressione per la differenza di potenziale:

\[\Delta V = - \frac{L_{AB}}{q} = k\: Q \left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right) \]

Abbiamo quindi trovato la formula per la differenza di potenziale. Fissando \(V(\infty) = 0\) (ovvero, potenziale nullo quando le cariche sono a distanza infinita), si ottiene il potenziale in funzione della distanza \(r\) tra \(q\) e \(Q\):

\[V(r) = k\:Q \frac{1}{r}\]

Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali (ovvero, le superfici dove il potenziale è lo stesso in tutti i punti) sono rappresentate da da sfere con centro nella carica.

Campo elettrico - Punti chiave

  • Un campo elettrico è generato da una particella elettricamente carica.
  • La sorgente che genera il campo elettrico può essere discreta o continua.
  • La differenza di potenziale elettrico è data dal rapporto tra la differenza di energia potenziale elettrica risultante dallo spostamento della carica di prova tra due punti e la carica di prova.
  • Il potenziale elettrico non dipende dalla carica di prova ed è definito considerando nullo il suo valore a distanza infinita.
  • Le superfici equipotenziali sono quelle in cui il valore del potenziale è lo stesso in tutti i punti.

References

  1. Fig. 1 - File:Electric Field Lines.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electric_Field_Lines.svg) by Nein Arimasen is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)

Domande frequenti riguardo Campo elettrico

Il campo elettrico si calcola come rapporto tra la forza esercitata sulla carica di prova e la carica di prova stessa.

Il campo elettrico uniforme quando assume in ogni punto lo stesso modulo, direzione e verso.

Il campo elettrico sulla superficie della sfera è uguale al campo che si avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera.

Si genera un campo elettrico indotto quando il campo magnetico varia nel tempo.

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