Elettricità e magnetismo sono due fenomeni apparentemente distinti nella nostra vita quotidiana: una presa della corrente non ci fa pensare ai magneti e un magnete da frigo non ci fa pensare all'elettricità. È proprio qui che sta il genio di James Clerk Maxwell che, in un articolo del 1865, per la prima volta ha pubblicato le sue equazioni in forma differenziale, unificando elettricità e magnetismo in quello che oggi è noto come elettromagnetismo.
Equazioni di Maxwell: unificazione dell'elettromagnetismo
Le equazioni di Maxwell, come abbiamo detto, sono ciò che permette di legare i fenomeni elettrici e magnetici in un'unica formulazione matematica capace di descrivere entrambi. Queste equazioni non solo descrivono i singoli fenomeni, ma anche quali sono i legami, come si influenzano a vicenda (perché come vedremo hanno un legame indissolubile di influenza reciproca) e come evolvono nel tempo.
Fig. 1 - James Clerk Maxwell
Equazioni di Maxwell: descrizioni
Le equazioni di Maxwell possono essere matematicamente molto complesse e richiedono una conoscenza dell'analisi matematica approfondita per essere comprese. In questa sezione cerchiamo di darne una descrizione pratica, menzionandone la formulazione in forma locale e integrale.
Legge di Gauss per il campo elettrico
Questa legge, anche chiamata "legge del flusso elettrico", descrive la relazione che lega campo elettrostatico e le cariche elettriche che lo generano mettendo in luce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende dalla carica racchiusa al suo interno.
La divergenza di un campo vettoriale \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\) è una misura di quanto questo campo tende a divergere o a convergere, matematicamente si scrive che:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}\]
Per comprendere il significato di flusso, possiamo pensare al concetto che associamo quotidianamente con la parola. Immaginiamo un tubo con un certo diametro e pensiamo di voler calcolare la sua portata. Un modo intuitivo può essere quello di calcolare quanto liquido attraversa una certa sezione del tubo in un certo periodo di tempo.
Matematicamente, il concetto di flusso di un campo vettoriale non implica necessariamente un trasporto di massa o energia, e deve quindi staccarsi dalla "quantità di liquido". In questo caso, il flusso \(\Phi\) di un campo vettoriale \(F\) attraverso una superficie \(S\), è dato dalla formula:\[\Phi = \int_S \vec{F}\cdot d\vec{s}\]
Se al posto del campo \(F\) prendiamo la velocità del fluido, e al posto della superficie \(S\) prendiamo la superficie della sezione di tubo che attraversa il liquido, vediamo che il concetto di tutti i giorni e quello matematico coincidono!
In particolare, ci dice che il flusso del campo elettrico generato da una certa carica dipende solo ed esclusivamente dalla carica contenuta all'interno di una regione di volume \(V\) attorno a cui integriamo.
| Forma locale nel vuoto | Forma locale nei materiali | Forma integrale nel vuoto | Forma integrale nei materiali |
| \[\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\] | \[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_L\] | \[\oint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV\] | \[\oint_{\partial V} \vec{D} \cdot d\vec{S} = \int_V \rho_L dV\] |
In queste equazioni, \(\vec{E}\) è il campo elettrico nel vuoto, \(\vec{D}\) è il campo elettrico quando si propaga in un materiale, \(\rho\) è la densità di carica e \(\rho_L\) è la densità di carica elettrica libera, cioè quella non confinata nel dielettrico, \(\epsilon_0\) è la costante permittività elettrica del vuoto, \(V\) si riferisce al volume di spazio considerato e \(\vec{S}\) ad uno spostamento lungo la superficie che racchiude il volume \(V\).
Fig. 2 - Schematizzazione del campo elettrico prodotto da una carica positiva e una negativa.
Legge di Gauss per il campo magnetico
La legge di Gauss per il campo magnetico dice che non esiste l'equivalente delle cariche elettriche per quanto riguarda il magnetismo (i cosiddetti monopoli), ma che esistono solo dipoli magnetici. Non solo, anche questa legge parla del flusso (del campo magnetico questa volta) e afferma che il flusso di un campo magnetico attraverso una superficie chiusa sarà sempre nullo.
| Forma locale nel vuoto | Forma locale nei materiali | Forma integrale nel vuoto | Forma integrale nei materiali |
| \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] | \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] | \[\oint_{\partial V} \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0\] | \[\oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0\] |
In queste equazioni, \(\vec{B}\) è il campo elettrico nel vuoto, \(V\) si riferisce al volume di spazio considerato e \(\vec{S}\) ad uno spostamento lungo la superficie che racchiude il volume \(V\).
