Teorema di Gauss

Quando siamo in aereo e un fulmine lo colpisce, avvertiamo la turbolenza, eppure non rimaniamo fulminati, perché? La fusoliera dell'aereo è una gabbia di Faraday, che è un'applicazione diretta del teorema di Gauss. Vediamo insieme di cosa si tratta!

Teorema di Gauss: campo elettrico

In questo articolo trattiamo il teorema di Gauss per il campo elettrico. Prima di iniziare, è importante ricordare cos'è il flusso di un campo vettoriale.

Per comprendere il significato di flusso, possiamo pensare al concetto che associamo quotidianamente con la parola. Immaginiamo un tubo con un certo diametro e pensiamo di voler calcolare la sua portata. Un modo intuitivo può essere quello di calcolare quanto liquido attraversa una certa sezione del tubo in un certo periodo di tempo.

Matematicamente, il concetto di flusso di un campo vettoriale non implica necessariamente un trasporto di massa o energia, e deve quindi staccarsi dalla "quantità di liquido". In questo caso, il flusso \(\Phi\) di un campo vettoriale \(F\) attraverso una superficie \(S\), è dato dalla formula:\[\Phi = \int_S \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{S}\, .\]

Se al posto del campo \(\vec{F}\) prendiamo la velocità del fluido, e al posto della superficie \(S\) prendiamo la superficie della sezione di tubo che attraversa il liquido, vediamo che il concetto di tutti i giorni e quello matematico coincidono!

Il teorema di Gauss per il campo elettrico lega questa quantità (il flusso, in questo caso del campo elettrico \(\vec{E}\)) alla carica contenuta all'interno di una superficie chiusa \(S\). In particolare, il teorema di Gauss per il campo elettrico afferma che:

In pratica, se vogliamo calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una particolare superficie, ci basta sapere quanta carica è racchiusa al suo interno! Questo risultato è molto importante per calcolare i campi elettrici di distribuzioni particolari di cariche (alcuni degli esempi più semplici sono la carica contenuta all'interno di una sfera carica).

Alcune precisazioni su questa definizione:

• Quando parliamo di carica totale, intendiamo che se la carica interna alla superficie è nulla, il flusso sarà nullo, se la somma totale delle cariche è positiva, il flusso è positivo e analogamente, se è negativa, il flusso sarà negativo.
• Se la distribuzione delle cariché è continua, bisognerà calcolare la carica totale con l'integrale della densità di carica all'interno del volume.
• Il teorema di Gauss, in realtà, vale per qualunque campo vettoriale che sia additivo, tale per cui le sorgenti del campo possano considerarsi puntiformi e che abbia una dipendenza dall'inverso del quadrato della distanza.

Esiste un teorema di Gauss per il campo magnetico che afferma che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.

Teorema di Gauss: dimostrazione

Questa sezione è per i più temerari che non si accontentano della formula che ci è data dal teorema, ma vogliono sapere come questa si ricava. Purtroppo per dimostrarlo, è necessaria una certa conoscenza di integrali, calcoli di flusso e angoli solidi.

Fig. 1 - Schema della dimostrazione del teorema di Gauss per una singola carica puntiforme all'interno della superficie chiusa \(S\).

Per iniziare, vediamo il caso con una carica sola. Consideriamo una carica puntiforme \(q\) positiva all'interno di una superficie arbitraria \(S\) nello spazio. Il flusso infinitesimo del campo di questa particella vale

\[\mathrm{d} \Phi(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}\hat{r} \cdot \hat{n}\,\mathrm{d}S=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q\,\mathrm{d}S_\mathrm{n}}{r^2}\,,\]

dove, con \(\mathrm{d}S_\mathrm{n}\) indichiamo la proiezione di \(\mathrm{d}S\) sulla sfera di raggio \(r\) centrata sulla carica \(q\).

\[\mathrm{d}\Phi(\vec{E}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}q\,\mathrm{d}\Omega\,.\]

Ovviamente, se vogliamo il flusso totale dobbiamo integrare sulla superficie chiusa \(S\),

\[\Phi_S (\vec{E}) = \int_S \mathrm{d} \Phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q \int_{4\pi} \mathrm{d} \Omega = \frac{q}{\epsilon_0}\,\]

che è quello che abbiamo visto essere l'enunciato del teorema.

Ma cosa succede se abbiamo \(N\) cariche all'interno della superficie? In questo caso, essendo il campo elettrico additivo, possiamo considerare la carica totale come la somma delle cariche e il campo che queste generano come la somma dei campi elettrici generati dalle singole particelle. Ovvero, il flusso infinitesimo è dato da

\[\mathrm{d}\Phi (\vec{E}) = \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \left(\sum_{i=1}^N \vec{E}_i\right) \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \sum_{i=1}^N \left( \vec{E}_i \cdot \mathrm{d} \vec{S}\right) = \sum_{i=1}^N \mathrm{d}\Phi_i\,.\]

A questo punto non resta che integrare sulla superficie chiusa \(S\).

\[\Phi_S(\vec{E})= \int_S \sum_{i=1}^N \mathrm{d} \Phi_i = \sum_{i=1}^N \int_S \mathrm{d} \Phi_i = \sum_{i=1}^N \Phi_i = \frac{\sum_{i=1}^N q_i}{\epsilon_0}\,.\]

Rimane solo da dimostrare il caso in cui una carica sia esterna alla superficie \(S\). In questo caso, se osserviamo figura 2, possiamo vedere che il flusso degli elementi \(\mathrm{d}S_1\) e \(\mathrm{d}S_2\) è uguale, ma deve essere inverso di segno (perché uno "entra" nella superficie, l'altro "esce" dalla superficie), e lo stesso vale per il flusso attraverso \(\mathrm{d}S_3\) e \(\mathrm{d}S_4\). Quindi, il contributo al flusso per una carica esterna alla nostra superficie \(S\) è sempre nullo.

Fig. 2 - Una carica esterna alla superficie considerata non contribuisce al flusso del campo elettrico attraverso quella superficie.

Gabbia di Faraday

La gabbia di Faraday è uno strumento che sfrutta quanto abbiamo visto sul teorema di Gauss. Anche se sembra qualcosa di strano, la gabbia di Faraday è molto più comune di quanto non si pensi e in molti casi ci protegge da situazioni potenzialmente pericolose.

La gabbia di Faraday prende il nome dal fisico Michael Faraday che pensò ad un involucro metallico che, se caricato, permette alle cariche di distribuirsi sulla superficie esterna senza entrare al suo interno. Quindi, quando una scarica elettrica colpisce la gabbia, le cariche si distribuiscono sulla sua superficie esterna e il campo elettrico all'interno rimane nullo.

Fig. 3 - La gabbia di Faraday protegge chi sta al suo interno da scariche elettriche che arrivano dall'esterno.

Cosa lega questo fenomeno al teorema di Gauss? Il fatto che questa gabbia funzioni è precisamente una conseguenza diretta del teorema! Infatti, se ci pensiamo, se il flusso del campo elettrico dipende dalla carica presente all'interno della superficie che consideriamo, non è possibile che all'interno della gabbia si generi un campo elettrico che prima non era presente (questo, se la gabbia è costruita in maniera corretta!).

Esempi di gabbia di Faraday sono la rete metallica che scherma i forni a microonde, la fusoliera degli aerei e la carrozzeria delle macchine, che evitano che ci fulminiamo se la nostra vettura viene colpita da un fulmine.