Campo elettrico

Formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme

Il campo elettrico più semplice è quello generato da una carica puntiforme.

Sostituendo la forza di Coulomb:

\[\vec{F_C} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \, \frac{q \, Q}{|\vec{r}|^2} \, \hat{u}_r \]

dove

• \(\epsilon_0\) è una costante chiamata permittività del vuoto e ha un valore di circa \(8,85 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2} \, \mathrm{N^{-1}} \, \mathrm{m^{-2}}\).

• \(|\vec{r}| = |\vec{r_Q}-\vec{r_q}|\) è la distanza tra le due cariche.

• \(\hat{u}_r\) è il versore dalla carica \(Q\) a \(q\).

nell’espressione per il campo elettrico, si ottiene

\[\vec{E} = k \frac{Q}{|\vec{r}|^2} \hat{u}_r\]

dove la costante k è detta costante di Coulomb ed è pari a circa \(9 \times 10^9 \, \mathrm{N} \, \mathrm{m^2} \, \mathrm{C^{-2}}\).

Fig. 2 - Campo elettrico di una carica puntiforme.

Il campo elettrico è quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza del punto dalla carica sorgente e non dipende dalla carica di prova \(q\).

Campo elettrico generato da cariche multiple

Con un'adeguata correzione dei termini, la formula utilizzata per descrivere una singola carica può essere utilizzata anche per calcolare casi più complessi. Nel caso di cariche multiple, dobbiamo considerare il loro effetto sul punto di applicazione. Questo viene calcolato sommando il contributo di ciascuna carica:

\[\vec{E} = k \sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{|\vec{r_i}|^2}\: \hat{u}_i\]

Come si può notare, l’unica differenza rispetto al caso precedente è che è necessario sommare i contributi relativi a tutte le \(N\) cariche.

Fig. 3 - Il campo di due particelle in un dato punto è dato dalla somma dei contributi di ciascuna delle due cariche.

Campo elettrico di una distribuzione di cariche

Consideriamo ora una situazione leggermente più complessa, ovvero, una sostanza continua caratterizzata da una densità (volumetrica) invece di cariche puntiformi.

Cominciamo con il considerare il caso di una densità omogenea di cariche \(\rho\). Per calcolare il campo elettrico occorrerà calcolare il seguente integrale su tutto il volume dell’oggetto:

\[\vec{E} = k\int_V \frac{\rho \:dV}{|\vec{r}|^2} \: \hat{u}_r\]

dove \(dV = dx\: dy\: dz\) contiene contiene la carica \(dq =\rho \: dV\).

Da questa definizione è possibile spingersi oltre e considerare, ad esempio, una densità di carica non omogenea. Prendiamo una sorgente la cui carica varia lungo una o più dimensioni nello spazio. Per definire questa densità, aggiungiamo tra parentesi le dimensioni da cui dipende. Ad esempio, il caso di una densità di carica che varia sulla dimensione \(x\) è rappresentato da \(\rho (x)\). Il calcolo dell’integrale sarà più complesso senza tuttavia alcuna differenza nel concetto.

Campo elettrico uniforme

Il campo elettrico è una grandezza vettoriale. Si dice uniforme quando assume in ogni punto lo stesso modulo, direzione e verso.

Potenziale elettrico

Torniamo a considerare la carica di prova q immersa in un campo elettrico generato da \(Q\). Quando la carica \(q\) si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza esercitata dalla carica \(Q\) compie un lavoro \(W_{AB}\).

Poiché siamo in presenza di una forza conservativa, la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza per portare la carica da A a B. Possiamo quindi scrivere:

\[\Delta U = - W_{AB}\,.\]

Poiché la variazione di energia potenziale dipende dalla carica di prova \(q\), è più comodo utilizzare una grandezza che non dipende dalla carica di prova. Si introduce quindi la differenza di potenziale elettrico \(\Delta V\) che, a differenza di \(\Delta U\), non dipende da \(q\):

\[\Delta V = \frac{\Delta U}{q}\,.\]

L’unità di misura della differenza di potenziale è il Volt ( \(1 \, \mathrm{V} = 1\, \mathrm{ J} \, \mathrm{C^{-1}}\) ).

Poiché \(\Delta U = - W_{AB}\), si ha:

\[\Delta V = -\frac{W_{AB}}{q}\,.\]

Partendo dalla definizione di lavoro:

\[ W_{AB} = \int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{s}\]

e sostituendo nell’integrale

\[\vec{F} = q\vec{E}\,,\]

si ottiene:

\[W_{AB} = k \: Q\: q \left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right)\,. \]

Si arriva quindi alla seguente espressione per la differenza di potenziale:

\[\Delta V = - \frac{W_{AB}}{q} = k\: Q \left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right) \,.\]

Abbiamo quindi trovato la formula per la differenza di potenziale. Fissando \(V(\infty) = 0\) (ovvero, potenziale nullo quando le cariche sono a distanza infinita), si ottiene il potenziale in funzione della distanza \(r\) tra \(q\) e \(Q\):

\[V(r) = k\:Q \frac{1}{r}\,.\]

Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali (ovvero, le superfici dove il potenziale è lo stesso in tutti i punti) sono rappresentate da sfere con centro nella carica.