Fig. 3 - Esempio di dipolo magnetico.
Legge di Faraday
Questa legge descrive l'induzione di un campo elettrico da parte di un campo magnetico variabile nel tempo, principio fondamentale per alcuni tipi di generatore. In pratica ci dice che quando si introduce un campo magnetico variabile dentro un circuito elettrico, questo induce una corrente elettrica nel circuito, anche se questo non è attaccato ad alcun tipo di batteria.
| Forma locale nel vuoto | Forma locale nei materiali | Forma integrale nel vuoto | Forma integrale nei materiali |
| \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\] | \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\] | \[\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot \vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}\] | \[\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot \vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}\] |
In queste equazioni, \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) sono rispettivamente il campo elettrico e magnetico nel vuoto, \(S\) è la superficie descritta da un circuito e \(d\vec{l}\) è un elemento piccolo preso lungo il circuito.
Intuitivamente, dall'equazione in forma locale nel vuoto, si capisce che una certa quantità (il rotore) del campo elettrico dipende dalla variazione nel tempo del campo magnetico. Non solo, ma questa quantità è opposta alla variazione del campomagnetico.
Fig. 4 - Disegno del disco di Faraday, il primo generatore elettromagnetico.
Legge di Ampère-Maxwell
Questa legge descrive come si possono generare campi magnetici, e in particolare afferma che un campo magnetico si può creare tramite semplici correnti elettriche, oppure da campi elettrici variabili (la cosiddetta corrente di spostamento). Inoltre, questa legge ha l'importante conseguenza di includere il sistema di equazioni valido anche per campi variabili, in pratica permette alle onde elettromagnetiche di viaggiare nel vuoto.
| Forma locale nel vuoto | Forma locale nei materiali | Forma integrale nel vuoto | Forma integrale nei materiali |
| \[\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\] | \[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}_L+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\] | \[\oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{l}\] \[= \mu_0 \int_S \vec{J}\cdot d\vec{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt}\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}\] | \[\oint_{\partial S} \vec{H} \cdot d\vec{l} \] \[= \mu_0 \int_S \vec{J_L}\cdot d\vec{S} + \frac{d}{dt}\int_S \vec{D}\cdot d\vec{S}\] |
In queste equazioni, \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) sono rispettivamente il campo elettrico e magnetico nel vuoto, \(\vec{J}\) è il vettore densità di corrente elettrica e \(\vec{J}_L\) la densità di corrente elettrica libera, \(\mu_0\) e \(\epsilon_0\) sono rispettivamente la permittività elettrica e la permeabilità magnetica del vuoto, \(\vec{H}\) è il campo magnetico introdotto nei materiali, \(S\) è la superficie descritta da un circuito e \(d\vec{l}\) è un elemento piccolo preso lungo il circuito.
Queste equazioni sono sicuramente le più complesse tra quelle che abbiamo visto e richiederebbero un articolo dedicato per essere spiegate, è importante però capirne il significato fisico. Questa equazione ci dice che le sorgenti del campo magnetico sono le correnti di conduzione o i campi elettrici variabili nel tempo.
Forma integrale e forma differenziale
Quando si parla delle equazioni di Maxwell, si sente spesso dire che sono scritte in uno di due modi: in forma integrale, oppure in forma differenziale. Ma quali sono le differenze tra le due e come si fa a passare da una all'altra?
Forma locale
Come si può intuire dal nome, la forma locale delle equazioni di Maxwell descrive ciò che accade in un punto ben specifico dello spazio in cui possono essere misurati il campo elettrico e magnetico, la carica elettrica libera o la densità di corrente. Questo significa che queste equazioni descrivono la radiazione elettromagnetica attraverso i valori "puntuali" dei campi elettrici e magnetici.
Forma integrale
Diametralmente opposta è la descrizione fornita dalle equazioni in forma integrale: queste, infatti, descrivono le proprietà macroscopiche dello spazio in cui si studia la radiazione elettromagnetica. Gli integrali nelle equazioni servono proprio a questo: considerare volumi e superfici entro cui calcoliamo le quantità che ci interessano. Ovviamente la presenza di questi integrali complica considerevolmente i calcoli, ma presenta anche una visione di insieme più ampia dei fenomeni osservati.
Passaggio da forma locale a forma integrale e viceversa
Per passare da una forma all'altra si usano principalmente due teoremi: il teorema della divergenza e il teorema di Stokes. Non andremo nel dettaglio, ma per i più coraggiosi, vediamo un paio di approfondimenti al riguardo.
Teorema della divergenza
Il teorema della divergenza è un teorema matematico che permette di passare da integrali di superficie ad integrali di volumi, usando il flusso di una quantità vettoriale. Nello specifico, per una quantità vettoriale \(\vec{B}\), vale che:
\[ \oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{s} = \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{B} \: dV \]
Quest'equazione ci dice che l'integrale sul volume \(V\) della divergenza di un campo vettoriale è equivalente al flusso dello stesso campo attraverso la superficie chiusa che racchiude il volume \(V\).
Ricordiamo che la divergenza di un campo vettoriale \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\) è, molto semplicemente:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}\]
Teorema di Stokes
Il teorema di Stokes (o teorema del rotore), invece, ci permette di passare dalla circuitazione di un campo (l'integrale lungo una linea chiusa) al rotore dello stesso campo integrato sulla superficie descritta dalla linea chiusa. In particolare, per un campo \(B\):\[(\vec{\nabla}\times \vec{B})\cdot d\vec{S} = \oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{r}\]
Ricordiamo che il rotore di una quantità vettoriale \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\) in uno spazio con coordinate \(x,y,z\) di versori \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) vale:
\[\vec{\nabla} \times \vec{B} = \hat{i}\left(\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}\right) + \hat{j}\left( \frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x} \right) + \hat{k}\left(\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}\right) \]
Equazioni di Maxwell: Formule
In questa sezione, troverai due comode tabelle che illustrano tutte le equazioni di Maxwell nelle forme locali e integrali, sia nel vuoto che nei materiali.
Equazioni di Maxwell in forma locale
| Nome | Nel vuoto | Nei materiali |
| Legge di Gauss per il campo elettrico | \[\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\] | \[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f\] |
| Legge di Gauss per il campo magnetico | \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] | \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] |
| Legge di Faraday | \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\] | \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\] |
| Legge di Ampère-Maxwell | \[\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\] | \[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}_f+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\] |
Equazioni di Maxwell in forma integrale
| Nome | Nel vuoto | Nei materiali |
| Legge di Gauss per il campo elettrico | \[\oint_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV\] | \[\oint_{\partial V} \vec{D} \cdot d\vec{S} = \int_V \rho_f dV\] |
| Legge di Gauss per il campo magnetico | \[\oint_{\partial V} \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0\] | \[\oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0\] |
| Legge di Faraday | \[\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot \vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}\] | \[\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot \vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}\] |
| Legge di Ampère-Maxwell | \[\oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J}\cdot d\vec{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt}\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}\] | \[\oint_{\partial S} \vec{H} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J_f}\cdot d\vec{S} + \frac{d}{dt}\int_S \vec{D}\cdot d\vec{S}\] |
Equazioni di Maxwell - Punti chiave
- Le equazioni di Maxwell sono ciò che permette di legare i fenomeni elettrici e magnetici in un'unica formulazione matematica capace di descrivere entrambi.
- La legge di Gauss per il campo elettrico descrive la relazione che lega campo elettrostatico e le cariche elettriche che lo generano.
- La legge di Gauss per il campo magnetico dice che esistono solo dipoli magnetici. Afferma anche che il flusso di un campo magnetico attraverso una superficie chiusa sarà sempre nullo.
- La legge di Faraday dice che quando si introduce un campo magnetico variabile dentro un circuito elettrico, questo induce una corrente elettrica nel circuito, anche se questo non è attaccato ad alcun tipo di batteria.
- La legge di Ampère-Maxwell descrive come si possono generare campi magnetici, e in particolare afferma che un campo magnetico si può creare tramite semplici correnti elettriche, oppure da campi elettrici variabili.
- Per passare dalla forma locale a quella integrale, i due teoremi più importanti sono il teorema della divergenza e il teorema di Stokes.
References
- Fig. 2 - VFPt charges plus minus thumb.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_charges_plus_minus_thumb.svg) by Geek3 (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Geek3) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
- Fig. 3 - VFPt cylindrical magnet thumb.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_cylindrical_magnet_thumb.svg) by Geek3 (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Geek3) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
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